Kiến thức chuyên ngành luôn yêu cầu bạn phải cập nhật và trau dồi từng ngày.Để có nền tảng kiến thức vững chắc trước các kì thi…bạn không thể thiếu các tài liệu tham khảo hay được chia sẻ trên mạng Internet.Share to be share more
lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org CHƯƠNG VII ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ Từ xa xưa lưu truyền toán cổ “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà gần ba giếng, đường nối thẳng nhà với đường nối thẳng giếng với Có lần bất hoà với nhau, họ tìm cách làm N1 N2 N3 đường khác đến giếng cho đường đôi không giao Họ có thực ý G1 G2 G3 định không? Bài toán mô hình đồ thị phân đôi đầy đủ K 3,3 Câu hỏi ban đầu diễn đạt sau: Có thể vẽ K 3,3 mặt phẳng cho hai cạnh cắt nhau? Trong chương nghiên cứu toán: vẽ đồ thị mặt phẳng cạnh cắt không Đặc biệt trả lời toán ba nhà ba giếng Thường có nhiều cách biểu diễn đồ thị Khi tìm cách biểu diễn đồ thị cạnh cắt nhau? 7.1 ĐỒ THỊ PHẲNG 7.1.1 Định nghĩa: Một đồ thị gọi phẳng vẽ mặt phẳng mà cạnh cắt (ở điểm điểm mút cạnh) Hình vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Một đồ thị phẳng thường vẽ với cạnh cắt nhau, vẽ cách khác cạnh cắt Thí dụ 1: 1) Một cây, chu trình đơn đồ thị phẳng 2) K4 đồ thị phẳng vẽ lại hình bên đường cắt a b a b c d c d Đồ thị K4 K4 vẽ đường cắt 3) Xét đồ thị G hình a Có thể biểu diễn G cách khác hình b, hai cạnh không cắt d b e b a e d c upsoft.blogspot.com a c Trang 104 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org 4) Đồ thị đầy đủ K5 thí dụ đồ thị không phẳng (xem Định lý 7.2.2) 7.1.2 Định nghĩa: Cho G đồ thị phẳng Mỗi phần mặt phẳng giới hạn chu trình đơn không chứa bên chu trình đơn khác, gọi miền (hữu hạn) đồ thị G Chu trình giới hạn miền biên miền Mỗi đồ thị phẳng liên thông có miền vô hạn (là phần mặt phẳng bên tất miền hữu hạn) Số cạnh tạo thành biên gọi đai G; trường hợp G chu trình đai số cạnh G Thí dụ 2: 1) Một có miền, miền vô hạn c 2) Đồ thị phẳng hình bên có miền, M5 b miền vô hạn, miền M1 có biên abgfa, d M2 a miền M2 có biên bcdhgb, … Chu M1 g M5 trình đơn abcdhgfa không giới hạn h M4 M3 miền chứa bên chu trình đơn f khác abgfa e 7.1.3 Định lý (Euler, 1752): Nếu đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh d miền ta có hệ thức: n − p + d = Chứng minh: Cho G đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh d miền Ta bỏ số cạnh G để khung G Mỗi lần ta bỏ cạnh (p giảm 1) số miền G giảm (d giảm 1), số đỉnh G không thay đổi (n không đổi) Như vậy, giá trị biểu thức n − p + d không thay đổi suốt trình ta bỏ bớt cạnh G để Cây có n đỉnh, có n − cạnh có miền, vậy: n − p + d = n − (n −1) + = Hệ thức n − p + d = thường gọi “hệ thức Euler cho hình đa diện”, Euler chứng minh cho hình đa diện có n đỉnh, p cạnh d mặt Mỗi hình đa diện coi đồ thị phẳng Chẳng hạn hình tứ diện ABCD hình hộp ABCDA’B’C’D’ biểu diễn đồ thị A B C A D A’ D’ D B C B’ C’ 7.1.4 Hệ quả: Trong đồ thị phẳng liên thông tuỳ ý, tồn đỉnh có bậc không vượt upsoft.blogspot.com Trang 105 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org Chứng minh: Trong đồ thị phẳng miền bao cạnh Mặt khác, cạnh nằm biên tối đa hai miền, nên ta có 3d ≤ 2p Nếu đồ thị phẳng mà tất đỉnh có bậc không nhỏ đỉnh đồ thị phải đầu mút cạnh mà cạnh lại có hai đầu mút nên ta có 6n ≤ 2p hay 3n ≤ p Từ suy 3d+3n ≤ 2p+p hay d+n ≤ p, trái với hệ thức Euler d+n=p+2 7.2 ĐỒ THỊ KHÔNG PHẲNG 7.2.1 Định lý: Đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 đồ thị không phẳng Chứng minh: Giả sử K3,3 đồ thị phẳng Khi ta có đồ thị phẳng với đỉnh (n=6) cạnh (p=9), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền d=p−n+2=5 Ở đây, mõi cạnh chung cho hai miền, mà miền có cạnh Do 4d≤2p, tức 4x5≤2x9, vô lý Như định lý cho ta lời giải toán “Ba nhà ba giếng”, nghĩa thực việc làm đường khác đến giếng cho đường đôi không giao 7.2.2 Định lý: Đồ thị đầy đủ K5 đồ thị không phẳng Chứng minh: Giả sử K5 đồ thị phẳng Khi ta có đồ thị phẳng với đỉnh (n=5) 10 cạnh (p=10), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền d=p−n+2=7 Trong K5, miền có 3cạnh, cạnh chung cho hai miền, 3d≤2n, tức 3x7≤2x10, vô lý 7.2.3 Chú ý: Ta thấy K3,3 K5 không phẳng Rõ ràng, đồ thị không phẳng chứa hai đồ thị đồ thị Hơn nữa, tất đồ thị không phẳng cần phải chứa đồ thị nhận từ K3,3 K5 số phép toán cho phép Cho đồ thị G, có cạnh (u,v) Nếu ta xoá cạnh (u,v), thêm đỉnh w với hai cạnh (u,w) (w,v) ta nói ta thêm đỉnh w (bậc 2) đặt cạnh (u,v) G Đồ thị G’ gọi đồng phôi với đồ thị G G’ có từ G cách thêm đỉnh (bậc 2) đặt cạnh G Thí dụ 3: a u a v u w v d b c G upsoft.blogspot.com b c G’ Trang 106 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org Đồ thị G đồng phôi với đồ thị G’ Nhà toán học Ba Lan, Kuratowski, thiết lập định lý sau vào năm 1930 Định lý biểu thị đặc điểm đồ thị phẳng nhờ khái niệm đồ thị đồng phôi 7.2.4 Định lý (Kuratowski): Đồ thị không phẳng chứa đồ thị đồng phôi với K3,3 K5 Thí dụ 4: b b a b a c f c d f f a d e e c e d Hình Hình Hình Đồ thị hình đồ thị phẳng Các đồ thị có đỉnh, không chứa đồ thị K3,3 có đỉnh bậc 2, tất đỉnh K 3,3 có bậc 3; chứa đồ thị K5 có đỉnh bậc nhỏ 4, tất đỉnh K5 có bậc Đồ thị hình đồ thị không phẳng xoá đỉnh b cạnh (b,a), (b,c), (b,f) ta đồ thị K5 7.3 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 7.3.1 Tô màu đồ: Mỗi đồ coi đồ thị phẳng Trong đồ, ta coi hai miền có chung đường biên hai miền kề (hai miền có chung điểm biên không coi kề nhau) Một đồ thường tô màu, cho hai miền kề tô hai màu khác Ta gọi cách tô màu đồ cách tô màu Để đảm bảo chắn hai miền kề màu trùng nhau, tô miền màu khác Tuy nhiên việc làm nói chung không hợp lý Nếu đồ có nhiều miền khó phân biệt màu gần giống Do người ta dùng số màu cần thiết để tô đồ Một toán đặt là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đồ Thí dụ 5: Bản đồ hình bên có miền, cần có màu (vàng, đỏ, xanh) M3 M4 M1 M2 để tô đồ Chẳng hạn, màu vàng tô cho M1 M4, màu đỏ tô cho M2 M6 M5 M6, màu xanh tô cho M3 M5 upsoft.blogspot.com Trang 107 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org 7.3.2 Tô màu đồ thị: Mỗi đồ mặt phẳng biểu diễn đồ thị, miền đồ biểu diễn đỉnh; cạnh nối hai đỉnh, miền biểu diễn hai đỉnh kề Đồ thị nhận cách gọi đồ thị đối ngẫu đồ xét Rõ ràng đồ mặt phẳng có đồ thị đối ngẫu phẳng Bài toán tô màu miền đồ tương đương với toán tô màu đỉnh đồ thị đối ngẫu cho hai đỉnh liền kề có màu, mà ta gọi tô màu đỉnh đồ thị Số màu cần dùng để tô màu đồ thị G gọi sắc số đồ thị G ký hiệu χ(G) Thí dụ 6: a b d f c e g h Ta thấy đỉnh b, d, g, e đôi kề nên phải tô màu khác Do χ(G) ≥ Ngoài ra, dùng màu đánh số 1, 2, 3, để tô màu G sau: 4 Như χ(G) = 7.3.3 Mệnh đề: Nếu đồ thị G chứa đồ thị đồng phôi với đồ thị đầy đủ K n χ(G) ≥ n Chứng minh: Gọi H đồ thị G đồng phôi với Kn χ(H) ≥ n Do χ(G) ≥ n 7.3.4 Mệnh đề: Nếu đơn đồ thị G không chứa chu trình độ dài lẻ χ(G) =2 Chứng minh: Không tính chất tổng quát giả sử G liên thông Cố định đỉnh u G tô màu hai màu Với đỉnh v G, tồn đường từ u đến v, đường có độ dài chẵn tô màu cho v, đường có độ dài lẻ tô màu cho v Nếu có hai đường mang tính chẵn lẻ khác upsoft.blogspot.com Trang 108 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org nối u với v dễ thấy G phải chứa chu trình độ dài lẻ Điều mâu thuẫn cho biết hai màu tô đồ thị G 7.3.5 Mệnh đề: Với số nguyên dương n, tồn đồ thị không chứa K có sắc số n Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo n Trường hợp n=1 hiển nhiên Giả sử ta có đồ thị Gn với kn đỉnh, không chứa K3 có sắc số n Ta xây dựng đồ thị Gn+1 gồm n Gn thêm knn đỉnh theo cách sau: thứ tự (v1, v2, …, vn), với vi thuộc Gn thứ i, tương ứng với đỉnh mới, đỉnh nối n cạnh đến đỉnh v 1, v2, …, Dễ thấy Gn+1 không chứa K3 có sắc số n+1 7.3.6 Định lý (Định lý màu Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng tô màu Chứng minh: Cho G đồ thị phẳng Không tính chất tổng quát xem G liên thông có số đỉnh n ≥ Ta chứng minh G tô màu quy nạp theo n Trường hợp n=5 hiển nhiên Giả sử định lý cho tất đồ thị phẳng có số đỉnh nhỏ n Xét G đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh Theo Hệ 7.1.4, G tồn đỉnh a với deg(a) ≤ Xoá đỉnh a cạnh liên thuộc với nó, ta nhận đồ thị phẳng G’ có n−1 đỉnh Theo giả thiết quy nạp, tô đỉnh G’ màu Sau tô G’ rồi, ta tìm cách tô đỉnh a màu khác với màu đỉnh kề nó, màu dùng Điều thực deg(a) < deg(a)=5 đỉnh kề a tô màu trở xuống Chỉ phải xét trường hợp deg(a)=5 mà đỉnh kề a b, c, d, e ,f tô màu Khi đỉnh b, c, d, e ,f phải có đỉnh không kề nhau, đỉnh đôi kề b c d e f đồ thị đầy đủ K đồ thị không phẳng, G không phẳng, trái với giả thiết Giả sử b d không kề (Hình 1) f (5) (1) a f f a e a (2) e (2) e b (1) c m Hình d n upsoft.blogspot.com b c (2) (3) m Hình (5) c n (4) m d (1) (2) Hình n Trang 109 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org Xoá đỉnh b d cho kề a đỉnh trước kề b kề d mà không kề a (Hình 2), ta đồ thị G’’ có n−2 đỉnh Theo giả thiết quy nạp, ta tô G’’ màu Sau đỉnh G’’ tô (Hình 2), ta dựng lại đỉnh b d, tô b d màu tô cho a (màu 1, Hình 3), a tô lại màu khác với màu b, c, d, e, f Vì b d không kề tô màu 1, nên với đỉnh dùng hết nhiều màu Do G tô màu 7.3.7 Định lý (Định lý màu Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng tô màu Định lý Bốn màu đưa đoán vào năm 1850 sinh viên người Anh tên F Guthrie cuối hai nhà toán học Mỹ Kenneth Appel Wolfgang Haken chứng minh vào năm 1976 Trước năm 1976 có nhiều chứng minh sai, mà thông thường khó tìm thấy chỗ sai, công bố Hơn có nhiều cố gắng cách vô ích để tìm phản thí dụ cách cố vẽ đồ cần bốn màu để tô Có lẽ chứng minh sai tiếng toán học chứng minh sai “bài toán bốn màu” công bố năm 1879 luật sư, nhà toán học nghiệp dư Luân Đôn tên Alfred Kempe Nhờ công bố lời giải “bài toán bốn màu”, Kempe công nhận hội viên Hội Khoa học Hoàng gia Anh Các nhà toán học chấp nhận cách chứng minh ông ta 1890, Percy Heawood phát sai lầm chứng minh Kempe Mặt khác, dùng phương pháp Kempe, Heawood chứng minh “bài toán năm màu” (tức đồ tô màu) Như vậy, Heawood giải “bài toán năm màu”, “bài toán bốn màu” thách đố nhà toán học suốt gần kỷ Việc tìm lời giải “bài toán bốn màu” ảnh hưởng đến phát triển theo chiều hướng khác lý thuyết đồ thị Mãi đến năm 1976, khai thác phương pháp Kempe nhờ công cụ máy tính điện tử, Appel Haken tìm lời giải “bài toán bốn màu” Chứng minh họ dựa phân tích trường hợp cách cẩn thận nhờ máy tính Họ “bài toán bốn màu” sai có phản thí dụ thuộc gần 2000 loại khác loại dẫn tới phản thí dụ Trong chứng minh họ dùng 1000 máy Cách chứng minh gây nhiều tranh cãi máy tính đóng vai trò quan trọng Chẳng hạn, liệu có sai lầm chương trình điều dẫn tới kết sai không? Lý luận họ có thực chứng minh hay không, phụ thuộc vào thông tin từ máy tính không đáng tin cậy? upsoft.blogspot.com Trang 110 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org 7.3.8 Những ứng dụng toán tô màu đồ thị: 1) Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trường đại học cho sinh viên có hai môn thi lúc Có thể giải toán lập lịch thi mô hình đồ thị, với đỉnh môn thi, có cạnh nối hai đỉnh có sinh viên phải thi hai môn biểu diễn hai đỉnh Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Chẳng hạn, có môn thi cần xếp lịch Giả sử môn học đuợc đánh số từ tới cặp môn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, Hình biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi việc tô màu đồ thị Vì số màu đồ thị nên cần có đợt thi Đỏ Nâu Đỏ Vàng Xanh Vàng Nâu 2) Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số tới số 12 phân chia cho đài truyền hình cho đài phát cách không 240 km lại dùng kênh Có thể chia kênh truyền mô hình tô màu đồ thị Ta xây dựng đồ thị cách coi đài phát đỉnh Hai đỉnh nối với cạnh chúng cách không 240 km Việc phân chia kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, màu biểu thị kênh 3) Các ghi số: Trong dịch hiệu cao việc thực vòng lặp tăng tốc biến dùng thường xuyên lưu tạm thời ghi số xử lý trung tâm (CPU) mà nhớ thông thường Với vòng lặp cho trước cần ghi số? Bài toán giải mô hình tô màu đồ thị Để xây dựng mô hình ta coi đỉnh đồ thị biến vòng lặp Giũa hai đỉnh có cạnh biến biểu thị đỉnh phải lưu ghi số thời điểm thực vòng lặp Như số màu đồ thị số ghi cần có ghi khác phân cho biến đỉnh biểu thị biến liền kề đồ thị upsoft.blogspot.com Trang 111 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org BÀI TẬP CHƯƠNG VI: Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 mặt, tất đỉnh có bậc Tìm số đỉnh đồ thị G Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông có đỉnh, bậc đỉnh 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, Tìm số cạnh số mặt G Tìm số đỉnh, số cạnh đai của: a) Kn; b) Km,n Chứng minh rằng: a) Kn phẳng n ≤ b) Km,n phẳng m ≤ hay n ≤ Đồ thị đồ thị không phẳng sau có tính chất: Bỏ đỉnh cạnh liên thuộc tạo đồ thị phẳng a) K5; b) K6; c) K3,3 Cho G đơn đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh m cạnh, n ≥ Chứng minh rằng: m ≤ 3n − Trong đồ thị hình đây, đồ thị phẳng, đồ thị không phẳng? Nếu đồ thị phẳng kẻ thêm cạnh để đồ thị không phẳng? a f h b b a g c g f c b f f g d e d c e e d G1 G2 G3 Chứng minh đồ thị Peterson (đồ thị Bài tập 8, Chương IV) đồ thị không phẳng Cho G đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh đai g, với g ≥ Chứng minh rằng: m≤ g (n − 2) g−2 10 Đa diện lồi có d mặt (d ≥ 5), mà từ đỉnh có cạnh Hai người chơi trò chơi sau: người tô đỏ mặt mặt lại Người thắng upsoft.blogspot.com Trang 112 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org người tô mặt có chung đỉnh Chứng minh tồn cách chơi mà người tô trước luôn thắng 11 Chứng minh rằng: a) Một đồ thị phẳng tô đỉnh hai màu đồ thị phân đôi b) Một đồ thị phẳng tô miền hai màu đồ thị Euler 12 Tìm sắc số đồ thị cho Bài tập 13 Tìm sắc số đồ thị Kn, Km,n, Cn, Wn 14 Khoa Toán có hội đồng họp tháng lần Cần có thời điểm họp khác để đảm bảo không bị xếp lịch họp hai hội đồng lúc, hội đồng là: H1 = {H, L, P}, H2 = {L, M, T}, H3 = {H, T, P} 15 Một vườn bách thú muốn xây dựng chuồng tự nhiên để trưng bày thú Không may, số loại thú ăn thịt thú khác có hội Có thể dùng mô hình đồ thị tô màu đồ thị để xác định số chuồng khác cần có cách nhốt thú vào chuồng thú tự nhiên này? 16 Chứng minh đơn đồ thị phẳng có đỉnh 13 cạnh tô hai màu 17 Chứng minh G đơn đồ thị phẳng có 12 đỉnh tồn G đỉnh có bậc ≤ Từ suy đồ thị G tô màu upsoft.blogspot.com Trang 113 ... lẽ chứng minh sai tiếng toán học chứng minh sai “bài toán bốn màu” công bố năm 1 879 luật sư, nhà toán học nghiệp dư Luân Đôn tên Alfred Kempe Nhờ công bố lời giải “bài toán bốn màu”, Kempe công... “bài toán năm màu”, “bài toán bốn màu” thách đố nhà toán học suốt gần kỷ Việc tìm lời giải “bài toán bốn màu” ảnh hưởng đến phát triển theo chiều hướng khác lý thuyết đồ thị Mãi đến năm 1 976 ,... Giả sử môn học đuợc đánh số từ tới cặp môn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, Hình biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi việc tô màu đồ thị Vì số màu