BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Xã
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHAN ĐỨC CHÍNH (Tổng Chủ biên)
TÔN THÂN (Chủ biên)
VŨ HỮU BÌNH - TRẦN ĐÌNH CHÂU - NGƠ HỮU DŨNG PHAM GIA DUC - NGUYEN DUY THUAN
TORN 8
TAP MOT (Tai ban lan thit bay)
Trang 3Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục và Đào tạo
Trang 5
Chương I - PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC = §1 Nhôn đơn thức với đa thức Chẳng khác gì nhân một số với một tổng ! A(B+C)=AB+tAC Quy tac
— Hãy viết một đơn thức và một đa thức tHỳ ý
— Hãy nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức vừa viết — Hãy cộng các tích tìm được Chẳng hạn, nếu đơn thức và đa thức vừa viết lần lượt là 5x và 3x” ~ 4x + 1 thì ta có : 5x.(3x” ~ 4x + 1) = 5x.3x” + 5x.(— 4x) + 5x I = 15x” — 20x” + 5x
Ta nói đa thức 15x” — 20x7+ 5x là tích của đơn thức 5x và đa thức 3xˆ— 4x +1
Tổng quát, ta có quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức như sau :
| Muốn nhán một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng
Trang 622 | Làm tính nhán - 3 12 1 3 3x3y — 2x24 Lay] 6x7, (2y 21 5 Xy Ei Một mảnh vườn hình thang có hai đáy bằng (5x + 3) mét và (3x + y) mét, chiều cao bằng 2y mát
¬ Hãy viết biểu thức tính diện tích mảnh vườn nói trên theo x va y — Tính diện tích mảnh vườn nếu cho x = 3 mét và y = 2 mét BÀI TẬP L Làm tính nhân : a) 2 (se —X -4) ; 2 b) (3xy — x + v5 xy ; 3 1
c) (Ax” ~ Sxy + 2)(- ayy]:
2 Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
a) x(x —y) + y(x + y) taix=-6Ovay=8,; b) x(x? — y) — x7(x + y) + y(x? = x) taix= ; và y = — 100
3 Timx, biét:
a) 3x(12x — 4) — 9x(4x — 3) = 30;
b) x(5 — 2x) + 2x(x — 1) = 15
A4 — Đố Đoán tuổi
Bạn hãy lấy tuổi của mình :
— Cộng thêm Š ;
— Được bao nhiêu đem nhân với 2 ;
Trang 7~ Nhân kết quả vừa tìm được với 5 ;
— Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100 Tơi sẽ đốn được tuổi của bạn Giải thích tại sao Rút gọn biểu thức : a) x(x — y) + y(X— ÿ);
bì x” !'x+y)—=yŒœ” + Ö,
Đánh đấu x vào ô rnà em cho là đáp số đúng :
Giá trị của biểu thức ax(X — y) + y +y) tại x=— l và y = 1 (a là hằng số) là §2 Nhơn đo thức với đo thức Quy tắc
Ví dụ Nhân đa thức x — 2 với đa thức 6x? - 5x +1
Trang 8ng."
Tổng quát, ta có quy tắc nhán đa thức với đa thức như sau :
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của da thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
Nhận xét Tích của hai da thức là một đa thức Nhân đa thức + — 1 với đa thức x ~2x- 6
Chú ý Khi nhân các đa thức một biến ở ví dụ trên, ta còn có thể trình bày
nhu sau :
6x — 5x+1
x
x2
+ -12x7 + 10x —2 (kết quả của phép nhân —2 với đa thức 6x? —5x +1) 6x° — sx + xX (kết quả của phép nhân x với đa thức 6x" = 5x + 1)
6x” ~ 17x” + LIx—2
Ở cách này, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến, sau đó trình bày như sau :
- Đa thức này viết dưới ảa thức kia
— Kết quả của phép nhân môi hạng tử của da thức thứ hai với đa thức thứ nhất được viết riêng trong một dòng
- Các đơn thức đông dạng được xếp vào càng một cội
— Cộng theo từng cột
Áp dụng
Làm tính nhân ; a) (x+3)@Ÿ+3x— 5); b) (ry — Dy + 5)
Viết biểu thức tính diện tích của một hình chữ nhật theo x và y, biết hai kích
thước của hình chữ nhật đó là (2x + y) và (2x — y)
Trang 910 11 12 BÀI TẬP Lam tính nhân : a) (x7 ~2x + 1) — l); b) (x? — 2x” + x— L)(5 — x) Từ câu b), hãy suy ra kết quả phép nhân : (x” — 2x” + x ~ 1)(x — 5) Làm tính nhân : ˆ 1
a) ey? — 2 + 2y |e ~ 2y); b) (x? —xy+ y (x +y)
Điền kết quả tính được vao bang : ¬ Giá trị của biểu thức Giá trị của X và y S2 2 (x — yx" + xy ty) x=-I0`' ;y=2 — x=-l ;y=0 x= 2 ;y=-l x=-—0,5; y=1,25 (trường hợp này có thể dùng máy tính bỏ túi để tính) LUYỆN TẬP Thực hiện phép tính :
a) (x? —2x+ a(x - 5}: b) (x? — 2xy + yx ~ y)
Trang 1013 14 15 Tim x, biết : (12x — 5)(4x -— 1) + (38x - 7) — 16x) = 81 Tìm ba số tự nhiên chăn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192 Làm tính nhân : Đ[Sx + 5 y | ak lee ty]; ): b) x-1 Í*-; 3 | 2Y|: §3 Những hồng đẳng thức đóng nhớ Bình phương của một tổng Với a, b là hai số bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b) Từ đó rút ra (a + b)ˆ = aˆ + 2ab + bể,
Với a >0, b >0, công thức này được minh hoạ
Trang 11»
©
Bình phương của một hiệu
Tính [a+(—b)}Ÿ` (vớia, b là các số tỳ ý)
Tir do rit ra (a — b)* = a — 2ab + bỂ, Với hai biểu thức tuỳ ý A và B ta cũng có : (A—B)* = A* —2AB+B? (2) Học sinh có thể tự tìm được hằng đẳng thức (2) bằng cách thực hiện phép nhân (A — B)(A - Bì) Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời Áp dụng 1 2 a) Tinh [x — | ` 2 b) Tính (2x - 3y)” c) Tinh nhanh 99°
Hiệu hai bình phương
Trang 1319 20 21 22 23 25
Đố Tính diện tích phân hình còn lại mà không cân đo
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng
cũng hình vuông có cạnh bằng a — b (cho a > b) Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ? LUYỆN TẬP Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau : x74 2xy + 4y =(x+ 2y)? Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu : a) 9x? — 6x +1; b) (2x + 3y)” + 2.(2x + 3y) + 1 Hãy nêu một đề bài tương tự Tính nhanh : a) 101°; b) 199”; c) 47.53 Chứng minh rằng : (a + b} =(a— b) + 4ab ; (a — b) =(a + b)” — 4ab Ap dụng
a) Tính (a — b)Ÿ, biết a+b= 7 và a.b= 12, b) Tính (a + b)”, biết a— b= 20 và a.b=3
Trang 14§4 Những hằng đẳng thức đóng nhớ (iếp)
Lập phương của một tổng
Tính (a + b)(a + b)ˆ (với a, b là hai số tuỳ ý)
Trang 1526 27 28 29 6 4) -1=1-x’; 2 2 5) (x - 3) =x -2x +9, Em có nhận xét gì về quan hệ của (À — By’ với (B— A)’, của (A — By với (B-Ay? BAI TAP Tinh : 22 2Â (1 ; a) (2x" + 3y) ; b) (2x-3] Viết các biểu thức sau dưới đạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu : 3 2 a) —x +3x _-3x+l; b)8— 12x + 6X” - x? Tính giá trị của biểu thức : a) x) + 12x? + 48x + 64 taix=6; b)x`~6x +12x—§8 taix = 22 Đổ Đức tính đáng quý
Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một
tổng hoặc một hiệu, rồi điển chữ cùng đòng với biểu thức đó vào bảng cho
thích hợp Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu
của con người x —3x2+3x— I N 16+ 8x +x" U 3x 2+3x+l+x H 1—2y+yˆ Â &= ĐỂ | +I? | =I? | =? | xy | a=yŸ | «+47 §5 Những hằng đẳng thức đóng nhớ (tiếp) Tổng hai lập phương
Tính (a + b)(a? ~ ab + b`) (với a, b là các số tuỳ Ý)
Trang 16Với A và B là các biểu thức tuỳ ý ta cũng có : A3+BŸ =(A +B)(A?~ AB+ B2) (6) (Lưu ý : Ta quy ước gọi A?~ AB+B” là bình phương thiếu của hiệu A ~ Bì) Phát biểu hàng đẳng thức (6) bằng lời Áp dụng a) Viet x” + 8 dưới đạng tích b) Viết (x + 1)(xF — x + 1) đưới dạng tổng
Hiệu hai lập phương
Tính (a —b)(aˆ + ab + bˆ) (với a, b là các số tuỳ ý)
Từ đó rút ra a” —b ` =(a — b)(a” + ab + b)
Với A và B là các biểu thức tuỳ ý ta cũng có : A? —B? =(A—B)(A? + AB+B2) (7) (Lưu ý : Ta quy ước goi A” + AB + BỶ là bình phương thiếu của tổng À + B) Phát biểu hằng đẳng thúc (7) bằng lời Ap dung a) Tính (x — Do? +x+1)
b) Viết 8x” — y” đưới dạng tích
Trang 1731 32 33 Ta có bảy hang đẳng thức đáng nhớ : ) (A+B)` = A7+2AB+B 2) (A-BY = A?-2AB+B 3) A’-B? = (A+B\A-B) 4) (A+B) = AÌ+3A'B+3AB +BỶ 5) (A-B) = A°-3A7B+3AB -B° 6) A’+B = (A+B)A?— AB+B) 7) AB (A — B)(A? + AB +B’) BAI TAP Rút gọn các biểu thức sau: ˆ a) (x + 3)(X” — 3x +9) — (54 + x”); b) (2x + y)(4x” — 2xy + y') — (2x — y)(4x” + 2xy + y') Chứng minh rằng : a)a’ +b’ =(a +b) — 3ab(a +b); b) a` ~ b =(a— b)” + 3ab(a ~ b)
Áp dụng : Tính a+b, biéta.b=6 vaa+b=—5
Trang 1834 35 36 37 38 2 -Toán 8/1 -A Rút gọn các biểu thức sau : a) (a+b) ~ (a—b)ˆ; b) (a + b)ˆ ~ (a— b) — 2bŸ ; c)(X+y+Z)°-2(x+y+Z)(X + y) +(X+V)” Tính nhanh : a) 34° + 66” + 68.66 ; b) 74? + 24” ~ 48.74
Tính giá trị của biểu thức :
a)X +4x +4 tại x=98; b)x” + 3x” + 3x + Ï tại x = 99,
Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu) : (x —y\(x" + xy ty") | x+y” (x + yx -y) mm xi Ty x°—2xy +? x? +2xy ty" (x + vì x? y’ (x+y)(X — xy + y ) (y— x)” v + 3xy” + 3x’y +x? xo - 3x”y + 3xy' - v &~—y) (x+y) Chứng minh các đẳng thức sau : a) (a—b) ` =—(b— 4)”; b) — a — b) = (a + b)Ỷ về +
Tro choi : DOI BAR NHANH RHAT
Có 14 tấm bìa, trên mỗi tấm ghi sẵn một vế của một trong bảy hằng đẳng thức
đáng nhớ và úp mặt có chữ xuống phía dưới Mỗi đợt chơi sẽ có 14 bạn tham gia, mỗi người bốc thăm lấy một tấm bìa (không được lật mặt bìa lên khi chưa có hiệu
Trang 19)đ
>
Đú Phụn tích đa thức thònh nhôn tử bằng phương phớp đặt nhôn tử chung Ví dụ Ví dụ 1 Hãy viết 2x” — 4x thành một tích của những đa thức Gợi ý Ta thấy 2x” = 2x.x 4x = 2x.2 Giải 2x — 4x = 2x.x — 2x.2 = 2x(x — 2) Việc biến đổi 2x? — 4x thành tích 2x(x — 2) được gọi là phân tích đa thức 2x? — 4x thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức
Cách làm như ví dụ trên gọi là phán tích áa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung (một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta sẽ nghiên cứu sau)
Ví dụ 2 Phân tích đa thức 15x” — 5x” + 10x thành nhân tử Giải 15x” - sx + 10x = 5x.3x2 — 5x.x+5x.2= 5x(3x° —X+2), Áp dụng Phan tích các đa thức sau thành nhân tử : 2 A)xX —xX; b) 53 “(+ — 2y) =L5x( ~ 2y) ; c) 3(Œx— y) — 5X — x)
Chú ý Nhiều khi để làm xuất hiện nhán tử chung ta cân đổi dấu các hạng tử
(lưu ý tới tính chất A = —(— A))
Tìm x sao cho 3x2 — 6x =0
Gợi ý Phân tích đa thức 3x” — 6x thành nhân tử, ta được 3x(x — 2)
Trang 2039 40 41 42 BAI TAP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x — 6y; b) Ex + 5x 4 ?y: c) 14x7y — 21xyˆ + 28x”; a) Sxty = 1)- Sy= Dị e) 10x(x — y) — Byly — X) Tính giá trị của biểu thức : a) 15.91,5 + 150.0,85 ; b) x(x — 1) — y(1 — x) tai x = 2001 va y = 1999, Tim x, biết : a) 5x(x — 2000) — x + 2000 =0; b) x ~ 13x =0
Chứng minh rằng 55” * Í _ 55" chịa hết cho 54 (với n là số tự nhiên),
_ §7 Phơn tích đa thức thònh nhôn tử
Trang 21Bl Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 43 44 45 a) x° +3x 7 +3x+ 1; b) (r+ y)— 9x”, Tinh nhanh : 105° — 25 Ap dung Ví dụ Chứng minh rằng (2n + 5)° — 25 chia hét cho 4 véi moi sé nguyén n Giải Ta có (2n + 5)” — 25 = (2n + 5) ~ 5ˆ = (2n+ 5 - 5)(2n+ 5 +5) = 2n(2n + 10) = 4n(n + 5) nén (2n + 5)? — 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyền n BÀI TẬP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x7 +6x+9: b) 10x — 25 — X”; 3 1 1 2 2 Cc)Ñx ——; ) P d) —x -64y } y Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 3 1 3 3
a)X + —; ) 27 b)(a+b} —-(a-b) ; )¢ } -( )
c) (a+b) +(a—b): d) 8x” + l2xếy +6xy “+;
e)— xÃ)+0x”— 274 +27 Tìm x, biết :
Trang 22"Tính nhanh ; a) 732— 272; b) 372 ~ 137; c) 20027 — 2” §8 Phan tích đơ thức thònh nhôn tử bằng phương phớp nhóm hợng tử Ví dụ Vi du 1 Phân tích đa thức sau thành nhân từ : x? — 3x + xy — 3y Gợi ý
— Các hạng tử có nhân tử chung hay không ? - Làm thế nào để xuất hiện nhân từ chung ? Giải x°—3x+ xy —3y= & — 3x) + (xy — 3y)
= x(x — 3) + y(x -— 3)
= (x —3)(x + y) Vi du 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
2xy +32 + Oy + xz
Giải Ta có thể nhóm một cách thích hợp các hạng tử như sau :
Trang 232 Áp dụng Bl Tinh nhanh 15.64 + 25 100 + 36 15 + 60.100 Ea Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đê bài : Hãy phản tích đa thức x^°— 9x3+ x2 - 9x thành nhân từ Bạn Thái làm như sau : x'-9x3+ x2~09x= Oe ~9x7 + -9), Ban Ha lam nhit sau : xo 9434 x2 ~ 9x = (x4 — 9x3) + (x2 - 94) = P(x —9) + r(x — 9) = (x -— 9007 + 2) Bạn An làm như sau : xt 9x)+y?~ 9x =(xŸ+ x2)—(9v2+ 9x) = xŒœx2+ D - 9x(x2+ D = (7+ D(Œx?— 9x) = x(+x — 9)(x2 + Ú) Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn BÀI TẬP
47 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)X —XV+X—Y; b)xz+yz_— 5(x+y); c) 3x?~ 3xy — 5x + 5y
48 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Trang 2450 N Tim x, biét ; a) x(x -2)+x-2=0; b) 5x(x — 3) —x +3 =0
§9 Phan tích đa thức thònh nhôn tử
bằng cóch phối hợp nhiều phương phóp Ví dụ Vi du L Phân tích đa thức sau thành nhân tr: Sx”+ 10xy + Sxy*, Gợi ý — Đặt nhân tử chung ? — Dùng hằng đẳng thức ? — Nhóm nhiều hạng tử ?
— Hay có thể phối hợp các phương pháp trên ? Giải 5x`+ 10xˆy + 5xy* = 5x(x7 + 2xy + y2 = 5x(x + y) Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x? ~2xy +y? - 9, Giải x - Ixy ty? -9 = (x? - 2xy + y*)-9 | =(x-y) -3° =(x-y~3)\(x-y+3) Phân tích đa thức 2x y - 2vy” - Axy” — 2vy thành nhân tử Áp dụng
a) Tính nhanh giá trị của biểu thức x” + 2x + 1 — y` tại x = 94,5 và y = 4,5
Trang 2531 52 53 b) Khi phan tich da thite x° + 4x — 2xy — Ay + ˆ thành nhân tử, bạn Việt làm như sau - 17 +4x~ 2xy—4y+y“ = (x°- 2xy+y + (4x— 4y) 2 =(x—y) +4(x-y) = (x —y)(x—y+4)
Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp
nào để phân tích đa thức thành nhân tử
BÀI TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x —2x* +x; b) 2x? + 4x+2— 2y” ;
c) 2xy — ay? + 16
Chứng minh rằng (5n + 2) — 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x’ —3x +2:
Trang 2654 55 56 57 58 LUYEN TAP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)X + 2X Yy + XV — 9X; b) 2x — 2y — XÃ + 2xy — y7; 4 2 €)X — 2x” Tim x, biét : a) - 5x =0; b) (2x ~ 1° - (x +3)" =0; c) x(x — 3) + 12—4x =0, Tính nhanh giá trị của đa thức : 1 1
a) x + ox + ae tai x = 49,75 ; b) x”— y“— 2y ~ l tại x= 93 và y =6
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)x?— 4x +3; b) x7 + 5x +4;
c)x”—x—6; d®xỶ+4
(Gợi ý cáu đ) : Thêm và bớt 4x7 vào đa thức đã cho)
Chứng minh rằng nŸ — n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
§10 Chia đơn thức cho đơn thức
Cho À và B là hai đa thức, B z 0, Ta nói đa thức Á chia hết cho đa thức B
néu tim duoc một đa thức Q sao cho A = B.Q
A được gọi là đa thức bị chia, B được gọi là đa thức chia, Q được gọi
là đa thức thương (gọi tắt là thương) Kí hiệu Q = A : B hoặc Q = 4“
Trang 2759 Lam tinh chia: a) x : # : 7.4.2 b) 15v :3v; c) 200° : 12x a) Tinh 15x’y" : 5xy” b) Tính 12x°y Oy,
Nhận xét Đơn thức A chia hét cho don thic B khi mỗi biên của B déu la biển cua A voi s6 mii không lớn hơn số mũ của nó trong A
Quy tác
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta
làm như sau :
— Chỉa hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B
Trang 2861 62 ab a) x!°: (-x)°; b) (—x)”: (—X)”; e)—y) : (—y) 3 1
a) 5x7y4: IOx”y; b) aey (-3x2y?) ; c) (-xy)! : (-xy)
Tính giá trị của biểu thức I5x"y*z” : Sxy°z” tai x = 2, y =—10 va z = 2004
§11 Chia đa thức cho đơn thức
Quy tắc
Cho đơn thức 3vy?
¬ Hay viết một đa thức có các hạng tử đều chia hết cho 3œ ; — Chia các hạng tử của đa thức đó cho 3xy" :
~ Cộng các kết quả vừa tìm được với nhau Chẳng hạn :
(15xy` + 12xŸy?~ 10xy”) : 3xyˆ
(5x’y?: 3xy? + (2x? : 3xy’) + (-10xy? : 3xy’) 5xy° $ 4x? Ẳ y
Đa thức 5xy” + 4x” — sờ là thương của phép chia đa thức 15x2y + I2x'y“— 10xy”
cho đơn thức 3xy”
Ta có quy tắc chia đa thức cho đơn thức (trường hợp các hạng tử của đa thức A
đều chia hết cho đơn thức B) như sau :
Quy tác
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (tường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia méi hang tu cua A cho B rồi cộng các kết quả với nhau
Trang 29
N
63
64
Ví dụ Thực hiện phép tính :
(30x"y? — 25x7y? — 3x4y) : 5x7y*,
Giải (30x'y” - 25x?y - 3x4y4y : sxy
= (30x^y” : 5x°y?) + (-25x’y° : 5x2y”) + (3x : 5x°y°) 2 3 2 =6X -5——XYy 5 y Chú ý Trong thực hành ta có thể tính nhẩm và bỏ bớt một số phép tinh trung gian Ap dung - " , 4 22 5 2 wo
a) Khi thuc hiện pháp chia (4x — 8x°y" + 12x y): (— 4°), ban Hoa viet : 4x) 8x°y" + 12vy =— 4x (~ r+ 2y“ — 3x y)
nên (4x4 - Bry? + 12°°y) : Ax") sax 4 2y" — 3xŸy Em hãy nhận xét xem bạn Hoa giải đúng hay sai
b) Làm tính chia:
(20x "y _ 25x2yˆ - 3x°y) : 5x°y
BAI TAP
Không làm tính chia, hãy xét xem da thife A cé chia hét cho đơn thức B không : A= 15xy” + 17xy + 18y?
B= 6y” Làm tính chia :
a) ( 2x) + 3x” — 4x”) :2X7; b) œ` - 2x’y + 3xy’) : (- - | :
Trang 3065
66
Làm tính chia :
[34—y)`+ 2œ~y))~5œ=y)? |:(y—x)Ê
(Gợi ý Có thể đặt x — y = z rồi áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức)
Ai đúng, ai sai ?
Khi giải bài tập : "Xét xem đa thức À = 5x2 — 4x” + 6x y có chia hết cho
đơn thức B = 2x” hay không.",
Hà trả lời : "A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2",
Quang trả lời : "A chia hét cho B vi mọi hạng tử của A đều chia hết cho B" Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn
Trang 31« Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, cụ thể là : — 5x? x7 =- 5x, Lấy dư thứ nhất trừ đi tích của — 5x với đa thức chia ta được dư thứ hai : 2x” ~ 13x” + 15x? + 11x — 3 2x* - 8x? - 6x" — 5x° +21xŸ+11x— 3 — 5x" +20x + lấx x 4x- 3 Thực hiện tương tự như trên, ta được : 2x! ~— 13x” + 15x 2+ 1Ix—3 _ 2x!~ 8x” - 6x7 — §x° 421x724 11x -3 — 5x> + 20x? + 15x x7 4x ~3 x7 - 4x -3 0 © Du cudi cùng bằng 0, ta được thương là 2x” — 5x + 1 Khi đó ta có : (2x4 13x” + 15x” + 11x =3): (xˆ— 4x =3) =2x”— 5x + 1
Phép chia có dư bằng 0 là phép chìa hết
FEM idm tra Iai tich (? — 4x — 32x? — 5x + 1) 6 bang GỀ — t3 + 13 +
Trang 322 Phép chia có dư
Thực hiện phép chia đa thức (5x° — 3x? + 7) cho đa thức (x? +1) Làm tương tự như trên, ta được : 5x? — 3x7 +7 x +] — 8x + 5x 5x -3 —3x“ —5x + 7 — 8x? - 3 —5x+10
Đến day ta thấy đa thức dư —5x + I0 có bậc bằng ! nhỏ hơn bậc của đa thức
chia (bằng 2) nên phép chia không thể tiếp tục được
Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có đư, -5x + 10 goi la
đựư và ta có: — `
5x9 — 3x7 47 = (x7 + 15x — 3) — 5x + 10
> Chi y Neuci ta ching minh duoc rang doi với hai đa thức tuỳ ý A và B cua càng một biến (B z0), tôn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A=B.O+R, rong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được
goi la du trong phép chia A cho B)
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết BÀI TẬP 67 Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia : a) (XÌ—7x+3—x”):(—3); — b)(2xŸ-3x)~3x”~2+6):(x —2) 68 Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia : a) (x2 + Ixy ty) (x+y); b) (125x” + 1): (5x + 1); c) (x? —2xy + v2) :(y—X)
69 Cho hai đa thức: A = 3x" +x” + 6x — 5 và B=x” + 1 Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết À đưới dạng A = B Q + R
Trang 3370 71 72 73 74, > wry em LUYEN TAP
Lam tinh chia :
a) (25x ~ 5x" + 10x?) : 5x? ; b) (15xy — 6x”y — 3x'yÐ : 6x’y
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không a) A= 15x*— 8x3 4.x? B= 1,2: 2 b) A=x?-2x +1 B=1-x Lam tinh chia : (2x4 4x9 — 3x7 45x —2 (x7 -x4)) Tính nhanh : a) (4x — 9y*) : (2x — 3y) ; b) (27x° - 1): (3x —1); c) (8x ` + 1): (4x7 — 2x + 1); đ) (x” - 3x + xy - 3y) : (x +) Tìm số a để đa thức 2x” — 3x” + x + a chia hết cho đa thức x + 2 ON TAP CHUONG | Câu hỏi Phát biểu các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức ˆ Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Trang 3475 76 77, 78 79, 80 81 82 83 Bai tap Làm tính nhàn : a) 5x7 (3x" — 7x +2); b) 2AY.OxŸy — 3xy + y’) Làm tính nhân : a) (2x* — 3x)(5x" — 2x +1); b) (x - 2y)(3xy + 5y” + x)
Tính nhanh giá trị của biểu thức :
a)M=x”+4y” -4xy tại x= I8 và y=4;
Trang 35Chương II - PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TC Sở + £ la A(x), B(x) wets) 2 is B(x) #0 a, beZ, b#0 4 „ So 21 A(x) b cQ aed z ’ LK B(x)
Ở lớp 7 ta đã biết, từ tập hợp các số nguyên Z ta thiết lập được tập hợp các số hữu tì Q Khi đó, môi số nguyên cũng là một số hữu tỉ Tương tự, bây giờ từ tập hợp các đa thức ta sẽ thiết lập một tập hợp mới gồm những biểu thức gọi là những phản thức đại số Học chương này, các em sẽ biết thế nào là một phân thức đại số, biết các quy tắc làm tính trên các phân thức đại số và
sẽ thấy rằng những quy tắc ấy tương tự như các quy tắc làm tính trên các
phân số
§1 Phan thức đợi số
Trang 36Ta nhận thấy trong các biểu thức này A và B là những đa thức Những biểu
thức như thế được gọi là những phản thức đại số
Ta có định nghĩa :
Một phán thức đại số (hay nói gòn là phán thức) là một biểu thức có dang
A `
~~ trong đồ A, B là những da thitc va B khác da thức 0
A duoc goi la bethitc (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu) Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu tHức bằng l Bl Em hay viết một phân thức đại số
Ei Một số thực a bất kì có phải là một phân thức không ? Vì sao ?
2
Số O0, số 1 cũng là những phân thức đại số
Trang 3736 BÀI TẬP Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng : a) 2 = 2OXY b 3x(K +5) 3x, 7 28x ` 24x+59) 2` x+2_ (x+2)(x+l) x7 -x-2 x?°-3x+2 €)——~=————! x-] x7 -] đ) —————=————— x+Í x—Ï ; 3 ` x” ~2x+4 Ba phan thức sau có bằng nhau không ? x?-2x-3 x-3 x? —4x +3 x7 +x X x2 —x
Cho ba da thie : x? — 4x, x + 4, x* + 4x Hãy chọn đa thức thích hợp trong
Trang 38Tính chất cơ bản của phân thức
Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số
a +2 x ~ a + ` x a a 2 ` se Be
Cho phản thức — Hay nhan tt va mau cua phan thitc nay v6i x + 2 réi so sánh phán thức vừa nhận được với phân thức đã cho “ „ VY Y ~ ¬ + 2 ` xẻ Cho phán thức T- Hãy chía tứ và mâu của phán thức nay cho 3xy rồi so 6vy sánh phán thức vừa nhận được với phán thức đa cho Phân thức đại số có tính chất cơ bản sau :
Nếu nhán cả tử và mẫu của một phản thức với cùng một đa thức khác
đa thức 0 thì được một phán thức bằng phán thức đã cho :
A _A.M
— (M la mot da thitc khác đa thức 0) B_ B.M
Nêu chía cả tử và mẫu của mót phân thức cho một nhán tử chung của
chúng thì được một phân thức bang phán thức đã cho -
A_A:N
— =—— (N la mot nhan tu chung)
B B:N
Tính chất này được gọi là tính chất cơ bản của phân thức
Dùng tỉnh chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết :
a 2x(x-1) 2x bị Ê- TÂ,
(x+lx-1) x+l” B -B
Quy tắc đối dấu
Trang 39fa Dung quy tắc đổi dấu hãy điên một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau : aJ—*“-~3 "7, 4-x we S-xX | b) = ——— H—x? x7 -11 BAI TAP
4 Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau Dưới
đây là những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho : x†+3 _ x? +3x (x+1 x41 = (Lan) ; (Hung) ; 2x —5 2x2—5x x2 4x 4-x x-4 0° (x-9# (9-xÿŸ 3x 3x (Giang) 20-x) 2 THHY)
Em hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức và quy tic đổi dấu để giải thích
ai viết đúng, ai viết sai Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng
5 Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đẳng thức sau :
Trang 40Vv
Ta thay phan thức vừa tìm được đơn giản hơn phân thức đã cho, Cách biến đổi mà em vừa làm gọi là rú gọn phân thức §x+10 25x? +t50x ` a) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi tìm nhân tử chung của chúng Cho phản thức b) Chia cả tứ và mẫu cho nhân tử chung Nhận vét Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :
— Phản tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung ;
— Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung 3 4.2 Vi du 1 Rut gon phan thức *—S* +98, xˆ-4 Giải x3 —4x2 +4x _ x(x? —4x+4) x(x _2ÿ _ x(x —2) x- 4 (x—2)(x+2) (x-2Xx+2) x+2 2 2x +1 Rút gọn phân thức a 5x +5x