Chu trình hamilton tổng quát trong đồ thị vô hướng

i MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN iii LỜI CẢM ƠN iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC HÌNH vi MỞ ĐẦU Chương I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ LÝ THUYẾT CÁC BÀI TOÁN NP-C 1.1 Lý thuyết đồ thị 1.1.1 Các thuật ngữ 1.1.2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông 10 1.1.3 Biểu diễn đồ thị máy tính 13 1.2 Lý thuyết lớp toán P NP 17 1.2.1 Khái niệm loại thời gian tính 17 1.2.2 Khái niệm phép quy dẫn đa thức 18 1.2.3 Lớp toán P 18 1.2.3 Lớp toán NP 19 1.2.4 Lớp toán NP-đầy đủ (NP-Complete) 19 1.3 Kết luận 20 Chương II: CHU TRÌNH HAMILTON 21 2.1 Chu trình Hamilton: Định nghĩa, tính chất điều kiện đủ 21 2.1.1 Một số khái niệm 21 2.1.2 Một số tính chất đồ thị Hamilton 22 2.2 Thuật toán tìm chu trình Hamilton 26 2.3 Đồ thị Hamilton tối đại 29 2.3.1 Khái niệm 30 2.3.2 Thuật toán xây dựng đồ thị Hamilton tối đại n ≥ đỉnh [1] 30 2.3 Kết luận 31 Chương III: CHU TRÌNH TRỘI 32 3.1 Khái niệm chu trình trội điều kiện đủ 32 3.1.1 Khái niệm: 32 3.1.2 Một số điều kiện đủ chu trình trội 33 3.1.3 Chu trình trội lớp đồ thị 2-liên thông thỏa mãn (G) ≥ 36 3.2 Thuật toán xác định chu trình trội 40 3.2.1 Thuật toán: (Xác định đồ thị G có chu trình trội hay không?) 41 ii 3.2.2 Thuật toán 2.1: (kiểm tra đồ thị liên thông) 42 3.2.3 Thuật toán 2.2: (kiểm tra đồ thị 2-liên thông) 42 3.2.4 Thuật toán 3.1: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K1 hay không? 43 3.2.5 Thuật toán 3.2: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K2 hay không? 43 3.2.6 Thuật toán 3.3: Kiểm tra đồ thị có thuộc K3 hay không? 44 3.2.7 Thuật toán 3.4: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K4 hay không? 45 3.2.8 Thuật toán 3.5: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K5 hay không? 45 3.3 Cài đặt thử nghiệm: 47 3.3.1 Phát biểu toán 47 3.3.2 Công cụ lựa chọn 47 3.3.3 Xây dựng, phát triển chương trình 47 3.3.4 Giao diện chương trình 51 3.3.5 Thử nghiệm đánh giá 55 3.4 Kết luận: 55 PHẦN KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn kết tìm hiểu, nghiên cứu hướng dẫn GS.TS: Đặng Quang Á Mọi trích dẫn sử dụng báo cáo ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo quy định Tác giả Nguyễn Văn Thái iv LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn đến tất quý thầy cô giảng dạy chương trình đào tạo Cao học chuyên ngành Khoa học máy tính K11 trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông – Đại học Thái Nguyên tổ chức đào tạo, người truyền đạt cho kiến thức hữu ích làm sở cho thực tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô, người tận tình hướng dẫn truyền đạt kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu tận tình giúp đỡ Đặc biệt xin bày tỏ lòng cảm ơn xâu sắc tới GS.TS Đặng Quang Á, người tận tình hướng dẫn, quan tâm, đóng góp ý kiến cho xuất thời gian thực luận văn Mặc dù trình thực luận văn có giai đoạn không thuận lợi Thầy hướng dẫn, bảo cho nhiều kinh nghiệm thời gian thực luận văn Sau xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tạo điều kiện tốt cho suốt trình học thực luận văn Do thời gian có hạn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học chưa nhiều nên luận văn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến góp ý Thầy/Cô anh chị học viên Thái Nguyên, tháng năm 2014 Nguyễn Văn Thái v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Ký hiêu Từ viết tắt V Tập đỉnh đồ thị E Tập cạnh đồ thị G=(V,E) Đồ thị G với tập đỉnh V, tập cạnh E |V|, |V(G)| Số đỉnh đồ thị |E|, |E(G)| Số đỉnh đồ thị deg(v), degG(v) Bậc đỉnh v đồ thị G , (G) Bậc nhỏ đỉnh G Kn Đồ thị đầy đủ n đỉnh Cn Đồ thị vòng n đỉnh Wn Đồ thị bánh xe n đỉnh W(G) Số thành phần liên thông G k-liên thông Đồ thị có số liên thông k k(G) Chỉ số liên thông đồ thị G P Deterministic Polynomial NP Nondeterministic Polynomial NP-C NP-Complete HC Hamilton cycle DC Dominating cycle NTM Nondeterministic Turing Machine DTM Deterministic Turing Machines  Phép quy dẫn đa thức K Lớp đồ thị đặc biệt K K1, K2, K3, K4, K5 Các đồ thị đặc biệt K1, K2, K3, K4, K5 , , …, Diễn giải Hợp s đồ thị đầy đủ lạ Hợp s đồ thị đầy đủ lạ Kn vi DANH MỤC HÌNH Trang Hình 1.1 Đồ thị vô hướng Hình 1.2 Đồ thị vô hướng bậc đỉnh Hình 1.3 Một số đồ thị đầy đủ Hình 1.4 Đồ thị vòng Hình 1.5 Đồ thị bánh xe Hình 1.6 Đồ thị hai phía Hình 1.7 Đồ thị G1 đẳng cấu với G2 Hình 1.8 Đồ thị G đồ thị G’ Hình 1.9 Đơn đồ thị G1, G2 đồ thị G = G1  G2 Hình 1.10 Đường đồ thị có độ dài 10 Hình 1.11 Đồ thị G liên thông, đồ thị G’ không liên thông 11 Hình 1.12 Đồ thị liên thông G đồ thị H gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 11 Hình 1.13 Đồ thị 4-liên thông 12 Hình 1.14 Đồ thị có k(G) = k(H) = 13 Hình 1.15 Đồ thị ma trận kề 14 Hình 1.16 Đồ thị ma trận trọng số 15 Hình 1.17 Đồ thị danh sách cạnh 16 Hình 1.18 Đồ thị danh sách kề tương ứng 17 Hình 2.1 Đồ thị có đường Hamilton, chu trình Hamilton 21 Hình 2.2 Đồ thị Hamilton 22 Hình 2.3 Đồ thị K5 có chu trình Hamilton (a→b→c→d→e→a) 23 Hình 2.4 Đồ thị có đỉnh, đỉnh có bậc ≥ n/2 24 Hình 2.5 Đồ thị G gồm đỉnh, cạnh 28 vii Hình 2.6 Cây liệt kê chu trình Hamilton theo thuật toán quay lui 28 Hình 2.7 Đồ thị liệt kê chu trình Hamilton theo thuật toán quay lui 29 Hình 2.8 Đồ thị thị hamilton tối đại G3 30 Hình 3.1 Đồ thị có chu trình Hamilton, có nhiều chu trình Dominating 32 Hình 3.2 Đồ thị chu trình Hamilton, có mội chu trình Dominating 32 Hình 3.3 Đồ thị 2-liên thông với chu trình Dominating dài độ dài 33 Hình 3.4 Đồ thị G có chu trình dài (độ dài 6) chu trình Dominating 34 Hình 3.5 Đồ thị G G’ xây dựng từ đồ thị G 35 Hình 3.6 Đồ thị K1 37 Hình 3.7 Đồ thị K2 38 Hình 3.8 Đồ thị K3 38 Hình 3.9 Đồ thị K4 39 Hình 3.10 Đồ thị K5 40 Hình 3.11 Giao diện bắt đầu chạy chương trình 51 Hình 3.12 Form nạp lưu đồ thị từ tập tin có sẵn chứa ma trận kề đồ thị 52 Hình 3.13 Form kết kiểm tra đồ thị 52 Hình 3.14 Đồ thị không thỏa mãn điều kiện kiểm tra 53 Hình 3.15 Form kiểm tra tính liên thông đồ thị 53 Hình 3.16 Form kiểm tra đồ thị với số đỉnh lớn 54 Hình 3.17 Form thông tin chương trình 54 MỞ ĐẦU Đặt vấn đề: Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu từ năm đầu kỷ 18 nhà toán học Leonhard Euler người Thụy sĩ Đồ thị sử dụng để giải nhiều toán nhiều lĩnh vực khác nhau, tin học trường hợp cụ thể Trong năm 70 kỷ 20, giới chứng kiến phát triển nhanh chóng rộng lớn lý thuyết đồ thị, số có số lượng đáng kể công trình nghiên cứu cấu trúc chu trình đồ thị, đặc biệt chu trình Hamilton nhiều vấn đề mở Nghiên cứu cấu trúc chu trình đồ thị giúp giải tốt toán tối ưu đời sống Chẳng hạn, lĩnh vực chế tạo robot thám hiểm, chuyển gửi tín hiệu hình ảnh qua vệ tinh, toán phân tích hệ thống tương tác tiện ích website, Trong số cấu trúc đồ thị chu trình Hamilton đóng vai trò đặc biệt quan trọng Đó chu trình qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần Bài toán chu trình Hamilton toán xác định xem liệu đồ thị có chứa chu trình Hamilton không tìm chu trình Bài toán chứng minh NP-C (NP- đầy đủ) Chính không tồn thuật toán đa thức giải nó, để giải toán nhiều thuật toán gần nghiên cứu Một mở rộng chu trình Hamilton chu trình trội (Dominating cycle) Bài toán chứng minh NP-C Việc tìm hiểu chu trình Hamilton chu trình trội, dấu hiệu nhận biết chúng thuật toán xác định, cải tiến phát triển chúng việc làm có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đây mục đích luận văn Mục tiêu luận văn: Đối tượng nghiên cứu luận văn vấn đề cấu trúc chu trình liên quan đến chu trình Hamilton chu trình trội đồ thị Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết như: Lý thuyết đồ thị lý thuyết toán NP-C, chu trình Hamilton chu trình trội Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan đồ thị lý thuyết toán NP-C - Tìm hiểu đồ thị Hamilton mở rộng - Tìm hiểu thuật toán tìm chu trình Hamilton - Xây dựng thuật toán đa thức xác định tồn chu trình trội đồ thị cho trước - Cài đặt thuật toán Tổ chức luận văn: Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung, phần kết luận, phần phụ lục tài liệu tham khảo Chương I: Một số kiến thức lý thuyết đồ thị lý thuyết toán NP-C Chương II: Chu trình Hamilton Phần đầu tìm hiểu chu trình Hamilton, số thuật toán xác định chu trình Hamilton Phần cuối tìm hiểu chu trình Hamilton tối đại, cách xây dựng đồ thị Hamilton tối đại n đỉnh Chương III: Chu trình trội Phần đầu trình bày hiểu biết chu trình trội đồ thị vô hướng, chứng minh toán xác định có tồn chu trình trội đồ thị G cho trước NP-C Phần sau trình trình bày thuật toán đa thức xác định tồn chu trình trội đồ thị vô hướng lớp đồ thị 2-liên thông có (G) ≥ n/3 Tìm hiểu lớp đồ thị 2-liên thông Một số hình ảnh thể chương trình demo Phần kết luận: Tóm tắt kết đạt luận văn 44 Bước 1: gán r =  Bước 2: Kiểm tra |V| = 15 không? Nếu không K2 Bước 3: Chọn ba đỉnh u, v, w có bậc lớn (deg(u) = deg(v) = deg(w) = max(deg(i)) = k) Nếu k < 12 K2 Bước 4: Tìm đồ thị đầy đủ mà đỉnh gồm đỉnh (K3) Nếu K2 Bước 5: Kiểm tra đỉnh đồ thị đầy đủ K3 xem có nối với ba đỉnh u, v, w không? Nếu không K2 3.2.6 Thuật toán 3.3: Kiểm tra đồ thị có thuộc K3 hay không? Để kiểm tra G có thuộc K3 hay không ta kiểm tra xem G có tập đỉnh S gồm r-1 đỉnh có bậc ≥ 2(r-1) Nếu có, bỏ chúng G phân rã thành r – đồ thị đầy đủ mà đồ thị có đỉnh đỉnh nối tới r-1 đỉnh thuộc S Các bước thực hiện: Bước 1: gán r =  Bước 2: Kiểm tra |V| = 3r không? Nếu không K3 Bước 3: Chọn tập S gồm r – đỉnh ( j Î S|deg(j) = max(deg(i)) = k) Nếu k < 2(r-1) K3 Bước 4: Tìm r-1 đồ thị đầy đủ (K2) đồ thị đầy đủ K3 Nếu K3 Bước 5: Kiểm tra đỉnh thuộc tập S có nối với đồ thị đầy đủ không? Nếu không K3 45 3.2.7 Thuật toán 3.4: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K4 hay không? Để kiểm tra G có thuộc K4 hay không ta kiểm tra xem G có chứa đỉnh u, v có bậc lớn ≥ 3r cho bỏ đồ thị G trở thành đồ thị đầy đủ mà đồ thị gồm r đỉnh hay không, đỉnh nối với u, v không? Các bước thực hiện: Bước 1: gán r =  - Bước 2: Kiểm tra |V| = 3r+2 không? Nếu không K4 Bước 3: Chọn hai đỉnh u, v có bậc lớn (deg(u) = deg(v) = max(deg(i)) = k) Nếu k < 3r K4 Bước 4: Tìm K_(r, r, r) (3 đồ thị đầy đủ mà đồ thị gồm r đỉnh) Nếu K4 Bước 5: Kiểm tra đỉnh K_(r, r, r) có nối với hai đỉnh u, v không? Nếu không K4 3.2.8 Thuật toán 3.5: Kiểm tra đồ thị G có thuộc lớp K5 hay không? Để kiểm tra G có thuộc K5 hay không ta kiểm tra xem G có tập S gồm r đỉnh có bậc ≥ 2(r+1) cho bỏ đỉnh thuộc S đồ thị G phân rã thành r+1 đồ thị đầy đủ gồm đỉnh hay không, đỉnh nối với đỉnh tập S Các bước thực hiện: Bước 1: gán r =  - Bước 2: Kiểm tra |V| = 3r+2 không? Nếu không K5 46 Bước 3: Chọn tập S gồm r đỉnh có bậc lớn ( j Î S|deg(j) = max(deg(i)) = k) Nếu k < 2(r+1) K5 Bước 4: Tìm r+1 đồ thị đầy đủ K2 Nếu K5 Bước 5: Kiểm tra đỉnh r+1 đồ thị đầy đủ K2 có nối với r đỉnh tập S không? Nếu không K5 Đánh giá độ phức tạp thuật toán: Với việc đồ thị tổ chức ma trận kề, độ phức tạp thuật toán xác định sau: Bước 1: Để tính bậc cho đỉnh O(n2) phép toán Bước 2: Sắp xếp dãy bậc đỉnh theo chiều giảm dần bậc đỉnh: độ phức tạp O(n2) kiểm tra (G) O(1) Như bước thời gian O(n2) Bước 3: Kiểm tra đồ thị 2-liên thông: Sử dụng thuật toán 2.1 để kiểm tra tính liên thông đồ thị O(n2) phép tính Lặp lại n lần việc xóa đỉnh kiểm tra tính liên thông đồ thị thu (thuật toán 2.2), toàn bước có độ phức tạp O(n3) Bước 4: Kiểm tra xem đồ thị có thuộc lớp đồ thị đặc biệt K hay không Để đánh giá độ phức tạp bước 4, ta tiến hành đánh giá độ phức tạp thuật toán 3.1, 3.2, , 3.5 Vì thuật toán tương tự nên ta xét độ phức tạp thuật toán (giả sử chọn thuật toán 3.1) Trong bước bước thuật toán 3.1 O(1) phép tính Bước có độ phức tạp O(r) với r số phần tử thuộc tập S Trong bước 4, đỉnh cần kiểm tra đỉnh kề với xét xem tập đỉnh có tạo nên đồ thị đầy đủ hay không Việc kiểm tra có phải đồ thị đầy đủ hay không O(n2) phép tính Do bước O(n3) phép toán Bước O(n2) phép toán Như 47 thuật toán 3.1 có độ phức tạp O(n3) để kiểm tra đồ thị có thuộc vào lớp đồ thị K1 hay không Tóm lại thuật toán xác định tồn chu trình trội lớp đồ thị 2-liên thông thỏa  ≥ O(n3), độ phức tạp thời gian đa thức Như ta thấy toán xác định tồn chu trình trội đồ thị G thuộc lớp NP-C, toán toán xác định tồn chu trình trội lớp đồ thị 2-liên thông thỏa  ≥ lại thuộc lớp P có độ phức tạp tính toán thời gian đa thức 3.3 Cài đặt thử nghiệm: 3.3.1 Phát biểu toán Cho trước đồ thị vô hướng G Hãy kiểm tra xem G có phải lớp đồ thị 2- liên thông thỏa mãn (G) ≥ hay không, G có tồn chu trình trội hay không? 3.3.2 Công cụ lựa chọn Việc lựa chọn ngôn ngữ lập trình cho nội dung toán vấn đề quan trọng ngôn ngữ lập trình có ưu điểm nhược điểm định Để hoàn thành ứng dụng chương trình Demo viết ngôn ngữ lập trình C# Visual Studio 2010, chương trình chạy hệ điều hành Windows XP, Vista, Windows7 3.3.3 Xây dựng, phát triển chương trình Luận văn sử dụng phương pháp dùng ma trận kề để biểu diễn đồ thị máy tính Chương trình gồm lớp Form hiển thị kết thu Ngoài chương trình sử dụng số class, phương thức nhằm bổ trợ cho việc thể thuật toán 48 3.3.3.1 Lớp MyFile.class Trong lớp Myfile.class ta sử dụng phương thức public static int[][] readFile(String filename) để đọc ma trận kề phương thức public static void saveFile(String filename, int[][] matran) để lưu ma trận vào máy tính 3.3.3.2 Lớp MaTran.class Trên lớp Matran.class thực chức như: Tính bậc đỉnh, xếp bậc đỉnh theo chiều giảm dần, kiểm tra tính liên thông đồ thị, kiểm tra đồ thị có phải đồ thị 2-liên thông Để duyệt đồ thị, chương trình sử dụng thuật toán duyệt theo chiều sâu (DFS) 3.3.3.3 Lớp DoThi.class Trên lớp Dothi.class chủ yếu thực chức kiểm tra đồ thị có phải đồ thị đầy đủ không? Kiểm tra xem đồ thị có thuộc lớp đồ thị đặc biệt K (K1, K2, K3, K4, K5) hay không Phương thức isDominating nhằm đưa kết luận xem đồ thị có thuộc lớp đồ thị đặc biệt K, hay có chu trình trội hay không Sau đoạn chương trình kiểm tra đồ thị có thuộc lớp K1 hay không (các lớp lại tương tự) public static bool kiemTraK1(MaTran m) { int[] fix = new int[m.nMaTran]; int r = m.dsDinh[m.nMaTran - 1].bac; //Bước 1: kiểm tra |V|=3r if (m.nMaTran != * r) return false; // Bước 2: chọn đỉnh u, v có bậc lớn kiểm tra deg(u)=deg(v)[...]... Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở về v được gọi là chu trình Hamilton 22 Định nghĩa 2.3 Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là đồ thị nửa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton Rõ ràng đồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng điều ngược lại không còn đúng Ví dụ về đồ thị Hamilton: Hình 2.2 Đồ thị Hamilton. .. lớp đồ thị đặc biệt, đó là đồ thị Hamilton 2.1 Chu trình Hamilton: Định nghĩa, tính chất và các điều kiện đủ 2.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 2.1 Trong đồ thị G = (V,E) đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton Ví dụ: Đồ thị có đường đi Hamilton là a  b  c  d a b d c Hình 2.1 Đồ thị có đường đi Hamilton, không có chu trình Hamilton Định nghĩa 2.2 Chu. .. tất cả các chu trình Hamilton (nếu có) của đồ thị G Ví dụ: Cho đồ thị Đồ thị vô hướng G gồm 5 đỉnh và 6 cạnh 5 1 6 2 1 3 1 5 2 4 3 28 1 4 2 4 2 5 3 5 Hình 2.5 Đồ thị G gồm 5 đỉnh, 6 cạnh Chu trình Hamilton thu được: 135241; 142531 1 3 2 5 5 4 1 3 4 2 5 2 4 1 1 3 1 Hình 2.6 Cây liệt kê chu trình Hamilton theo thuật toán quay lui 29 Ví dụ 2 Hình 2.7 Đồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của... thuyết đồ thị như: Khái niệm đồ thị, đồ thị đầy đủ, đồ thị liên thông, cách biểu diễn đồ thị trên máy tính Mặt khác chúng ta cũng đã tìm hiểu các kiến thức cơ bản về thời gian tính, phép quy dẫn đa thức, lớp các bài toán P, NP và NP-C Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ tập chung tìm hiểu về chu trình Hamilton, thuật toán xác định chu trình Hamilton và đồ thị Hamilton tối đại cùng thuật toán xây dựng đồ thị. .. liền kề của nó nằm trên một chu trình Hamilton thì các cạnh còn lại của nó không nằm trên chu trình Hamilton đó Một số điều kiện đủ về sự tồn tại đường đi Hamilton và chu trình Hamilton Định lý 2.2 (Định lý Rédei) [2] Đồ thị đầy đủ vô hướng Kn với n ≥ 3 là đồ thị Hamilton Chứng minh: Chúng ta có thể xây dựng chu trình Hamilton trong Kn xuất phát từ bất kỳ đỉnh nào Một chu trình như thế có thể xây dựng... nghĩa 1.18 Chu trình đơn: là một chu trình mà đường đi của nó không có cạnh nào lặp lại 11 Định nghĩa 1.19 Trong một đồ thị G, chu trình có độ dài lớn nhất gọi là chu trình dài nhất 1.1.2.3 Đồ thị liên thông – chỉ số liên thông Định nghĩa 1.20 (Đồ thị liên thông) Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị - Đồ thị vô hướng G = (V,E) được gọi là liên... (V,E) là đồ thị G’ = (V’,E’) trong đó V’ Í V và E’ Í E Ký hiệu G’ Í G a a e e b d d c c Hình 1.8 Đồ thị G và đồ thị con G’ Định nghĩa 1.13 Hợp của hai đồ thị G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V1  V2 và tập các cạnh E1  E2 Ta ký hiệu hợp của các đồ thị G1 và G2 là G = G1  G2 G2 G1 G= G1  G2 Hình 1.9 Đơn đồ thị G1, G2 và đồ thị G = G1  G2 Định nghĩa 1.14 Cho đồ thị G... có là Hamilton hay không, và vấn đề này vẫn còn là một vấn đề mở Hiện tại mới chỉ có các điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton hay có đường đi Hamilton 2.1.2 Một số tính chất của đồ thị Hamilton Định lý 2.1 [16]: Giả sử G là đồ thị Hamilton Khi đó: 23 a) Mọi đỉnh của đồ thị G phải có bậc không nhỏ hơn 2 b) Nếu một đỉnh có bậc bằng 2 thì hai cạnh của nó phải nằm trên bất kỳ một chu trình Hamilton. .. đỉnh của đồ thị Quy ước A[i,i] = 0 với i; Ví dụ: Cho đồ thị vô hướng như hình vẽ v1 v2 v3 v4 v5 v1 v5 v2 v4 v3 Ma trận kề v1 0 0 1 1 0 v2 0 0 0 1 1 v3 1 0 0 0 v4 1 1 0 0 0 v5 0 1 1 0 0 Hình 1.15 Đồ thị và ma trận kề - Đối với đồ thị vô hướng G, thì ma trận kề là ma trận đối xứng (A[i,j]=A[j,i]) - Nếu G là đồ thị vô hướng và A là ma trận kề tương ứng thì trên ma trận A: Tổng các số trên hàng i = Tổng các... c Hình 2.3 Đồ thị K5 có chu trình Hamilton (a→b→c→d→e→a) Định lý 2.3 (Định lý Dirac [5]): Giả sử G là một đơn đồ thị liên thông có n đỉnh, trong đó n ≥ 3, khi đó G có chu trình Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng n/2 24 Chứng minh: Thêm vào đồ thị G k đỉnh mới và nối chúng với tất cả các đỉnh của G Giả sử k là số nhỏ nhất các đỉnh cần thêm vào để cho đồ thị thu được G’ là đồ thị Hamilton Ta ... quay trở v gọi chu trình Hamilton 22 Định nghĩa 2.3 Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton Rõ ràng đồ thị Hamilton nửa Hamilton, điều ngược... Trong số cấu trúc đồ thị chu trình Hamilton đóng vai trò đặc biệt quan trọng Đó chu trình qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần Bài toán chu trình Hamilton toán xác định xem liệu đồ thị có chứa chu trình. .. Hình 1.18 Đồ thị danh sách kề tương ứng 17 Hình 2.1 Đồ thị có đường Hamilton, chu trình Hamilton 21 Hình 2.2 Đồ thị Hamilton 22 Hình 2.3 Đồ thị K5 có chu trình Hamilton (a→b→c→d→e→a)