Bài tập tổng hợp

Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Tìm tập xác định hàm số a y=f(x)=x.Cos3x c y=f(x)= 1+Cosx 1-Cosx 1+Cosx Cosx 1+Cos x d y=f(x)= 1+Cosx b y=f(x)= Bài giải a f(x) có nghĩa với x thuộc R Nên tập xác định D=R b f(x) có nghĩa Cosx ≠0, suy x ≠ π +k2π, k ∈ Z Nên tập xác định π  D=R\  +k2π,k ∈ Z  2  c f(x) có nghĩa 1-Cosx≠0 ⇔ Cosx ≠ ⇔ x ≠ k2π , k ∈ Z Nên tập xác định D=R\ { k2π,k ∈ Z} d f(x) có nghĩa 1+Cosx≠0 ⇔ Cosx ≠ −1 ⇔ x ≠ π + k2π , k ∈ Z Nên tập xác định D=R\ { π +k2π,k ∈ Z} Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Số M gọi giá trị lớn hàm số y=f(x) D ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M ⇔ ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M - Số m dược gọi giá trị nhỏ hàm số y=f(x) D ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m ⇔ ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m a y=f(x)=2+3Cosx b y=f(x)=3-4Sin2x.Cos2x c y=f(x)=2.Sin x-2Cos2x Bài giải a −1 ≤ Cosx ≤ ⇒ −3 ≤ 3.Cosx ≤ ⇔ −1 ≤ + 3.Cosx ≤ f ( x) = f (π + k 2π ) = −1 + + 3.Cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π Suy Min R + + 3.Cosx = ⇔ x = k 2π Suy MRax f ( x) = f ( k 2π ) = b y=f(x)=3-Sin22x ≤ Sin 2 x ≤ ⇔ ≥ − Sin 2 x ≥ −1 ⇔ ≥ − Sin 2 x ≥ π π π π + k Suy Min f ( x) = f  + k ÷ = R 2 4 π  π + − Sin 2 x = ⇔ x = k Suy Max f ( x) = f  k ÷ = R  2 + − Sin 2 x = ⇔ x = c y=f(x)=1-3Cos2x −1 ≤ Cos2x ≤ ⇔ ≥ −3.Cos2x ≥ -3 ⇔ ≥ − 3.Cos2x ≥ -2 + − 3.Cos2x=-2 ⇔ x=kπ Suy Min f ( x) = f ( kπ ) = −2 R + − 3.Cos2x=4 ⇔ x= π +kπ Suy Max f ( x) = R π  f  + kπ ÷ = 2  Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Dạng  x=α +k2π  x=π-α +k2π - Tanx=Tanα ⇔ x=α+kπ  x=α +k2π  x=-α +k2π - Cotx=Cotα ⇔ x=α+kπ - Sinx=Sinα ⇔  - Cosx=Cosα ⇔  Bài Giải phương trình a Sinx=Bài giải b Sin2x = -1 c Sin x= π  x = − + k 2π   π  π = Sin  − ÷⇒ Sinx=Sin  − ÷⇒  a −  3    x = π + π + k 2π = 4π + k 2π  3 3π  x= + kπ   3π   3π  b −1 = Sin  ÷⇒ Sin2x=Sin  ÷⇒       x = − π + kπ  π   x = + kπ S inx=   2 ⇔ c Sin x= ⇔   x = 5π + kπ  Sinx=  Bài Giải phương trình: a Sinx =0 Cosx-1 b Cos3x-Sin2x=0 Bài giải a Điều kiện x ≠ k2π Sinx =0 ⇔ Sinx=0 ⇔ x=kπ Cosx-1 Mà x ≠ k2π nên nghiệm x=π +k2π π 2π  x = + k  10 π  b Cos3x=Sin2x=Cos  − x ÷ ⇔  2   x = − π + k 2π  Bài Giải phương trình a Sin 3x + Sin5x =0 b tanx.tan2x=-1 Bài giải π  x = k a Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x) ⇔   x = − π + kπ  π  x ≠ + kπ  b Điều kiện  x ≠ π + k π  t anx.tan2x=-1 ⇔ tanx= Mà x ≠ -1 π = −Cot x ⇔ x = + kπ tan2x π + kπ nên phương trình vô nghiệm * Dạng: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Bài Giải phương trình sau: a Sinx+Cos2x=1 b 4.Sinx= Sinx Bài giải  x = kπ  Sinx=0 ⇔ a Sinx+Cos x = ⇔ Sinx ( 1-Sinx ) = ⇔   x = π + k 2π Sinx=1   b Điều kiện Sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ π   x = + kπ Sinx=   1 ⇔ 4.Sinx= ⇔ Sin x= ⇔   Sinx  x = 5π + kπ  Sinx=-   Bài Giải phương trình sau: a 2.Sin2x-5Sinx+3=0 2.Sin2x-3Cosx=0 Bài giải a Đặt t= sinx, t ≤  t1 =1 Ta có phương trình theo t: 2t -5t+3=0 ⇒  t2 =  π t2 loại, với t1=1 ta có x = + k 2π 2 b 2.Sin2x-3.Cosx=0 ta suy 2Cos2x+3Cosx-2=0 Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1 ta có phương trình theo t là: 2.t2+3t-2=0 Giải  t=-2   t=  π  x = + k 2π  Ta nhận t = ⇒  π  x = − + k 2π  * Dạng: Phương trình bậc sin cos - Cách giải: a.sinx+bcosx=c ⇔ Đặt a sinx+ b a2 + b2 a2 + b2 a b = Cosα ; = Sinα a + b2 a + b2 c cosx= Ta có phương trình sinx.cosα +cosx.sinα = a2 + b2 c a + b2 - Ví dụ: Giải phương trình sau: a 3.Sin2x-Cos2x=1 b Cos2x- 3Sin2x= d Cos2x- 3Sin2x=1 e 3Cosx+3Sinx=3 Bài giải a a= 3;b=1;c=1 a +b =2 1 Sin2x- Cos2x= 2 b  π  x= +kπ π  π Sin  2x- ÷= =Sin  ÷ ⇔  6  6  x= π +kπ  a=1;b= 3;c= a +b =2 3 Cos2x- Sin2x= 2 π  x=-kπ  π  π 24 Sin  -2x ÷= =Sin  ÷ ⇔  6  4  x=- 7π -kπ  24 c a=1;-b=1;c= d a +b = 1 Cos2xSin2x=1 2 π π  π Sin  -2x ÷=1=Sin  ÷ ⇔ x= +kπ 4  2 ⇔ Sin ( x+α ) = c a2 + b2 c Cos2x-Sin2x= a=1;b= 3;c=1 a +b =2 Cos2x- Sin2x= 2  x=kπ π  π Sin  -2x ÷= =Sin  ÷ ⇔  π  x=- + kπ 6  6  e Đưa dạng Cosx+ 3Sinx= a=1;b= 3;c= a +b =2 3 Cos2x+ Sin2x= 2  π  x= +k2π π  π Sin  +x ÷= =Sin  ÷ ⇔  6  3  x= π + k2π  BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Giải phương trình: Phương trình Giải phương trình lượng giác Đáp số: Giải phương trình: Phương trình cho tương đương với * * Giải phương trình lượng giác sau: Giải phương trình: Từ phương trình cho ta có : Giải phương trình : Giải phương trình : Phương trình cho Giải phương trình: Giải phương trình : Giải phương trình 10 Giải phương trình lượng giác sau: 11 Giải phương trình : 12 Giải phương trình lượng giác: Phương trình cho tương đương với Đáp số : 13 Giải phương trình : Các nghiệm số Chủ đề: QUY TẮC ĐÊM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP Hoán vị a Hoán vị gì? Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình Châu chạy thi Nếu không kể trường hợp có hai hay ba vận động viên đích lúc khả có khả xảy Kết thi danh sách gồm người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba Danh sách hoán vị tập hợp {An, Bình, Châu} Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} {a,b,c} tập hợp có tất hoán vị (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a) Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tử (n >0) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A b Số hoán vị Định lí 1: Số hoán vị tập hợp có n phần tử là: Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan điểm du lịch A,B,C,D,E,G H Hà Nội Họ tham quan theo thứ tự đó, chẳng hạn Như cách họ chọn thứ tự tham quan hoán vị tập {A,B,C,D,E,G,H} Do đoàn khách có tất cách chọn Chỉnh hợp a Chỉnh hợp Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua đá luân lưu 11m Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ đội để tham gia đá Mỗi danh sách có xếp thứ tự cầu thủ gọi chỉnh hợp chập 11 cầu thủ Một cách tổng quát: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k, [1\le k \le n[/ct] Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A Chú ý: Hai chỉnh hợp khác có phần tử chỉnh hợp không phần tử chỉnh hợp phần tử chỉnh hợp giống xếp theo thứ tự khác b Số chỉnh hợp Xét ví dụ trên, ta tính xem có bao nhiều cách huấn luyện viên lập danh sách cầu thủ? Giải: Ta chọn 11 cầu thủ để đá Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá thứ hai, cách chọn cầu thủ đá thứ ba, cách chọn cầu thủ đá thứ tư cuối có cách chọn cầu thủ đá thứ năm Theo quy tắc nhân, đội có: 11.10.9.8.7 =55440 cách chọn Định lí: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử ( ) là: (*) Ta quy ước: , công thức (*) với số nguyên k thỏa mãn Chú ý: Một hoán vị tập n phần tử chỉnh hợp chập n tập nên: Tổ hợp a Tổ hợp gì? Cho tập A có n phần tử số nguyên k với Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A) Như vậy, lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A mà không quan tâm đến thứ tự b Số tổ hợp Định lí: Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử ( ) là: (**) Với quy ước: (**) với số nguyên k thỏa mãn Ví dụ: Trong lớp học có 20 HS nam 15 HS nữ Thầy giáo cần 4HS nam HS nữ tham gia chiến dịch "Mùa hè xanh" Đoàn Hỏi có cách? Giải: Ta có cách chọn HS nam số 20 HS nam có cách chọn HS nữ số 15 HS nữ Theo quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm là: 4845.455=2204475 cách chọn Hai tính chất số TC1: Cho số nguyên n,k thỏa mãn TC2: Cho số nguyên n,k thỏa mãn Khi đó: Khi đó: Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có số gồm chữ số khác viết từ chữ số cho Gọi số cần lập Ta có cách chọn cách chọn cách chọn cách chọn Vậy ta có: số Cho số 1,2,5,7,8 có cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số cho số tạo thành số chẵn Gọi Vì số cần lập chẵn nên chẵn, nên ta có cách chọn cách chọn cách chọn Trường hợp ta có : số chẵn Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta thành lập số chẵn, số gồm chữ số khác Gọi số tự nhiên chẵn cần lập Vì chẵn nên số tận • Nếu có : cách chọn cách chọn cách chọn cách chọn cách chọn Vậy trường hợp ta có : số chẵn • Nếu ta có : cách chọn (vì ) cách chọn (vì ) cách chọn cách chọn cách chọn Vậy trường hợp ta có : Do đó: có tất số số chẵn chẵn Giải khác Gọi số tự nhiên có chữ số khác abcde(a khác 0) Chọn chữ số a,b,c,d,e ta có 5,5,4,3,2 cách chọn.Vậy có tất 600 số tự nhiên lập Số số lẻ lập ra:là 288 số.Vì : • Chọn e có cách • Chọn a có cách * Phương trình biến đổi thành : * Do * lần lượt kiểm tra từng giá trị: thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm : 33 Giải phương trình : Điều kiện : Ta có : So sánh với điều kiện ta có : thỏa mãn 34 Giải phương trình : Điều kiện : Phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm: 35 Tìm số tự nhiên n cho : Điều kiện : So với điều kiện ta chọn 36 Giải phương trình Cách 1: Đáp số: Cách 2: Ta có: với 37 Giải phương trình: Biến đổi ta có: hay: hay: hay x=4 Vậy phương trình có nghiệm x=4 38 Giải phương trình: Ta có (1): (1) hay: hay: hay: hay x=6 Vậy phương trình có nghiệm x=6 39 Giải phương trình sau: ĐK x: Thay x=3, x=4, x=5 vào bất phương trình thấy thỏa mãn Vậy bất phương trình cho có nghiệm {3;4;5} 40 Giải phương trình: đk : pt (loại) Vậy nghiệm pt 41 Giải phương trình : Điều kiện (vì ) Vậy nghiệm phương trình cho x=4 42 Giải phương trình : ( ĐK : x > 3) Chủ đề XÁC SUẤT Bài Gieo hai súc sắc a) mô tả không gian mẫu b) gọi A biến cố “tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc nhỏ 7″ Liệt kê kết thuận lợi cho A Tính P(A) c) Cũng câu hỏi cho biến cố B: ” có súc sắc xất mặt chấm” C: “có xuất mặt chấm” Giải:a) khôg gian mẫu có 36 phần tử Hay ( liệt kê thường làm) b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3) ,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)} n(A) = 21 nên P(A) = c) giống n(B) = n(C) = Bài Chọn ngẫu nhiên người có tên danh sách 20 người, đánh số từ đến 20 Tính xác suất để người chọn có số thứ tự không lớn 10 Giải: chọn số 20 người nên Số thứ tự không vượt 10 nên ta chọn người tập người có số thứ tự từ đến 1- Vậy số trường hợp thuận lợi là: xác suất cần tìm Bài Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ tổ có nam 4nữ để làm trực nhật Tính xác suất cho đó: a) nam b) có hai bạn nam c) có nam Hướng dẫn – đáp án ( chọn nam số nam) ( chọn nam số nam nữ số nữ) Dùng biến cố đối để tính C:”có bạn nam” lúc “không có bạn nam nào” ( tức nữ) ( chọn nữ số nữ), suy xác suất từ suy P(C) Bài Gieo ba đồng xu cân đối Tính xác suất để : a) đồng xu sấp b) có đồng xu sấp c) có đồng sấp Giải: Có thể giải cách liệt kê dùng quy tắc tính xác suất để tính giải cách liệt kê từ ta dễ dàng suy câu a,b,c hai sau coi để kiểm tra lại xem học lại Bài Cho cỗ tú lơ khơ có 52 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để: a át b Có hai át c Có át d Có hai át hai K Bài Hai hộp chứa cầu hộp chứa đỏ xanh Hộp chứa đỏ xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tính xác suất cho: a Cả hai đỏ b Hai màu c hai khác màu Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Các bước quy nạp: - Kiểm tra lại với giá trị khởi đầu Thông thường Tuy nhiên số giá trị khác - Giả sử n = k - Chứng minh với n = k+1 Bài tập: Chứng minh rằng: a b c d e f Với số nguyên dương n, đặt cho 19 Chứng minh chia hết Chủ đề DÃY SỐ * Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Bài Viết số hạng đầu xét tính tăng, giảm, bị chặn dãy số (un) số hạng tổng quát: 2.n -3 a u n = n b un=(-1)n.2n Bài giải a 2.12 -3 u1 = =-1 2.22 -3 u2 = = 2 2.32 -3 15 u3 = = 3 c un=3n-7 d u n = 2n+1 n2 2n +2n+3 u n+1 -u n = = >0 với n thuộc N* Nên dãy số dãy số tăng n(n+1) (un) dãy số tăng nên u n ≥ u1 ,∀n ∈ N* un≥-1 Dãy số bị chặn b u1 =-2 u =4 u =-8 Nên dãy số dãy số không tăng không giảm un → −∞ un → +∞ (un) dãy số không bị chặn  c u1 =-4 u =2 u =20 u n+1 -u n = =2.3n >0 với n thuộc N* Nên dãy số dãy số tăng (un) dãy số tăng nên u n ≥ u1 ,∀n ∈ N* un≥-4 Dãy số bị chặn d u1 =3 u3 = -2n -4n-1 u n+1 -u n = = < với n thuộc N* Nên dãy số dãy số giảm n (n+1) (un) dãy số tăng nên u n ≤ u1 ,∀n ∈ N* un≤ Dãy số bị chặn u2 = * Dãy số cho dạng hệ thức truy hồi Bài Viết số hạng đầu xét tính tăng, giảm, bị chặn dãy số (un) cho dãy số dạng hệ thức truy hồi u1 =1 a  u = u +1  n n-1 u1 =1 u n =u n-1 − c  Bài giải: a u1 =1  u n-1 b  u = n  1+u n-1    u1 = d  u n =3.u n-1 u1 =1 u2 = u3 = u n >0,∀n u n = u n-1 +1 ⇒ u n − u n-1 = >0 u n +u n-1 u n -u n-1 >0 với n thuộc N* Nên dãy số dãy số tăng (un) dãy số tăng nên u n ≥ u1 ,∀n ∈ N* un≥1 Dãy số bị chặn b u1 =1 u3 = u2 = u n >0,∀n -u 2n-1 u n-1 un = ⇒ u n − u n-1 = 0 với n thuộc N* Nên dãy số dãy số tăng (un) dãy số tăng nên u n ≥ u1 ,∀n ∈ N* u n ≥ u1 = ,∀n ∈ N* Dãy số bị chặn Chủ đề CẤP SỐ CỘNG Công thức cần nhớ: • Để xét tính tăng hay giảm dãy số ta xét hiệu hiệu dương,đây dãy số tăng, ngược lại âm, dãy giảm • Để chứng minh dãy số cấp số cộng cần chứng minh với số Lúc gọi công sai • • • Tổng n số hạng Bài 1.Cho dãy số a) xét tính tăng, giảm dãy số b) Chứng minh cấp số cộng, tìm c) Tìm tổng 50 số hạng dãy giải: ta xét a) dãy số tăng b) cấp số cộng vậy: không đổi d = 19 c) Bài Tìm cấp số cộng biết Áp dụng công thức cấp số cộng ta có: thay vào phương trình ta có hệ sau đây: tới có hai giá trị d -4 Vậy có hai giá trị có hai cấp số cộng thỏa điều kiện Bài Cho cấp số cộng 1,6,11… Tìm x biết: + + 11 + 16 + +x = 970 ta phải tìm giá trị x biết x phần tử cấp số cộng giả thiết cho 970 tổng n số hạng ta nhận thấy cấp số cộng có giả sử x số hạng thứ n(n >0) ta có áp dụng công thức tính tổng n số hạng ta có: Tới tự bấm máy để suy ( n>0) x số hạng thứ 40 nên Viết số hạng xen 25 để cấp số cọng có số hạng Số thứ 50 dãy số mấy? Bài Cho cấp số cộng với Tìm số hạng tổng quát CSC Bài Cho dãy số (un) với un=9-5n a Chứng minh (un)là cấp số cộng b Tính u100 S100 Bài giải a un+1-un=-5 (không đổi) dãy số cấp số cộng với u1=9-5.1=4 công sai d=-5 b u100 =u1 +99d=-491 S100 = ( u1 +u100 ) 100 =-24350 Bài Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng (un) thỏa: u1 +2u =0 S4 =14 u =10 u =19 a  b  u1 +u -u =10 u1 +u =7 c  u -u =8 u u =75 d  Bài giải: u =8 u1 +2u =0 3u1 +8d=0 ⇔ ⇒ 4u1 +6d=14 d=-3 S4 =14 a  u =10 u1 +3d=10 u1 =1 ⇔ ⇒ u =19 u +6d=19 d=3   b  u1 +u -u =10 u1 +2d=10 u1 =36 ⇔ ⇒ u +u =7 2u +5d=7 d=-13    c  u -u =8 (1) u u =75 (2) d  (1) suy d=2  u1 =3  u1 =-17 (2) suy u1 +14u1 -51=0 ⇒   u1 =3   d=2 Vậy có hai cấp số cộng thỏa:  u =-17   d=2 Bài u1 +u +u =27 Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng (un)  2 u1 +u +u =275 Bài giải: u1 +u +u =27  2 u1 +u +u =275 (1) (2) Từ u1+u3=2u2 từ (1) ta suy u2=9 tức u1+d=9 Từ (2) suy u12 +81+ ( 9+d ) =275 d=4 Mà u1+d=9 suy u1=9-d Thay vào có d2=16 Suy  d=-4  d=4 ⇒ u1 =5  d=-4 ⇒ u1 =13 Vậy  Chủ đề CẤP SỐ NHÂN Dạng 1: Xác định yếu tố cấp số nhân Phương pháp chung: Dựa vào giả thiết toán áp dụng tính chất cấp số nhânđể tìm yếu tố cấp số nhân cho Bài tập Bài 1: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162, Tính U1,q,U10,S10 ? Giải: Bài 2: Xác định số hạng công bội cấp số nhân trường hợp sau: a, U4 - U2=54 U5 - U3=108 b, U1 + U2 + U3=35 U4 + U5 + U6=280 Giải: Dạng 2: Chứng minh dãy số cấp số nhân Để chứng minh (Un) cấp số nhân ta dùng cách chứng minh sau: Bài tập: Bài1: Cho dãy số (Un) xác định U1=2, Un+1=3+4Un CMR: Dãy số (Vn) xác định Vn=Un+1 cấp số nhân Giải: Dạng 3: Tìm điều kiện để số lập thành cấp số nhân Phương pháp chung: Để a, b, c lập thành cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 Bài toán chuyển việc giải phương trình Bài tập Bài 1: Tìm x để số x - 2, x - 4, x + lập thành cấp số nhân Giải: Dạng 4: Tính tổng Phương pháp chung Thông thường toán chuyển tính tổng n số hạng cấp số nhân Bàì tập Bài Cho dãy số (un) có un=2n-1 a Chứng minh (un) cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân b Tính S10 Bài giải: a Ta có u n+1 =2 (không đổi) Vậy (un) cấp số nhân un Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2 b S10 = u1 ( 1-q10 ) 1-q =210 -1 u1 +u =51 u +u =102  Bài Cho cấp số nhân (un) thỏa:  a Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân b Tính S10 Bài giải u1 ( 1+q ) =52 u1 +u =51 q=2  ⇔ ⇒ a  u +u =102 u1q ( 1+q ) =102 u1 =3 b S10 = u1 ( 1-q10 ) 1-q =3 ( 210 − 1) u -u1 =15 u -u =6 Bài Cho cấp số nhân (un) thỏa:  a Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân b Tính S10 Bài giải q = u − u = 15 u ( q − 1) = 15 q ⇔ ⇒ = ⇒ a  u − u = u 1q( q − 1) = q + 15 q =  15 15 = = + q = ⇒ u1 = q −1 −1 15 15 q = ⇒ u1 = = = −16 q − + 1   −1 2 u (1 − q10 ) S = = 210 − b + q=2 u1=1 10 1− q u (1 − q10 ) 16 = − ( 210 − 1) + q = u1=-16 S10 = 1− q 2 u − u + u = 10 Bài Cho cấp số nhân (un) thỏa:  u − u + u = 20 c Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân d Tính S10 Bài giải u 1q − u 1q + u 1q = 10 q = u − u + u = 10 ⇔ ⇒ a  u = u − u + u = 20 u 1q u 1q + u 1q = 20 u (1 − q10 ) = ( 210 − 1) b S10 = 1− q [...]... tử 1 cho nhau thì Do đó số các số cần lập là số 21 Cho tập Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9 Số tập con của của chỉ chứa là Vậy số tập con của có chứa số 9 là số các tập Vậy số tập con của có chứa số 9 là tập con Giải khác Số tập con của E có: 1 phần tử: tập 2 phần tử: tập 3 phần tử: tập 10 phần tử: tập Trong đó + E\9 + + = = = 512 tập 22 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có... tức có 1 nữ thì có: = 48 cách chọn Vậy có tất cả 336 + 1050 + 1120 + 420 + 48 =2974 cách chọn tất cả 3 Cho A là một tập hợp có phần tử: a) Có bao nhiêu tập hợp con của A b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn a) Số tập con của A là: b) Ta có: Suy ra số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là: 4 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 9 em , trong đó có 4 học... sau: Bài tập: Bài1 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un CMR: Dãy số (Vn) xác định bởi Vn=Un+1 là cấp số nhân Giải: Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân Phương pháp chung: Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b2 Bài toán được chuyển về việc giải phương trình Bài tập Bài 1: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân Giải: Dạng 4: Tính tổng. .. nên bài 4 Viết 5 số hạng xen giữa 25 và 1 để được một cấp số cọng có 7 số hạng Số thứ 50 của dãy là số mấy? Bài 5 Cho cấp số cộng với Tìm số hạng tổng quát của CSC Bài 4 Cho dãy số (un) với un=9-5n a Chứng minh (un)là cấp số cộng b Tính u100 và S100 Bài giải a un+1-un=-5 (không đổi) vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và công sai d=-5 b u100 =u1 +99d=-491 S100 = ( u1 +u100 ) 100 =-24350 2 Bài. .. Xác định các yếu tố của một cấp số nhân Phương pháp chung: Dựa vào giả thiết bài toán và áp dụng các tính chất của cấp số nhânđể tìm ra các yếu tố của cấp số nhân đã cho Bài tập Bài 1: Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162, Tính U1,q,U10,S10 ? Giải: Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: a, U4 - U2=54 và U5 - U3=108 b, U1 + U2 + U3=35 và U4 + U5 + U6=280... Giả sử đúng khi n = k - Chứng minh đúng với n = k+1 Bài tập: Chứng minh rằng: a b c d e f Với mỗi số nguyên dương n, đặt cho 19 Chứng minh rằng luôn chia hết Chủ đề DÃY SỐ * Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát Bài 1 Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi số hạng tổng quát: 2.n 2 -3 a u n = n b un=(-1)n.2n Bài giải a 2.12 -3 u1 = =-1 1 2.22 -3 5 u2 = = 2 2 2.32... Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân Bàì tập Bài 4 Cho dãy số (un) có un=2n-1 a Chứng minh (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó b Tính S10 Bài giải: a Ta có u n+1 =2 (không đổi) Vậy (un) là cấp số nhân un Số hạng đầu u1=20=1; công bội q=2 b S10 = u1 ( 1-q10 ) 1-q =210 -1 u1 +u 5 =51 u +u =102  2 6 Bài 5 Cho cấp... kệ là cách (đây là hoán vị có lặp lại) 17 Cho tập Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5? Gọi là số cần tìm Vì chia hết cho 5 nên hoặc bằng 0 hoặc bằng 5 TH1: TH2: Và là chỉnh hợp 9 chập 4 phần tử nên ta có: thì có: 8 cách chọn (vì ) cách chọn Vậy ta có Tổng cộng ta có: số số Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên:... cần chứng minh với là hằng số Lúc đó được gọi là công sai • • • Tổng của n số hạng đầu tiên Bài 1.Cho dãy số a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy giải: ta xét a) đây là dãy số tăng do b) đây là cấp số cộng vì vậy: không đổi và d = 19 c) vậy Bài 2 Tìm cấp số cộng biết Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta... của hoặc vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11… Tìm x biết: 1 + 6 + 11 + 16 + +x = 970 bài này ta phải tìm giá trị của x biết rằng x là một phần tử của cấp số cộng giả thiết cho 970 chính là tổng của n số hạng đầu tiên đấy ta nhận thấy cấp số cộng này có giả sử x là số hạng thứ n(n >0) vậy ta có vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có: Tới đây tự ... số 21 Cho tập Hỏi có tập chứa chữ số Số tập của chứa Vậy số tập có chứa số số tập Vậy số tập có chứa số tập Giải khác Số tập E có: phần tử: tập phần tử: tập phần tử: tập 10 phần tử: tập Trong... chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử ( ) là: (*) Ta quy ước: , công thức (*) với số nguyên k thỏa mãn Chú ý: Một hoán vị tập n phần tử chỉnh hợp chập n tập nên: Tổ hợp a Tổ hợp gì? Cho tập A... hoán vị tập hợp {An, Bình, Châu} Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} {a,b,c} tập hợp có tất hoán vị (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a) Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có