Làmộttrongnhữngngànhkhoahọcđược rađời từr ất sớm. Đượcdùngđểmôhìnhhóabằnghìnhhọc và giảiquy ết nhiềubàitoántrongthực tế. Cácbàitoánthườngđược mô tảthôngqua cácđỉnhvà cácđườngn ối giữa cácđỉnh, thểhiện m ối liên hệgiữa chúng
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Giảng viên: TH.S Phan ThỊ Hà Điện thoại/E-mail: hathiphan@yahoo.com Bộ môn: Công nghệ phần mềm Học kỳ/Năm biên soạn:I/2009-2010 BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC NỘI DUNG Các thuật ngữ đồ thị Biểu diễn đồ thị đẳng cấu Tính liên thông đồ thị Tính liên thông bậc đỉnh Đường E Ha Bài toán đường ngắn Đồ thị phẳng Tô màu đồ thị Cây khung đồ thị www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC GIỚI THIỆU: Lý thuyết đồ thị Là ngành khoa học đời từ sớm Được dùng để mô hình hóa hình học giải nhiều toán thực tế Các toán thường mô tả thông qua đỉnh đường nối đỉnh, thể mối liên hệ chúng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1:Các thuật ngữ đồ thị 1.1 Định nghĩa khái niệm 1.2 Đồ thị vô hướng 1.3 Đồ thị có hướng 1.4 Đồ thị có trọng số 1.5 Đồ thị phân đôi 1.6 Những đồ thị đơn đặc biệt 1.7 Một vài ứng dụng đồ thị đặc biệt 1.8 Đồ thị www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 1.Định nghĩa khái niệm Định nghĩa: đồ thị G cặp G = (V,E), đó: V: tập hợp đỉnh E: tập hợp cạnh, E ⊆ [V]2 www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 1.Định nghĩa khái niệm Định nghĩa khác đồ thị Đồ thị cặp G = (V, F), đó: - V tập hợp đỉnh, - F: V → 2V , gọi ánh xạ kề Sự tương đương hai định nghĩa: ∀x, y ∈ V: (x, y) ∈ E ⇔ y ∈ F(x) www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Xét lại ví dụ b c a e d Ánh xạ kề đỉnh hình trên: F(a) = {b, c}, F(b) = {c}, F(c) = ∅ , F(d) = {b, c} F(e) = {a, b, d} www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 1.Định nghĩa khái niệm Đồ thị vô hướng có hướng Cạnh (x, y) ∈ E cạnh vô hướng cặp đỉnh (x, y) thứ tự Đồ thị vô hướng đồ thị chứa cạnh vô hướng Cạnh (x, y) cạnh có hướng cặp đỉnh x, y có thứ tự Đồ thị có hướng đồ thị chứa cạnh có hướng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 1.Định nghĩa khái niệm Đồ thị đối xứng Đồ thị G = (V, E) gọi đối xứng nếu: ∀x, y ∈ V : (x, y) ∈ E ⇔ (y, x) ∈ E Î Các đồ thị vô hướng đối xứng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 1.Định nghĩa khái niệm Đơn đồ thị đa đồ thị Đồ thị G = (V, E) cặp đỉnh nối tối đa cạnh gọi đơn đồ thị hay gọi tắt đồ thị Đồ thị có cặp đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đa đồ thị Một giả đồ thị G = (V, E) cặp đỉnh đuwcj nối với nhiều cạnh đỉnh có khuyên Tóm lại, giả đồ thị loại đồ thị vô hướng tổng quát www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Đồ thị hai phần đầy đủ Km,n đơn đồ thị có m+n đỉnh gồm m đỉnh “bên trái” n đỉnh “bên phải” cho đỉnh “bên trái” kề với đỉnh “bên phải” K2,2 K2,3 www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Hệ Đồ thị hai phần đầy đủ Km,n đồ thị phẳng m ≤ n ≤ www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC VÍ DỤ b Đồ thị đầy đủ đỉnh: Đồ thị có đai δ = Vậy m = 10 > 3.(5-2)/(3-2) = a c d e Đồ thị K5 không phẳng Từ suy ra, đồ thị đầy đủ Kn với n ≥ không phẳng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC CÁC ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH PHẲNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Định lý (Kuratowski) Đồ thị phẳng không chứa cấu hình K3,3 K5 Ta áp dụng định lý Kuratowski để xét tính chất phẳng đồ thị www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC VD3 Xét đồ thị sau (bên phải) hình vẽ lại (bên trái): b b a a c c c e d e e c d Đồ thị chứa cấu hình K5 Do vậy, không phẳng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM e BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Tô màu đồ thị Định nghĩa Số màu đồ thị số tối thiểu màu cần thiết để tô màu đồ thị Định lý Định lý Bốn màu Số màu đồ thị phẳng không lớn www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG Định lý 10.4 (Kemple - Heawood) Mọi đồ thị phẳng đỉnh nút có sắc số không lớn Chứng minh: Quy nạp theo số đỉnh n đồ thị - n = 1, 2, 3, 4, : Hiển nhiên - (n-1) ⇒ (n): theo Hệ 10.3, G có đỉnh x bậc không Bỏ đỉnh x khỏi G, ta G’ www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Theo quy nạp, G’ có sắc số không vượt Lấy cách tô màu G’ - Nếu đỉnh kề với đỉnh x tô màu thừa màu để tô cho x Sắc số G sắc số G’ www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) - Nếu đỉnh x kề với đỉnh đỉnh kề với x đánh số thứ tự theo chiều kim đồng hồ tô màu ta đổi màu đỉnh để dành màu cho đỉnh x a b e x www.ptit.edu.vn d c GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) Xét tất đường G đỉnh a gồm đỉnh tô màu màu Xét hai trường hợp: 1) Trong đường đường qua đỉnh c ta tráo đổi màu với màu cho tất đỉnh đường Sau đó, ta tô màu cho đỉnh x www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG (tiếp) 2) Ngược lại, có đường từ a đến c gồm toàn đỉnh tô màu đường hai cạnh (c,x) (x,a) tạo thành chu trình G Do tính phẳng nên hai đỉnh b d nằm bên bên chu trình Suy ra, đường nối b với d gồm đỉnh tô màu Vậy lại tráo đổi màu với màu cho đỉnh đường qua đỉnh b Khi hai đỉnh b d màu Tô màu cho đỉnh x www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Chương 7.TÔ MÀU(BÀI TOÁN BỐN MÀU) Bài toán: - Vào khoảng năm năm mươi kỷ 19 Gazri, thương gia người Anh, tô màu đồ hành nước mình, nhận tô màu - Năm 1852 ông ta thông báo giả thuyết cho De Morgan - Năm 1878 Keli đăng toán Tuyển tập công trình Hội Toán học Anh, gây nên ý nhiều người www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC BÀI TOÁN BỐN MÀU (tiếp) - Năm 1976, ba nhà khoa học người Mỹ K.Appel, W Haken J Koch chứng minh máy tính điện tử giả thuyết Gazri Định lý 10.5 (Appel - Haken): Mọi đồ thị phẳng đỉnh nút có sắc số không Dễ thấy rằng, đồ thị vô hướng đầy đủ Kn (n ≥ 5) có sắc số lớn nên không phẳng www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC Nhóm Bùi văn Đạm- nhóm 2: itbuivandam@gmail.com: 0982782663 Vũ Văn Thuận- nhóm2: vuthuan1989@gmail.com: 01649607770 Nhóm 3: Hoàng văn Nam: daigiathattien@yahoo.com.vn 0936916986 Nguyễn Xuân Cường;xcuongnd@gmail.com 0123558813 Nhóm nguyễn thị Tĩnh: nguyentinh.ptit.94@gmail.com 01644626065 Nguyễn văn Nam nvnam.chjnsu@gmail.com 01685757972 Nhóm Phạm Quag Chiến chienptit.94@gmail.com 01677657894 Hoàng Thị Hằng hoanghangnd2810@gmail.com 01666858700 www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC ? www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM [...]... VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 VD u1 ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 1 1 0 1 1 0 0 0 1⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ u3 www .ptit. edu.vn u2 GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM u4 BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Ma trận kề cũng có thể dùng để biểu diễn đồ thị vô hướng... MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Ví dụ đẳng hình Hai đồ thị sau là đẳng hình với song ánh: S(ai) = xi , i = 1, 2, 3, 4 a1 a2 a3 a4 www .ptit. edu.vn x1 x2 x4 GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM x3 BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Chương2.Biểu diễn đồ thị Danh sách kề Ma trận liền kề Ma trận liên thuộc Danh sach canh www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ... NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Cho G = (V, E)một gỉa đồ thị có các đỉnh được đánh số:1, 2, , n m nếu giữa I,j có m cạnh ∀i, j ∈ V, A[i,j]= 0 không có cạnh kề Đồ thị G là đối xứng khi và chỉ khi ma trận kề A là đối xứng Một khuyên được tính là 1 cạnh www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN...BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Đơn ĐT có hướng(có thể có khuyên nhưng không có cạnh bội cùng chiều) www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 Bảng tổng hợp Loại đồ thị Đơn đồ thị Đa đồ thị Giả đồ thỊ Đồ thị có hướng Đa đồ thị có hướng www .ptit. edu.vn Cạnh VH VH VH CH CH Có cạnh bội? Không Có Có Không... vô hướng, kể cả đa đồ thị và giả đồ thị đều có ma trận liền kề đối xứng www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 ⎡0 ⎢3 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2 www .ptit. edu.vn 3 0 2⎤ ⎥ 0 1 1⎥ 1 1 2⎥ ⎥ 1 2 0⎦ 1 4 GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM 2 3 BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 2.Biểu diễn bằng danh sách kề Với mỗi đỉnh của đồ thị ta xây dựng một... MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và khái niệm Đồ thị đầy đủ Đồ thị vô hướng G = (V,E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếu mỗi cặp đỉnh đều có cạnh nối giữa chúng Đồ thị có hướng G = (V,E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếu mỗi cặp đỉnh đều có cung nối giữa chúng (chiều của cung có thể tùy ý) www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và TOÁN... NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và khái niệm Đồ thị con và đồ thị riêng Giả sử G = (V, E) là một đồ thị Đồ thị G’ = (V’, E’) được gọi là đồ thị con của đồ thị G nếu: V’⊆V và E’⊆E Đồ thị G” = (V, E”) với E” ⊆ E, được gọi là đồ thị riêng của đồ thị G www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và khái niệm... tập đỉnh và bỏ bớt một số cạnh www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và khái niệm Đồ thị phân đôi Một đồ thị đơn G được gọi là đồ thị phân đôi nếu tập các đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rỗng, rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị nối một đỉnh của V1 với một đỉnh của V2 www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN... của đỉnh này) www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 1.Định nghĩa và khái niệm Bậc của đỉnh ĐL1( Định lý bắt tay): Cho G = (V,E) là một đồ thị vô hướng có e cạnh Khi đó 2e= ∑d(v) (Định lý này đúng cả khi đồ thị có cạnh bội hoặc các khuyên) Định lý 2 Trong một đồ thị vo hướng số các đỉnh bậc lẻ là một số chẵn www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN:... một mảng các danh sách kề www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN THỊ HÀ BỘ MÔN: CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC 2 void Dske_To_MTke(void){ int dau, cuoi; char str[132], tu[12]; //Doc va chuyen doi thanh ma tran ke fp = fopen("DSKE.IN","r"); if(fp==NULL){ printf("\n Do thi khong ton tai"); getch(); return; } // doc gia so dinh cua do thi www .ptit. edu.vn GIẢNG VIÊN: TH.S.PHAN