chuyên đề ôn tập môn toán lớp 9 phần hình học
CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài Cho (O; R), dây AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB, kẻ dây MC, MD cắt AB E F CMR: a) ∆ MAE đồng dạng với ∆ MCA b) ME.MC = MF.MD c) Tứ giác CEFD nội tiếp d) Khi AB = R ∆ OAM Giải µ =µ · A1 ; AMC a) C chung => đpcm b) Câu a => MA.MC = MA2 (1) ∆ MBF đồng dạng với ∆ MDB => MF.MD = MB2 (2) (1)(2) => đpcm · ¶ => đpcm =D c) Chứng minh MEB d) Chứng minh : AI = =>OI = R AB = 2 OA = R/2 ∆ OAM cân => Đpcm Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Kéo dài AB, DC cắt E; CB DA cắt F a) CMR: DB ⊥ EF (Gọi chân đường vuông góc G) b) CMR: BA.BE = BC.BF = BD.BG c) c/m: B tâm đường tròn nội tiếp ∆ ACG d) Cho ·ABC = 135o Tính AC theo BD Giải: a) B trực tâm ∆ DFE b) ∆ BCE đồng dạng với ∆ BAF ∆ BCD đồng dạng với ∆ BGF µ = µA c) Tứ giác ABGF nội tiếp => F 1 ¶ ; F µ =D ¶ Tương tự, ¶A2 = D 1 ¶ => AB phân giác Suy ra, µA1 = A Tương tự, CB tia phân giác => đpcm d) ·ADC = 45o ⇒ ·AOC = 90o ⇒ AC = OA = BD Bài 3: Cho (O), đường kính AB = 2R, tiếp tuyến xBx’ Gọi C; D điểm thuộc đường tròn nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt xBx’ M, tia AD cắt xBx’ N Chứng minh: a) ∆ ADC đồng dạng với ∆ AMN b) Tứ giác MNDC nội tiếp c) AC.AM = AD.AN = AB2 d) Xác định vị trí C D để SACBD max e) CMR: AD + AC + AM + AN > 8R (Với M ≠ B ≠ N ) Giải: a,b) So sánh góc D1 M1 c) ∆ vuông ABM có: BC ⊥ AM => AC.AM = AB2 Tương tự, AD.AN = AB2 => đpcm d) C;D;O thẳng hàng CD ⊥ AB e) ( AC − AM ) >0 ⇒ AC + AM > AC AM = R ( M ≠ B ≠ N ) Bài 4: Cho hình chưc nhật ABCD nội tiếp (O) tiếp tuyến C với đường tròn cắt AB, AD kéo dài E F a) CMR: AB.AE = AD.AF (bằng pp) b) Gọi M trung điểm EF C/m: AM ⊥ BD c) Tiếp tuyến B D với (O) cắt E, F I J C/m: IJ = EF d) Cho CE = cm; CF = cm Tính SBDJI; SBDFE Giải: a) pp 1: ∆ ABD đồng dạng với ∆ AFE pp 2: hệ thức lượng ∆ ACE; ∆ ACF ¶ =F µ ;µ µ mà F µ +E µ = 1v => đpcm A1 = E b) B c) IB = IC; BI = IE => đpcm S BD d) ghi nhớ ABD = ÷ = S AEF EF 16 Bài Cho đường tròn (O; R) (O’; 2R) tiếp xúc A Qua A kẻ cát tuyến AMN APQ; M, P ∈ (O); N,Q ∈ (O’) a) C/m: O’ ∈ (O) MP// NQ b) Tia O’M cắt (O’) S Gọi H trực tâm ∆ SAO’ C/m: Tứ giác SHO’N nội tiếp c) So sánh độ dài MP, NQ Giải: a) OO’ = 2R- R = R * Kể tiếp tuyến chung Ax ( ) ¶ =N ¶ =µ A1 => đpcm Có M 1 ¶ , Sµ ; ¶A b) So sánh N 2 c) NQ = 2MP Bài Cho (O), dây AB Một điểm C đường tròn nằm tia AB Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường tròn cát AB tai D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I; AB cắt QI K a) C/m: Tứ giác PDKI nội tiếp b) C/m: CI.CP = CK.CD c) C/m: IC phân giác góc đỉnh I ∆ AIB (thay c/m: · · a) KDP = KIP = 1v b) ∆ CIK đồng dạng với ∆ CDP IA CA = ) IB CB Giải: · · » = BQP = sđ BP c) BIC Iµ2 = Iµ3 = sđ »AP » = »AP nên Iµ1 = Iµ2 => đpcm Mà BP Bài 7: Cho (O;R), hai đường kính AB CD vuông góc với Trên AB lấy M khác O Đường thẳng CM cắt (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) P CMR: a) T/g OMNP nội tiếp b) T/g CMPO hbh c) Tính CM.CN không phụ thuộc vị trí M d) Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định Giải: o · · a) OMP = ONP = 90 µ =N ¶ => MC // OP ; MP // OC b) O 1 c) Dùng đồng dạng để c/m CM.CN = CO.CD = 2R2 · d) C/m: ∆ ONP = ∆ ODP (cgc) => ODP = 1v nên P chạy đường thẳng cố định Do OM ∈ AB nên P ∈ EF Bài 8: Cho đoạn thẳng AB P nằm A B Trên nửa mp bờ AB, kẻ tia Ax, By vuông góc với AB lấy tia hai điểm C D cho: AC.BD = AP.BP (1) a) C/m: ∆ ACP đồng dạng với ∆ PBD b) C/m: góc CPD = 90o từ suy ra, cách dựng điểm C D thỏa mãn (1) c) Gọi M hình chiếu P CD CMR: góc AMB = 90o d) CMR: Khi C, D chạy Ax, By thỏa mãn (1) M chạy nửa đường tròn cố định e) Gọi E, F …Tìm vị trí M để EF = R Giải: AC AP µ µ = ; A = B = 90o => Đpcm BP BD µ µ ⇒P µ +P µ = 1v => Đpcm b) Có C1 = P 1 a) (1) => Lấy C tùy ý Ax Nối CP Kẻ PD ⊥ CP ( D ∈ By ) c) Sử dụng tứ giác nội tiếp MCAP, MDBP · · c/m: MAB + MBA = 1v · d) Do AMB = 1v AB cố định => đpcm e) C/m: tam giác PMB PMA cân => PA = PB (=PM) => P trung điểm AB Bài 9: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R M tùy ý (O), M khác A; B Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By C, D · a) C/m: CD = AC + BD; COD = 90o b) AC.BD không đổi c) OC cắt AM E; OD cắt BM F C/m: EF = R d) Tìm vị trí M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ e) Tìm vị trí M để tam giác MAB có chu vi lớn Tính chu vi theo R Giải: a) CA = CM; DB = DM => Đpcm µ =D ¶ = 90o b) C 1 c) ∆ vuông COD có: CM.DM = OM2 d) ACDB hình thang vuông => S= ( AC + BD ) AB = ( AC + BD ) R Vậy Smin (AC + BD) Mà AC + BD = 2OM1 (OM1 trung bình) OM1 > OM Vậy Smin M ≡ MM1 M điểm cung AB e) P = MA + MB + AB P max (MA + MB) max (MA + MB)2 max (MA2 + MB2 + 2MA.MB) max (AB2 + 2.MA.MB) max MA.MB max MH.AB max Mà MH < R Vậy MH max MH = R M điểm cung AB Bài 10: Cho ∆ ABC vuông A (AB > AC) Đường cao AH Trên nửa mp bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F, nửa đtròn đường kính BC a) C/m: T/g AFHE hcn b) C/m: T/g BEFC nội tiếp c) C/m: AE.AB = AF.AC d) C/m: EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn e) Cho HC = 2cm; HB = 6cm Tính diện tích mp giới hạn nửa đường tròn diện tích hình » ; FC » viên phân giới hạn BE Giải: · · a) C/m: BEH = HFC = 1v µ =B µ b) C/m: F c) Dùng hệ thức lượng với tam giác vuông AHB, AHC µ =H ¶ ; E ¶ =H ¶ (tam giác O1EH cân) d) Hcn => E 1 2 ¶ +H ¶ = 1v ⇒ E µ +E ¶ = 1v ⇒ O E ⊥ EF => EF tiếp Mà H 2 tuyến (O1) Tương tự, EF tiếp tuyến (O2) Bài 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) P điểm cung nhỏ AB (phần không chứa C D) Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD , PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài cắt K CMR: · · a) CID = CKD b) T/g CDFE nội tiếp c) IK // AB d) PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD Giải: » » » » a) sđ CD - sđ PA = sđ CD - sđ PB µ =C µ b) C/m: F 1 ¶ =C µ mà F µ =C µ => c) T/g DIKC nội tiếp => K 1 1 µ =K ¶ => AB // IK F 1 d) Kẻ tiếp tuyến Ax với (AFD) ( ) · · ¶ => Ax ≡ AP Vậy AP tiếp xAF = PAF =D tuyến Bài 12: Cho ∆ ABC vuông A D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E, đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G C/m: a) ∆ ABC đồng dạng với ∆ EBD b) T/g ADEC , AFBC nội tiếp c) AC// FG d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy điểm ( Gọi điểm S) e) C/m: DE DA DF + + =1 SE BA CF g) D tâm đường tròn nội tiếp ∆ AEF Giải: a) Chung góc B µ = 1v => ADEC nội tiếp b) µA = E A; F nhìn BC góc vuông => AFBC nội tiếp µ =E µ ;E µ =F µ ⇒C µ =F µ => AC // FG c) C 1 1 1 d) D trực tâm tam giác SBC e) Quy diện tích tam giác SBC g) Giao điểm đường p/g Bài 13: Cho đường tròn (O1); (O2) tiếp xúc A Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O1) ; (O2) B; C a) ∆ ABC vuông b) Gọi M trung điểm BC C/m: AM tiếp tuyến chung đường tròn · MO = 90o c) C/m: O d) Các tia BA, CA cắt (O2);(O1) giao điểm thứ hai D E C/m: SADE = SABC Giải: µ = BO · A (= sđ » ) Tương tự, a) B AB 1 2 µ = ·AO C C 2 · A = 180o (2 góc phía) Mà ·AO2C + BO µ +C µ = 90o => Đpcm => B 1 b) C/m: ∆ O1AM = ∆ O1BM (ccc) · AM = O · BM = 1v => O 1 c) O1M p/g góc AO1B => ·AO1M = ·AO1B Tương tự, ·AO2 M = ·AO2C => ·AO1M + ·AO2 M = 180o = 90o => Đpcm d) C/m: E, O1, B thẳng hàng D, O2, C thẳng hàng Có EB // DC , áp dụng Ta- lét… =>AC AB = AD.AE => đpcm Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A; B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I, tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E, cắt tia BM F Tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) C/m: IA2 = IM.IB b) C/m: ∆ BAF cân c) C/m: T/g AKFH hình thoi d) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp Giải: a) Sử dụng HTLượng b) C/m BE vừa p/g vừa đường cao c) K trực tâm ∆ AFB =>FK //HA Vì EA = EF + Ta – lét => EH = EK => đpcm d) Hình thang AKFI nội tiếp Nó hình · thang cân ( ·AIF = IAK ) · · Mặt khác, IAK (đồng vị) => ∆ IHF vuông = IHF · cân F IAM = 45o Vị trí cân tìm M điểm cung AB Bài 15: Cho (O;R) Một dây CD có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S Qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO, OH E,F a) C/m: T/g SEHF nội tiếp b) C/m: OE.OS = R2 c) C/m: OH.OF = OE.OS d) Khi S di động tia đối tia DC C/m đường thẳng AB qua điểm cố định Giải: o · · a) SEF = SHF = 90 => đpcm b) OE.OS = OA2 = R2 c) ∆ HOS đồng dạng với ∆ EOF => đpcm d) Có OH cố định R2 Từ c/m => OF = không đổi => F cố OH định Bài 16: Cho (O;R) dây cung AB (AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB Từ C kẻ tiếp tuyến với đường tròn P; K Gọi I trung điểm AB a) C/m: T/g CPIK nội tiếp b) C/m: CP2 = CB.CA c) Gọi H trực tâm ∆ CPK Tính PH theo R d) Giả sử PA // CK C/m: tai đối tia BK tia p/g góc CBP Giải: a) Đường kính OC b) ∆ ACP đồng dạng với ∆ PCB (gg) c) OPHK hbh, OH ⊥ PK => hình thoi => PH = OP = R d) ∆ KBP ∆ CBK có: · · (= BPK = BKC ( » ) sđ BK · · · BCK = BKP = OPK ) · · · · => PBK => đpcm = CBK ⇒ PBx = CBx Bài 17: Cho ∆ ABC vuông A có AB = c, AC = b Vẽ đường cao AH Hạ HD ⊥ AB, HF ⊥ AC a) C/m: BC = c.cosB + b.cosC b) C/m: BD = BC.cos B c) C/m: BD + CE = BC 2 2 d) C/m: cos C – cos B = sin B – sin C = 1 − tan C + tan B + Giải: a) HB = c.cosB; HC = b.cosC => HB + HC = BC b) BD = BH.cosB BH = AB.cosB AB = BC.cosB =>đpcm c) BD = BC.cos B (cmt) 2 BD = BC cos B (1) Vì góc B góc C phụ nên cosC = sin B 2 Ta có: CE = BC sin B => CE = BC sin B (2) Từ (1) => BD = BC cos B (2)=> CE = BC sin B => BD + CE = BC = BC (đpcm) 2 2 2 c) cos C – cos B = (1-sin C) – (1 – sin B) = sin B – sin C (1) 1 1 1 − = − = − = cos 2C − cos2 B 2 2 2 sin B sin C + cos C sin B + cos B tan C + tan B + sin C (2) +1 +1 2 2 cos C cos B cos C cos B Từ (1)(2) => đpcm Bài 18: Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH Gọi I,K tương ứng tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABH ∆ ACH 1) C/m: ∆ AKH đồng dạng với ∆ BIH ∆ AIH đồng dạng với ∆ CKH 2) C/m: ∆ ABC đồng dạng với ∆ HIK 3) Đường thẳng IK cắt AB,AC M,N a) C/m: T/g HCNK nội tiếp b) C/m: AM = AN c) C/m: S’ < S S,S’ diện tích ∆ ABC , ∆ AMN Giải: 1) Có ∆ AHB đồng dạng với ∆ CHA (g.g) => IH AB = (tỉ số k, p/g tương ứng) HK AC IH HK = => (1) AB AC · IHK = 90o ⇒ ∆vABC , ∆vIHK có (1) => ∆ IHK đồng dạng với ∆ ABC (cgc) 2) ∆ IHK đồng dạng với ∆ ABC (cmt) · · · · a) IKC = NCH ⇒ HKN + HCN = 2v · b) Có ·ANM = KHC = 45o (cùng bù với góc KNC) · tương tự, ·AMN = IHB = 45o (cùng bù với góc INB) => ·ANM = ·AMN => đpcm c) Ta có: ∆ KAH = ∆ KAN (gcg)=> AH = AN (2) ∆ AIH = ∆ AIM (gcg) => AH = AM (3) (2)(3) => AH = AM = AN => S’ = 1 AM.AN = AH 2 AB.AC 1 1 1 = + ≥ = ⇒ AH ≤ S ⇒ 2S ' ≤ S ⇒ S ' ≤ S Mà 2 AH AB AC AB AC S Có SABC = (Có thể c/m OH < OM = BC/2) Bài 19: Cho (O), đường kính AB = 2R M di động nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với đường kính AB N Đường tròn cắt MA,MB điểm thứ hai C,D a) C/m: CD//AB b) C/m: MN tia p/g góc AMB đường thẳng Mn qua điểm K cố định c) C/m: Tích KM.KN không đổi d) Gọi giao điểm CN,DN với KB,KA C’,D’ Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC’D’ đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị theo R Giải: o a) ·AMB = 90 , C , D ∈ ( E ) => C,E,D thẳng hàng (O) tiếp xúc với (O’) => O,E, M thẳng hàng ( ) · · · => EDM = OBM = EMD => đpcm · · b) EN ⊥ AB (t/c t ) => EN ⊥ CD hay NEC = NED = 90o » = ND » = 90o ⇒ NMA · · => NC = NMB = 45o =>đpcm » = KB » = 90o => K cố định => KA c) ∆ AMK đồng dạng với ∆ NAK (gg) => KM.KN = AK không đổi d) C/m: NC’KD’là hcn, ∆ ND’A, NC’B vuông cân =>P = Chu vi ∆ NC’D’ = (NC’ + ND’) + C’D’ = AK + NK Pmin NK NK > OK Do đó, NK N ≡ O M điểm cung AB *) P = R + ( 2R = R + ) Bài 20: Cho đường tròn đường kính AB, điểm C,D đường tròn cho C,D không nằm nửa mp bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung nhỏ AC,AD M,N Giao điểm MN với AC,AD H,I Giao điểm MD với CN K a) C/m: ∆ NKD ∆ MAK cân b) C/m: T/g MCKH nội tiếp Suy ra, KH // AD · · ; DAK c) So sánh CAK d) Tìm hệ thức sđ »AC sđ »AD điều kiện cần đủ để AK//ND Giải: a) Dựa vào góc nội tiếp góc có đỉnh đường tròn · · => NKD =>đpcm = NDK *) Tương tự, ∆ MCK cân M => MK = MC mà MC = MA => MK = MA => ∆ MAK cân · b) ∆ MAN = ∆ MKN (ccc) => ·AMN = NMK » ) => HMK · · mà ·AMN = ·ACK (= sđ NA => đỉnh = HCK H,C,M,K thuộc đtròn ( ) · · · => HKM = ADM = MCH => HK // AD c) Xét ∆ ACD có CK,DK p/g · · =>AK p/g => CAK (đpcm) = DAK d) ∆ MAK cân MN vừa p/g vừa trung trực =>MN ⊥ AK Mà AK // ND MN ⊥ ND MD đường kính o sđ »AC + sđ »AD = 180 Bài 21: Cho điểm A,B,C đường thẳng theo thứ tự Một đường thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đ/tròn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D, tia AM cắt đ/tròn điểm thứ hai N, tia DB cắt đ/tròn điểm thứ hai P a) C/m: T/g ABMD nội tiếp b) C/m: Tích CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) T/g APND hình gì? Vì sao? d) C/m: G(là trọng tâm tam giác AMC) chạy đường tròn cố định M di động Giải: · · a) BAD + BMD = 90o b) ∆ CAD đồng dạng với ∆ CMB => CM.CD = CA.CB không đổi ( ) · · · c) ADB = NPB = NMB => AD //NP => hình thang d) Gọi K trung điểm AC => K cố định Qua G kẻ GI //MO cắt OK I => I cố định => GI = 1 OM = BC Vậy G chạy (I; BC/6) Bài 22: Cho hai đ/tròn (O); (O’) bán kính R; R’(R> R’) tiếp xúc A dây cung AB cố định (O) Một cát di động qua A cắt (O) M cắt (O’) N Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt (O’) điểm thứ hai P a) C/m: OM // O’N b) C/m: BQ R ' = BM R c) T/g ABQP hình gì? Tại sao? d) C/m: trọng tâm G tam tam giác MAB chạy đ/tròn cố định Giải: · ' NA = OMA · a) O => đpcm BQ AN = BM AM ∆ AOM đồng dạng với ∆ AO’N => NA O ' N R ' = = AM OM R b) AB // NQ => =>đpcm c) Kẻ tiếp tuyến chung xAx’ có: µ =B µ = MAx · µ Q = x· ' AN = P ; AB // PQ => hình thang cân d) Gọi I trung điểm AB, kẻ GJ // OM (J thuộc IO) Ta có: JI = => J cố định JO GJ R = ⇒ JG = Mặt khác, OM 3 Vậy G chạy đ/tròn (J;R/3) cố định Bài 23: Cho đ/tròn (O1); (O2) tiếp xúc với A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1); (O2) thứ tự B C cắt Ax M Kẻ đường kính BO1D; CO2E a) C/m: M trung điểm BC b) C/m: ∆ O1MO2 vuông c) C/m: A,B,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE C/m: đ/tròn ngoại tiếp ∆ IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Giải: a) MB = MC = MA (t/c t cắt nhau) b) MO1; MO2 tia p/g góc kề bù · · c) BAC + CAE = 180o => đpcm Tương tự, C,A,D thẳng hàng d) *) C/m T/g IO1MO2 hcn (hbh + góc vuông) => (O1IO2) ≡ (O1IO2M) O tâm *) C/m: CEDB hình thang vuông => OM ⊥ d => đpcm Bài 24: Cho (O;R) Một dây AB = R cố định điểm M di động chạy cung lớn BA cho ∆ AMB nhọn H trực tâm ∆ AMB P,Q giao điểm thứ hai đường thẳng AH,BH với (O) S giao điểm đường thẳng PB,QA a) C/m: PQ đường kính (O) b) T/g AMBS hình gì? Vì sao? c) C/m độ dài SH không đổi d) Gọi I giao điểm SH,QP C/m I chạy đường tròn cố định Giải: o a) AB = R => sđ »AB = 90 » =sđ Do AP ⊥ MB;BQ ⊥ MA => sđ MP ¼ = 90o MQ (Góc có đỉnh đ/tròn) » =>sđ PQ = 90o + 90o = 180o b) MA // BS ( ⊥ BQ); MB //AS( ⊥ AP) =>T/g AMBS hbh c) C/m: tam giác AQH,APS vuông cân ( µ =P µ = 45o Q ) => QA = AH;AP = AS => ∆ QAP = ∆ HAS (cgc) => SH = PQ = 2R không đổi · · d) cách 1: Gọi O’ tâm đ/tròn ngoại tiếp tứ giác AHBS ( HAS = HBS = 90o ) O’ trung điểm HS => O’A = O’B = SH/2 = R(= BC/2) Mà OA = OB = R=> OAO’B hthoi Gọi K trung điểm AB => O,K,O’ thẳng hàng Do O,K cố định nên O’ cố định (OK = KO’) · Do OIO ' = 90o => I thuộc đường tròn đường kính OO’ cố định Cách 2: C/m: AQIH, BPIH nội tiếp · · · · = HQA = 45o ; HIB = HPB = 45o ⇒ ·AIB = 45o + 45o = 90o => HIA => I thuộc đ/tròn đường kínhAB cố định Bài 25: Cho nửa đ/tròn tâm O đ/kính AB Một điểm M nằm cung AB Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A (O) điểm K Các tia AH, BM cắt điểm S a) C/m: ∆ BSA cân, suy S nằm đ/tròn cố định b) C/m: KS tiếp tuyến (B;BA) c) Đ/tròn ngoại tiếp ∆ BIS cắt (B;BA) N C/m: điểm A,M,N thẳng hàng · d) Xác định vị trí M cho MKA = 90o Giải: a) ∆ ABS cân B BH vừa đường cao, vừa p/g => S thuộc đ/tròn (B;BA) · · b) ∆ BAK = ∆ BSK (cgc) => BSK = BAK = 90o => KS tiếp tuyến S (B;BA) c) Gọi N’ giao điểm AM (B;BA) · · 'A => ∆ BAN’ cân => BAN ' = BN Do I trực tâm ∆ ASB => · · ⇒ ISB · = IN · ' B ⇒ S; N '∈ BAN ' = ISB đ/tròn =>T/g ISN’B nội tiếp => N’ thuộc (ISB) Theo cách dựng N’ thuộc (B;BA) Vậy N’ giao điểm (ISB) (B;BA) Vậy N ≡ N’ => A,M,N thẳng hàng · · · d) MKA (So le trong) = 90o NK // AB => MKB = KBA => ∆ MKB cân M Hạ MP ⊥ AB => MPAK hcn=> KM = AP Đặt AB = 2R, MB = x => MB = AB.PB = AB(AB - AP) Hay x = 2R(R - x) => x = R( - 1) = MB · Vậy M thuộc cung AB cho MB = = R( - 1) MKA = 90o Bài 26: Cho (O;R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm) a) C/m: BM // OP b) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt BM N T/g OBNP hình gì? Tại sao? c) Gọi K giao điểm AN với OP, I giao điểm ON với PM, J giao điểm PN với OM C/m: điểm K,I,J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm (O) Giải: a) BM // OP ( ⊥ AM) b) ∆ PAO = ∆ NOB => OBNP hbh c) I trực tâm ∆ OPJ ∆ IPO cân I =>JI trung trực PO => K,O,P thẳng hàng d) T/g OANP hcn => ∆ KAO cân K Điểm K thuộc đ/tròn OK = R ∆ OAK · ·AOP = 60o ⇒ OPA = 30o ⇒ OP = 2R =>AP = R Bài 27: Cho đ/tròn (O;R) Trên có điểm A cố định Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) A Lấy M thuộc Ax Kẻ tiếp tuyến MB với đ/ tròn (O) Gọi I trung điểm MA K giao điểm thứ hai BI với đ/tròn (O) Tia MK cắt (O) điểm thứ hai C a) C/m: ∆ MIK đồng dạng với ∆ BIM b) C/m: BC //MA c) Xác định vị trí M để T/g AMBC hình thoi d) Gọi H kà trực tâm ∆ MAB.C/m: Khi M di động tia Ax H chạy đ/tròn cố định Giải: 2 a) C/m: IA = IK.IB => IM = IK.IB => IM IK = mà góc I chung => đpcm IB IM · · · · b) Từ a) ta có IMK mà KBM = BCM = KBM · · » ) => BCM (= sđ KB => BC // MA = IMC c) AMBC có BC // MA nên AMBC hình thoi MB // AC Vì MC ≡ MO nên K thuộc MO (K cung AB) 1· ·KBM = KBA · = MBA ⇒ ·AMB = ·ABM Khi đó, ·KMI = KBM · ( theob ) => ∆ MAB cân A Mặt khác, ∆ MAB cân M => ∆ MAB => ∆ ABC => AM = AB = R · KMI = ·AMB Vậy M thuộc Ax cho AM = R AMBC hình thoi d) Gọi H giao điểm MO với BE => AOBH hình thoi => HA = R Vì A cố định => H thuộc (A;R) Giới hạn: H thuộc nửa mp bờ OA chứa M Bài 28: Cho ∆ ABC có góc B,C nhọn Các đường tròn đường kính AB,AC cắt điểm thứ hai H Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn nói M,N cho A nằm M N a) H thuộc BC b) T/g BCNM hình gì?Tại sao? c) Gọi P,Q trung điểm BC,MN C/m: điểm A,H, P,Q thuộc đ/tròn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Giải: o · · a) AHB + AHC = 180 b) Hình thang vuông c) PQ ⊥ MN => ·APQ = 90o , ·AHQ = 90o => đpcm d) MN < BC Vậy MN max MN = BC Khi BCNM hình chữ nhật MN //BC d // BC MN max Bài 29: Cho (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB C điểm nằm A B Tia MC cắt (O) D a) C/m: MA = MC.MD b) C/m: MB.BD = MD.BC c) C/m: Đ/tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Chứng minh C di động AB đ/tròn (O1); (O2) ngoại tiếp tam giác BCD, ACD có tổng bán kính không đổi Giải: a) ∆ MAC đồng dạng với ∆ MDA => đpcm b) ∆ MBC đồng dạng với ∆ MDB c) kẻ tiếp tuyến Bx với (BCD) => · · » => Bx ≡ BM CBx = CDB = sđ BC d) Vẽ đường kính MN, nối NA, NB Do BM tiếp tuyến (BCD) mà NB ⊥ Bx nên O1 ∈ NB Mặt khác, O1 nằm trung trực BC Vậy O1 giao NB với đường trung trực BC => ∆ O1BC cân O1 (1) Tương tự, AM tiếp tuyến (ADC) => NA ⊥ AM => O2 ∈ NA Vậy O2 giao điểm đường trung trực đoạn AC *Với NA => ∆ O2AC cân O2 (2) Mặt khác, ∆ NAB cân N (3) · B => O2C // O1N O1C // O2N Từ (1)(2)(3) => ·ANB = ·AO2C = CO =>O2C = O1N Khi đó, O2C + O1B = O1N + O1B = NB không đổi Bài 30: Cho ∆ ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Một điểm M cung nhỏ AC Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM D a) C/m: ·AMD = ·ABC b) C/m: ∆ BMD cân c) C/m: M di động D chạy đ/tròn cố định độ lớn góc BDC không đổi · d) Xác định vị trí M để tứ giác ABMD hình thoi Tính AM vị trí biết BAC = α bán kính (O) R Giải: a) ·AMD = ·ABC (vì bù ·AMC ) b) Tia MA p/g vừa đường cao => đpcm c) AM trung trực BD => AD = AB không đổi , A cố định => D thuộc (A;AB) không đổi d) Do IB = ID nên ABMD hình thoi IA = IM AM vuông góc với đường kính qua B (O) Khi đó, T/g AMCB hình thang cân (tam giác BAM cân => BM = AB = AC) AM = BC Kẻ đường kính CC’ => tam giác BCC’ vuông · ' C = BAC · B có: BC =α =>BC = AM = CC’.sin C = 2R.sinC Bài 31: Cho đường tròn (O) (O’) cắt điểm A,B Các đường thẳng AO,AO’ cắt (O) điểm thứ hai C, D cắt đ/tròn (O’) điểm thứ hai E,F a) C/m: B,F,C thẳng hàng b) C/m: T/g CDEF nội tiếp c) C/m: A tâm đ/tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đ/tròn (O) (O’) Giải: o o o · · a) ABC + ABF = 90 + 90 = 180 · · b) CDF = CEF = 90o ¶ =F µ c) T/g AEFB nội tiếp => B µ =C µ T/g BADC nội tiếp => B 1 µ =F µ T/g CDEF nội tiếp => C 1 µ =B ¶ => BA p/g Suy ra, B Tương tự, DA p/g từ đó, A tâm… µ Tương tự, ·AED = B ¶ d) Nếu DE tiếp tuyến (O) => ·ADE = B µ =B ¶ ⇒ ·ADE = ·AED ⇒ ·ADE = ·AED ⇒ BDE · · = BED Vì B =>Tam giác BDE cân B => DE ⊥ BA mà OO’ ⊥ AB (trung trực) => DE // OO’ Ta có: OD// O’E ( ⊥ DE) => OO’ED hcn => OD = 2IA = O’E Mà AB = 2IA => OD = O’E = AB KL: DE tiếp tuyến chung OD = O’E = AB Bài 32: Xét đoạn thẳng AD = a với trung điểm I Một tia Ix vuông góc với AD Một đ/tròn bán kính R (R > a/2) tiếp xúc với AD A cắt tia Ix B C (B nằm I,C) a) C/m: ∆ ABI đồng dạng với ∆ CIA Từ đó, suy tích IB.IC không đổi b) C/m: B trực tâm ∆ ADC c) Gọi D’ điểm đối xứng D qua đường thẳng AC C/m: D’ thuộc đ/tròn · = d) Nêu cách dựng ∆ ABC biết cosCAI · = C/m: T/g ADCD’ hình thoi e) Xét trường hợp cosCAI · · a) IAB => đpcm = ICA Giải: => IB.IC = IA không đổi b) AB cắt CD H ∆ BAI ∆ BCH có: ( ) o µ =B ¶ ;µ µ ¶ µ $ B A1 = C1 = C2 ⇒ H = I = 90 => đpcm c) Do t/c đối xứng => ¶ ' =D ¶ ;D ¶' =D ¶ ⇒ ·AD ' C = ·ADC D 1 2 · Mà ·ADC + IBH = ·ADC + ·ABC = 180o o => ·AD ' C + ·ABC = 180 ⇒ D ' ∈ ( O ) · = => d) cosCAI AI = => AC =3AI AC => Dựng tam giác vuông AIC I có cạnh huyền AC = 3AI Hạ DK vuông góc AC cắt IC B ta có tam giác ABC · = e) Nếu cosCAI => AC = 2AI = AD => tam giác ADC => AD = DC = CD’ = AD’ => đpcm · Bài 33: Cho ∆ ABC (AB < AC; BAC > 90o ), I,K theo thứ tự trung điểm AB,AC Các đ/tròn đường kính AB,AC cắt điểm thứ hai D Tia BA cắt đ/tròn (K) điểm thứ hai E Tia CA cắt (I) điểm thứ hai F a) điểm B,C,D thẳng hàng b) C/m: T/g BFEC nội tiếp c) C/m: đường thẳng AD,BF,CE đồng quy d) Gọi H giao điểm thứ hai DF với đ/tròn ngoại tiếp tam giác AEF So sánh đọ dài đoạn thẳng DH,DE Giải: a) b) : xem 31 c) AD ⊥ BC (1) A trực tâm ∆ GBC => GA ⊥ BC (2) Từ (1)(2) => đpcm d) Đ/tròn ngoại tiếp (AEF) ≡ đường kính AG Hạ OM ⊥ DH, ON ⊥ DE => ∆ DOM = ∆ ODN (DO p/g góc HDE) =>DM = DN (1) => ∆ OHF = ∆ ONE (OH = OE, OM = ON) => HF = NE (2) Từ (1)(2) => đpcm Bài 34: Từ điểm S nằm (O), kẻ tiếp tuyến SA với (O) cát tuyến SBC cho · · BAC < 90o Tia p/g BAC cắt dây BC D cắt đ/tròn (O) điểm thứ hai E Các tiếp tuyến (O) C,E cắt N Gọi Q P thứ tự giao điểm cặp đường thẳng AB CE, AE CN CMR: a) SA = SD b) EN //BC c) C/m: ∆ QCB đồng dạng với ∆ PCE d) 1 = + CN CD CP 1 e) Gọi F giao điểm NE DQ CMR: FN = CD + PQ Giải: · · a) SAD => đpcm = SDA ( ) · · » » b) NEC = ECB EB = EC => đpcm · · = CPE c) CQB (đỉnh đ/tròn); ( · · » = EB » PCE = QCB CE ) => ∆ PCE đồng dạng với ∆ QCB (gg) EN NP PC − NC NC = = = 1− CD PC PC PC NC NC = 1− Do NE = NC => (chia NC) CD PC 1 1 1 = − = + hay (1) CD NC PC CN CD CP d) EN //BC => Cách 2: Nhân hai vế (1) với CN sau áp dụng hệ Ta – lét Bài 35: Cho (O) đường kính AB = 2R Gọi E điểm (O) cho AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) C/m: ∆ AOM vuông O b) OM cắt (O) C D Điểm C E phía AB C/m: ∆ ACM đồng dạng với ∆ AEC c) C/m: AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác ACM AEC Giải: Tính AC, AE, AM, CM theo R MA AO = => ∆ AMO đồng dạng với ∆ ABE mà AB AE ·AEB = 90o ⇒ ·AOM = 90o ·ACM = ·AEC AC » = »AD a) gt => ( b) Có góc A chung, ) => ∆ ACM đồng dạng với ∆ AEC (g - g) c) ·ACM = ·AEC => AC tiếp tuyến C (MEC) S AC AC = ⇒ AE = AC d) ACM = ÷ = ⇒ S AEC AE AE Mà AC = R =R => AE = R +) ∆ ACM đồng dạng với ∆ AEC => AM = AC ⇒ AC = AM AE ⇒ AM = AC AC AE AE ( R 2) = R = 2R 3 +) ∆ vuông AOM có: cos A = AO = AM R = 1 R ⇒ µA = 30o ⇒ OM = AM = R = 2 3 3 R R = 3− Vậy CM = R 3 2R ( ) Bài 36: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB= 2R Vẽ dây AC = R BD = R · = 90o a) C/m: ·AOC = 60o ; BOD b) Từ A B hạ AE ⊥ CD; BF ⊥ CD C/m: CE = DF c) Tính EF theo R d) C/m: SABFE = SACB + SADB Giải: o · a) +) ∆ AOC => AOC = 60 2 2 · +) DB = 2R ; OD + OB = 2R => BOD = 90o » =45o; sđ BD ·ACB = 1v ⇒ ·ACE = 45o · b) sđ BCD = R 2 µ = 60o ⇒ DF = BD = R Trong ∆ DFB có D 2 => ∆ AEC vuông cân => AE = EC = Vậy CE = DF c) Hạ AK ⊥ BF K => AEFK hcn => FK = AE = BF = ( R 2) 2 R 2 R 2 R R2 2 − = ⇒ BK = BF − KF = 4−2 ( ) ÷ ÷ 2 ∆ AKB vuông có: EF = AK = ( AB − BK = R + ) d) Ta có Do đó, AK = S ABFE = +1 6+ = 2 2+ = R ( 6+ 2 R BF + AE AK = ) ( 6+ ) R( 6+ 2 )=R ( + 3) = R 2 3 1 + ÷ (1) ÷ 1 R R2 AC.CB = R = ; S ABD = AB.OD = R 2 3 ÷ (2) => S ABC + S ABD = R 1 + ÷ S ABC = Từ (1)(2) => SABFE = SABC + SABD Bài 37: Cho đường tròn (O1; 1cm) (O2; 3cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC a) Tính diện tích tứ giác BCO2O1 b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung nhỏ AB đường tròn (O 1) cung nhỏ AC (O2) c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn tiếp tuyến BC miền đường tròn (O1); (O2) d) Tính tỉ số diện tích tứ giác O1KHO2 O1BCO2 (K;H theo thứ tự trung điểm AB; AC) Giải: a) Hạ O1D ⊥ O2C => BC = O1D = O1O2 − O2 D O2D = -1 = cm; O1O2 = cm =>BC = 16 − = cm S BCO2O1 = ( O1B + O2C ) BC = ( + 3) 2 =4 b) Vì O2 D · O D = 30o ⇒ ·AO C = 60o ; ·AO B = 120o = = ⇒O 2 O1O2 Gọi S1 diện tích hình viên phân giới hạn cung AC o =>S1 = Squạt 60 - SO AC π π o SO2 AC = 360o 60 = ∆O2 AC => AC = R => O2 H = O2C − HC = 32 − 1,52 = 3 1 3 3 = => SO2 AC = O2 H AC = 2 π π => S1 = − Tương tự, Svp »AB = SquatAO1B − S∆AO1B = − (cm ) 4 c) Gọi S diện tích cần tìm => S = S BCO O − SquatAO B − S quatAO C = − 1 π π 11π − =4 3− (cm ) [...]... đường kính của (O) b) T/g AMBS là hình gì? Vì sao? c) C/m độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm của SH,QP C/m I chạy trên 1 đường tròn cố định Giải: o a) AB = R 2 => sđ »AB = 90 » =sđ Do AP ⊥ MB;BQ ⊥ MA => sđ MP ¼ = 90 o MQ (Góc có đỉnh ở trong đ/tròn) » =>sđ PQ = 90 o + 90 o = 180o b) MA // BS ( ⊥ BQ); MB //AS( ⊥ AP) =>T/g AMBS là hbh c) C/m: tam giác AQH,APS vuông cân ( µ =P µ = 45o Q ) => QA =... H thuộc BC b) T/g BCNM là hình gì?Tại sao? c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của BC,MN C/m: 4 điểm A,H, P,Q cùng thuộc 1 đ/tròn d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất Giải: o · · a) AHB + AHC = 180 b) Hình thang vuông c) PQ ⊥ MN => ·APQ = 90 o , ·AHQ = 90 o => đpcm d) MN < BC Vậy MN max MN = BC Khi đó BCNM là hình chữ nhật và MN //BC vậy d // BC thì MN max Bài 29: Cho (O) và 1 dây AB Gọi... MA là p/g vừa là đường cao => đpcm c) AM là trung trực BD => AD = AB không đổi , A cố định => D thuộc (A;AB) không đổi d) Do IB = ID nên ABMD là hình thoi IA = IM AM vuông góc với đường kính đi qua B của (O) Khi đó, T/g AMCB là hình thang cân (tam giác BAM cân => BM = AB = AC) AM = BC Kẻ đường kính CC’ => tam giác BCC’ vuông tại · ' C = BAC · B có: BC =α =>BC = AM = CC’.sin C = 2R.sinC Bài 31:... BC // MA nên AMBC là hình thoi MB // AC Vì MC ≡ MO nên K thuộc MO (K là chính giữa cung AB) 1· ·KBM = KBA · = MBA ⇒ ·AMB = ·ABM Khi đó, 2 ·KMI = KBM · ( theob ) => ∆ MAB cân tại A Mặt khác, ∆ MAB cân tại M => ∆ MAB đều => ∆ ABC đều => AM = AB = R 3 1 · KMI = ·AMB 2 Vậy M thuộc Ax sao cho AM = R 3 thì AMBC là hình thoi d) Gọi H là giao điểm MO với BE => AOBH là hình thoi => HA = R... BAD + BMD = 90 o b) ∆ CAD đồng dạng với ∆ CMB => CM.CD = CA.CB không đổi ( ) · · · c) ADB = NPB = NMB => AD //NP => hình thang d) Gọi K là trung điểm AC => K cố định Qua G kẻ GI //MO cắt OK tại I => I cố định => GI = 1 1 OM = BC 3 6 Vậy G chạy trên (I; BC/6) Bài 22: Cho hai đ/tròn (O); (O’) bán kính lần lượt là R; R’(R> R’) tiếp xúc ngoài tại A và dây cung AB cố định của (O) Một cát di động luôn qua A... = CO 1 =>O2C = O1N Khi đó, O2C + O1B = O1N + O1B = NB không đổi Bài 30: Cho ∆ ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D a) C/m: ·AMD = ·ABC b) C/m: ∆ BMD cân c) C/m: M di động thì D chạy trên 1 đ/tròn cố định và độ lớn góc BDC không đổi · d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi Tính AM ở vị trí đó biết BAC = α và bán kính (O)... O1MO2 vuông c) C/m: A,B,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm của DE C/m: đ/tròn ngoại tiếp ∆ IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Giải: 2 a) MB = MC = MA (t/c 2 t cắt nhau) b) MO1; MO2 là 2 tia p/g của 2 góc kề bù · · c) BAC + CAE = 180o => đpcm Tương tự, C,A,D thẳng hàng d) *) C/m T/g IO1MO2 là hcn (hbh + 1 góc vuông) => (O1IO2) ≡ (O1IO2M) vì O là tâm *) C/m: CEDB là hình thang vuông =>... 2 => IB.IC = IA không đổi b) AB cắt CD tại H ∆ BAI và ∆ BCH có: ( ) o µ =B ¶ ;µ µ ¶ µ $ B 1 2 A1 = C1 = C2 ⇒ H = I = 90 => đpcm c) Do t/c đối xứng => ¶ ' =D ¶ ;D ¶' =D ¶ ⇒ ·AD ' C = ·ADC D 1 1 2 2 · Mà ·ADC + IBH = ·ADC + ·ABC = 180o o => ·AD ' C + ·ABC = 180 ⇒ D ' ∈ ( O ) 1 3 · = => d) cosCAI AI 1 = => AC =3AI AC 3 => Dựng tam giác vuông AIC tại I có cạnh huyền AC = 3AI Hạ DK vuông góc AC cắt IC tại... Vì O2 D 2 1 · O D = 30o ⇒ ·AO C = 60o ; ·AO B = 120o = = ⇒O 2 1 2 1 O1O2 4 2 Gọi S1 là diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AC o =>S1 = Squạt 60 - SO AC π 3 π o 2 SO2 AC = 360o 60 = 2 ∆O2 AC đều => AC = R => O2 H = O2C 2 − HC 2 = 32 − 1,52 = 3 3 2 1 1 3 3 9 3 3 = => SO2 AC = O2 H AC = 2 2 2 4 π 9 3 π 3 2 => S1 = − Tương tự, Svp »AB = SquatAO1B − S∆AO1B = − (cm ) 2 4 3 4 c) Gọi S là diện tích... thẳng hàng b) C/m: T/g CDEF nội tiếp c) C/m: A là tâm đ/tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đ/tròn (O) và (O’) Giải: o o o · · a) ABC + ABF = 90 + 90 = 180 · · b) CDF = CEF = 90 o ¶ =F µ c) T/g AEFB nội tiếp => B 2 1 µ =C µ T/g BADC nội tiếp => B 1 1 µ =F µ T/g CDEF nội tiếp => C 1 1 µ =B ¶ => BA là p/g Suy ra, B 1 2 Tương tự, DA là p/g từ đó, A là tâm… µ Tương ... NED = 90 o » = ND » = 90 o ⇒ NMA · · => NC = NMB = 45o =>đpcm » = KB » = 90 o => K cố định => KA c) ∆ AMK đồng dạng với ∆ NAK (gg) => KM.KN = AK không đổi d) C/m: NC’KD’là hcn, ∆ ND’A, NC’B vuông... trực BD => AD = AB không đổi , A cố định => D thuộc (A;AB) không đổi d) Do IB = ID nên ABMD hình thoi IA = IM AM vuông góc với đường kính qua B (O) Khi đó, T/g AMCB hình thang cân (tam giác... b) T/g AMBS hình gì? Vì sao? c) C/m độ dài SH không đổi d) Gọi I giao điểm SH,QP C/m I chạy đường tròn cố định Giải: o a) AB = R => sđ »AB = 90 » =sđ Do AP ⊥ MB;BQ ⊥ MA => sđ MP ¼ = 90 o MQ (Góc