Tổ hợp toàn bộ lý thuyết và Bài tập mônToán chuyên ngành điện của bậc đại học. Là cuốn sách cần thiết cho ai muốn hiểu rõ chi tiết hay thi đạt điểm cao trong quá trình học đại học. Đây là tai liệu hay và hợp cho những sinh viên ngành điện của đại học bách khoa, đại học công nghiệp.
CHNG I GII TCH PHC Đ1 S PHC I Dng i s ca s phc c xỏc nh z = x + iy ú : x = Rez gi l phn thc ca z y = Imz gi l phn o ca z Cho hai s phc z1 = x1 + iy1 ;z = x + iy ta núi z1 = z x1 = x v y1 = y s phc z = x iy gi l s phc liờn hp ca z = x + iy Mt phng phc c th hin bi mt h trc ta .Trong ú trc 0y c gi l trc o,cũn trc 0x l trc thc Khi cho z = x + iy thỡ tng ng vi M(x,y) trờn m/p c gi l ta v ca M uuuur OM di vect c gi l mụdun ca s phc z = x + iy v uuuur OM = x + y = z = r uur uuuur ẳ Gúc 0x,OM = + k2 c gi l Argumen ca z ,cũn = argz gi l argumen ( ) phn chớnh ca z z = r ( cos + isin ) c gi l dng lng giỏc ca s phc z = z.z Cụng thc Moavr: n z = r ( cos + isin ) z n = r ( cos + isin ) = r n ( cosn + isin n ) tha nhn: cos + isin = ei (cụng thc le) Vớ d: a) Arg(z1 + z ) = Argz1 +Argz b) Arg z1 = Argz1 - Argz z2 c) z1z = z1 z d) z1 / z = z1 / z e) Vi Re z > v Rea > thỡ z1 = z = v z1,2 thỡ f) az vi n > 5) Hm Lụgarit l hm ngc ca hm W = ez v vit W = Lnz khai trin ta c Lnz = ln z + i(arg z + k2) vi k Z ,cũn ln z = ln z + i arg z c gi l nhỏnh chớnh ca Lnz Cỏc tớnh cht ca Lnz tng t nh thc.Riờng o hm ca Lnz ta phi thc hin trờn tng nhỏnh 6) Hm lng giỏc ngc,ú l cỏc hm a tr : a) W = arcsin z = -iln(iz+ z ) b) W = arccosz = -iln(z+ z 1) i + iz c) W = arctan z = l n iz Vớ d:Tớnh Re(arctgei ) vi nhn 7) Hm ly tha tng quỏt W=z a vi a = + i v vit W=eaLnz c th W = e( + i) ln z + iArgz = e ln z Argz ei ( ln z + Argz ) Đ3:TCH PHN HM BIN PHC ằ ,chia AB ằ bi cỏc im I nh ngha:Cho hm f(z) xỏc nh trờn ng L = AB chia theo th t A z ,z1 ,z ,z3 z n B trờn cung t z k n z k +1 ly bt k im k n nu tn ti gii hn lim d f (k )z k ú d = max z k k =0 vi z k = z k +1 z k ằ v cỏch chn k thỡ gii hn ú gi l v gii hn khụng ph thuc vo phộp chia AB tớch ằ v vit phõn hm f(z) dc theo cung AB f (z)dz ằ AB Vi z = x + iy v f (z) = U(x, y) + iV(x, y) ú dz = dx + idy thỡ f (z)dz = U(x, y)dx V(x, y)dy + i V(x, y)dx + U(x, y)dy ằ AB ằ AB ằ AB Do ú cỏch tớnh v cỏc tớnh cht ca tớch phõn hm bin phc hon ton nh tớch phõn ng loi Vớ d: Tớnh z z = (z dz z0 )n vi n  Nu cú hm F(z) tha F(z) = f (z) thỡ ằ z AB z=B f (z)dz = F(z) z = A = F(B) F(A) ằ AB II nh lý Cụsi:Nu hm f(z) gii tớch G cú biờn L(trn) thỡ ẹ f (z)dz = L III Cụng thc tớch phõn Cụsi : Nu hm f(z) gii tớch G cú biờn L(trn) v z G thỡ f (z) z zo dz = f (zo ) 2i ẹ L Chng minh : Ta cú f (z) f (z) f (z o ) dz dz = dz + f (z ) o z zo z zo ẹ z zo 2i ẹ 2i ẹ 2i L L L mt khỏc f (z) f (z ) < vỡ f (z) liờn tc ti z , nờn f (z) dz f (z) f (z o ) dz f (z o ) ẹ = dz < ẹ ẹ 2i L z z o 2i z z i z z o o L L tc l f (z) dz = f (z o ) ẹ 2i L z z o Vớ d : a) I = b) I = IV dz z2 z = ẹ ẹ z = z zdz +9 Tớch phõn loi Cụsi :Gi s L l ng cong trn tng khỳc f(z) liờn tc trờn L,khi ú f ( ) d c gi l tớch phõn loi Cụsi z L z L thỡ F(z) = f ( ) d gii tớch D khụng z L nh lý : Cho f(z) liờn tc trờn L,khi ú F(z) = cha L (n) v F (z) = n! f ( ) d 2i L ( z) n +1 c bit L l ng cong kớn, t cụng thc tớch phõn cụ si ta cú f (n) (z) = n! f ( ) d ẹ 2i L ( z) n +1 Vớ d : a) I = b) I = cos z ẹ 1) (z 5) z = (z dz dz ẹ (z2 1)3 z =1 Đ4: CHUI TAYLOR-LAURENT I Chui Taylor: Mi hm f(z) gii tớch ti z = a luụn biu din di dng f (z) = f (n) (a) n n! ( z a ) n Khai trin Taylor ca mt s hm s cp c bn ti z = z 2n +1 a) sin z = (1) ( 2n + 1) ! n =0 n z 2n b) cos z = ( 1) ( 2n ) ! n =0 z c) e = n zn n = n! ix c bit z = ix ta cú e = 2n 2n +1 (ix) n n z n z = ( 1) + i ( 1) ( 2n ) ! n ( 2n + 1) ! n = n! n =0 =0 eix = cos x + isin x (Cụng thc Euler) v II Chui Laurent: nh lý v nh ngha : Hm f(z) gii tớch G = { r < z a < R} ; z G thỡ luụn cú f (z) = n = cn ( z a ) Khai trin ú gi l chui Laurent ca f(z) n ti tõm z = a ú cn ( z a ) gi l phn u n =0 n n =1 c n ( z a) n gi l phn chớnh Chng minh : Theo tớch phõn Cụsi f (z) = f ( ) f ( ) f () d = d d ẹ ẹ ẹ 2i C z 2i L z 2i L z ú L1 v L l hai ng trũn tõm z = a G,sao cho gii hn bi L1 v L cha z Ta cú 1 = z ( a) (z a) vi L a > z a ; (z a) n = ( a) (z a) n = ( a) n +1 f ( ) f ()d d = (z a) n (1) ẹ ẹ n + 2i L z n = 2i L ( a) 2 f ( ) f ()d d = ( a) n (2) Tng t vi L1 ẹ ẹ n + 2i L z n = 2i L (z a) 1 Trong (2) t n + = k f ()d f ()d n (z a) n (z a) + ẹ ẹ ẹ n + n + 2i L ( a) 2i L ( a) n = L2 n =1 tớch phõn trờn L1 v L khụng ph thuc vo ng ly tớch phõn Nờn ta t cn = III f ()d vi n = 0, 1, 2, 3, ú l iu phi chng minh ẹ 2i L ( a) n +1 PHN LOI IM BT THNG 1) Khụng im: z = a c gi l khụng im ca f(z) nu f (a) = im z = a c gi l khụng im cp m ca f(z) nu: f (z) = (z a) m (z) ú (a) v gii tớch ti z = a 2) nh ngha: z = a c gi l im bt thng cụ lp ca hm f(z) nu lõn cn ca z = a ch cú nht a l im bt thng ca f(z) Gi s z = a l im bt thng cụ lp ca hm f(z) lim f (z) = A thỡ z = a gi l im bt thng b c z a Nu phn chớnh ca khai trin Laurent ti z = a ch cú hu hn s hng tc l n =1 c n ( z a) n = cm ( z a) m + c m +1 ( z a) m + + c ú c m thỡ z = a za c gi l cc im cp m Nu phn chớnh ca khai trin Laurent ti z = a cú vụ s s hng thỡ z = a c gi l im bt thng ct yu 3) nh lý : Cho f (z) = f1 (z) ú f (z) nhn z = a l khụng im cp m v f (z) f1 (a) Thỡ f(z) nhn z = a l cc im cp m Đ5:THNG D V NG DNG I THNG D 1) nh ngha 1: Cho z l im bt thng cụ lp ca hm f(z) thỡ 2i ẹ f (z)dz z zo = r khụng ph thuc vo ng ly tớch phõn.Nờn ta gi 2i ẹ z zo = r f (z)dz l thng d ca f(z) ti z Ký hiu Res [ f (z),z o ] = 2i ẹ f (z)dz z zo = r 2) nh ngha 2:ta gi thng d ca hm f (z) ti z = (nu nú khụng l gii hn ca im bt thng cụ lp z ) Res [ f (z), ] = 2i ẹ f (z)dz tớch phõn ly theo ly theo chiu thun chiu kim ng C h Trong ú gii hn bi C cha mi im bt thng ca hm s f (z) M Gi s f (z) cú { a k } k =1 l cỏc im bt thng cụ lp (k c z = nu nú khụng l gii hn ca im bt thng cụ lp no c).Khi ú Res [ f (z), ] + M k =1 Res [ f (z),a k ] = 3) Cụng thc tớnh : Ta ó cú cn = f ()d ( z )n +1 vi n = 0, 1, 2, 3, Khi 2i ẹ L n = c1 = f (z)dz ú c1 l h s khai trin Laurent ti z0 2i ẹ L 4) Cỏch tớnh thng d: a) Thng d cc im cp m : Res [ f (z),a ] = (m 1) lim (z a) m f (z) (m 1)! z a 10 4) Tớnh tr :Cho hm f (t) thỡ hm (t a)f (t a) gi l hm tr ca f (t) vi a>0 v f (t) Ô F(p) thỡ (t a)f (t a) Ô e pa F(p) 5) Hm xung v biu din hm qua hm (t) :Hm xung l hm cú dng (t) f (t) = a < t < b t (a,b) ú ta cú f (t) = (t a)(t) (t b)(t) T 6) nh ca hm tun hon:Cho f (t) = f (t + T) thỡ + ta cú f (t) Ô e pt f (t)dt = o =e pT + e pt f (t + T)dt = e pT o + e f (t) Ô pu e pt f (t)dt epT f (u)du T T T + pu pT pu pu e f (u)du e f (u)du ữ = e F(p) e f (u)du = F(p) ữ 0 T F(p) = e pu f (u)du e pT V D:Tỡm nh ca hm f (t) = sin t 7) o hm ca hm gc: cho f (t) Ô F(p) Tỡm nh ca hm f (k) (t) vi k = ta cú f (t) Ô + e pt f (t)dt = e pt f (t) + +p + e pt f (t)dt = pF(p) f (0) vi k = thỡ f (t) Ô p [ pF(p) f (0) ] = p F(p) pf (0) f (0) vy f (k) (t) Ô p k F(p) p k 1f (0) p k 2f (0) pf (k 2) (0) f (k 1) (0) t 8) Tớch phõn hm gc : cho f (t) Ô F(p) Tỡm nh ca hm f (u)du 16 t Chng minh : Gi s f (u)du = (t) v (t) Ô (p) Khi ú (t) Ô p(p) (0) nhng (0) = Mt khỏc (t) = f (t) ,nờn (p) = F(p) p 9) o hm hm nh: cho f (t) Ô F(p) Tỡm gc ca F(k) (p) Chng minh:Ta ó cú F(p) = + tf (t)dt tf (t) Ô F(p) nờn tip tc ly o hm theo p hai v ta c F(p) = + (t) f (t)dt ,tc l ( t) f (t) Ô F(p) F(k) (p) Ô ( t)k f (t) 10) Tớch phõn hm nh : cho f (t) Ô F(p) Tỡm gc ca F(u)du (nu hi t) p Chng minh: Ta cú + e ut p + + + f (t) pt f (t) ut f (t)dt du = f (t)dt e du = e dt F(u)du Ô t t p p + 11) Tớch chp v nh ca nú : Cho hai hm f (t) v g(t) thỡ f (u)g(t u)du c gi l tớch chp ca hai hm f (t) v g(t) Ký hiu : f g = + f (u)g(t u)du LU í: f g = gf 17 Nu f (t) v g(t) l hai hm gc thỡ + t f (u)g(t u)du = f (u)g(t u)du v vi f (t) Ô F(p) v g(t) Ô G(p) thỡ f g Ô F(p)G(p) Chng minh:Ta cú f g Ô + (f g)e pt dt = + t + + pt pt f (u)g(t u)du e dt = g(t u)e dt f (u)du u t t u = v thỡ + + g(v)e p(u + v) + + pv dv f (u)du = g(v)e dv e pu f (u)du = F(p)G(p) 0 12) Cụng thc Duyhammen:Cho f (t) Ô F(p) v g(t) Ô G(p) thỡ pF(p)G(p) = p [ F(p) f (0) ] G(p) + f (0)G(p) Ô f (0)g(t) + f g hoc pF(p)G(p) = p [ G(p) g(0) ] F(p) + f (0)F(p) Ô f (0)f (t) + g f (t) 13) iu kin mt hm l nh ca mt hm gc nh lý : Gi s hm F(p) l hm bin phc tha Gii tớch na mt phng Re p > so F(p) = plim a + i F(p)dp hi t tuyt i vi Re p a > so a i a + i F(p)e pt dp Khi ú F(p) l nh ca hm gc f (t) v f (t) c xỏc nh f (t) = 2i a i 14) Cụng thc tỡm hm gc ca mt phõn thc thc s 18 Cho F(p) = A(p) (ti gin).Gi s a k (k = 1,M) l cỏc cc im ca F(p) thỡ F(p) l B(p) nh M pt ca hm gc f (t) v f (t) = R esF(p)e ,p = a k k =1 III ng dng gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh h s hng s: Cho phng trỡnh a o x (n) + a1x (n 1) + a x (n 2) + a x (n 3) + + a n 1x + a n x = f(t) tha iu kin x (k) (0) = x k vi k = 0,n Cỏch gii : Gi s x Ô X thay x (k) Bp k X p k 1x o p k x1 px k x k v f(t) Ô F(p) Qua ú ta tớnh c X = A(p) T õy ta tỡm c x(t) B(p) Chỳ ý: i vi h phng trỡnh ta cng lm tng t V D: a) y + (t + 1)y + ty = y(0) = 1; y(0) = b) Gii h phng trỡnh x 3x 4y + = y + x + y = vi iu kin x(0) = x (0) = y(0) = y(0) = Đ2:PHẫP BIN I FOURIER I Nhc li mt s v chui Fourier ao + a n cos nx + b n sin nx Cho hm f(x) tun hon chu k thỡ luụn cú f(x) = n =1 ú: 19 a o = f(x)dx a n = f(x)cosxdx vi n = 1,2,3 b n = f(x)sinnxdx vi n = 1,2,3 Khi f(x) tun hon chu k 2l thỡ luụn cú f(x) = ao n n + a n cos x + b n sin x n =1 l l ú cỏc h s c xỏc nh l a o = f(x)dx l l l n a n = f(x)cos xdx vi n = 1,2,3 l l l l n b n = f(x)sin xdx vi n = 1,2,3 l l l Nu hm f(x) l hm chn thỡ b n = vi n = 1,2,3 cũn hm f(x) l hm l thỡ a n = vi n = 0,1,2,3 II Phộp bin i Fourier 1) nh lý : Hm f(x) kh tớch trờn R v tha iu kin irichlet thỡ + + f(x) = d f (t)cos (t x)dt (1) Ta cú f (t)cos (t x) l hm chn theo v f (t)sin (t x) l theo nờn + + + + 1 f(x) = d f (t) [ cos (t x) isin (t x) ] dt = d f (t)e i (t x)dt (2) 20 Khi ú (1) v (2) c gi l cụng thc tớch phõn Fourier thc v phc tng ng,v ta cú + + + + 1 i (t x) ix it d f (t)e dt = e f (t)e dt d 2) nh ngha : Ta gi + f (t)e it dt l bin i Fourier ca hm f(x) a) f$ () = + f$ ()eix d l bin i Fourier ngc ca hm f(x) b) f(x) = Nu f(x) l hm chn thỡ f(x) = = V f$ () = cũn f(x) = + + d f (t) [ cos t cos x sin t sin x ] dt + + cos x f (t)cos tdt d + f (t)cos t dt gi l bin i Fourier theo cosin + f$ ()cos xd gi l bin i Fourier ngc theo cosin Cũn f(x) l hm l tng t ta cú f$ () = v f(x) = + f (t)sin tdt gi l bin i Fourier theo sin + f$ ()sin x d gi l bin i Fourier ngc theo sin LU í : a) Cỏc nh ngha trờn cú ý ngha thun tỳy toỏn hc 21 b) Nu hm x(t) l hm dng súng theo bin thi gian t (vi tn s f),t = 2f + + + + i t i u i2 ft i2 fu x(t) = e x(u)e du d = e x(u)e du df thỡ ta cú c) Trong k thut thỡ ngi ta nh ngha : )= X(f + x(u)e i2 fu du l bin i Fourier ca hm x(t) x(t) = + )e X(f i2 ft du l bin i Fourier ngc ca hm x(t) Ký hiu : F{ f (x)} = f () { l bin i Fourier thun hoc f(x) Ô f$ () } F f () = f (x) l bin i Fourier ngc t d) Hm Dirac (t) = t = + ú l hm chn v tha (t)dt =1 + Vi mi hm f (t) liờn tc ti luụn cú f (t)(t)dt = f (0) Khi ú (t) Ô + (t)e i2 ft dt = F { 1} + = ei2 ft df v (at) = (t) vi a a V D: a) Tỡm hm f (t) chn tha + f (x)cos tdt = > 22 + Qua ú tớnh tớch phõn I = sin x x2 Chng minh:Ta cú f (x) = + + 0 dx f (x)cos tdt cos xd = (1 )cos xd =1 sin x sin x cos x cos x = = ữ x x x = x2 + T ( cos x ) cos xdx = x2 + > x ữ cos xd x = ữ 2 x ữ + sin 2 sin u u2 cos 2udu = Vi = thỡ I = > > b) Tỡm hm l f (t) tha + Do hm l nờn f (t) = t < f (u)sin(ut)du = t t + + f (u)sin udu sin td f (t) = sin td + sin td ữ = ( cos t 2coss2t ) v ữ t c) T bin i Fourier ca f(x) = e x + vi x Tớnh I = x sin mx x2 + dx 23 Chng minh:Thỏc trin hm f(x) = e x thnh hm l,khi ú bin i Fourier l ) = X( + + u u e sin udu = e sin u e cosu e u sin udu ữ = ữ +1 u =0 u =0 u Ta cú f(x) = + + )sin xd l bin i Fourier ngc ca f(x) = e x nờn X( sin x d = +1 + sin x + d = e x I= + .e m dx = x2 + x sin mx 3) Cỏc tớnh cht (trong k thut): ) v F{ y(t)} = Y(f ) vi ; = cosnt thỡ a) Tuyn tớnh : Cho F{ x(t)} = X(f ) + Y(f ) F{ x(t) + y(t)} = X(f f ) thỡ F{ x(at)} = X b) ng dng : Cho F{ x(t)} = X(f ữ a a )= T X(f + x(u)e i2 fu du F{ x(at)} = + x(au)e i2 fu + f + f i2 v f ) a > a du = X( du = x(v)e a a a Khi a < ta cú kt qu F{ x(at)} = + x(au)e i2 fu i2 v f) a du = X( du = x(v)e a a a Tng hp ta cú F{ x(at)} = f X ữ a a ) thỡ F{ x(t t )} = e i2 t o X(f ) c) Tr : Cho F{ x(t)} = X(f { } f ) ) thỡ F ei2 fo t x(t) = X(f d) Dch chuyn nh : Cho F{ x(t)} = X(f 24 ) thỡ e) iu ch:Cho F{ x(t)} = X(f à + f ) F{ x(t)cos(i2f t)} = X(f f ) + X(f { } ) ) thỡ F x (k) (t) = (i2f ) k X(f f) o hm ca hm gc: Cho F{ x(t)} = X(f Chng minh: vi k = thỡ x (t) = + )e (i2f )X(f i2 ft vi k = thỡ x (t) = + (i2f ) ) df tc l F{ x (t)} = (i2f )X(f 2à ) Qua ú ta X(f )ei2 ft df tc l F{ x (t)} = (i2f ) X(f c diu phi chng minh { } (n) (f ) ) thỡ F t n x(t) = (i2) n X g) o hm hm nh : Cho F{ x(t)} = X(f (k) (f ) = Vỡ X + (i2u) k { { } (n) (f ) hay x(u)e i2fu du tc l F (i2t) n x(t) = X } (n) (f ) F t n x(t) = (i2) n X ) v F{ y(t)} = Y(f ) thỡ F{ x y} = X(f )Y(f ) h) Tớch chp: Cho F{ x(t)} = X(f Chng minh: Ta cú F{ x y} = + + i2ft x(u)y(t u)du dt e + + + + i2 ft i2 fu )Y(f ) = x(u) y(t u)e dt du = x(u)e du y(v)e i2fv dv = X(f III Bin i Fourier hu hn n =+ Cho dóy s { x(n)} n = Bin i Fourier hu hn ca nú c xỏc nh 25 )= X(f n =+ x(n)e i2nf (khi chui v phi hi t) n = ) kớ hiu: F{ x(n)} = X(f )ei2 nf df V cụng thc bin i ngc l x(n) = X(f )ei2 fn df ta cú x(n) = Nu t = 2f thỡ t x(n) = X(f 2 )e X( in d n =+ iu kin dóy tớn hiu ri rc { x(n)} n = cú bin i Fourier hu hn l: n = x(n) < (tc l chui hi t) n = ) v F{ y(n)} = Y(f ) Tớnh cht: Cho F{ x(n)} = X(f ) + Y(f ) 1) Tuyn tớnh: F{ x(n) + y(n)} = X(f ) 2) Tr : F{ x(n n o )} = ei2 n o f X(f { } i2 n f f ) 3) Dch chuyn nh: F e o x(n) = X(f o IV Bin i Fourier ri rc: Khi cỏc hm s biu din cho cỏc tớn hiu thỡ bin i Fourier ca chỳng c gi l biu din ph.Vic tớnh toỏn bin i Fourier da vo mỏy tớnh phi c ri rc húa bng cỏch chn mt s hu hn cỏc giỏ tr mu theo thi gian v ph cng nhn c ti mt s hu hn cỏc tn cú s 1) nh ngha: Cho dóy s x(n) xỏc nh vi n { 0, 1, 2, 3, ,N-1} 26 Chui Fourier ri rc ca dóy x(n) c xỏc nh X(k) = N x(n)e i2 kn N ú k Z n =0 t W= i2 eN Khi ú X(k) = N x(n)W kn v n =0 a) W mN = v W mN + n = W n Chng t W tun hon chu k N N b) W kn k =0 N W kn = N n = lN ( l Ơ ) = nu n lN v k =0 N Vỡ n lN thỡ W n v W Nn = nờn W kn = ( ) Wn k =0 1-W n N =0 N n Cũn n = lN thỡ W = nờn 1= N k =0 2) nh ngha:Bin i Fourier ri rc ca dóy tớn hiu tun hon chu k N c xỏc nh : X(k) = N x(m)W mk m =0 vi k = 0, N-1 T nh ngha ta thy a) X(k + mN) = X(k) Chng t X(k) l hm tun hon chu k N b) Bin i Fourier ri rc ca dóy tớn hiu x(n) l kt qu mt chu k ca chui Fourier ri rc 27 3) nh lý:Vi mi dóy tớn hiu x(n) tun hon chu k N,thỡ N x(n) = X(k)W nk c gi l bin i Fourier ngc ca dóy tớn hiu x(n) tun N k =0 hon chu k N Chng minh: Tht vy: N N N 1 N N nk mk nk k(n m) X(k)W = x(m)W W = x(m)W ữ ữ ữ ữ N k =0 N k = m = N k = m = N N k(m n) 1 N k(n n) = x(m) W = x(n) W = x(n) m , n N ữ ữ N N m =0 k =0 k =0 VD:Cho dóy tớn hiu x(n) tun hon chu k N chn tha x(n) = x(n + N/2) CMR bin i Fourier ri rc X(k) ca dóy x(n) tha X(k) =0 = Chng minh:Ta cú X(k) N x(n)W kn n =0 = N + N m= N N k km x(m)W W = N + N m= N N = x(n + N / 2)W kn n =0 x(m)W km = X(k) T ú X(k) =0 V QUAN H GIA PHẫP BIN I LAPLACE V FOURIER nh lý : Gi s hm F(p) l hm bin phc tha 28 Gii tớch na mt phng Re p > so F(p) = plim a + i F(p)dp hi t tuyt i vi Re p a > so a i a + i F(p)e pt dp Khi ú F(p) l nh ca hm gc f (t) v f (t) c xỏc nh f (t) = 2i a i Cho mt hm f (t) tha cỏc iu kin ca mt hm gc phộp bin i Laplace, f (t) cú nh Fourier thỡ f (t) kh tớch trờn Ă Tc f (t) < Met ( < 0) a + i i 1 e pt F(p)dp Do < chn a = , nờn f (t) = e pt F(p)dp Ta ó cú f (t) = 2i a i 2i i + $ ) , hay ta vit li eit F(i)d ú F(i) = F( t p = i thỡ f (t) = + + i t i u f (t) = f (u)e du e d c bit = 2f : x(t) = + + i2ft i2 fu x(u)e du d e $ ) vi p = i Nh vy :vi F(p) Ô f (t) thỡ F(p) = F( Vớ d: Tỡm bin i Fourier ca hm (t 1) t > x(t) = < t < Chng minh: 29 Theo Laplace: x(t) = (t 1)(t 1) 2e p p3 = 2e i (i)3 = 2i 2Ô 2e p p3 vi p = i thỡ cos isin Mt khỏc $ ) = F( + t =+ (t 1) e it 2(t 1)e it 2e it 2e i it (t 1) e dt = = i (i) (i)3 t =1 (i)3 30 [...]... (a) ≠ 0 đồng thời f 2 (z) giải tích tại z = a thì Res [ f (z),a ] = f1(a) f 2′ (a) c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent qua đó xác định c−1 II ỨNG DỤNG 1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử a k (k = 1, N) là các điểm bất thường của f (z) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì N Ñ ∫ f (z)dz = 2πik∑=1 Res [ f (z),a k ] L +∞ 2) Tích phân thực ∫ f (x)dx... với z > 1 ⇒ 0 z ′ ′ khi n ≥ 0 ¤ −z −z ÷ khi n < 0 z − 1 với z > 1 Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm W = f (z) hãy tìm một dãy số x(n) sao cho qua biến đổi Z dãy x(n) cho ảnh là W = f (z) CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN §1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE I KHÁI NIỆM: 1) Định nghĩa : Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau... ¤ F′′(p) ⇒ F(k) (p) ¤ (− t)k f (t) 0 ∞ 10) Tích phân hàm ảnh : cho f (t) ¤ F(p) Tìm gốc của ∫ F(u)du (nếu hội tụ) p Chứng minh: Ta có ∞ +∞ ∫ ∫ e − ut p 0 +∞ +∞ +∞ ∞ f (t) − pt f (t) − ut f (t)dt du = ∫ f (t)dt ∫ e du = ∫ e dt ⇒ ∫ F(u)du ¤ t t 0 p 0 p +∞ 11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm f (t) và g(t) thì ∫ f (u)g(t − u)du −∞ được gọi là tích chập của hai hàm f (t) và g(t) Ký hiệu... hàm biến phức thỏa mãn 28 1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p > so F(p) = 0 2 plim →∞ a + i∞ 3 ∫ F(p)dp hội tụ tuyệt đối với ∀ Re p ≥ a > so a − i∞ a + i∞ 1 F(p)e pt dp Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định f (t) = ∫ 2πi a − i∞ Cho một hàm f (t) thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi Laplace, để f (t) có ảnh Fourier thì f (t) khả tích trên ¡ Tức f (t) < Meαt... ta chỉ cần ghi f (t) là hàm gốc 2) Định lý: Giả sử s o là chỉ số tăng của f (t) ,với p = s + iσ thì tích phân +∞ ∫ f (t)e − pt dt o +∞ ∫ f (t)e p →∞ hội tụ ∀s > so ,hơn nữa lim − pt dt = 0 o +∞ ∫ f (t)e Chứng minh:Ta có − pt dt ≤ M +∞ o +∞ ∫ f (t)e − pt ∫e − (s − s o )t dt = o M với s > so Tức là tích phân s − so dt hội tụ.Mặt khác khi p → ∞ tức là s → ∞ o +∞ hay ∫ f (t)e − pt ∫ f (t)e p →∞ dt < ε... và −∞ −∞ +∞ +∞ iα x f (x)sin α xdx = Im f (x)e dx ∫ ∫ −∞ −∞ a) Bổ đề : Gọi CR là cung tròn z = R có Im z > a với a ∈ R cố định.Nếu F(z) = eiαx f (z) với α > 0 cố định,còn f (z) giải tích trong nửa mặt phẳng Im z ≥ a trừ một f (z) = 0 thì lim số hữu hạn các điểm bất thường và zlim R →∞ →∞ b) Định lý : Cho f (z) = ∫e i αx f (z)dz = 0 CR f1 (z) với fi (z) có deg f1 (z) + 1 ≤ deg f... (0)g(t) + f ′ ∗ g hoặc pF(p)G(p) = p [ G(p) − g(0) ] F(p) + f (0)F(p) ¤ f (0)f (t) + g ′ ∗ f (t) 13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn 1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p > so F(p) = 0 2 plim →∞ a + i∞ 3 ∫ F(p)dp hội tụ tuyệt đối với ∀ Re p ≥ a > so a − i∞ a + i∞ 1 F(p)e pt dp Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định f... F(p) là B(p) ảnh M pt của hàm gốc f (t) và f (t) = ∑ R esF(p)e ,p = a k k =1 III Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số: Cho phương trình a o x (n) + a1x (n −1) + a 2 x (n − 2) + a 3 x (n − 3) + + a n −1x ′ + a n x = f(t) thỏa mãn điều kiện x (k) (0) = x k với k = 0,n − 1 Cách giải : Giả sử x ¤ X thay x (k) Bp k X − p k −1x o − p k − 2 x1 − − px k − 2 − x k −1 và f(t) ¤... 1) Định lý : Hàm f(x) khả tích trên R và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì +∞ +∞ 1 f(x) = ∫ dλ ∫ f (t)cos λ(t − x)dt (1) 2π −∞ −∞ Ta có f (t)cos λ(t − x) là hàm chẵn theo λ và f (t)sin λ(t − x) lẻ theo λ nên +∞ +∞ +∞ +∞ 1 1 f(x) = dλ ∫ f (t) [ cos λ(t − x) − isin λ(t − x) ] dt = dλ ∫ f (t)e −iλ (t − x)dt (2) ∫ ∫ 2π −∞ −∞ 2π −∞ −∞ 20 Khi đó (1) và (2) được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức... Khi đó N M +∞ +∞ ∫ f (x)dx = 2πik∑=1Res [ f (z),a k ] + πi k∑=1Res [ f (z),b k ] −∞ ∫ f (x)cosαxdx 3) Tích phân dạng và −∞ ∫ f (x)sinαxdx với (α > 0) −∞ Theo công thức ơle,ta có f (x)eiαx = f (x)cos αx + if (x)sin αx khi đó +∞ ∫ f (x)e iα x dx = −∞ +∞ +∞ ∫ f (x)cos αxdx + i ∫ f (x)sin αxdx −∞ nếu các tích phân hội tụ −∞ +∞ +∞ iα x Qua đó ∫ f (x)cosαxdx = Re ∫ f (x)e dx và −∞ −∞ +∞ +∞