Ky thuat su dung dao ham

Netschool.edu.vn ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vai trò quan trọng chiếm khối lượng lớn kiến thức thời gian học chương trình, có mặt hầu hết đề thi tốt nghiệp đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Vì việc sử dụng đạo hàm thục để giải toán điều cần thiết HS lớp 12 trung học phổ thông Bài viết nhằm giới thiệu số dạng toán ứng dụng đạo hàm A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ Các kiến thức Định nghĩa GTNN, GTLN hàm số Cho hàm số y=f(x) xác định miền D f (x)  M, x  D x  D,f (x )  M Số M gọi GTLN hàm số y=f(x) D :  f (x)  m, x  D x  D,f (x )  m Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D :  Các kĩ Kĩ tìm GTNN, GTLN hàm số y=f(x) khoảng, đoạn Tìm GTNN, GTLN hàm số y=f(x) liên tục khoảng (a;b) - Tính đạo hàm f’(x) - Tìm nghiệm x1 , x , …, x n f’(x) (a;b) - Lập bảng biến thiên f(x) (a,b) Căn vào bảng biến thiên suy GTLN, GTNN f(x) (a;b) Tìm GTNN, GTLN hàm số y=f(x) liên tục [a;b] - Tính đạo hàm f’(x) - Tìm nghiệm x1 , x , …, x n f’(x) [a;b] - Tính f (a) , f (b) , f (x1 ) , …, f (x n ) Chọn số M lớn n+2 số  M  max f (x) x[a;b] Chọn số m nhỏ n+2 số  m  f (x) x[a;b] Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Hệ thống tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số Dạng Khảo sát trực tiếp Nếu hàm số y=f(x) miền D cho dạng đơn giản , ta khảo sát trực tiếp hàm số rút kết luận GTNN, GTLN hàm số Để giải tốt toán dạng này, HS cần có kĩ sau: - Tính f’(x) xác - Biết cách tìm nghiệm phương trình f’(x)=0 - Biết cách lập bảng biến thiên f(x) D để rút kết luận GTNN, GTLN hàm số Bài 1.Tìm GTNN, GTLN hàm số y  x   x Lời giải TXĐ D=[-2,2] x  x y'  1  x2 ; y’=0   x  x   2 4  x  x  x= y(-2)=-2 ; y(2)= ; y( )=2 Vậy max f (x)  2 ; f (x)  xD xD Bài 2.Tìm GTNN, GTLN hàm số y= x+1 x +1 đoạn  1;2 Lời giải Ta có : y, = Do -x+1 x +1 y(-1) = 0, y(1) = max y = y(1) =  1;2  y , =  x=1 nên , y = y(-1) = 1;2  , y(2) = x  8x  (x  R) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số y  x2 1 Lời giải 8x  12x  ; y'   x  ; x   y'  2 (x  1) Bảng biến thiên Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn t - y’  + + - + y 1 -1 Vậy y  1 x  ; max y  x   xR xR Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số   y  5cos x  cos5x với x  [- ; ] 4 Lời giải y'  5sin x  5sin 5x k  x  5x  x  k2 y '   sin 5x  sin x    5x    x  k2  x    k  k *) x     k  1     k   k=0  x=0 Do   x     4 4 2  k *) x       k    k   5 k       Do   x           4 6 12 12 4   x    k  1     k    4 k  x        y(0)  ; y( )  y( )  3 ; y( )  y( )  4 6 Vậy Miny=4 ; Maxy = 3 Bài Tìm GTNN y  x  2x  ( x  R) Lời giải y'  1 2x 2x  x  ; y'   2x   2x   2x   4x Bảng biến thiên Netschool.edu.vn 2 x Netschool.edu.vn x - y’  - + + + y Vậy Miny  + 1 x   2 Dạng Khảo sát gián tiếp Trong nhiều toán tìm GTNN, GTLN hàm số ta khảo sát trực tiếp gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn tìm nghiệm f’(x), xét dấu f’(x) Do thay khảo sát trực tiếp f’(x) ta khảo sát gián tiếp hàm số cho cách sau: - Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số cho hàm số g(t) - Tìm điều kiện ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) - Khảo sát hàm số g(t) suy GTNN, GTLN hàm số Để giải tốt dạng toán HS cần phải có kĩ sau: - Kĩ chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp cho hàm số ban đầu qui hết biến t - Kĩ tìm điều kiện ẩn phụ : Để tìm điều kiện t, tùy theo toán cụ thể ta dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp… Bài Tìm GTNN , GTLN S  2sin8 x  cos4 2x , xR Lời giải Do sin x   cos 2x nên ta qui S cos2x  cos 2x )  cos 2x = (1  cos 2x)  cos 2x S= 2( Đặt t= cos2x , 1  t  1 Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN hàm số S  g(t)  (1  t)  t Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn với 1  t  1 Ta có g '(t)   (1  t)3  4t ; g’(t) =  (1  t)3  8t  1-t =2t  t  g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g( )= Vậy MinS= 27 ; MaxS= 27 y=  sin x   cos x ( x  R) Bài 7: Tìm GTNN, GTLN hàm số Lời giải Hàm số xác định với  x y>0 với  x , y đạt GTNN, GTLN đồng thời với y đạt GTNN, GTLN Ta có: y2= + sinx+ cosx+ 1+ sinx+ cosx+ sinxcosx Đặt t= sinx+ cosx =   sin  x+  = t 4  Thì y2= f(t) = + t+ 1+ t+ - 2t  t -1 t + t+1 = + t+ 2 = + t+ t+1   t  2(t  1) Vậy y  f (t)     t  2(t  1) với -  t  -1 -1  t  1  , (  t  1)  f '(t)   1  , (1 t  ) Bảng biến thiên: t   f’(t) - 42 2 + 42 f(t) Từ bảng biến thiên ta có Netschool.edu.vn  Netschool.edu.vn max f (t) = 4+2 ; [  2; ]  f (t) = [  2; ] max y   2 ; y  xR xR Bài Tìm GTNN biểu thức S  sin 20 (x)  cos20 (x) Lời giải Nhận xét : Ta quy S hết sin x Ta có S  (sin x)10  (1  sin x)10 Đặt t  sin x (0  t  1) Yêu cầu toán trở thành tìm GTNN, GTLN hàm số S  f (t)  t10  (1  t)10 với t  [0;1] f '(t)  10t  10(1  t)9 f '(t)   t  (1  t)9  t  1 f (0)  1; f ( )  ; f (1)  Vậy MinS  ; MaxS  512 512 Bài luyện tập Tìm GTNN , GTLN biểu thức sau: S  sin 2012 (x)  cos2012 (x) Bài Tìm GTNN, GTLN biểu thức S  x    x  (x  4)(4  x)  Lời giải Điều kiện 4  x  Đặt t  x    x  t  x    x  (x  4)(4  x)  (x  4)(4  x)  Ta có S  t  4( t2  t2  )   2t  t  21 Tìm điều t: Xét hàm số g(x)  x    x với x [  4;4] g '(x)  1 ; g '(x)   x=0  x 4 4x g(4)  2; g(0)  4; g(4)  2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  g(x)  2 ; max g(x)   t  [2 2;4] x[  4;4] x[  4;4] S'  4t  1 t  [2 2;4]  S hàm nghịch biến [2 2;4] MinS  S(4)  7 ; MaxS  S(2 2)   2 Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: S  x    x  (x  1)(8  x)  với x [  1;8]  Bài 10 Tìm GTNN, GTLN S  sin 2010 (x).cos2011 (x) với x  [0; ] Lời giải Nhận xét:  i, S  với x  [0; ] ii, Để tìm GTNN, GTLN S ta tìm GTNN, GTLN S2 (vì S2 quy hết sin x cos2 x ) Ta có S2  sin 4020 (x).cos4022 (x) = (sin x)2010 (1 sin2 x)2011 Đặt t  sin x (0  t  1) Khi S2  f (t)  t 2010 (1  t)2011 f '(t)  2010t 2009 (1  t)2011  2011.t 2010 (1  t) 2010 f '(t)  t 2009 (1  t)2010[2010  4021t]  t   f '(t)    t   2010 t  4021  2010 (2010) 2010 (2011)2011 f (0)  ;f (1)  ; f ( ) 4021 (4021) 4021 (2010) 2010 (2011) 2011 Vậy Min S =0 ; Max S  (4021) 4021 Bài luyện tập Tìm GTNN, GTLN biểu thức  S  sin15 x.cos20 x với x [0; ] Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 11 Tìm GTNN, GTLN hàm số : y  sin x  cos6 x  2cos 4x  sin 2x  , với x R Lời giải Nhận xét : sin x  cos6 x   sin 2x cos 4x   2sin 2x Do ta đưa y hết sin2x Do y =  sin 2x +2(  2sin 2x )+sin2x-5 y 19 sin 2x  sin 2x  Đặt t  sin 2x (1  t  1) Yêu cầu toán trở thành tìm GTNN, GTLN hàm số y 19 t  t  với 1  t  y'   19 t  ; y'   t  19 Ta có y(1)   31 23 37 ; y(1)   ; y( )   4 19 19 Do y   xR 31 37 ; max y   19 xR Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN hàm số : y  sin x  cos6 x  4(sin x  cos4 x)  2cos 2x  , với x  R Bài 12 Tìm GTNN, GTLN hàm số y  2(1  sin 2x.cos 4x)  (cos 4x  cos8x) Lời giải Ta có y   2sin 2x.cos 4x  sin 6x.sin 2x   sin 2x.(1  2sin 2x)  (3sin 2x  4sin 2x).sin 2x  4sin4 2x  4sin3 2x  3sin2 2x  2sin 2x Đặt t  sin 2x (1  t  1) Yêu cầu toán trở thành tìm GTNN, GTLN hàm số Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn y  4t  4t  3t  2t  với t [  1;1] 1 y'  16t  12t  6t  ; y'   t  1; t   ; t  1 145 ; y(1)  y(1)  ; y( )  ; y( )  64 Vậy y  ; max y  Bài 13 Tìm GTNN hàm số y  x(x  2)(x  4)(x  6)  với x  4 Lời giải Ta có y  (x  6x)(x  6x  8)  Đặt t  x  6x Khi y  t  8t  Xét hàm số g(x)  x  6x với x  4 g'(x)  2x  6;g'(x)   x  3 x - -4 + -3 g’(x) - + + -8 g(x) -9 Suy t [  9; ) Yêu cầu toán trở thành tìm GTNN hàm số y  t  8t  với t [  9; ) Ta có y'  2t  ; y'   t  4 Bảng biến thiên t y’ - -9 - -4 + + + 14 y -11 Vậy Miny=-11 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Trong nhiều toán tìm GTNN, GTLN hàm số đề có nhiều hai biến ta phải tìm cách qui biến , sau tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số Sau toán minh họa x  xy  y Bài 14 Tìm GTNN, GTLN S  (x  y  0) 2 2x  y Lời giải Vì tử số mẫu số S biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 y  để chia tử số mẫu số S cho y , sau chuyển biến số t  TH1: y=  S  x y x2  2x x2 x  1 y2 y TH2: y  Chia tử số mẫu số S cho y ta : S  x2 2 1 y t2  t 1 x Đặt t  Khi S  2t  y 1  2t  2t  ; S'   2t  2t    t  S'  2 (2t  1) Bảng biến thiên t S’ S 1  - - 1  + Vậy MinS = 3  S 32 2 x 1  3 x 1   ; Max S =  y y 2 32 32 Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: a, M  - 32 32 Kết hợp TH1 TH2 ta có : + x  xy  y (x  y  0) 2 3x  y Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x  xy  2y b, N  (x  y  0) 2 4x  y a b4 a b2 a b Bài 15 Cho a.b  Tìm GTNN y    (  )   b a b a b a Lời giải Đặt t   a b a b a b  Ta có | t ||  || |  | | ( Theo Cô Si ) b a b a b a a b2 a b4   t    t  4t   2 b a b a  y  t  4t   (t  2)  t = t  5t  t  y'(t)  4t  10t  y''(t)  12t  10  với t  Bảng biến thiên y’(t) t - -2 y’’(t) + + + + -11 y’(t) - 13 Suy y'(t)  với t  2 ; y'(t)  với t  2 Bảng biến thiên f(t) t - y’(t) -2 + - + - y + -2 Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 Nhận xét i, Đặt t  a b  giúp ta chuyển y hết biến t b a ii, Để xét dấu y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên y’, sau suy dấu y’ khoảng (; 2] [2; ) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bài 16 Cho x, y, z > x +y+z  Tìm GTNN biểu thức S  x  y2  z2  3  3 3 x y z Lời giải Nhận xét: Ta quy S “ x+ y +z ” Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x  y2  z2 )(12  12  12 )  (x  y  z)  x  y  z  (x  y  z) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: 3 3 3 9 81    33    x y z x y z xyz ( x  y  z )3 (x  y  z)3 Vậy S  (x  y  z) 81  (x  y  z)3 Đặt t= x+y+z (0  t  1) Khi S  f (t)  t 81 2t 243 2t  729  ; f '(t)     t  (0;1] t t 3t  f(t) nghịch biến (0;1]  minS  f (t)  f (1)  t(0;1] 244 Bài 17 Cho A, B, C góc tam giác Tìm GTNN biểu thức P  sin A B C A B C  sin  sin  cot  cot  cot 2 2 2 Lời giải Ta có P  sin A B C 1  sin  sin    3 2 sin A sin B sin C 2 Trong tam giác ABC ta có sin A B C  sin  sin  2 2 Ta đánh giá biểu thức theo t  sin A B C  sin  sin với t  (0; ] 2 2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: sin A  sin B  sin Vậy P  t  f '(t)   C  sin  A B C sin sin 2 2 27 A B C (sin  sin  sin ) 2 2 27   f (t) t2 54  với t  (0; ] t Bảng biến thiên t f’(t) + P=f(t) Vậy MinP  21 21 t  2 Bài 18: Cho x  0, y  x + y = Tìm GTNN, GTLN biểu thức P = 32 x + 3y Lời giải Do x  0, y  x + y =  y = 1- x  x  Ta có P = 32 x + 3y = 32 x + Đặt t = 3x   t  Khi P  f (t)  t  f '(t)  2t  0 t = t2 3 t với t  1;3 Bảng biến thiên t  f’(t) - 3 + 10 f(t) 33 Netschool.edu.vn  3x Netschool.edu.vn x = y = Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10  3x =   minP = 33  3x =  x = log 3     y = 1- log 3  Bài 19: Cho x  0, y  x + y = Tìm GTNN, GTLN biểu thức P= x y + y+1 x+1 Lời giải  x+ y  - xy+1 = - xy x y Ta có: P = = + x+ xy y+1 x+1 + xy  xy  1   xy    t  4 1  xy Đặt xy = t , x+ y =1, x  0, y    Khi P = f(t) = Do f '(t)  -6 2 + t 2- 2t với  t  2+t  1 < với  t  0;  nên hàm số f(t) nghịch biến đoạn  4  x = 0, y =  1  maxP = f(0) = t = xy = 0 ;   y = 0, x =    1 minP = f( ) = t = x = y = 4 Trong kì thi chọn HS giỏi thường có toán tìm GTLN, GTNN hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn Để giải toán dạng ta dùng phương pháp khảo sát biến, nghĩa : tìm GTNN ( GTLN ) hàm số với biến thứ biến lại coi tham số , tìm GTLN (GTNN) hàm số với biến thứ hai ứng với giá trị xác định biến thứ mà biến lại coi tham số… Bài 20 Cho miền D  (x, y) |0  x  1;0  y  2} Tìm GTNN hàm số f (x, y)  (1  x)(2  y)(4x  2y) Lời giải Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn f (x, y)  (1  x)(2  y)[2(2-y)-4(1-x)] Đặt u=1-x ; v=1-y  u [0;1] ;v [0;2]  f (x, y)  g(u, v)  uv(2v  4u)  2uv2  4u v Coi u ẩn , v tham số Ta có g '(u, v)  8uv  2v2 g '(u, v)   u  v Bảng biến thiên u - v + g '(u, v) + - v3 g(u, v) 2v2  4v Vì 2v2  4v  2v(v  2)   v  [0;2] nên g(u, v)  2v2  4v  2(v  1)2   2 u  v  Vậy Min g(u, v) =-2   x  y  Suy Minf(x,y)=-2   Bài 21 Cho hàm số f (x, y,z)  xy  yz  zx  2xyz miền D  (x, y,z) |0  x, y, z x  y  z   Tìm GTNN, GTLN f(x,y,z) Lời giải *) Tìm GTNN f(x,y,z) Giả sử z  min{x, y, z}  z  [0; ] f (x, y,z)  xy  (x  y)z  2xyz  xy(1  2z)  z(1  z) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn (1  z)2  (1  2z)  z(1  z)   (2z  z  1) 4 Xét hàm số F(z)   (2z3  z  1) với z  [0; ] z(1  3z) F'(z)   (6z  2z)    z  [0; ] z - + + F’(z) + 27 F(z) Vậy Max f(x,y,z) = x  y  z 27 *) Tìm Min f(x,y,z) f (x, y,z)  (1  y  z)y  yz  z(1  y  z)  2(1  y  z)yz  y  y2  z  zy  z2  2yz  2y2 z  2z2 y Xét G(z)  z2 (2y  1)  z(1  3y  2y2 )  y  y G '(z)  2(2y  1)z   3y  2y  2(2y  1)z  (2y  1)(y  1) Giả sử y  min{x, y, z}  y  [0; ] G '(z)   z  1 y Bảng biến thiên z G’(z) - 1 y + - 1 y G( ) G(z) y  y2 Netschool.edu.vn y2 Netschool.edu.vn Vì y2  (y  y2 )  2y2  y  y(2y  1)  y   G(z)  y2  ; G(z)    z  x  y  z  Vậy Min f(x,y,z)=0   Bài luyện tập 1: Cho x, y,z  x+y+z=1 Tìm GTLN biểu thức: 1 1 1 S  xyz[x(  )  y(  )  z(  )] y z x z y x Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn  x, y,z  Tìm GTLN biểu thức P  2(x3  y3  z3 )  (x y  y2z  z 2x) x  y  z   xyz  Bài 22 Cho x, y, z >0 thỏa mãn  Tìm GTNN, GTLN biểu thức S  x  y4  z ( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 ) Lời giải S1  x  y  z   Đặt S2  xy  yz  zx S  xyz   Ta biểu diễn S theo f (S2 ) Căn vào đề bài, tìm miền biến thiên S2 Sau ta khảo sát f (S2 ) để tìm GTNN, GTLN S *) Ta biểu diễn S2 theo z S2  xy  yz  zx  2  z(4  z)  4z  z  z z *) Ta tìm miền biến thiên z Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x  y   z  Do   xy  z  (4  z)  - z z-2  (z  2)(z  6z  4)  z - z2  6z  + VT 3 + + + - - + + - + 3 - Vậy z [3  5;2] [3  5;  ) Từ giả thiết suy z  (0;4) Do z  [3  5;2] Xét S2  4z  z  với z  [3  5;2] z (1  z)(2z  2z  2) S   2z   z z2 ' Bảng biến thiên z - S'2 1 3 1 - 5 1 S2 + - 5 1 Suy S2  [5; 5 1 ] Khi x  y4  z  (x  y2  z )2  2(x y2  y2z  z x )  [S12  2S2 ]2  2[(xy  yz  zx)2  2xyz(x  y  z)] Netschool.edu.vn + Netschool.edu.vn = [S12  2S2 ]2  2[S22 -2S1.S3 ] = [16  2S2 ]2  2[S22  16] = 256  64S2  4S22  2S22  32 = 2S22  64S2  288 = f (S2 ) f '(S2 )  4S2  64   S2  [5; S2 5 1 ] Bảng biến thiên 5 1 - f’( S2 ) 18 f( S2 ) 383  165 Vậy MinS= 383  165 ; MaxS=18 Để rèn luyện kĩ giải toán dạng trên, ta có toán sau: x  y  z   xyz  Bài luyện tập: Cho x, y, z >0 thỏa mãn  Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau: a, M  x  y2  z b, N  x  y3  z3 c, P  x3 y  xy3  x 3z  xz3  y3z  yz3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tìm GTNN hàm số: y  x    x  (x  2)(2  x)  ( x [  2;2] ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: x2  x  y 2x  Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x  xy  y ( x  y2  ) y 2 2x  y Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y  (x  2)(x  4)(x  6)(x  8)  ( x [  4;2] ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y  sin x  cos6 x  2cos 4x  sin 2x  Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: y  9x  3y với x, y  x+y=1 Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số:   y  4cos x  cos 4x với x  [  ; ] 2 Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: 3cos x  4sin x y 3sin x  2cos x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số: S  9x  4(3x  1 )   với x [  1;1] 3x 9x Netschool.edu.vn [...]... Bảng biến thiên của y’(t) t - -2 y’’(t) + 2 + + + -11 y’(t) - 13 Suy ra y'(t)  0 với t  2 ; y'(t)  0 với t  2 Bảng biến thiên của f(t) t - y’(t) -2 + 2 - + - y + -2 2 Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 Nhận xét i, Đặt t  a b  giúp ta chuyển y về hết biến t b a ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng (; 2] và [2; ) Netschool.edu.vn... dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số… Bài 20 Cho miền D  (x, y) |0  x  1;0  y  2} Tìm GTNN của hàm số f (x, y)  (1  x)(2  y)(4x  2y) Lời giải Netschool.edu.vn... (x, y)  g(u, v)  uv(2v  4u)  2uv2  4u 2 v Coi u là ẩn , v là tham số Ta có g '(u, v)  8uv  2v2 g '(u, v)  0  u  v 4 Bảng biến thiên u - v 4 0 + g '(u, v) 0 1 + - v3 4 g(u, v) 2v2  4v 0 Vì 2v2  4v  2v(v  2)  0  v  [0;2] nên g(u, v)  2v2  4v  2(v  1)2  2  2 u  1 v  1 Vậy Min g(u, v) =-2   x  0 y  1 Suy ra Minf(x,y)=-2   Bài 21 Cho hàm số f (x, y,z)  xy  yz  zx... 6z  4 + VT 2 3 5 + 0 + + - - 0 + + - + 3 5 0 - Vậy z [3  5;2] [3  5;  ) Từ giả thiết suy ra z  (0;4) Do đó z  [3  5;2] Xét S2  4z  z 2  2 với z  [3  5;2] z 2 (1  z)(2z 2  2z  2) S  4  2z  2  z z2 ' 2 Bảng biến thiên z - S'2 1 5 2 3 5 1 1 5 2 0 - 0 5 5 1 2 S2 + 0 - 5 5 1 2 5 Suy ra S2  [5; 2 5 5 5 1 ] 2 Khi đó x 4  y4  z 4  (x 2  y2  z 2 )2  2(x 2 y2  y2z 2  ... GTNN ( GTLN ) hàm số với biến thứ biến lại coi tham số , tìm GTLN (GTNN) hàm số với biến thứ hai ứng với giá trị xác định biến thứ mà biến lại coi tham số… Bài 20 Cho miền D  (x, y) |0  x  1;0... ) Từ giả thiết suy z  (0;4) Do z  [3  5;2] Xét S2  4z  z  với z  [3  5;2] z (1  z)(2z  2z  2) S   2z   z z2 ' Bảng biến thiên z - S'2 1 3 1 - 5 1 S2 + - 5 1 Suy S2  [5; 5... 10t  y''(t)  12t  10  với t  Bảng biến thiên y’(t) t - -2 y’’(t) + + + + -11 y’(t) - 13 Suy y'(t)  với t  2 ; y'(t)  với t  2 Bảng biến thiên f(t) t - y’(t) -2 + - + - y +