dPhép toán: Cho hai tập hợp A& B.. “Luật bài trung” 2.Một mệnh đề không thể nhận đồng thời hai giá trị vừa đúng và vừa sai “ Luật phi mâu thuẫn” 3.Mệnh đề phủ định: Α là mệnh đề đúng thì
Trang 1k Mệnh đề và tập hợp -cơ sở của suy luận logíc
I.Tập hợp:
a) Khái niệm: Tập hợp là khái niệm cơ bản của Toán học!
b) Phơng pháp xác định tập hợp
+) Phơng pháp liệt kê:A={0 1 2 3 4; ; ; ; } , N ={0 1 2 3; ; ; ;n}
+)Chỉ ra phần tử đặc trng cho tập hợp: { 2 }
9
A= ∈x R x ≤
c)Biểu diễn tập hợp
+)Dùng biểu đồ Venz
+)Với tập số ta có thể biểu diễn trên trục số
d)Phép toán: Cho hai tập hợp A& B Khi ấy:
i/Tập con kí hiệu:Α ⊂ Β
+)Điều kiện tơng đơng :Α ⊂ Β<=> ∀ ∈ Α => ∈Βx x
•Nhận xét: Tập Φlà con của mọi tập hợp
-Ví dụ: N⊂ ⊂ ⊂ ⊂Z Q R C
+)Hai tập hợp bằng nhau:A B A B
B A
⊂
= <=> ⊂
ii/Giao của hai tập hợp kí hiệu: Α ∩ Β
+)Điều kiện tơng đơng:x x
x
∈ Α
∈ Α ∩ Β <=> ∈Β
iii/Hợp của hai tập hợpkí hiệu: Α ∪ Β
+)Điều kiện tơng đơng:x x
x
∈ Α
∈ Α ∪ Β <=> ∈Β
iv/Hiệu của hai tập hợp kí hiệu:Α Β\
+)Điều kiện tơng đơng:x \ x
x
∈ Α
∈ Α Β <=> ∉Β
•Đặc biệt khi Α ⊂ Βthì \Α Β đợc gọi là phần bù của ΒtrongΑ
-Ví dụ: 1) Cho A= − −{ 2 1 0 1 2 5; ; ; ; ; ,B} ={1 2 3 4 5 6; ; ; ; ; } => ∩ =A B {1 2 5; ; } ,
{ 2 1 0 1 2 3 4 5 6}
A B∪ = − −; ; ; ; ; ; ; ; ,A\ B= − −{ 2 1 0; ; }
2.Tìm tập xác định của: a)
2
2
2 1
x x y
x
+ +
=
− b)y= x2+ − +x 6 16−x2
4
x x
y
x
=
2
2
4
y
x
=
2
y
x x
=
3.Tìm tập nghiệm của: a) 2 1
6
x x
>
≤
2
2
x x
− − <
2
2
2 0
x x
+ − <
II.Toán mệnh đề
1.Một mệnh đề là phát biểu một khẳng định nào đó , chỉ nhận một giá trị trân lý xác định Hoặc
đúng, hoặc sai “Luật bài trung”
2.Một mệnh đề không thể nhận đồng thời hai giá trị vừa đúng và vừa sai “ Luật phi mâu thuẫn”
3.Mệnh đề phủ định: Α là mệnh đề đúng thì Αlà phủ định của mệnh đềΑlà sai, và ngợc lại!
•Mệnh đềΑđúng, nếu∀phần tử a∈ Αđều đúng,
Αsai nếu ∃một phần tử a∈ Αsai, hoặc ∀a∈ Α đúng
A
Trang 2Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học
-Ví dụ:1)Cho mệnh đề A: x R∀ ∈ để( )2
x− − ≥ “S”
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của A?
2) Cho B: x R∃ ∈ sao cho 2
4 0
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của B?
1)x2− >4 0có tập nghiệm x∈ −( 2 4; ) “S”
2) A : x2− ≤x 0 có nghiệm x∈[ ]0 1; “Đ”
4.Phép toán cơ bản về mệnh đề
ChoΑ,Β là hai mệnh đề Khi ấy ta có:
i/ Phép kéo theo: Α => Β đglà mệnh đề “Αkéo theoΒ”
-Ví dụ:
1)Nếu HCN ABCDX có AC⊥BDlà hình vuông
2) Trong không gian d AB d BC
d AC
⊥
⊥
ii/Phép tơng đơng: Α <=> ΒlàΑtơng đơng vớiΒ
-Ví dụ:
0 A,B,C 90
<=> < < “Đ” 2
0 < <A 90 => ABC∆ nhọn “S”
2.∆ABC vuông tại A<=> AB2+AC2 =BC2 “Đ”
3.Với ∀η β, ∈R ta luôn có:η β= <=>η2 =β2 “S” 3 f = <=> =g f g2 “S”
-Ký hiệu phổ biến:∀ và ký hiệu tồn tại ∃
+)∀ ∈x A, p x( ) : Mọi x thuộc A ta có tính chất P
+)∃ ∈x A, p x( ) :Tồn tại x thuộc A ta có tính chất P
-Ví dụ:
1.Phủ định của mệnh đề “mọi học sinh của lớp X” đều gỏi toán” là mệnh đề” Có ít nhất một học sinh của lớp X không gỏi toán”
III.Quy ắc suy diễn cơ bản
-Ta đã biết: Định lý toán học là những mệnh đề đúng có dạng A=>B Trong đó A là giả thiết, còn
B là kết luận, Chính bản thân A và B cũng là các mệnh đề đúng.
-Đkiện cần-Đkiện đủ
+)Trong định lý A=>B , thì B điều kiện cần để có A , còn A đkiện đủ để có B
-Ví dụ:Xác định để pt 2 ( )1
x − x + − =m có nghiệm duy nhất?
Bài gải:
-Đkiện cần:
Nhận thấy với x R∀ ∈ ta có ( ) 2
f x =x − x + −mlà hàm chẵn
Do đó nếu pt( )1 có nghiệm α thì−α cũng là nghiệm Nên pt( )1 có nghiệm duy nhất=> α = −α
Α Β Α <=> Β
Trang 3α
=> = thayα =0 vào pt( )1 => =m 2
-Đkiện đủ: Với m=2thì pt( )1 trở thành: x2−2 x =0 0
2
x x
=
=> = ± (ko tm)
Vậy không có giá trị m nào để pt ( )1 có nghiệm duy nhất
+) Nếu A=>B là một định lý, thì B=> A là định lý đảo Khi ấy A=>Bgọi là định lý thuận
+)Nếu tồn tại đồng thời A=>B và B=> A đúng Thì ta có A<=>B
Ta nói: A là điều kiện cần và đủ để có B và ngợc lại B là điều kiện cần và đủ để có A -Ví dụ: ABC∆ đều khi và chỉ khi A B C= =
1.Chứng minh trực tiếp
Giải sử ta cần chứng minh mệnh đề A=>Bđúng
b1/ Từ giả thiết A là đúng
b2/ Dùng suy diễn logic suy ra B đúng.
b3/ Kết luận A=>B đúng
-Ngoài cách chứng minh trực tiếp nh trên ta có thể chứng minh một cách gián tiếp bằng: 2.Phơng pháp phản chứng
b1/ Giải sử: B sai
b2/ dùng suy diễn logic =>… => A sai (Trái gt !)
b3/ Kết luận A=>B đúng.(đpcm !)
-Ví dụ: Với m Z∈ Cmr nếum M thì 2 3 mM3
Bài giải
G/sử m không 3 M khi ấy m có dạng hoặc m=3k+1, hoặcm=3k+2 với k Z∈
+) Nếu m=3k+1thì ta có 2 ( 2 )
m = k + k + không 3M (Trái giải thiết!)
+) Nếu m=3k+2thì ta cóm2 =3 3( k2+4k+ +1 1) không 3M (Trái giải thiết!)
Vậy điều giải sử sai Do đó nếum M thì 2 3 mM =>đpcm.3
3.Phơng pháp chứng minh quy nạp
Để chứng minh mệnh đề P n ( ) ( )∗ đúng với ∀ ≥n n0
b1/Kiểm tra mệnh đề( )∗ vớin n= 0
b2/ Giải sử mệnh đề( )∗ đúng với P k ,với ( ) ∀ ≥k n0 (gt quy nạp)
b3/Ta đi chứng minh P k( +1) đúng
Kết luận: P n đúng với ( ) ∀ ≥n n0
-Ví dụ
Cmr:Với ∀ ∈n N *ta luôn có1 3 5+ + + + (2n− =1) n2
IV.Bài tập đề nghị:
-Toán mệnh đề
1 Với 2 sốx, y>0ta luôn có: x+ y = 2(x y+ ) <=> =x y
2 Nếu YABCDcó tổng hai góc đối diện bằng 180 thì 0 YABCDnội tiếp đờng tròn
3.Với
2
x
+ -Phơng pháp quy nạp toán học
4.Với ∀ ∈ => −n N n3 nM 3
5.Cmr: Với∀ ∈n N *, a) ta luôn cón3+11 6nM 7.Với n N∈ ∗ta có 13 1 6n − M
6.Tìm nghiệm của: a) 2x− = −1 2 x b) x+ = −2 x 2 c) x−2(x+ = −1) x 1
7 Với ∀ ∈n N * Chứng minh rằng: n n( 2+11 6)M
Trang 4Chuyên đề I Cơ sở suy diễn toán học
8 Cmr điều kiện cần để số nguyênn>3 là số nguyên tố làn2−1 24M
n N
1 2 3
2
n n n + + + + + =
10 Với *
n N
∀ ∈ Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ( 1 2) ( 1)
6
11.Tính tổng: a)Γ =1 2 2 3 3 41. + 1. + 1. + + n n( 1 1)
+ -Phép toán của tập hợp
1.Tìm tập nghiệm của :
a) 2
6 0
x + − =x b)( ) ( 2 )
x + x + x− = d)
x + x − x+ = e)2x2− − ≥x 3 0 g) x2− − ≤x 6 0 f)x3−5x− >6 0 h) 2
4 0
1 0
x
x
− >
− ≤
2
2
1 0
x
− ≤
2
2
4 0
x x x
+ − =
− ≤
2 Tìm tập nghiệm của các bất phơng trình sau:
a) x2−2x<0 b) x2−2x− >3 0 c) x2− − ≤x 2 0 d) (x−2) (x2− ≤x) 0
3.Tìm A B∩ , A B∪ và A\ B Biết:
a)A= ∈{x R x≥1} vàB= ∈{x R x≤3} b) { 2 } { }
A= ∈x R x − − >x & B= ∈x R x≤
4.Cho các tập hợp A,B,C
Cmr: i/ A∩(B C∩ ) (= A B∩ )∩C ii/ A∪(B C∪ ) (= A B∪ )∪C
5 Với A,B,C là các tập hợp Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau:
6.Chứng minh rằng: nếu A B A B C
A C
⊂
⊂
A B
A B C
B C
⊂
⊂
7.Cho các tập hợp: A={1 2 3 4 5; ; ; ; ,B} ={1 3 5; ; ,C} ={2 4 5; ; }
Cmr: i/A\ B C( ∩ ) (= A\ B) (∪ A\ C) ii/A∩(B\ C) (= A B \ A C∩ ) ( ∩ )?
8.Tìm tập nghiệm của a)(x2−2x−3 5) ( − ≤x) 0 b) 2 4 0
1
x
x− >
0 2
x x
x− − ≤
−
9.Tìm tập xác định của: a 2 2 3
2
y
x
=
y= −x + x + −x
c.y= x2+3x− +4 x3−1 d) 2 5 1
3
x
x
+
2
y= x− + x −
4
x
y x
x
+
2
2
1
4
x
2 1
x
x
+
−
10.Giải các phơng trình sau:
a x+ = +1 x 4 b 2x− = −1 2 x c 3x− = −5 2 3x d x−2 1( − = −x) 2 x
11 Giải các phơng trình sau:
a x+ = −1 x 1 b x+ = −1 8 3x+1 c x2−2x− =3 2−x
12.Giải cá hệ sau:
a
2
2
2 0
x x
+ − >
2
2
2 0
x x
x x
− − >
+ − <
2
2
0
x x
+ >
Trang 5d
2
2
x x
x x
− + >
x x x
− − ≤
− >
2
2
x x
x x
− − <
2
2
5 0
x x
x x
− + >
− + + <
13 Tìm tập nghiệm của a) 3x− ≤ +4 x 3 b) 3 2− x >4x+5 c) 2x+ > −3 x 1 14.Tìm tập nghiệm của:
a 3 5 0
2
x
x
− >
− b.( 21) ( 53) 0
x
2
2
0 9
x
x − ≤
d
4
4 2
x
x
x
x
−
+ >
+
e
2
4
x
x x x
−
> −
+ ≥
-Sử dụng định lý Vi-éte
+)Định lý Vi-éte thuận
21 Cho x2−2(m+1)x m+ 2− =3 0 ( ) 1
a giải pt( )1 vớim=0 b.Xác định m để pt ( )1 có hai nghiệm dơng phân biệt
c.Xác định m để pt( )1 có hai nghiệm âm phân biệt
d.Trờng hợp pt( )1 có hai nghiệmx ,x phân biệt Tìm các giá trị của m để:1 2
2
x +x =
22.Chox2−2(m−1)x m+ 2−2m− =3 0 ( ) 1
a.Xác định m để pt có nghiệm? b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng? c.Xác định m để pt có hai nghiệm x ,x thoả mãn1 2 2 2
1 2 3 1 2 2 0
x + −x x x − =
d.khi pt có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ gữa hai nghiệm độc lập với m
23.Tìm các giá trị của m để pt x2−2mx+ =1 0có hai nghiệm:
a.Âm phân biệt b.Thoả mãn hệ thức 2 2
14
x +x > c.Thoả mãn hệ thức
7
+ >
ữ ữ
24 Tìm các giá trị của m để pt x2−(m−1)x+ − =1 m 0có hai nghiệm
a Dơng phân biệt b âm phân biệt c.Thoả mãn hệ thức 1 2
4
x x
x + x > −
25.Cho pt x2−(m−2)x+ − =1 m 0
Hãy tìm tất cả các giá trị của m để pt có hai nghiệm x ,x thoả mãn1 2 x1−x2 >3
+)Định lý Vi-éte đảo
26.Giải các hệ phơng trình sau
a
10
4
x y
x y
+ =
25 12
x y xy
=
x y
7 5
x y xy
x y xy
+ + =
e
6 5
x y y x
x y xy
+ + =
13 6 5
x y
y x
x y
+ =
+ =
h
2
x y
xy x y
30 35
x y y x
x x y y