Ý tưởng giải Phương Trình vô tỷ

Phương trình vô tỉ do Lê Việt Hưng chủ biên.Giới thiệu:anh là người học giỏi toán đặc biệt là bất đẳng thức.Hãy tìm đọc bất đẳng thức của anh ấy qua các liệu mik cung cấp nhé :).BẠn nào cần liên lạc thì mik sẽ cho link facebook nhé.

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (Dành cho học sinh THCS) I.Tác giả: Lê Việt Hưng – Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng – Quảng Trị Nguyễn Trung Kiên – Trường THCS Thường Tín – Hà Nội Nguyễn Đức Thắng – Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển – Cà Mau I.Các phương pháp giải phương trình vô tỷ: Phương pháp nâng lũy thừa: Bài Toán 1: Giải phương trình: x   x 1 Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với: x   x  x        x 3 2 x   x   (x  1) x  3x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={3} Bài Toán 2: Giải phương trình: x  2x   Lời giải: Ta có: x  x    x   x x   2 x   x x   x  2x   x      x  1  x   x   Vậy phương trình có tập nghiệm S={3} Bài toán 2: Giải phương trình: x   1 x  1 2x Lời giải: Ta có: x    x   2x  x   1 2x  1 x 1  x    1  x    x    x   x  (1  x)(1  x)  x    x   2 x    (2 x  1)  x  x  2 x   x  x      1  x   1 2  x    x0  x    x2  x      x  7 Vậy phương trình có tập nghiệm S={0} Bài toán 4: Giải phương trình: x   x2   x   Điều Kiện:  x     x  (1) x   ( x  2)( x  2)  PT  x  1  x     x2 0    1 x      x    x  17  (2) Kết hợp (1) (2) ta được: x = Vậy phương trình có tập nghiệm S={2} Bài Toán 5: Giải phương trình: 3x   3x   5x   5x  Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với: 3x   5x   5x   3x  Bình phương vế ta phương trình: 8x   15x  19x  56  8x   15x  13x  20  15x  19x  56  15x  13x  20  15x  19x  56  15x  13x  20  6x  36 x 6 Vậy phương trình có tập nghiệm S={6} Bài Toán 6: Giải phương trình: 3x  x 3x Lời giải: Điều kiện :  x  Phương trình cho tương đương với: 3  10 10   x  3x  x     x    x   3 3  3 Vậy phương trình có tập nghiệm S={ 10  } Bài Toán 7:Giải phương trình:  3 x  x    x  3 3x  x   Lời giải: Dùng đẳng thức biến đổi phương trình về:  x   3x  0  x   3x  x   3x  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S={1} Phương pháp đặt ẩn phụ: Bài Toán 1: Giải phương trình: x3  1  x    x  x2  Lời giải: Hướng dẫn: Nhận thấy phương trình có ẩn x 1 x  nên ta đặt x  a   x2  b  đưa chúng hệ phương trình cách gọn Ta có lời giải đầy đủ sau: Đặt: x  a  3  a  b  2ab  x  b  Ta có hệ:  2  a  b    S 1  P   P Đặt: a  b  S ab  P  Ta có hệ:   S  2P    2P2 2P S  S    1 P   1  P  S  2P    S  2P   2P2 1  P  S  P    P  1  P  P  1   P   (vì P  ) 2P  1 1 P Vậy, a b hai nghiệm phương trình   X  1 X 1  Đến bạn đọc tự giải tiếp Bài toán 2: Giải phương trình: 10x  3x+1=(1+6x) x  Lời giải: Đặt: u   6x ;v= x  Phương trình cho tương đương với: 2 u  v   uv 4  u  4uv  4v   (u  2v)   u  2v  3 Với u  2v  thì:  6x  x    3x   x  ( x  )  x  1(TM ) Với u  2v  3 thì:  x  x   3  3x+2= x  ( x  x 3 (TM ) 3 } Vậy phương trình có tập nghiệm S={1; Bài Toán 3: Giải phương trình:  2 )  x2   x2  x   x2  Lời giải: t  x  , phương trình cho tương đương với: t    x  t   3x    t  3 t  x  1  t   t  x  x2    x2    x   Với t  ta có: Với t  x 1 ta có:   x   x  x   x   x  2x   2x  1  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={  } 3.Phương pháp nhân lượng liên hợp: 1 (Loại) Bài Toán 1: Giải phương trình: x  3x   2x   Lời giải: Điều kiện: x  Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x   x   từ dẫn đến ý tưởng ghép cặp cho xuất nhân tử x – 2x     (1) Ta cần tìm hệ số  cho Thay x  vào (1) ta có:    Ta có lời giải đầy đủ sau: x    3x       x 1 x 2                x 1 x 2   x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  2x      2x        x 1 0 2x     x   0 2x         1  x      2x       2x   x    0  2x      x 1   x   0    2x        1  0 x   x      x 1  x  x     1  0  2x 1  x   x    2x 1  x Vậy phương trình có tập nghiệm S={ 1;  } Cách 2: Ngoài ta làm ngắn gọn sau: Để xuất nhân tử x  ta cần tìm hệ số  cho 2x    x  Thay x  vào (2) ta có:   Ta có lời giải đầy đủ sau: x    2x          x 1   x 1    2x   x   2x   x   x  1 0 2x   x    x  1  0 x   x   Bài Toán 2: Giải phương trình: 3x   5x   3x  x  Lời giải: Điều kiện: x   Hướng dẫn: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x  x  từ   dẫn đến ý tưởng ghép cặp cho xuất nhân tử x x  Vì ta cần tìm hệ số a,b thỏa mãn Thay x  vào (1) ta có: b  3x   ax  b  (1) Thay x  vào (1) ta có: a  b   a   Cần thêm bớt 3x  với biểu thức x  5x  với biểu thức x  Tương tự ta thêm bớt  Ta có lời giải đầy đủ sau: 3x   5x   3x  x         3x   x     5x   x    3x  3x      x 1x x 1x    3x  x  3x   x  5x   x    1  x 1x    3   3x   x   5x   x                   x   x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={0;1} Bài Toán 3: Giải phương trình: x 3x   ( x  1) 5x   8x  Lời giải: Điều kiện: x  Hướng dẫn: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x  x  từ dẫn đến ý    tưởng ghép cặp cho xuất nhân tử x  x  hay x  3x  x   3x   x   x  1   5x   x   2x  6x    x  3x+2    x  3x    x     x  1     x  3x     3x   x   5x   x   x x 1    ( x  3x  2)    0 3x   x 5x   x    Nhận thấy: x x  1 3x   x x x 1 x 1  1 5x   x  x  Vì đẳng thức không xảy nên: x x 1  2 3x   x 5x   x  x x 1  2  0 3x   x 5x   x  Ta có:    x  3x    x  x      x  1, Bài Toán 4: Giải phương trình: x   22  3x  x  x   22  2  x  Điều kiện xác định:  22  3x  Ta biến đổi tương đương: x   22  x  x       x   x   22  x  x  14  x  x  3    x2  x   3 x2 x4   3 x2  x  22  x  x  14   x2  x    x  x  1    3 x   x  3 22  x  x  14         0    x2  x     1  0  3 x   x  3 22  x  x  14   Để ý      3 x2  x4   3 22  x  x  14   0   x  22 Vậy nghiệm phương trình nghiệm x  x   hay S  2; 1 4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Bài toán 1: Giải phương trình: 3x  6x   5x  10x  14   2x  x Lời giải: Ta nhận thấy rằng:       3x  6x   5x  10x  14  x    x      (1)  Và  2x  x   x  Từ (1) (2) suy ra:   (2) 3x  6x   5x  10x  14   2x  x   x  1 Bài Toán 2: Giải phương trình: 4x  x2  3x   3 16x3  12x Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có: 3 16x  12x  3 2.2.(4x  3x)    4x  3x=4x  3x+4  4x  x  3x   4x  3x   4x  4x  x   (2x  x)2  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={ } Bài Toán 3: Giải phương trình: 2x   17  2x  x  8x  17x  8x  22 Lời giải: 1 17 x 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương ta có: Điều kiện: 2x   17  2x  (2 x  1).9 (17  x).9 2x    17  2x  36    6 6 6 (1) Mặt khác ta lại có: x  8x  17x  8x  22  ( x2  4x)2  ( x  4)   (2) Từ (1) (2) ta có: VT  VP   x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={4} Bài Toán 4:Giải phương trình: 2x    x  3x2  3x  19 Lời giải: x7 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Cốp xki ta có: Điều kiện:  2x    x    2x   14  x    2x   14  2x   27  3x  3x  19  3  3( x  4)2   x  4(TM ) Vậy phương trình có tập nghiệm S={3} Hẹn bạn phần tiếp theo… [...]... Giải phương trình: 4x 4  x2  3x  4  3 3 16x3  12x Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số dương ta có: 3 3 16x 3  12x  3 3 2.2.(4x 3  3x)  2  2  4x 3  3x=4x 3  3x+4  4x 4  x 2  3x  4  4x 3  3x  4  4x 4  4x 3  x 2  0  (2x 2  x)2  0 x  1 2 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S={ } 2 Bài Toán 3: Giải phương trình: 2x  1  17  2x  x 4  8x 3  17x 2  8x  22 Lời giải: ... 1  1  0  3 3 x  2  x  4 3 3 22  3 x  x  14   Để ý rằng 1      4 3 3 x2  x4   3 3 1 22  3 x  x  14   0  2  x  22 3 Vậy nghiệm của phương trình là nghiệm của x 2  x  2  0 hay S  2; 1 4.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Bài toán 1: Giải phương trình: 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 Lời giải: Ta nhận thấy rằng:   2   2   3x 2  6x  7  5x 2 ... khác ta lại có: x 4  8x 3  17x 2  8x  22  ( x2  4x)2  ( x  4) 2  6  6 (2) Từ (1) và (2) ta có: VT  VP  6  x  4 Vậy phương trình có tập nghiệm S={4} Bài Toán 4 :Giải phương trình: 2x  5  2 7  x  3x2  8 3x  19 3 Lời giải: 5 x7 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Cốp xki ta có: Điều kiện:  2x  5  2 7  x   2  2x  5  2 14  2 x  2  3  2x  5  14  2x   27  3x 2  8 3x  19... x  1 x  1 Vì đẳng thức không xảy ra nên: x x 1  2 3x  2  x 5x  1  x  1 x x 1  2  0 3x  2  x 5x  1  x  1 Ta có:    x 2  3x  2  0  x  2 x  1  0    x  1, 2 Bài Toán 4: Giải phương trình: 4 x  2  22  3x  x 2  8 x  2  0 22  2  x  Điều kiện xác định:  3 22  3x  0 Ta biến đổi tương đương: 4 x  2  22  3 x  x 2  8      4 1 3 x  2  x  4  3 22  ... chuyên Phan Ngọc Hiển – Cà Mau I.Các phương pháp giải phương trình vô tỷ: Phương pháp nâng lũy thừa: Bài Toán 1: Giải phương trình: x   x 1 Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương... hợp: 1 (Loại) Bài Toán 1: Giải phương trình: x  3x   2x   Lời giải: Điều kiện: x  Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x   x   từ dẫn đến ý tưởng ghép cặp cho xuất... S={0;1} Bài Toán 3: Giải phương trình: x 3x   ( x  1) 5x   8x  Lời giải: Điều kiện: x  Hướng dẫn: Sử dụng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x  x  từ dẫn đến ý    tưởng ghép cặp cho xuất