Logic1

Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học k Mệnh đề và tập hợp -cơ sở của suy luận logíc I.Tập hợp: a) Khái niệm: Tập hợp là khái niệm cơ bản của Toán học! b) Phơng pháp xác định tập hợp +) Phơng pháp liệt kê: { } 0 1 2 3 4A ; ; ; ;= , { } 0 1 2 3N ; ; ; ;n= +)Chỉ ra phần tử đặc trng cho tập hợp: { } 2 9A x R x= c)Biểu diễn tập hợp +)Dùng biểu đồ Venz +)Với tập số ta có thể biểu diễn trên trục số. d)Phép toán: Cho hai tập hợp A& B . Khi ấy: i/Tập con kí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng : x x<=> => Nhận xét: Tập là con của mọi tập hợp -Ví dụ: N Z Q R C +)Hai tập hợp bằng nhau: A B A B B A = <=> ii/Giao của hai tập hợp kí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng: x x x <=> iii/Hợp của hai tập hợpkí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng: x x x <=> iv/Hiệu của hai tập hợp kí hiệu: \ +)Điều kiện tơng đơng: x x \ x <=> Đặc biệt khi thì \ đợc gọi là phần bù của trong -Ví dụ: 1) Cho { } { } 2 1 0 1 2 5 1 2 3 4 5 6A ; ; ; ; ; ,B ; ; ; ; ;= = { } 1 2 5A B ; ;=> = , { } 2 1 0 1 2 3 4 5 6A B ; ; ; ; ; ; ; ; = , { } 2 1 0A\ B ; ;= 2.Tìm tập xác định của: a) 2 2 2 1 x x y x + + = b) 2 2 6 16y x x x= + + c) 2 4 x x y x + = , d) 2 2 2 1 4 x x x y x + + = e) 2 2 2 2 2 24 3 4 x x x x y x x + + = + 3.Tìm tập nghiệm của: a) 2 1 6 x x > b) 2 2 2 0 2 3 0 x x x x < c) 2 2 2 0 2 0 x x x x + < II.Toán mệnh đề 1.Một mệnh đề là phát biểu một khẳng định nào đó , chỉ nhận một giá trị trân lý xác định Hoặc đúng, hoặc sai . Luật bài trung 2.Một mệnh đề không thể nhận đồng thời hai giá trị vừa đúng và vừa sai Luật phi mâu thuẫn 3.Mệnh đề phủ định: là mệnh đề đúng thì là phủ định của mệnh đề là sai, và ngợc lại! Mệnh đề đúng, nếu phần tử a đều đúng, sai nếu một phần tử a sai, hoặc a đúng. Created by CMS HoangNguyen A Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học -Ví dụ:1)Cho mệnh đề A: x R để ( ) 2 1 1 0x S Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của A? 2) Cho B: x R sao cho 2 4 0x = Đ Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của B? 1) 2 4 0x > có tập nghiệm ( ) 2 4x ; S 2) 2 0A : x x có nghiệm [ ] 0 1x ; Đ 4.Phép toán cơ bản về mệnh đề Cho , là hai mệnh đề. Khi ấy ta có: i/ Phép kéo theo: => đglà mệnh đề kéo theo -Ví dụ: 1)Nếu HCN ABCDX có AC BD là hình vuông 2) Trong không gian d AB d BC d AC => Đ ii/Phép tơng đơng: <=> là tơng đơng với -Ví dụ: 1. ABC nhọn 0 0 0 90A,B,C<=> < < Đ 2. 0 0 0 90A< < => ABC nhọn S 2. ABC vuông tại A 2 2 2 AB AC BC<=> + = Đ 3.Với , R ta luôn có: 2 2 = <=> = S 3. 2 f g f g= <=> = S -Ký hiệu phổ biến: và ký hiệu tồn tại +) ( ) x A, p x : Mọi x thuộc A ta có tính chất P +) ( ) x A, p x :Tồn tại x thuộc A ta có tính chất P -Ví dụ: 1.Phủ định của mệnh đề mọi học sinh của lớp X đều gỏi toán là mệnh đề Có ít nhất một học sinh của lớp X không gỏi toán III.Quy ắc suy diễn cơ bản -Ta đã biết: Định lý toán học là những mệnh đề đúng có dạng A B=> . Trong đó A là giả thiết, còn B là kết luận, Chính bản thân A và B cũng là các mệnh đề đúng. -Đkiện cần-Đkiện đủ +)Trong định lý A B=> , thì B điều kiện cần để có A , còn A đkiện đủ để có B . -Ví dụ:Xác định để pt ( ) 1 2 2 2 0x x m + = có nghiệm duy nhất? Bài gải: -Đkiện cần: Nhận thấy với x R ta có ( ) 2 2 2f x x x m= + là hàm chẵn Do đó nếu pt ( ) 1 có nghiệm thì cũng là nghiệm. Nên pt ( ) 1 có nghiệm duy nhất => = Created by CMS HoangNguyen 1 0 0 1 => 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 <=> 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học 0 => = thay 0 = vào pt ( ) 1 2m=> = -Đkiện đủ: Với 2m = thì pt ( ) 1 trở thành: 2 2 0x x = 0 2 x x = => = (ko tm) Vậy không có giá trị m nào để pt ( ) 1 có nghiệm duy nhất. +) Nếu A B=> là một định lý, thì B A=> là định lý đảo. Khi ấy A B=> gọi là định lý thuận. +)Nếu tồn tại đồng thời A B=> và B A=> đúng. Thì ta có A B<=> Ta nói: A là điều kiện cần và đủ để có B và ngợc lại B là điều kiện cần và đủ để có A . -Ví dụ: ABC đều khi và chỉ khi A B C= = . 1.Chứng minh trực tiếp Giải sử ta cần chứng minh mệnh đề A B=> đúng. b1/ Từ giả thiết A là đúng b2/ Dùng suy diễn logic suy ra B đúng. b3/ Kết luận A B=> đúng. -Ngoài cách chứng minh trực tiếp nh trên ta có thể chứng minh một cách gián tiếp bằng: 2.Phơng pháp phản chứng b1/ Giải sử: B sai b2/ dùng suy diễn logic => => A sai (Trái gt !) b3/ Kết luận A B=> đúng.(đpcm !) -Ví dụ: Với m Z . Cmr nếu 2 3m M thì 3mM Bài giải G/sử m không 3M khi ấy m có dạng hoặc 3 1m k= + , hoặc 3 2m k= + với k Z +) Nếu 3 1m k= + thì ta có ( ) 2 2 3 3 2 1m k k= + + không 3M (Trái giải thiết!) +) Nếu 3 2m k= + thì ta có ( ) 2 2 3 3 4 1 1m k k= + + + không 3M (Trái giải thiết!) Vậy điều giải sử sai. Do đó nếu 2 3m M thì 3mM =>đpcm. 3.Phơng pháp chứng minh quy nạp Để chứng minh mệnh đề ( ) P n ( ) đúng với 0 n n b1/Kiểm tra mệnh đề ( ) với 0 n n= b2/ Giải sử mệnh đề ( ) đúng với ( ) P k ,với 0 k n (gt quy nạp) b3/Ta đi chứng minh ( ) 1P k + đúng . Kết luận: ( ) P n đúng với 0 n n -Ví dụ Cmr:Với * n N ta luôn có ( ) 2 1 3 5 2 1 n n+ + + + = IV.Bài tập đề nghị: -Toán mệnh đề 1. Với 2 số 0x, y > ta luôn có: ( ) 2x y x y x y+ = + <=> = 2. Nếu ABCDY có tổng hai góc đối diện bằng 0 180 thì ABCDY nội tiếp đờng tròn 3.Với 3 2 2 2 6 3 2 1 x x x x Z Z x + => + -Phơng pháp quy nạp toán học 4.Với 3 3n N n n => M 5.Cmr: Với * n N , a) ta luôn có 3 11 6n n+ M 7.Với n N ta có 13 1 6 n M 6.Tìm nghiệm của: a) 2 1 2x x = b) 2 2x x+ = c) ( ) 2 1 1x x x + = 7. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) 2 11 6n n + M Created by CMS HoangNguyen Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học 8. Cmr điều kiện cần để số nguyên 3n > là số nguyên tố là 2 1 24n M 9. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) 1 1 2 3 2 n n . n + + + + + = 10. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 6 n n n . n + + + + + + = 11.Tính tổng: a) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 . . . . n n = + + + + + -Phép toán của tập hợp 1.Tìm tập nghiệm của : a) 2 6 0x x+ = b) ( ) ( ) 2 1 6 0x x x = c) 3 2 2 3 6 0x x x+ + = d) 3 2 2 5 2 0x x x+ + = e) 2 2 3 0x x g) 2 6 0x x f) 3 5 6 0x x > h) 2 4 0 1 0 x x > i) 2 2 2 0 1 0 x x x + k) 2 2 3 4 0 4 0 x x x + = 2. Tìm tập nghiệm của các bất phơng trình sau: a) 2 2 0x x < b) 2 2 3 0x x > c) 2 2 0x x d) ( ) ( ) 2 2 0x x x 3.Tìm A B , A B và A\ B . Biết: a) { } 1A x R x= và { } 3B x R x= b) { } { } 2 2 0 3A x R x x & B x R x= > = 4.Cho các tập hợp A,B,C Cmr: i/ ( ) ( ) A B C A B C = ii/ ( ) ( ) A B C A B C = 5. Với A,B,C là các tập hợp. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau: a) ( ) A B A b) ( ) A B A c) A\ B B\ A = d) { } 0 = 6.Chứng minh rằng: nếu A B A B C A C => 11.Nếu A B A B C B C => 7.Cho các tập hợp: { } { } { } 1 2 3 4 5 1 3 5 2 4 5A ; ; ; ; ,B ; ; ,C ; ;= = = Cmr: i/ ( ) ( ) ( ) A\ B C A\ B A\ C = ii/ ( ) ( ) ( ) A B\ C A B \ A C = ? 8.Tìm tập nghiệm của a) ( ) ( ) 2 2 3 5 0x x x b) 2 4 0 1 x x > c) 2 6 0 2 x x x 9.Tìm tập xác định của: a. 2 2 3 2 x x y x = b. 2 2 9 2y x x x= + + c. 2 3 3 4 1y x x x= + + d) 1 2 5 3 x y x x + = + e. 2 3 4 4y x x= + g. 2 1 1 4 x y x x + = + + h. 2 2 1 6 5 4 y x x x = + + k. 2 1 x y x x + = + 10.Giải các phơng trình sau: a. 1 4x x+ = + b. 2 1 2x x = c. 3 5 2 3x x = d. ( ) 2 1 2x x x = 11. Giải các phơng trình sau: a. 1 1x x+ = b. 1 8 3 1x x+ = + c. 2 2 3 2x x x = 12.Giải cá hệ sau: a. 2 2 2 0 2 0 x x x x + > b. 2 2 2 3 0 2 0 x x x x > + < c. 2 2 4 12 0 0 x x x x + + > Created by CMS HoangNguyen Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học d. 2 2 7 6 0 8 15 0 x x x x + + > e. 2 12 0 2 1 0 x x x > f. 2 2 2 1 0 4 7 0 x x x x < h. 2 2 5 0 6 1 0 x x x x + > + + < 13. Tìm tập nghiệm của a) 3 4 3x x + b) 3 2 4 5x x > + c) 2 3 1x x+ > 14.Tìm tập nghiệm của: a. 3 5 0 2 x x > b. ( ) ( ) 2 5 0 1 3 x x x + c. 2 2 2 1 0 9 x x 20 d. 6 10 5 7 10 12 9 21 x x x x + + + + d. 7 5 4 5 9 4 2 x x x x + > + + e. 7 5 3 4 2 6 5 2 1 4 x x x x > + + -Sử dụng định lý Vi-éte +)Định lý Vi-éte thuận 21. Cho ( ) ( ) 1 2 2 2 1 3 0x m x m + + = a. giải pt ( ) 1 với 0m = b.Xác định m để pt ( ) 1 có hai nghiệm dơng phân biệt c.Xác định m để pt ( ) 1 có hai nghiệm âm phân biệt d.Trờng hợp pt ( ) 1 có hai nghiệm 1 2 x ,x phân biệt. Tìm các giá trị của m để: 1 2 1 1 2 x x + = 22.Cho ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 3 0x m x m m + = a.Xác định m để pt có nghiệm? b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng? c.Xác định m để pt có hai nghiệm 1 2 x ,x thoả mãn 2 2 1 2 1 2 3 2 0x x x x+ = d.khi pt có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ gữa hai nghiệm độc lập với m 23.Tìm các giá trị của m để pt 2 2 1 0x mx + = có hai nghiệm: a.Âm phân biệt b.Thoả mãn hệ thức 2 2 1 2 1 1 14 x x + > c.Thoả mãn hệ thức 2 2 1 2 2 1 7 x x x x + > ữ ữ 24. Tìm các giá trị của m để pt ( ) 2 1 1 0x m x m + = có hai nghiệm a. Dơng phân biệt b. âm phân biệt c.Thoả mãn hệ thức 1 2 2 1 4 x x x x + > 25.Cho pt ( ) 2 2 1 0x m x m + = . Hãy tìm tất cả các giá trị của m để pt có hai nghiệm 1 2 x ,x thoả mãn 1 2 3x x > +)Định lý Vi-éte đảo 26.Giải các hệ phơng trình sau a. 2 2 10 4 x y x y + = + = b. 2 2 25 12 x y xy + = = c. ( ) ( ) 2 2 65 1 1 18 x y x y + = = d. 2 2 7 5 x y xy x y xy + + = + + = e. 2 2 6 5 x y y x x y xy + = + + = g. 13 6 5 x y y x x y + = + = h. ( ) 3 3 2 2 x y xy x y + = + = k. 30 35 x y y x x x y y + = + = Created by CMS HoangNguyen