http://toanhocmuonmau.violet.vn TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN Mơn: TỐN 10 Năm học : 2015-2016 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x + x − (1) có đồ thị (P) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (P) hai điểm A B Tìm tọa độ trung điểm A B Câu ( điểm) a) Giải phương trình: − 5x = 3− x + b) Giải bất phương trình: 3− x x2 + 4x − ≤ x + Câu ( 1,5 điểm) a) Biết cos 2α = − Tính giá trị biểu thức P = (1 + 3sin α )(1− cos α ) b) Các góc tam giác ABC thỏa mãn: sin A = cosB+ cosC Chứng minh tam giác ABC vuông sin B + sin C x = −2 − 2t Câu ( 1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : điểm M(3;1) y = + 2t a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M song song với đường thẳng ∆ b) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(1;-1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ c) Tìm điềm A nằm ∆ cho điểm A cách điểm M khoảng 13 Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) trung điểm BC điểm I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + y − = Gọi D, E chân đương cao kẻ từ B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − = điểm D có tung độ dương 4 x y + xy + x − y + x − y = Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) x + xy = y −1 Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a+b+c + + + a 2b c …………………………………………Hết………………………………………… Họ tên thí sinh:………………………………… SBD………………………………………… http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2015-2016 Câu Hướng dẫn chấm Điểm Cho hàm số y = x + x − (1) có đồ thị (P) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (1) - Chỉ tập xác định lập bảng biến thiên 0.5đ - Vẽ đồ thị 0.5đ b) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (P) hai điểm A B Tìm tọa độ trung điểm A B Xét pt hoành độ giao điểm: x + x − = x + m ⇔ x − x − (m + 6) = (2) - Pt (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m ≥ − 25 (*) y1 = x1 + m - Gọi A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ⇒ x1 , x2 hai nghiệm (2) y2 = x2 + m 0.25đ 0.25đ 0.25đ x + x2 xI = = 2 Khi trung điểm I AB có tọa độ y + y2 ( x1 + x2 ) + 2m + 2m = = yI = 2 1 + 2m hay I ; 2 a) Giải phương trình: - Đ/k: x ≤ 0.25đ − 5x = 3− x + 3− x 0.25đ (*) 9 ≤ x - Pt ⇒ (9 − x)(3 − x) = − x ⇔ 4 x − x + 54 = x ≤ x = ⇔ x = ⇔ x = −3 x = −3 Đối chiếu với đ/k phương trình có nghiệm x = −3 b) Giải bất phương trình: x2 + 4x − ≤ x + 0.25đ 0.25đ 0.25đ http://toanhocmuonmau.violet.vn x + ≥ Bpt ⇔ x + x − ≥ x + x − ≤ ( x + 3)2 0.5đ x ≥ −3 x ≤ −5 ⇔ x ≥ x ≥ −7 0.25đ ⇔ x ≥ Vậy bpt có tập nghiệm T = [1; +∞) a) Biết cos 2α = − 0.25đ Tính giá trị biểu thức P = (1 + 3sin α )(1− cos α ) 1− cos 2α + cos 2α - Ta có P = 1 + 1− 2 0.5đ 5 = − cos 2α(3 − cos 2α ) 2 0.25đ 5 = + 1(3 + 3) = 21 - Vậy P = 21 0.25đ b) Các góc tam giác ABC thỏa mãn: sin A = cosB+ cosC Chứng minh tam sin B + sin C giác ABC vng - Vì sinA = 2sin A A cos 2 B +C B − C cos π − A A sin cos cosB+ cosC 2 2 = = = B + C B − C A π A sin B + sin C 2sin cos sin − cos 2 2 0.25đ cos - Do sin A = cosB+ cosC A ⇔ cos = ⇔ cos A = sin B + sin C ⇔ A = 900 ⇔ ∆ABC vuông A x = −2 − 2t Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : điểm M(3;1) y = + 2t a)Viết pttq đường thẳng d qua điểm M song song với đường thẳng ∆ Ta thấy ∆ có vtcp u = (−1;1) 0.25đ 0.25đ 0.25đ http://toanhocmuonmau.violet.vn Vì d song song với ∆ ⇒ d có vtcp u = (−1;1) ⇒ d có vtpt n = (1;1) Mà d qua M(3;1) ⇒ d :1( x − 3) + 1( y −1) = hay d : x + y − = 0.25đ 0.25đ b)Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(1;-1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ∆ có pttq là: x + y + = Vì đường trịn (C) có tâm I(1;-1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ,do bán kính (C) R = d ( I , ∆) = 0.25đ 2 Vậy phương trình đường trịn (C) là: ( x −1) + ( y + 1) = 0.25đ c)Tìm điềm A nằm ∆ cho điểm A cách điểm M khoảng 13 t = −1 Theo đầu thì: A(−2 − 2t ;1 + 2t ) AM = 13 ⇔ 8t + 20t + 12 = ⇔ t = − 2 Vậy có hai điểm A có tọa độ là: (0;-1) − ; −2 0.25đ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) trung điểm BC điểm I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + y − = Gọi D, E chân đương cao kẻ từ B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − = điểm D có tung độ dương A D K E H B I 0.25đ C Gọi K trung điểm AH Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K tứ giác http://toanhocmuonmau.violet.vn BCDE nội tiếp đường tròn tâm I ⇒ IK ⊥ DE ⇒ IK : y −1 = 0.25đ Khi K (1;1) ⇒ A(−1; 2) a = Gọi D (2; a ) Ta có KA=KD ⇔ = + (a −1) ⇔ ⇒ D (2;3) a = −1(l ) 0.25đ Pt AC: x − y + = 0.25đ Pt BC: x − y −11 = ⇒ C (8;5) , B (4; −3) 0.25đ 4 x y + xy + x − y + x − y = Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) x + xy = y −1 4 y ( x + xy ) + x − y = − x + y ⇔ 2 x + xy = y −1 4 x − y = − x + y (1) ⇔ x + xy − y + = 0(2) 0.25đ Đ/k: x − y ≥ Pt (1) ⇔ x − y + x − y − = 0.25đ Đặt t = x − y , t ≥ Khi ta tìm t = ⇒ y = x −1 thay vào (2) ta tìm x = 0; x = −2 0.25đ Vậy hệ pt có nghiệm: (0;1); (−2; −5) 0.25đ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a + b + c + + + a 2b c 4 3 4 Ta có: a + ≥ a = ⇒ a + ≥ Dấu = xẩy ⇔ a = a a a Tương tự 1 9 b + ≥ ⇒ b + ≥ Dấu = xẩy ⇔ b = b 2 b c+ ⇒ 16 16 ≥ ⇒ c + ≥ Dấu = xẩy ⇔ c = c c 3a b c + + + + + ≥ (1) 4 a 2b c 0.25đ http://toanhocmuonmau.violet.vn Mặt khác, a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ a b 3c + + ≥ ( 2) 4 0.25đ 0.25đ Từ (1) (2) ⇒ Q = a + b + c + + + ≥ 13 Dấu = xấy a = 2, b = 3, c = a 2b c Vậy max Q = 13 a = 2, b = 3, c = ………………… HẾT………………… 0.25đ ... (2) - Pt (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m ≥ − 25 (*) y1 = x1 + m - Gọi A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ⇒ x1 , x2 hai nghiệm (2) y2 = x2 + m 0 .25 đ 0 .25 đ 0 .25 đ x + x2 xI = = 2 Khi trung... ≥ (1) 4 a 2b c 0 .25 đ http://toanhocmuonmau.violet.vn Mặt khác, a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ a b 3c + + ≥ ( 2) 4 0 .25 đ 0 .25 đ Từ (1) (2) ⇒ Q = a + b + c + + + ≥ 13 Dấu = xấy a = 2, b = 3, c = a 2b c Vậy... cos 2? ? = − 0 .25 đ Tính giá trị biểu thức P = (1 + 3sin α )(1− cos α ) 1− cos 2? ? + cos 2? ? - Ta có P = 1 + 1− 2 0.5đ 5 = − cos 2? ?(3 − cos 2? ? ) 2 0 .25 đ 5