Đề thi BOXMATH

Một số đề ôn luyện dành cho học sinh giỏi Đề Bài 1: Rút gọn biểu thức x2 y ( x  y)2 x ( x  y)2 y   xy x( x  y ) y ( x  y ) (với xy  x  y ) S Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình y  xy  x  12  Bài 3: Giải phương trình ( x  2016)10  ( x  2017)12  Bài 4: Cho ABC vuông A, đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC ~ ADC Tính BE theo m=AB b) Gọi M trung điểm BE Chứng minh Tính BHM ~ BEC AHM GB HD  c) Tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: BC AH  HC Bài 5: Cho x3  y  3( x  y )  4( x  y)   xy  1 M   Tìm GTLN biểu thức: x y Đáp án đề Ta có: S  Bài xy xy  x( x  y ) x( x  y )  y( x  y) y( x  y) Xét trường hợp x < y < , y < x < , x > y > 0, y > x > ta thu S=1 y  xy  x  12   ( x  y)2  ( x  3)( x  4) Bài Vì (x+3)(x+4) số nguyên liên tiếp nên (x+y)2 =0 x    x   Từ suy nghiệm ( x; y )  ( 3;3);( 4; 4)  ( x  2016)10  ( x  2017)12   x  2016  x  2017  1(*) Nhận thấy x=2016 x=2017 nghiệm phương trình nên ta chứng minh nghiệm +Xét x  2016  x  2017  1  x  2017   (*)  1(VN0 ) +Xét 2016 < x < 2017 Bài  0  x  2016  0  x  2016    1  x  2017   0  x  2017   x  2016  x  2016   x  2017  x  2017  (*)  x  2016  x  2017  x  2016  2017  x  1(VN0 ) +Xét x  2017  x  2016   x  2016   (*)  1(VN0 ) Vậy nghiệm phương trình x=2016 x=2017 Bài Ta có : x3  y  3( x  y )  4( x  y)    ( x  y )( x  xy  y )  2( x  xy  y )  ( x  xy  y )  4( x  y )   Bài  ( x  xy  y )( x  y  2)  ( x  y  2)   ( x  y  2) ( x  y )  ( x  1)  ( y  1)     x  y  2 Vì xy > nên x; y < Áp dụng BĐT Cauchy: ( x)( y )  Khi đó: M  ( x)  ( y )  nên xy  1 x y    2 GTLN đạt x = y = -1 x y xy ...Đáp án đề Ta có: S  Bài xy xy  x( x  y ) x( x  y )  y( x  y) y( x  y) Xét trường hợp x < y < , y