Bộ DETHI HSG_GV

BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI ĐỀ Câu 1: Tính: x= 2+2 ( y= ) − 250 3 − −1 +1 x x+y y x− y x − xy + y Câu 2: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) x + m – = (ẩn x, tham số m) a) Giải phương trình m = 1 + = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 x Câu 3: Khoảng cách hai bến sông A B 60 km Một ca nơ chạy xi dịng từ bến A tới bến B, nghỉ 20 phút bến sông B ngược dòng trở A Thời gian kể từ lúc khởi hành đến bến A tất 12 Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước biết vận tốc riêng ca nơ gấp lần vận tốc dòng nước Câu 4: Cho đường trịn (O; R) đường thẳng (d) khơng qua tâm O cắt (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động (d) nằm (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN MP tới (O; R) (N, P hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường trịn b) Chứng minh MA.MB = MN2 c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP d) Xác định quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP Câu 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: + ≥ 23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 8x + + 18y + x y A= ( ) BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề Câu 1:x = 10; y = ,A = x – y = Bài 2: a) Với m = ; x1 = 0; x2 = 2/3 b) m = -6 Bài 3: ĐS: Vận tốc ca nơ: 12 km/h; Vận tốc dịng nước: km/h Bài 4: c) Tam giác MNP OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ điểm bên đường tròn) Bài 5: B = 8x + + 18y + x y 2  2 4 5  =  8x + ÷+ 18y + ÷+  + ÷≥ + 12 + 23 = 43 x  y x y  1 1 Dấu xảy ( x; y ) =  ; ÷  3 1 1 Vậy giỏ trị nhỏ B 43 ( x; y ) =  ; ÷  3 BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI ĐỀ Câu I: Cho biểu thức: A = ( x+2 x x −1 + + ): x x −1 x + x +1 1− x a- Rút gọn biểu thức A b- Tính giá trị A x = − c- Tìm x để A đạt GTLN Câu II: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y = x + 3x + x2 + Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: 11x + 18y = 120 ( m − 1) x − my = 3m − 2x − y = m +  Câu III: Cho hệ phương trình:  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x + y đạt giá trị nhỏ Câu IV Giải phương trình sau: x + x + 12 + x − 10 x + = − x − x Câu V Tìm x, y, z thỏa mãn: x + y + z − 2009 = x − 19 + y − + z − 1997 Câu VI: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn Dựng hình vng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F giao điểm AE nửa đường tròn (O) Gọi K giao điểm CF ED a Chứng minh điểm E, B, F, K nằm đường tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ? BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề Câu I: a Điều kiện xác định: ≤ x ≠ (0,25) A= b- ( x − x + 1)2 x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) = = x x −1 x − ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + A= (0,75) 2 ≤ =2 3 (0,5) Dấu “ =’’ xảy ⇔ x = ⇔ x = (0,25) ( x+ ) + + 4 Vậy giá trị lớn A x = 0.(0,25) c- Với x = − = ( − 1) ⇒ x = − (0,5) Ta có: A = 2 = (0,5) − + −1 +1 − 11  11  Câu II: a Vậy tập giá trị y  ;  , Max y = ; Min y = (4đ) 2 2  b Vậy ( x, y ) =( 6, 3) nghiệm nguyên dương phương trình.(2đ) x = m +1 Câu III: Khi m -1 hệ có nghiệm  y = m − 2 ⇒ S = x + y = ( m + 1) + ( m − 3) = 2m − 4m + 10 = 2( m − 1) + ≥ Vậy S = ⇔ m = Câu IV:Ta có: VT ≥ 5; VP ≤ Vây hệ có nghiệm x = Câu V: Đưa dạng: ( ) ( x − 19 − + ) ( y−7 −2 + ) z − 1997 − = Vậy nghiệm phương trình là: x = 20; y = 11; z = 2006 Câu VI: a Ta có ∠ KEB= 90 D K mặt khác ∠ BFC= 900( góc nội tiếp chắn đường trịn) E F CF kéo dài cắt ED D A => ∠ BFK= 900 => E,F thuộc đường trịn đường kính BK hay điểm E,F,B,K thuộc đường trịn đường kính BK b ∠ BCF= ∠ BAF B O Mà ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 Ta có ∠ BKF= ∠ BEF Mà ∠ BEF= ∠ BEA=450(EA đường chéo hình vng ABED)=> ∠ BKF=450 C BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Vì ∠ BKC= ∠ BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B ĐỀ Bài 1: Cho biểu thức P = x x −3 2( x − 3) x +3 − + x −2 x −3 x +1 3− x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 14 - c) Tìm giá trị nhỏ P giá trị tương ứng x Bài 2: a) Giải phương trình: 1 + + =1 x +3 + x +2 x + + x +1 x +1 + x b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x + y + z + 35 = 2.(2 x + + y + + z + 3) Bài 3: 1 a) Cho x > 0, y > thoả mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y b) Tìm giá trị lớn biểu thức B = 3x − + − 3x Bài 4: a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y + xy = b) Tìm số nguyên x để : 199 − x − 2x + số phương chẵn Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (I ) đường kính BH cắt AB D Vẽ đường trịn (K) đường kính CH cắt AC E Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) DE tiếp tuyến chung hai đường trịn (I) (K) c) Diện tích tứ giác DEKI nửa diện tích tam giác ABC BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề x x − − 2( x − 3) − ( x + 3)( x + 1) x+8 = Bài 1: (4 điểm) a) ĐK x ≥ 0, x ≠ P = ( x + 1)( x − 3) x +1 b) P = 58 − 11 c) P = x+8 x −1+ = = x +1 x +1 ( áp dụng BĐT Côsi ta có: P = P=4⇔ x +1 = )( x −1 ) x +1 + 9 = x −1+ = x +1+ −2 x +1 x +1 x +1 x +1+ −2≥2 x +1 ( ) x +1 −2=2 −2=4 x +1 ⇔ x = Vậy P = x = x +1 Bài 2: (4 điểm) a ĐK x ≥ 0, nghiệm phương trình x = b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x + y + z + 35 = 2.(2 x + + y + + z + 3) ĐK x ≥ -1, y ≥ -2, z ≥ -3 Nghiệm phương trình x = 3; y = 7; z = 13 1 Bài 3: (4 điểm) a) Vì x > 0, y > nên > 0; > 0; x > 0; y > x y 1 1 11 1 ⋅ ≤  +  Suy : + Vận dụng BĐT Côsi cho số dương ; ta được: x y x y  x y  + Vận dụng BĐT Côsi cho số dương x; y ta được: A = x + y ≥ xy ≤ ⇒ xy ≥ 4 x y ≥ = 2.2 = Vậy A = x = y = b) ĐKXĐ: ≤ x ≤ Khi đó: A2 = (3x - 5) + (7 – 3x) + (3 x − 5).(7 − x) = + (3 x − 5).(7 − x) 3 Vậy max A = => max A = x = Bài 4: (4 điểm) a) x + y + xy = ⇔ (x + 1)(y + 1) – = ⇔ (x + 1)(y + 1) = 5.1=(-1).(-5) Giải hệ Ta có nghiệm (0 ; 4) ; (4 ; 0) ; (-2 ; -6) ; (-6 ; -2) b) Tìm số nguyên x để 199 − x − 2x + số phương chẵn hệ Vậy x ∈ { − 15; − 3; 1; 13} Bài 5: a) Nối HD, HE thì: ∠BDH = 900; ∠CEH = 900 áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH2 = AB.AD; AH2 = AC.AE, suy AD.AB = AE.AC b) Tứ giác AEHD hình chữ nhật Ta có: ∠IDE = ∠IDH + ∠HDE = ∠IHD + ∠DHA = 900 => ID ⊥ DE => DE tiếp tuyến (I) Tương tự ta có : DE tiếp tuyến (K) Vậy DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) c) Ta có DEIK hình thang vuông : ( DI + EK ).DE ( IH + HK ) AH IK AH BC AH S DEIK = = = = = S ABC 2 2 2 BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI ĐỀ Bài 1: Cho biểu thức: A = x x − 4x − x + x x − 14 x + 28 x − 16 a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: Giả sử a, b, c số thực k thỏa mãn a, b, c ≠ o a + b + c = 1 + + =0 a b c a6 + b6 + c6 Chứng minh rằng: 3 = abc a +b +c Bài 3: Giải phương trình sau: a) x + − 24 x + x + − 64 x = b) x − x + = x − x c) x3 - 3x + + |x - 1| = Bài 4: Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đường chéo AC Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a) BM vng góc với EF b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy c) Xác định vị trí M AC để diện tích tứ giác DEMF lớn BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề Bài 1: a) ĐK x ≥ ; Đặt x =t≥0 ( ) t2 −1 ( t − 4) ( t − ) ( t + 1) ( t − ) t − 4t − t + A= = = 2t − 14t + 28t − 16 2t − 2t − (12t − 28t + 16) ( t − ) (t − 2)(t − 4) t ≥ 0; t ≠ 1; ; t ≠ 2; t ≠ => x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 16 b) Rút gọn ta : A = c) 2A = ( t − 1) ( t + ) ( t − ) = t + = ( t − 1) (t − 2)(t − 4) 2(t − 2) 2( x +1 x − 2) t +1 t − + 3 = =1+ ; Để 2A nguyên t – ước t −2 t −2 t −2 Xét trường hợp => t = ; = > x = ; 25 Bài 2: * a + b + c = => a + b = -c => (a + b)3 = -c => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc * 1 + + = => ab + bc + ca = a b c * a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3) * ab + bc + ca = => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 6 2 2 2 Do đó: * a + b + c = (3abc) – 2.3a b c = 3a b c Bài 3: Giải phương trình sau: a) Đặt x + − 24 x + x + − 64 x =  a + b + c6 3a b c +Vậy: = = abc a + b3 + c3 3abc ( x − 1)2 + ( x − 3)2 = ⇔ x −1 + x −3 = x = y ≥ ; Ta có : PT: |y – 1| + |y – 3| = ; Xét khoảng ta nghiệm ≤ x ≤ 81 b) x − x + = x − x ; ĐK: 4x – x2 ≥ => x2 – 4x + = (4x – x2)2 Đặt y = 4x – x2 = – (x – 2)2 => ≤ t ≤ ; Ta có PT : – t = t2 ⇔ t2 + t – = −1 − 13 −1 + 13 Giải PT ta : t = (t1 < : loại ; ≤ t2 ≤ : t/m) < 0; t2 = 2 Thay t vào giải PT : 4x - x2 = t2 ta nghiệm x1,2 = ± − 13 c) x - 3x + + |x - 1| = ; Phá dấu || giải PT bậc ba Bài 4: a) Gọi K giao EM BC Ta cú D EMF = D BKM (g.c.g) nờn MFE = KMB Gọi H gia điểm BM EF, ta chứng minh BH ⊥ EF b) D ADF = D BAE (g.c.g) , từ đú chứng minh AF ⊥ BE A Tương tự chứng minh CE ⊥ BF Ta cú BM, AF, CE cỏc đường cao tam giỏc BEF nờn đồng quy E c) Diện tớch tứ giỏc DEMF lớn M trung điểm AC M B K H D ĐỀ F C BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Bài 1: Cho biểu thức : P = − + x +1 x x +1 x − x +1 – Rút Gọn P – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P Bài 2: a) Giải phương trình: x − x − + 16 x =  x + y + xy = b) Giải hệ phương trình:   x + y + xy = Bài 3: Biết a − b = +1 , b − c = −1 Tìm giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca Bài 4: Cho tam giác vng ABC có AB = AC = a Điểm M thuộc cạnh BC (M khác B C), Các đường tròn (O) (I) qua M tiếp xúc với AB, AC B, C cắt điểm thứ hai N khác M a Chứng minh ON tiếp tuyến (I ) b Tìm vị trí M để OI nhỏ tìm giá trị nhỏ Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dựng tiếp tuyến chung CD hai đường tròn, C ∈ ( O ) ; D ∈ (O ') Chứng minh AB qua trung điểm I CD Bài 5: Cho a, b số dương thay đổi a + b = Chứng minh : + ≥ 14 ab a + b Đáp án đề BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Bài 1: 1) ĐKXĐ x ≥ P = x − x +1− + x + ( )( ) = x +1 x − x +1 ( x+ x ( )( ) ( x− x +1 x − x +1 ) x −1 = x ) x +1 x x − x + x −1 −1 = 1+ = 1− ≤1 2 Dấu “=” xẩy x = x − x +1 1 1   x − + x − +  ÷  ÷ 2 2   Vậy maxP = x = x P= ≥0 Ta có: x ≥ nên minP = x = 1   x− ÷ + 2  Bài 2: a) ĐKXĐ x ≥ − ; x − x − + 16 x = ⇔ x − x − = + 16 x ⇔ ( x − x − ) = + 64 x 16 ⇔ x + x + − x − x + x = 64 x + ⇔ x − x − 3x − 60 x = ⇔ x x − x − x − 60 = 2) Ta có: P = 1+ ( ) x = ⇔ x ( x − ) x + x + 12 = ⇒  x = ( )  39  Vì x2 + 3x + 12 =  x + ÷ + >0 2  ( x + y ) − xy =  x + y + xy = ⇔ ⇒ ( x + y ) + ( x + y ) − 12 = b) Đặt (x + y) = a, xy = b   x + y + xy = ( x + y ) + xy = Khi ta có : * a = - ; b = ; a = ; b = từ tìm nghiệm (x; y) Bài 3: Từ ta có : a − b = + , b − c = − ⇒ a − c = 2 Ta có : A = a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac = ( a − b ) + ( b − c ) + ( a − c ) thay giá trị 2 a − b = + , b − c = − ⇒ a − c = 2 vào ta tính A Bài 4: B A C ...BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề Câu 1:x = 10; y = ,A = x – y = Bài 2: a) Với m = ; x1 = 0; x2... y x y  1 1 Dấu xảy ( x; y ) =  ; ÷  3 1 1 Vậy giỏ trị nhỏ B 43 ( x; y ) =  ; ÷  3 BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI ĐỀ Câu I: Cho biểu thức: A = ( x+2 x x −1 + + ): x x −1 x + x +1 1− x a-... Gọi K giao điểm CF ED a Chứng minh điểm E, B, F, K nằm đường trịn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ? BỘ ĐỀ LUYỆN THI HS GIỎI Đáp án đề Câu I: a Điều kiện xác định: ≤ x ≠ (0,25) A= b- ( x − x + 1)2