Kiến thức chuyên ngành luôn yêu cầu bạn phải cập nhật và trau dồi từng ngày.Để có nền tảng kiến thức vững chắc trước các kì thi…bạn không thể thiếu các tài liệu tham khảo hay được chia sẻ trên mạng Internet.Share to be share more
lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org CHƯƠNG VI CÂY Một đồ thị liên thông chu trình gọi Cây dùng từ năm 1857, nhà toán học Anh tên Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hoá học Từ dùng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác Cây hay sử dụng tin học Chẳng hạn, người ta dùng để xây dựng thuật toán có hiệu để định vị phần tử danh sách Cây dùng để xây dựng mạng máy tính với chi phí rẻ cho đường điện thoại nối máy phân tán Cây dùng để tạo mã có hiệu để lưu trữ truyền liệu Dùng mô hình thủ tục mà để thi hành cần dùng dãy định Vì đặc biệt có giá trị nghiên cứu thuật toán xếp 6.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 6.1.1 Định nghĩa: Cây đồ thị vô hướng liên thông, không chứa chu trình có hai đỉnh Một đồ thị vô hướng không chứa chu trình có hai đỉnh gọi rừng Trong rừng, thành phần liên thông Thí dụ 1: Rừng sau có cây: i d a c b f e g h j k m l n 6.1.2 Mệnh đề: Nếu T có n đỉnh T có hai đỉnh treo Chứng minh: Lấy cạnh (a,b) tuỳ ý T Trong tập hợp đường sơ cấp chứa cạnh (a,b), ta lấy đường từ u đến v dài Vì T nên u ≠ v Mặt khác, u v phải hai đỉnh treo, đỉnh, u chẳng hạn, đỉnh treo u phải đầu mút cạnh (u,x), với x đỉnh không thuộc đường từ u đến v Do đó, đường sơ cấp từ x đến v, chứa cạnh (a,b), dài đường từ u đến v, trái với tính chất đường từ u đến v chọn 6.1.3 Định lý: Cho T đồ thị có n ≥ đỉnh Các điều sau tương đương: 1) T 2) T liên thông có n−1 cạnh 3) T không chứa chu trình có n−1 cạnh 4) T liên thông cạnh cầu 5) Giữa hai đỉnh phân biệt T có đường sơ cấp upsoft.blogspot.com Trang 87 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org 6) T không chứa chu trình thêm cạnh có chu trình Chứng minh: 1)⇒2) Chỉ cần chứng minh có n đỉnh có n−1 cạnh Ta chứng minh quy nạp Điều hiển nhiên n=2 Giả sử có k đỉnh có k−1 cạnh, ta chứng minh T có k+1 đỉnh có k cạnh Thật vậy, T ta xoá đỉnh treo cạnh treo tương ứng đồ thị nhận k đỉnh, có k−1 cạnh, theo giả thiết quy nạp Vậy T có k cạnh 2)⇒3) Nếu T có chu trình bỏ cạnh chu trình T liên thông Làm lại T không chu trình mà liên thông, lúc ta có n đỉnh có n−1 cạnh, trái với 2) 3)⇒4) Nếu T có k thành phần liên thông T 1, , Tk có số đỉnh n1, , nk (với n1+n2+ … +nk=n) Ti nên có số cạnh ni−1 Vậy ta có n−1=(n1−1)+(n2−1)+ +(nk−1)=(n1+n2+ … +nk)−k=n−k Do k=1 hay T liên thông Hơn nữa, bỏ cạnh T hết liên thông, liên thông T n đỉnh với n−2 cạnh, trái với điều chứng minh 4)⇒5) Vì T liên thông nên hai đỉnh phân biệt T có đường sơ cấp, nối hai đường sơ cấp thế, hai đường tạo chu trình bỏ cạnh thuộc chu trình này, T liên thông, trái với giả thiết 5)⇒6) Nếu T chứa chu trình hai đỉnh chu trình nối hai đường sơ cấp Ngoài ra, thêm cạnh (u,v), cạnh tạo nên với đường sơ cấp nối u v chu trình 6)⇒1) Nếu T không liên thông thêm cạnh nối hai đỉnh hai thành phần liên thông khác ta không nhận chu trình Vậy T liên thông, 6.2 CÂY KHUNG VÀ BÀI TOÁN TÌM CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 6.2.1 Định nghĩa: Trong đồ thị liên thông G, ta loại bỏ cạnh nằm chu trình ta đồ thị liên thông Nếu loại bỏ cạnh chu trình khác đồ thị không chu trình (vẫn liên thông) ta thu nối đỉnh G Cây gọi khung hay bao trùm đồ thị G Tổng quát, G đồ thị có n đỉnh, m cạnh k thành phần liên thông áp dụng thủ tục vừa mô tả thành phần liên thông G, ta thu đồ thị gọi rừng khung G Số cạnh bị loại bỏ thủ tục m−n+k, số ký hiệu ν(G) gọi chu số đồ thị G 6.2.2 Bài toán tìm khung nhỏ nhất: Bài toán tìm khung nhỏ đồ thị số toán tối ưu đồ thị tìm ứng dụng nhiều lĩnh upsoft.blogspot.com Trang 88 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org vực khác đời sống Trong phần ta có hai thuật toán để giải toán Trước hết, nội dung toán phát biểu sau Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng liên thông có trọng số, cạnh e∈E có trọng số m(e)≥0 Giả sử T=(VT,ET) khung đồ thị G (V T=V) Ta gọi độ dài m(T) khung T tổng trọng số cạnh nó: m( e) m(T)= ∑ e∈ E T Bài toán đặt số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Cây khung gọi khung nhỏ đồ thị toán đặt gọi toán tìm khung nhỏ Để minh hoạ cho ứng dụng toán khung nhỏ nhất, hai mô hình thực tế tiêu biểu cho Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt: Giả sử ta muốn xây dựng hệ thống đường sắt nối n thành phố cho hành khách từ thành phố đến số thành phố lại Mặt khác, quan điểm kinh tế đòi hỏi chi phí xây dựng hệ thống đường phải nhỏ Rõ ràng đồ thị mà đỉnh thành phố cạnh tuyến đường sắt nối thành phố tương ứng, với phương án xây dựng tối ưu phải Vì vậy, toán đặt dẫn toán tìm khung nhỏ đồ thị đầy đủ n đỉnh, đỉnh tương ứng với thành phố với độ dài cạnh chi phí xây dựng hệ thống đường sắt nối hai thành phố Bài toán nối mạng máy tính: Cần nối mạng hệ thống gồm n máy tính đánh số từ đến n Biết chi phí nối máy i với máy j m(i,j) (thông thường chi phí phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng cho tổng chi phí nhỏ Bài toán dẫn toán tìm khung nhỏ Bài toán tìm khung nhỏ có thuật toán hiệu để giải chúng Ta xét hai số thuật toán vậy: thuật toán Kruskal thuật toán Prim 6.2.3 Thuật toán Kruskal:Thuật toán xây dựng tập cạnh E T khung nhỏ T=(VT, ET) theo bước Trước hết xếp cạnh đồ thị G theo thứ tự không giảm trọng số Bắt đầu từ ET=∅, bước ta duyệt danh sách cạnh xếp, từ cạnh có độ dài nhỏ đến cạnh có độ dài lớn hơn, để tìm cạnh mà việc bổ sung vào tập E T không tạo thành chu trình tập Thuật toán kết thúc ta thu tập ET gồm n−1 cạnh Cụ thể mô tả sau: Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh Sắp xếp cạnh G theo thứ tự không giảm trọng số Bắt đầu từ cạnh dãy này, ta thêm dần cạnh dãy xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không tạo thành chu trình T upsoft.blogspot.com Trang 89 lazycatnct@gmail.com www.free4vn.org Lặp lại Bước số cạnh T n−1, ta thu khung nhỏ cần tìm Thí dụ 2: Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình đây: 33 v2 18 v1 17 v3 20 16 v4 v5 v2 v6 14 v4 v1 v6 v3 v5 Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có đỉnh Sắp xếp cạnh đồ thị theo thứ tự không giảm trọng số: {(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v4), (v1, v3), (v2, v3), (v2, v4), (v1, v2)} Thêm vào đồ thị T cạnh (v3, v5) Do số cạnh T 1