graphics distant3

CHƯƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU Một ưu điểm quan trọng đồ họa cho phép dễ dàng thao tác lên đối tượng tạo Một nhà quản lí có nhu cầu thu nhỏ biểu đồ báo cáo, kiến trúc sư muốn nhìn tòa nhà góc nhìn khác nhau, nhà thiết kế muốn quan sát chỉnh sửa mẫu đối tượng trình thiết kế, … Tất thao tác hỗ trợ cách dễ dàng nhờ vào phép biến đổi hình học Các phép biến đổi hình học làm thay đổi mô tả tọa độ đối tượng, từ làm cho đối tượng bò thay đổi hướng, kích thước hình dạng Các phép biến đổi hình học sở bao gồm : tònh tiến (translation), quay (rotation) biến đổi tỉ lệ (scaling) Ngoài số phép biến đổi khác thường áp dụng phép đối xứng (reflection) biến dạng (shearing) Có hai quan điểm phép biến đổi hình học : biến đổi đối tượng (object transformation) biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation) Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ điểm mô tả theo quy tắc đó, biến đổi hệ tọa độ tạo hệ tọa độ tất điểm mô tả đối tượng chuyển hệ tọa độ Hai cách có mối liên hệ chặt chẽ với cách có lợi riêng Chúng ta bàn phép biến đổi đối tượng trước CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC CƠ SỞ Một phép biến đổi hai chiều biến đổi điểm P mặt phẳng thành điểm có tọa độ Q theo quy luật Về mặt chất, phép biến đổi điểm ánh xạ T đònh nghóa : T : R2 → R2 P ( x , y ) a Q ( x ' , y ') Nói cách khác, T hàm số T(x, y) theo hai biến (x, y) : ⎧ x' = f (x, y) ⎨ ⎩ y' = g (x, y) Phép biến đổi affine phép biến đổi với f (x, y) g(x, y) hàm tuyến tính Phép biến đổi có dạng : ⎧ x' = ax + cy + e ⎨ ⎩ y' = bx + dy + f , a, b, c, d, e, f ∈ R, ad − bc ≠ http://www.ebook.edu.vn Ta khảo sát phép biến đổi affine nên từ sau ta dùng cụm từ "phép biến đổi" thay cho "phép biến đổi affine" 1.1 Phép tònh tiến Để tònh tiến điểm P (x, y) từ vò trí sang vò trí khác mặt phẳng, ta cộng thêm giá trò mô tả độ dời vào tọa độ P Nếu gọi trx try độ dời theo trục hoành trục tung tọa độ điểm Q(x' , y') : ⎧ x' = x + trx , ⎨ ⎩ y' = y + try (tr , tr ) gọi vector tònh tiến hay vector độ dời x y Chúng ta dòch chuyển toàn đối tượng cách áp dụng quy tắc cho điểm thuộc đối tượng Để tònh tiến đoạn thẳng, đơn giản cần tònh tiến hai điểm đầu cuối sau vẽ lại đoạn thẳng nối hai điểm Với đa giác, ta tònh tiến đỉnh sau vẽ lại đa giác với đỉnh Một cách tương tự, để tònh tiến đối tượng đường tròn, ellipse, ta tònh tiến tâm chúng y y Q try (2,3) P (4,3) trx (6,1) (8,1) x x (a) (b) tới vò trí vẽ lại Hình 3.1 – Phép tònh tiến điểm (a) đối tượng với vector tònh tiến (-4,2) (b) 1.2 Phép biến đổi tỉ lệ Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổi kích thước đối tượng Để co hay giãn tọa độ điểm P (x, y) theo trục hoành trục tung s x s y , ta nhân s x s y cho tọa độ P ⎧ x' = s x x , s x s y gọi hệ số tỉ lệ ⎨ ⎩ y' = s y y Khi giá trò s x , s y nhỏ 1, phép biến đổi thu nhỏ đối tượng, ngược lại giá trò lớn 1, phép biến đổi phóng lớn đối tượng Khi s x , s y nhau, ta gọi phép đồng dạng (uniform scaling), phép đồng dạng phép biến đổi bảo toàn tính cân xứng đối tượng http://www.ebook.edu.vn Tâm tỉ lệ điểm không bò thay đổi qua phép biến đổi tỉ lệ Phép biến đổi tỉ lệ mô tả gọi phép biến đổi tỉ lệ quanh gốc tọa độ có tâm tỉ lệ gốc tọa độ Nhận xét phép biến đổi tỉ lệ thu nhỏ đối tượng, đối tượng dời gần y (2,3) (4,3) (5,1.5) (10,1.5) x gốc tọa độ hơn, tương tự phóng lớn đối tượng, đối tượng dòch chuyển xa gốc tọa độ Hình 3.2 – Phép biến đổi tỉ lệ với s x = 2.5 s y = 0.5 1.3 Phép quay Phép quay làm thay đổi hướng đối tượng Một phép quay đòi hỏi phải có tâm quay, góc quay Góc quay dương thường quy ước chiều ngược chiều kim đồng hồ Ta có công thức biến đổi phép quay điểm P (x, y) quanh gốc tọa độ góc α : ⎧ x' = cos α x − sin α y ⎨ ⎩ y' = sin α x + cos α y y x Hình 3.3 – Phép quay đối tượng quanh gốc tọa độ góc 600 1.4 Biểu diễn ma trận phép biến đổi Trong nhiều ứng dụng đồ họa, người dùng thường xuyên có nhu cầu thực nhiều phép biến đổi hình học khác đối tượng để tạo hiệu mong muốn Ví dụ ứng dụng thiết kế, cần phải thực nhiều phép tònh tiến, quay, tỉ lệ để khớp phần đối tượng vào vò trí chúng, hay sau thực phép biến đổi không ưng ý, người dùng muốn trở lại trạng trước biến đổi (undo), … Do cần phải có cách để xử lí dãy phép biến đổi nhanh chóng hiệu (x Nếu ta biểu diễn tọa độ điểm P (x, y) Q(x' , y') dạng vector dòng y) (x' y ') phép biến đổi tònh tiến, tỉ lệ, quay biểu diễn dạng ma trận http://www.ebook.edu.vn sau : Phép tònh tiến (x' y') = (x y) + (trx try ) hay Q = P + T với T = (trx try ) Phép biến đổi tỉ lệ (x' y') = (x ⎛ sx y)⎜⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ s y ⎟⎠ ⎛ sx hay Q = P.S với S = ⎜⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ s y ⎟⎠ Phép quay quanh gốc tọa độ (x' y') = (x ⎛ cos α y)⎜⎜ ⎝ − sin α sin α ⎞ ⎟ cos α ⎟⎠ ⎛ cos α hay Q = P.R với R = ⎜⎜ ⎝ − sin α sin α ⎞ ⎟ cos α ⎟⎠ Với cách biểu diễn này, gặp khó khăn muốn kết hợp phép biến đổi lại với biểu diễn phép tònh tiến khác với dạng phép biến đổi tỉ lệ quay Chính mà cần phải có cách để biểu diễn ba phép biến đổi dạng để dễ dàng xử lí sau 1.4.1 Hệ tọa độ (hormogeneous coordinates) Tọa độ điểm mặt phẳng biểu diễn ba số tỉ lệ (x h , y h , h) không đồng thời liên hệ với tọa độ (x, y) điểm công thức : x= xh , h y= yh h Nếu điểm có tọa độ (x, y, z) có tọa độ (h.x, h y, h.z) h số thực khác Tọa độ điểm không gian ba chiều hay có số chiều lớn xác đònh cách tương tự Về mặt toán học, việc đưa tọa độ vào cần thiết phải bổ sung cho mặt phẳng Euclid điểm xa vô tận (x, y,0) (điểm phi chính) có tọa độ thứ ba 0, điều dẫn đến khái niệm mặt phẳng xạ ảnh hình học xạ ảnh Trong hệ tọa độ nhất, điểm xa vô tận không đóng vai trò đặc biệt so với điểm khác mặt phẳng Với phép biến đổi hình học khảo sát, điểm biểu diễn dạng tọa độ nhất, ba phép biến đổi biểu diễn dạng tích ma trận Điều giúp cho việc khảo sát tính chất kết hợp phép biến đổi thuận tiện phép biến đổi đại diện ma trận http://www.ebook.edu.vn Bộ ba tọa độ thường biểu diễn điểm không gian ba chiều, ta sử dụng chúng để biểu diễn điểm không gian hai chiều Mối liên hệ : xét tất ba tọa độ biểu diễn cho điểm, nghóa ba số có dạng (h.x, h y, h.) , với h ≠ , nhận đường thẳng không gian ba chiều Để đơn giản hóa chọn h = , lúc điểm P(x, y) biểu diễn dạng tọa độ (x, y,1) 1.4.2 Biểu diễn phép biến đổi dạng tọa độ Phép tònh tiến (x' y' 1) = (x ⎛ ⎜ y 1).⎜ ⎜ ⎝ trx hay Q = P.M T (trx , try ) với try 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ ⎛ ⎜ M T (trx , try ) = ⎜ ⎜ ⎝ trx try 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ Phép biến đổi tỉ lệ (x' y' 1) = (x ⎛ sx ⎜ y 1).⎜ ⎜0 ⎝ hay Q = P.M S (s x , s y ) với sy 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ ⎛ sx ⎜ M S (s x , s y ) = ⎜ ⎜0 ⎝ sy 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Phép quay quanh gốc tọa độ (x' y' 1) = (x ⎛ cos α ⎜ y 1).⎜ − sin α ⎜ ⎝ hay Q = P.M R (α ) với sin α cos α 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ ⎛ cos α ⎜ M R (α ) = ⎜ − sin α ⎜ ⎝ sin α cos α 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ KẾT HP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Quá trình áp dụng phép biến đổi liên tiếp để tạo nên phép biến đổi tổng thể gọi kết hợp phép biến đổi (composing transformation) 2.1 Kết hợp phép tònh tiến Nếu ta thực phép tònh tiến lên P (x, y) P’ , lại thực tiếp phép tònh tiến khác lên P’, ta điểm Q(x' , y') Như vậy, Q ảnh phép biến đổi kết hợp hai phép tònh tiến liên tiếp M T1 (trx1 , try1 ) M T (trx , try2 ) có tọa độ : Q = {P.M T1 (trx1 , try1 )}.M T (trx , try2 ) = P.{M T1 (trx1 , try1 ).M T (trx , try2 )} http://www.ebook.edu.vn Ta có : ⎛ ⎜ M T1 (trx1 , try1 ).M T (trx , try2 ) = ⎜ ⎜ ⎝ trx1 ⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎝ trx1 + trx try1 + try2 try1 0⎞ ⎛ ⎟⎜ ⎟.⎜ ⎟⎜ ⎠ ⎝ trx try2 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ hay : M T1 (trx1 , try1 ).M T (trx , try2 ) = M T (trx1 + trx , try1 + try2 ) Vậy kết hợp hai phép tònh tiến phép tònh tiến Từ ta có kết hợp nhiều phép tònh tiến phép tònh tiến 2.2 Kết hợp phép tỉ lệ Tương tự phép tònh tiến, ta có tọa độ điểm Q(x' , y') điểm có sau kết hợp hai phép tỉ lệ M S1 (s x1 , s y1 ) M S2 (s x , s y2 ) : Q = {P.M S1 (s x1 , s y1 )}.M S2 (s x , s y2 ) = P.{M S1 (s x1 , s y1 ).M S (s x , s y2 )} Ta có : ⎛ s x1 ⎜ M S1 (s x1 , s y1 ).M S (s x , s y2 ) = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ s x1 s x ⎜ =⎜ ⎜ ⎝ s y1 s y2 0 s y1 0⎞ ⎛ s x2 ⎟⎜ ⎟.⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 s y2 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ hay : M S1 (s x1 , s y1 ).M S (s x , s y2 ) = M S (s x1 s x , s y1 s y2 ) Vậy kết hợp hai phép tỉ lệ phép tỉ lệ Dễ dàng mở rộng cho kết : kết hợp nhiều phép tỉ lệ phép tỉ lệ 2.3 Kết hợp phép quay Tương tự, ta có tọa độ điểm Q(x' , y') điểm phát sinh sau kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ M R1 (α ) M R (α ) : Q = {P.M R1 (α )}.M R (α ) = P.{M R1 (α ).M R (α )} Ta có : ⎛ cos α ⎜ M R1 (α ).M R (α ) = ⎜ − sin α ⎜ ⎝ sin α cos α 0 ⎞ ⎛ cos α ⎟⎜ ⎟.⎜ − sin α ⎟⎠ ⎜⎝ sin α cos α ⎛ cos(α + α ) sin(α + α ) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − sin(α + α ) cos(α + α ) ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎝ http://www.ebook.edu.vn 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ hay : M R1 (α ).M R (α ) = M R (α + α ) Vậy kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ phép quay quanh gốc tọa độ Từ dễ dàng suy kết hợp nhiều phép quay quanh gốc tọa độ phép quay quanh gốc tọa độ 2.4 Phép quay có tâm quay điểm Giả sử tâm quay có tọa độ I ( x R , y R ) , ta xem phép quay quanh tâm I góc α kết hợp từ phép biến đổi sở sau: • Tònh tiến theo vector tònh tiến (− x R ,− y R ) để dòch chuyển tâm quay gốc tọa độ (đưa trường hợp quay quanh gốc tọa độ) • Quay quanh gốc tọa độ góc α • Tònh tiến theo vector tònh tiến (x R , y R ) để đưa tâm quay lại vò trí ban đầu Hình 3.4 – Phép quay quanh tâm điểm Đối tượng trước biến đổi(a), Sau tònh tiến gốc tọa độ(b), Sau quay y y y y I(xR,yR) I(xR,yR) α x (a) x (b) x (c) góc α x (d) (c), Sau tònh tiến tâm quay ban đầu(d) http://www.ebook.edu.vn Ta có ma trận phép biến đổi : M R (x R , y R , α ) = M T (− x R ,− y R ).M R (α ).M T (x R , y R ) ⎛ ⎜ =⎜ ⎜− x R ⎝ − yR ⎞ ⎛ cos α ⎟⎜ ⎟.⎜ − sin α ⎟⎠ ⎜⎝ cos α ⎛ ⎜ =⎜ − sin α ⎜ (1 − cos α )x + sin α y R R ⎝ sin α cos α 0⎞ ⎛ ⎟⎜ ⎟.⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ x R yR 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ sin α cos α − sin α x R + (1 − cos α ) y R 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFFINE Phép biến đổi affine bảo toàn đường thẳng Ảnh đường thẳng qua phép biến đổi affine đường thẳng Thật vậy, ta có phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B : P(t) = (1 − t) A + tB Q(t) điểm nhận sau phép biến đổi M Q(t) = P (t).M = [(1 − t ) A + tB]M = (1 − t) AM + tBM Nếu gọi A’, B’ ảnh A, B qua phép biến đổi M, ta có A' = AM , B' = BM Lúc Q(t ) = (1 − t ) A'+ tB' Đây dạng phương trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’ Từ kết trên, để biến đổi đoạn thẳng qua hai điểm A B, ta cần áp dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm Tính song song đường thẳng bảo toàn Ảnh hai đường thẳng song song hai đường song song http://www.ebook.edu.vn Chúng ta viết lại phương trình tham số đường thẳng dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 theo phương β = B − A sau : A + βt Lúc ta biểu diễn hai đường thẳng song song dạng tia : L1 (t) = A1 + βt L2 (t ) = A2 + βt có phương βt xuất phát từ hai điểm khác Lúc áp dụng phép biến đổi lên hai đường thẳng song song này, dễ dàng nhận ảnh chúng có phương βM nên chúng song song Một hệ quan trọng tính chất ảnh hình bình hành sau phép biến đổi hình bình hành Tính tỉ lệ khoảng cách bảo toàn Giả sử C điểm chia đoạn AB theo tỉ số t Nếu A’, B’, C’ ảnh A, B, C qua phép biến đổi C’ chia A’B’ theo tỉ số t Trong trường hợp đặc biệt, C trung điểm AB C’ trung điểm A’B’, từ ta suy số tính chất sau : • Trong hình vuông, đường chéo cắt trung điểm đường nên đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường • Trong tam giác đều, giao điểm ba đường trung tuyến chia đường theo tỉ số 1:2 Mặt khác, tam giác ảnh tam giác qua phép biến đổi affine, nên giao điểm đường trung tuyến chia chúng theo tỉ lệ 1:2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC 4.1 Phép đối xứng Phép đối xứng trục xem phép quay quanh trục đối xứng góc 1800 Nếu trục đối xứng trục hoành hay trục tung, có biểu diễn phép đối xứng qua trục hoành, trục tung : M Rfx ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 0⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ M Rfy ⎛ − 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ 4.2 Phép biến dạng Phép biến dạng phép biến đổi làm thay đổi, méo mó hình dạng đối tượng Hai dạng phép biến dạng thường gặp biến dạng theo phương trục x biến dạng theo phương trục y cách thay đổi tọa độ (x, y) điểm ban đầu theo cách sau : Biến dạng theo phương trục x làm thay đổi hoành độ tung độ giữ nguyên ⎛ ⎜ M Shx = ⎜ shxy ⎜ ⎝ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Biến dạng theo phương trục y làm thay đổi tung độ hoành độ giữ nguyên http://www.ebook.edu.vn ⎛ sh yx ⎜ M Shy = ⎜ ⎜0 ⎝ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ shxy sh yx gọi hệ số biến dạng http://www.ebook.edu.vn y (1,3) (3,3) (10,3) (1,1) (3,1) (4,1) (6,1) (12,3) x Hình 3.5 – Phép biến dạng theo phương trục x với hệ số biến dạng shxy = 4.3 Phép biến đổi ngược Chúng ta thường dùng phép biến đổi ngược để undo phép biến đổi thực Ta có Q ảnh P qua phép biến đổi T có ma trận biến đổi M : Q = PM , từ phép biến đổi ngược T-1 có ma trận biến đổi M-1 với M-1 ma trận nghòch đảo ma trận M Với giả thiết ban đầu ma trận M ad − bc ≠ , ta có công thức tính ma trận nghòch đảo M-1 ⎛ a b 0⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ c d ⎟ : ⎜ e f 1⎟ ⎝ ⎠ M −1 = −b ⎛ d ⎜ − c a ⎜ ad − bc ⎜ ⎝ cf − de be − af 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Như ta có ma trận phép biến đổi ngược phép biến đổi sở tònh tiến, tỉ lệ, quay sau : ⎛ ⎜ M (trx , try ) = ⎜ ⎜ ⎝ − trx − try −1 T ⎛ sy ⎜ M (s x , s y ) = ⎜0 sx s y ⎜ ⎝0 −1 S ⎛ cos α ⎜ M (α ) = ⎜ sin α ⎜ ⎝ −1 R sx − sin α cos α 0⎞ ⎟ ⎟ = M T (− trx ,− try ) ⎟ 1⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ ⎛ ⎜ ⎜ sx ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sy ⎞ 0⎟ ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎟ 0⎟ = M S ⎜ , ⎟ ⎜ sx s y ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ 1⎟ ⎟ ⎠ 0⎞ ⎟ ⎟ = M R (− α ) ⎟⎠ http://www.ebook.edu.vn 4.4 Phân rã phép biến đổi Một phép biến đổi phân rã thành tích phép biến đổi sở tònh tiến, quay, tỉ lệ Một phép biến dạng theo phương trục x phân rã thành tích phép biến đổi tỉ lệ phép biến dạng đơn vò, với phép biến đổi tỉ lệ khác theo công thức sau : ⎛ ⎜ ⎜ shxy ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ 0 ⎞ ⎜ shxy ⎟ 0⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 0⎟ ⎟⎛⎜ 0 ⎞⎟⎛⎜ shxy ⎟⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎝ 0 ⎟⎠⎜⎝ ⎟ ⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ Phép biến dạng đơn vò phân rã tiếp : ⎛ 0 ⎞ ⎛ cos α ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ sin α ⎜ 0 1⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ − sin α cos α 0 ⎞⎛⎜ φ 0 ⎞⎟⎛ cos β ⎟ ⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ − sin β ⎜ ⎟ φ ⎟⎠⎜ 0 ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ sin β cos β 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎠ ⎧α = tan −1 (φ ) = 58.28 ⎪ ⎨ −1 ⎛ ⎞ ⎪ β = tan ⎜⎜ φ ⎟⎟ = 31.72 ⎝ ⎠ ⎩ Từ đó, phép biến đổi phân rã thành phép biến đổi sở sau : ⎛ a b 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ c d 0⎟ ⎜ e f 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 0 ⎞⎟⎛⎜ Q ⎜ ac bd + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ Q2 ⎜ 0 ⎟⎠⎜⎝ ⎝ ⎛ a ⎜ ⎞ 0 ⎜ Q ⎟ ad − bc ⎜ b ⎟⎜ − ⎟ Q Q ⎜ ⎟⎠⎜ ⎜ ⎝ b Q a Q ⎞ 0⎟ ⎟⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ e f ⎠ ⎟ ⎠ Q = a + b Với cách lập luận ta nhận thấy : phép biến đổi kết hợp từ phép biến dạng, tỉ lệ, quay, tònh tiến Tuy nhiên, theo kết bước trước, phép biến dạng kết hợp phép quay, tỉ lệ, nên từ suy phép biến đổi kết hợp từ phép tònh tiến, tỉ lệ quay PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng mô tả hệ tọa độ cục gắn với chúng Tuy nhiên để hiển thò toàn ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, mô tả phải chuyển hệ tọa độ chung Việc chuyển đổi thường chia làm hai loại : chuyển từ hệ tọa độ hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, chuyển đổi hai hệ tọa độ Descartes http://www.ebook.edu.vn Trong phần khảo sát phép biến đổi hai hệ tọa độ Descartes với http://www.ebook.edu.vn Hình 3.6 – Phép biến đổi hai hệ tọa độ Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O vector đơn vò i, j Hệ tọa độ (II) ảnh hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa độ O’ vector đơn vò u, v Lúc điểm P(x, y) hệ tọa độ (I) biến đổi thành điểm Q(a, b) hệ tọa độ (II) Vấn đề đặt mối liên hệ a, b với x, y, M Người ta chứng minh Q = PM −1 P v u O' j O i Hình 3.7 – Tọa độ điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ TÓM TẮT Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên đối tượng tạo Chúng làm thay đổi mô tả tọa độ đối tượng, từ đối tượng thay đổi hướng, kích thước hình dạng Các phép biến đổi hình học sở bao gồm tònh tiến, quay biến đổi tỉ lệ Ngoài số phép biến đổi khác thường áp dụng phép đối xứng biến dạng Có hai quan điểm phép biến đổi hình học : biến đổi đối tượng biến đổi hệ tọa độ Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ điểm mô tả theo quy tắc đó, biến đổi hệ tọa độ tạo hệ tọa độ tất điểm mô tả đối tượng chuyển hệ tọa độ Các phép biến đổi hình học biểu diễn dạng ma trận 3x3 để tiện cho việc thực thao tác kết hợp chúng Trong hệ tọa độ nhất, tọa độ điểm mô tả vector dòng bao gồm ba giá trò, hai giá trò đầu tương ứng với tọa độ Descartes điểm đó, giá trò thứ ba Với cách biểu diễn này, ma trận phép biến đổi có http://www.ebook.edu.vn từ kết hợp phép biến đổi sở tích ma trận phép biến đổi thành phần Các phép biến đổi không làm thay đổi kết cấu tính cân xứng đối tượng tònh tiến, quay gọi phép biến đổi bảo toàn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi rigid-body transformation Việc chuyển đổi hai hệ tọa độ Descartes với thường gặp công đoạn chuyển mô tả tọa độ đối tượng thành phần hệ tọa độ cục vò trí tương ứng hệ tọa độ chung Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng phép biến đổi bảo toàn kết cấu tònh tiến, quay BÀI TẬP Cho biết ma trận phép biến đổi dùng để biến đổi hình tròn thành hình ellipse ngược lại Cho biết ma trận phép biến đổi dùng để biến đổi hình vuông thành hình chữ nhật, hình bình hành ngược lại Xây dựng cài đặt cấu trúc liệu hàm dùng để thực phép biến đổi affine Cho biết ma trận phép tỉ lệ với tâm tỉ lệ điểm Cho biết ma trận phép lấy đối xứng qua đường thẳng y=mx+b Cho biết ma trận phép lấy đối xứng qua tâm điểm Cho biết ma trận phép biến dạng theo phương đường thẳng y=mx+b Chứng minh ma trận phép lấy đối xứng qua đường thẳng y = x tương đương với kết hợp phép lấy đối xứng qua trục hoành phép quay quanh gốc tọa độ góc 900 Chứng minh ma trận phép lấy đối xứng qua đường thẳng y = − x tương đương với kết hợp phép lấy đối xứng qua trục tung phép quay quanh gốc tọa độ góc 900 10 Trong phép biến đổi tỉ lệ, s x , s y gọi hệ số tỉ lệ theo phương trục hoành phương trục tung Hãy cho biết công thức phép biến đổi tỉ lệ theo phương trục nghiêng so với trục hoành (các trục trực giao với nhau) góc α với hệ số tỉ lệ theo phương s x , s y 11 Chứng minh cặp hai phép tỉ lệ giao hoán, nghóa M S1 M S2 = M S2 M S1 Tương tự cho cặp hai phép quay 12 Chứng minh phép đồng dạng phép quay tạo thành cặp thao tác có tính giao hoán, phép biến đổi tỉ lệ thường phép quay không 13 Trình bày ma trận phép biến dạng dạng tích ma trận phép quay phép tỉ lệ 14 Trình bày ma trận phép quay dạng tích ma trận phép biến dạng tỉ lệ 15 Chứng minh phép quay quanh gốc tọa độ phân tích thành ba phép biến dạng Đây cách để quay ảnh nhanh phép biến dạng thường thực cách di chuyển toàn khối điểm ảnh (block pixels) 16 Chứng minh phép biến đổi affine phân tích thành tích phép tònh tiến, tỉ lệ quay http://www.ebook.edu.vn 17 Chứng minh công thức tính tọa độ điểm thực phép biến đổi hệ tọa độ 18 Hệ tọa độ x' O' y' nhận cách quay quanh gốc tọa độ góc α tònh tiến theo vector tònh tiến (trx , try ) hệ tọa độ xOy Hãy cho biết công thức tọa độ điểm P hệ tọa độ x' O' y' P (x, y) tọa độ P hệ tọa độ xOy 19 Viết chương trình minh họa bước kết hợp phép biến đổi sở để tạo thành phép quay điểm quanh tâm Thực tương tự cho phép tỉ lệ có tâm tỉ lệ điểm 20 Viết chương trình cho phép người dùng sử dụng phép biến đổi học thao tác lên đối tượng cho trước http://www.ebook.edu.vn http://www.ebook.edu.vn