ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: Đònh nghóa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: nlim un hay un n Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay dần tới a) n , nlim (vn – a) = Kí hiệu: nlim = a hay vn a n Một vài giới hạn đặc biệt: Từ đònh nghóa ta suy kết sau: 1 ; lim k với k nguyên dương; n n n n b) lim q q ; a) nlim n c) Nếu un = c (c số) nlim un = nlim c = c * Chú ý: Từ sau thay cho nlim un = a, ta viết tắt limun = a II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN: Đònh lí: a) Nếu limun = a limvn = b thì: lim(un + vn) = a + b; lim(un.vn) = a.b; lim(un – vn) = a – b; lim un a b (nếu b 0) b) Nếu un với n limun = a a lim un a NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q Đònh lí: a) Nếu limun = a limvn = lim un b) Nếu limun = a > 0, limvn = > với n lim un c) Nếu limun = limvn = a > limunvn = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 0; n n lim lim n n k lim qn ( q 1) ; (k Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: n a (nếu b lim b a) Nếu lim un lim lim un =0 c) Nếu lim un = a 0, lim = b) Nếu un 0, n lim un= a a lim un a u1 un a.v n = nế u a v n 0 d) Nếu lim un = +, lim = a lim c) Nếu un ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un a Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn q 1 0 un b) Nếu lim un = a, lim = 0) S = u1 + u1q + u1q2 + … = ) Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b un lim qn (q 1) lim C C n lim nk (k lim n ) a a lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có 1 q dạng vơ định: , , – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức a b a b a b; Dùng định lí kẹp: Nếu un ,n a b a2 ab b2 a b lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM : Kí hiệu: K = (a; b) K = (-; b) K = (a; +) K = (-; +) Đònh nghóa: Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác đònh K K\{x0} Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} xn x0 , ta có f(x) L Kí hiệu: lim f ( x) L hay f(x) L x x0 xx * Nhận xét: lim x x lim c c , với c số xx x x0 Đònh lí giới hạn hữu hạn: Đònh lí: a) Giả sử lim f ( x) L lim g ( x) M Khi đó: x x0 x x0 lim f ( x) g ( x) L M ; xx lim f ( x) g ( x) L M ; xx 0 f ( x) xlim f ( x).g ( x) L.M ; x L lim (nếu M 0) x x g ( x) M b) Nếu f ( x) lim f ( x) L , L lim f ( x) L xx xx 0 0 (Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với x x0 ) Giới hạn bên: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (x0; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x x0 với dãy số (xn) bất kì, x0 xn b xn x0 , ta có f ( xn ) L Kí hiệu: lim f ( x) L x x 0 Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; x0 ) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f(x) x x0 với dãy số (xn) bất kì, a xn x0 xn x0 , ta có f ( xn ) L Kí hiệu: lim f ( x) L x x 0 Đònh lí: xlim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 x x 0 x x 0 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC: Đònh nghóa: a) Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x vói dãy số (xn) bất kì, xn > a xn , ta có f ( xn ) L Kí hiệu: xlim f ( x) L hay f ( x ) L x b) Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (-; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x vói dãy số (xn) bất kì, xn < a xn , ta có f ( xn ) L Kí hiệu: xlim f ( x) L hay f ( x ) L x * Chú ý: a) Với c, k số k nguyên dương, ta có: xlim c c lim c c ; x xlim c 0 xk xlim c xk b) Đònh lí giới hạn hữu hạn hàm số x x0 x xn III– GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: Giới hạn vô cực: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; ) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn x với dãy số (xn) bất kì, xn > a xn , ta có f ( xn ) Kí hiệu: xlim f ( x) hay f (x ) x * Nhận xét: xlim f ( x) lim ( f ( x)) x Một vài giới hạn đặc biệt: x k với k nguyên dương a) nlim x k k số lẻ b) nlim x k k số chẵn c) nlim NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Một vài quy tắc giới hạn vô cực: a) Quy tắc tìm giới hạn tích: f(x).g(x) Nếu lim f ( x) L lim g ( x) (hoặc ) lim f ( x).g ( x) tính theo xx x x x x 0 quy tắc cho bảng sau: lim f ( x) lim g ( x) x x0 lim f ( x).g ( x) x x x x0 L>0 L0 + L ... LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; x x0 lim c c (c: số) x x0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: k chẵn... lí giới hạn hữu hạn hàm số x x0 x xn III– GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: Giới hạn vô cực: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; ) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn. .. http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 0; n n lim lim n n k lim qn ( q 1) ; (k Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: n a (nếu b lim b