Lý thuyết tối ưu và một số mô hình trong kinh tế

i LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Vinh Quang, người tận tình hướng dẫn, bảo cung cấp tài liệu hữu ích để hoàn thành luận văn Xin cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô giáo Viện Công nghệ Thông tin trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên truyền đạt kiến thức, phương pháp nghiên cứu khoa học suốt năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K9A bạn đồng nghiệp động viên, khích lệ trình học tập, nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, người động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để hoàn thành công việc nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả luận văn Hoàng Thị Cành ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả luận văn Hoàng Thị Cành iii DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN Tên bảng luận văn Bảng Trang 2.1 Bảng đơn hình 24 2.2 Bảng ma trận vận chuyển 28 2.3 Bảng suất 36 iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN VĂN Hình Tên hình luận văn Trang 2.1 Sơ đồ khối thuật toán đơn hình 27 2.2 Sơ đồ khối thuật toán phân phối 32 v MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương LÝ THUYẾT TỐI ƯU HÓA 1.1 Mô hình toán tối ưu hóa 1.1.1 Mô hình tổng quát 1.1.2 Phân loại toán tối ưu 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Lý thuyết cực trị hàm nhiều biến 1.3.1 Cực trị điều kiện ràng buộc 1.3.2 Cực trị có điều kiện 11 Chương MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU 18 2.1 Thuật toán đơn hình 18 2.1.1 Mô tả thuật toán gốc 18 2.1.2 Thuật toán đơn hình mở rộng 25 2.2 Thuật toán phân phối 28 2.2.1 Mô hình toán 28 2.2.2 Thuật toán phân phối 31 2.2.3 Sơ đồ mô tả thuật toán phân phối 32 2.3 Bài toán sản xuất đồng 34 2.3.1 Mô hình toán sản xuất đồng tổng quát 35 2.3.2 Phương pháp điều chỉnh nhân tử 37 2.3.3 Một số trường hợp mở rộng 41 2.4 Bài toán lập lịch 45 2.4.1 Mô tả toán 45 2.4.2 Thuật toán Jonhson 45 Chương CÁC MÔ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 52 vi 3.1 Mô hình tối đa hóa lợi nhuận 53 3.1.1 Phương án sử dụng tối ưu yếu tố sản xuất 53 3.1.2 Tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp độc quyền 55 3.2 Mô hình tối thiểu chi phí sản xuất 57 3.2.1 Bài toán 57 3.2.2 Mô hình toán học 57 3.3 Các mô hình toán tối ưu sở hàm cầu 58 3.3.1 Bài toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng hàm cầu Marshall 58 3.3.2 Bài toán tổi thiểu hóa chi phí tiêu dùng hàm cầu Hick 64 PHẦN KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 MỞ ĐẦU Lý thuyết tối ưu hóa ngành toán học phát triển mạnh, ngày có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ quản lý đại Cuộc cách mạng công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận lợi để ứng dụng tối ưu hóa cách rộng rãi thiết thực Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa tới việc nghiên cứu toán có dạng: Cho trước: hàm f ( x) : A  R Tìm: phần tử x0 thuộc A cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực tiểu hóa") cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực đại hóa") Nhiều toán thực tế mô hình theo cách tổng quát Lời giải khả thi cực tiểu hóa (hoặc cực đại hóa) hàm mục tiêu gọi lời giải tối ưu Trong hoạt động thực tiễn, mong muốn đạt kết tốt theo tiêu chuẩn Tất mong muốn lời giải toán tối ưu hóa Mỗi vấn đề khác thực tế dẫn đến toán tối ưu khác Dựa tảng toán học hình thành nên lớp phương pháp toán học giúp ta tìm lời giải tốt cho toán thực tế, gọi phương pháp tối ưu hóa Với nguyện vọng muốn tìm hiểu lý thuyết tối ưu hóa lĩnh vực ứng dụng thực tế chúng, em chọn đề tài “Lý thuyết tối ƣu số mô hình kinh tế” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài tìm hiểu sở toán học lý thuyết tối ưu số mô hình kinh tế thường gặp, cách giải toán kinh tế bước đầu ứng dụng qua ví dụ cụ thể Luận văn gồm chương không kể phần mở đầu phần kết luận với nội dung sau: Chương 1: Luận văn trình bày sở lý thuyết tối ưu hóa bao gồm giới thiệu tổng quan mô hình toán tối ưu tổng quát phân loại toán tối ưu bản, giới thiệu chi tiết mô hình toán quy hoạch tuyến tính sở toán học lý thuyết cực trị hàm nhiều biến số Chương 2: Luận văn nghiên cứu số thuật toán giải toán tối ưu mô hình tổng quát toán Quy hoạch tuyến tính, thuật toán đơn hình, thuật toán phân phối, toán sản xuất đồng Ngoài luận văn đề cập đến thuật toán Jonhson giải toán lập lịch, mô hình lý thuyết thuật toán Chương 3: Luận văn đưa số mô hình toán tối ưu kinh tế mô hình tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu chi phí sản xuất, mô hình toán tối ưu dựa hàm cầu… Trong luận văn đưa thực nghiệm tính toán kiểm tra độ xác thuật toán dựa phần mềm chạy máy tính PC Chƣơng LÝ THUYẾT TỐI ƢU HÓA Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức mô hình tổng quát toán tối ưu hóa, việc phân loại toán tối ưu sở toán học toán tối ưu 1.1 Mô hình toán tối ƣu hóa 1.1.1 Mô hình tổng quát Tối ưu hóa lĩnh vực quan trọng toán học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế xã hội Việc tìm giải pháp tối ưu cho toán thực tế chiếm vai trò quan trọng việc tiến hành lập kế hoạch sản xuất hay thiết kế hệ thống điều khiển trình… Nếu sử dụng kiến thức tảng toán học để giải toán cực trị, người ta đạt hiệu kinh tế cao Điều phù hợp với mục đích vấn đề đặt thực tế Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: f ( X )  max(min) Với điều kiện: gi ( X )  bi , i  J1 (1.1) g j ( X )  bj , j  J (1.2) gk ( X )  bk , k  J (1.3) x1 , x2 , , xn  (1.4) Trong f ( X ) gọi hàm mục tiêu Các điều kiện (1.1) gọi ràng buộc đẳng thức Các điều kiện (1.2), (1.3) gọi ràng buộc bất đẳng thức Các điều kiện (1.4) gọi ràng buộc dấu X  ( x1 , x2 , , xn ) véc tơ thuộc không gian R n Tập véc tơ X thỏa mãn hệ ràng buộc lập nên miền D gọi miền phương án (hay miền chấp nhận được), điểm X  D gọi phương án Một phương án X *  D làm cho hàm mục tiêu f ( X ) đạt max (min) gọi phương án tối ưu 1.1.2 Phân loại toán tối ưu Dựa mô hình tổng quát, người ta thường phân loại lớp toán tối ưu sau:  Qui hoạch tuyến tính (QHTT): Là toán mà hàm mục tiêu f ( X ) tất hàm ràng buộc gi ( X ), g j ( X ), gk ( X ) tuyến tính  Qui hoạch phi tuyến: Là toán mà hàm mục tiêu f ( X ) hàm ràng buộc gi  X  , g j  X  , gk  X  phi tuyến  Qui hoạch lồi: Là toán qui hoạch mà hàm mục tiêu f ( X ) lồi tập ràng buộc D lồi  Qui hoạch lõm: Là toán qui hoạch mà hàm mục tiêu f ( X ) lõm tập ràng buộc D lõm  Qui hoạch rời rạc: Bài toán tối ưu gọi qui hoạch rời rạc miền ràng buộc D tập hợp rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có qui hoạch nguyên  Qui hoạch đa mục tiêu: Nếu miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác 57 p1  p2  D11 (Q1 )  D21 (Q2 )  Ta nhận toán cực trị điều kiện với hai biến Q1 , Q2 3.2 Mô hình tối thiểu chi phí sản xuất 3.2.1 Bài toán Xét toán doanh nghiêp sản suất độc quyền loại sản phẩm Để sản xuất sản phẩm đó, xí nghiệp phải sử dụng số đơn vị lao động L số đơn vị tư K Giả thiết theo kế hoạch lượng sản phẩm giá trị xác định duyệt theo kế hoạch Hãy xác định số đơn vị tư cần thuê số lao động cần sử dụng để chi phí sản suất đạt giá trị nhỏ Đây dạng mô hình tối ưu khác thực tế thường đặt doanh nghiệp 3.2.2 Mô hình toán học Ký hiệu w K giá tư cần thuê, w L giá lao động cần thuê, C0 chi phí cố định Giả sử lượng sản phẩm cần sản suất Q quan hệ với K L thông qua hàm sản suất Q  f ( K , L) theo kế hoạch lượng sản phẩm cố định cần sản xuất b Khi toán đưa mô hình tối ưu sau: Xác định K L để hàm mục tiêu: C ( K , L)  w K K  w L L  C0  Min Với điều kiện ràng buộc: f ( K , L)  b Đây toán cực trị có điều kiện hàm biến số Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, xây dựng hàm mục tiêu mới: G( K , L,  )  C( K , L)   ( f ( K , L)  b) Khi toán đưa xác định cực tiểu hàm G( K , L,  ) 58 Điều kiện cần: K , L  nghiệm hệ phương trình: G G G  0;  0;  K L  Điều kiện đủ: Xác định ma trận H theo công thức 0  H   g1 g  g1 G11 G21 g2   G12  G22  Trong đó: f f ; g2  K L 2 G G G  2G G11  , G12    G21 , G22  x xy yx y g1  Khi K , L  cần đảm bào cho H  Hoàn toàn tương tự, xét mô hình tối ưu trường hợp phức tạp (Nhiều doanh nghiệp, nhiều mặt hàng) mà lời giải nhận từ lý thuyết cực trị hàm số nhiều biến số đưa chương luận văn 3.3 Các mô hình toán tối ƣu sở hàm cầu 3.3.1 Bài toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng hàm cầu Marshall a) Sự lựa chọn người tiêu dùng Lượng cầu loại hàng hóa thị trường tổng lượng cầu cá nhân, dó việc nghiên cứu cầu phải xuất phát từ lựa chọn cá nhân người tiêu dùng Để phân tích nhu cầu người tiêu dùng phải tính đến yếu tố chi phối lựa chọn cá nhân Trong kinh tế học người ta quan tâm đến hai yếu tố quan trọng sau: 59 Sở thích Các ràng buộc, hay hội lựa chọn Sở thích người tiêu dùng nhà kinh tế mô tả thông qua hàm lợi ích Trên thực tế, cấu tiêu dùng gồm nhiều mặt hàng nghiên cứu nhu cầu loại hàng hóa ta gộp tất hàng hóa lại thành mặt hàng thứ hai Ký hiệu hàm lợi ích U  U  x, y  x lượng hàng hóa thứ nhất, y lượng hàng hóa thứ hai, U lợi ích (độ ưa chuộng) người tiêu dùng túi hàng  x, y  Quyết định mua sắm người tiêu dùng dựa theo sở thích, hàng hóa bán theo giá thị trường thu nhập người có hạn Do việc định mua sắm phải vào ràng buộc giá mặt hàng thu nhập người tiêu dùng Sử dụng ký hiệu p1 giá hàng hóa thứ nhất; p2 giá hàng hóa thứ hai; m thu nhập người tiêu dùng Ràng buộc tài người tiêu dùng biểu diễn phương trình: p1 x  p2 y  m b) Bài toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng Bài toán tối đa hóa lợi ích phát biểu: Xác định  x, y  để hàm lợi ích: U  U  x, y   max Với điều kiện ràng buộc: (3.6) 60 p1 x  p2 y  m (3.7) Ta xem xét toán với giả thiết hàm lợi ích có đạo hàm riêng cấp cấp hai liên tục miền  x, y  : x  0, y  0 Ký hiệu: U1  U x' ,U  U y' U11  U xx'' ,U12  U xy'' ,U 21  U yx'' ,U 22  U yy'' Để giải toán tối đa hóa lợi ích, ta lập hàm số Lagrange: L  U ( x, y)   (m  p1x  p2 y) Điều kiện cần để túi hàng  x, y  cho lợi ích tối đa là:  L'  m  p1 x  p2 y  U1 U    '   p1 p2   Lx  U1   p1   '   p1 x  p2 y  m  Ly  U   p2  (3.8) Từ điều kiện (3.8) ta thấy để xác định  x, y  ta cần giải hệ phương trình hai ẩn số: U1 U    p1 p2 p x p y  m  (3.9) Gọi  x , y  nghiệm hệ phương trình (3.9), giá trị tương ứng nhân tử Lagrange xác định theo công thức:  U1 ( x , y ) U (x, y)   p1 p2 (3.10) Để xét điều kiện đủ ta tính đạo hàm riêng biểu thức g  p1 x  p2 y đạo hàm riêng cấp hai hàm số L : 61 g1  g x'  p1 , g  g 'y  p2 ; L11  L''xx  U11 , L12  L''xy  U12 , L21  L''yx  U 21  U12 , L22  L''yy  U 22 Ta có: 0  H   g1 g  g2   p1 p2     L12    p1 U11 U12  L22   p2 U 21 U 22  g1 L11 L21 Điều kiện đủ toán cực đại hóa lợi ích là: | H | p1 p2U12  p12U 22  p22U11  (3.11) Do ta có:  U U1 U U   p1  p2  p1 p2   Điều kiện đủ (3.11) viết dạng tương đương:  U1U 2U12   U12U 22   U 22U11  Nhân hai vế với  ta được: 2U1U 2U12  U12U 22  U 22U11  (3.12) Như vậy, điều kiện đủ toán cực đại hóa lợi ích liên quan đến hàm lợi ích U  x, y  Trong kinh tế học, người ta giả thiết hàm lợi ích U  x, y  thỏa mãn điều kiện (3.12) với x  0, y  (khi điểm cực đại địa phương điểm cực đại toàn thể) Một dạng hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb-Douglas: U  Ax y  ( A  0,0    1,0    1) (3.13) 62 Hàm số thỏa mãn điều kiện (3.12) với x  0, y  vì: U1  A x 1 y   0,U  A x y  1  0; U12  A x 1 y  1  0; U11  A (  1) x  y   0; U 22  A (   1) x y    Lượng hàng hóa mà người tiêu dùng định mua lượng cầu Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép xác định lượng cầu loại hàng hóa mức giá thu nhập: x  x ( p1 , p2 , m) (3.14) y  y ( p1 , p2 , m) (3.15) Trong kinh tế học, hàm số (3.14), (3.15) gọi hàm cầu Mashall Hàm cầu Mashall hàm cầu người tiêu dùng theo quan điểm tối đa hóa lợi ích c) Các hàm cầu Marshall Căn để lập hàm cầu Marshall hàm lợi ích biểu diễn sở thích mua sắm người tiêu dùng Với giả thiết hàm lợi ích U  U  x, y  thỏa mãn điều kiện (3.12), hàm cầu (3.14), (3.15) dẫn xuất từ hệ phương trình (3.9) Điều suy từ việc giải toán tối đa hóa lợi ích phương pháp nhân tử Lagrange Chú ý toán tối đa hóa lợi ích điều kiện (3.7) viết dạng tương đương: p1 x  p2 y  m  kp1 x  kp2 y  km; k  Điều có nghĩa ràng buộc ngân sách không thay đổi giá tất mặt hàng tiêu dùng thu nhập tăng giảm theo tỷ lệ Từ suy hàm cầu Marshall hàm bậc 0: 63 x  kp1 , kp2 , km   x  p1 , p2 , m  y  kp1 , kp2 , km   y  p1 , p2 , m  Mặt khác, V  V U  hàm dương đồng biến điểm cực đại hàm số V  V U  x, y  trùng với điểm cực đại hàm số U  U  x, y  Do hàm cầu Marshall không thay đổi ta thay hàm lợi ích hàm lợi ích khác biểu diễn sở thích Điều có nghĩa hàm cầu Marshall phụ thuộc vào sở thích mua sắm thông qua hàm lợi ích d) Hàm lợi ích gián tiếp Thay hàm cầu (3.14), (3.15) vào hàm lợi ích U  U  x, y  ta hàm số biểu diễn phụ thuộc lợi ích U vào biến p1 , p2 , m : U  U  x  p1 , p2 , m  , y  p1 , p2 , m   U  p1 , p2 , m  (3.16) Hàm số (3.16) biểu diễn lợi ích tiêu dùng theo giá thu nhập gọi hàm lợi ích gián tiếp Nếu hàm lợi ích trực tiếp U  U  x, y  biểu diễn lợi ích người tiêu dùng trực túi hàng  x, y  hàm lợi ích gián tiếp (3.16) biểu diễn lợi ích đạt tùy theo điều kiện tiêu dùng Thông qua phân tích so sánh ta biết lợi ích thay đổi điều kiện tiêu dùng thay đổi Theo ý nghĩa kinh tế, lợi ích cận biên thu nhập ký hiệu  : U   có m nghĩa thu nhập tăng thêm 1$ lợi ích tăng lượng  thu nhập giảm 1$ lợi ích người tiêu dùng giảm lượng  Để phân tích ảnh hưởng thay đổi giá lợi ích, ta tính đạo hàm riêng U theo giá Từ (3.16) ta có: 64 U x y  U1 U2 p1 p1 p1 (3.17) Mặt khác, lấy đạo hàm vế p1 x  p2 y  m ta được: x  p1 x y  p2 0 p1 p1 (3.18) Ta lại có: U1 U U U     p1  , p2  p1 p2   (3.19) Thay (3.19) vào (3.18) ta được: x U1 x U y  0  p1  p1 x y  U1 U2   x p1 p1 (3.20) Thay (3.20) vào (3.17) ta được: U   x p1 (3.21) Hệ thức (3.21) hiểu sau: Khi giá hàng hóa thứ tăng thêm 1$ yếu tố khác không thay đổi thu nhập thực tế giảm lượng x $, lợi ích người tiêu dùng giảm lượng  x Tương tự ta có: U   y p2 3.3.2 Bài toán tổi thiểu hóa chi phí tiêu dùng hàm cầu Hick a) Bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng (3.22) 65 Khi định mua sắm hàng hóa dịch vụ, người tiêu dùng sử dụng toàn thu nhập để hưởng lợi ích tối đa Một xu hướng lựa chọn khác người ta đặt mức lợi ích U định thực lợi ích với chi phí nhỏ Mô hình toán đặt sau: Xác định  x, y  để chi phí tiêu dùng: C  p1 x  p2 y  Min (3.23) U  x, y   U (3.24) Với điều kiện: Để giải toán ta lập hàm số Lagrange: L  p1 x  p2 y   U  U  x, y  Trong nhân tử Lagrange ký hiệu  để phân biệt với nhân tử Lagrange  toán cực đại hóa lợi ích Điều kiện cần:  L'  U  U  x, y    U1 U  '   p  p   Lx  p1  U1   ' U  x, y   U   Ly  p2  U  Để tìm  x, y  ta việc giải hệ phương trình hai ẩn số: U1 U p  p  U  x, y   U  (3.25) Công thức để tính nhân tử Lagrange tương ứng túi hàng  x , y  thỏa mãn điều kiện (3.25) là: 66  p1 p2  U1 U (3.26) Điều kiện đủ: H  g1 g2 g1 L11 L21 g2 L12  U1 L22 U U1  U11  U 21 U2  U12   U 22 (3.27)    U1U 2U12  U1U 2U 21  U12U 22  U 22U11   b) Hàm cầu Hick Hàm cầu Hick hàm cầu người tiêu dùng theo quan điểm tối thiểu hóa chi phí cho mức lợi ích U không đổi Các hàm cầu Hick dẫn xuất từ hàm lợi ích U  U  x, y  Khi biết hàm lợi ích U  x, y  từ hệ phương trình (3.25) ta tìm được: x  x  p1 , p2 ,U  (3.28) y  y  p1 , p2 ,U  (3.29) Mỗi hàm số (3.28), (3.29) hàm cầu loại hàng hóa, gọi hàm cầu Hick, hay hàm cầu lợi ích không đổi c) Hàm chi tiêu Thay hàm cầu (3.28), (3.29) vào biểu thức C  p1 x  p2 y ta hàm số biểu diễn chi phí tiêu dùng: C  p1 x  p1 , p2 ,U   p2 y  p1 , p2 ,U   C  p1 , p2 ,U  (3.30) Hàm số (3.30) gọi hàm chi phí tiêu dùng, hay hàm chi tiêu + Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange  chi phí cận biên lợi ích: 67 C  U Điều có nghĩa để tăng lợi ích thêm đơn vị tiêu thêm  $ + Để xét ảnh hưởng thay đổi giá chi phí tiêu dùng ta tính đạo hàm riêng C theo p1 p2 Từ (3.30) ta có: C x y  x  p1  p2 p1 p1 p1 Từ (3.26) ta có p1  U1 , p2  U đó:  x C y   x    U1  U2  p1 p1   p1 (3.31) Mặt khác, lấy đạo hàm hai vế U  x , y   U theo p1 ta được: U1 x y U2 0 p1 p1 (3.32) Từ (3.31), (3.32) suy ra: Tương tự ta có: C x p1 (3.33) C y p2 (3.34) Các hệ thức (3.33), (3.34) có ý nghĩa sau: Khi giá mặt hàng tăng thêm 1$ yếu tố khác không thay đổi chi phí tiêu dùng tăng thêm lượng lượng cầu hàng hóa Kết luận: Nội dung chương đề cập đến số mô hình toán tối ưu kinh tế, toán luôn đưa đến mô hình chung toán cực 68 trị điều kiện cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến số Trên sở này, mở rộng nghiên cứu số mô hình tổng quát 69 PHẦN KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến số mô hình tối ưu hóa toán kinh tế, kết luận văn bao gồm: Trình bày mô hình tổng quát toán tối ưu hóa sở toán học toán cực trị hàm nhiều biến Đây phần kiến thức quan trọng cho phép nghiên cứu mô hình tối ưu kinh tế Nghiên cứu số thuật toán quan trọng giải mô hình toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát như: Thuật toán đơn hình, thuật toán phân phối toán sản xuất đồng Đưa mô hình toán lập lịch thuật toán Jonhson Các thuật toán kiểm nghiệm độ xác thông qua phần mềm lập trình máy tính PC Nghiên cứu số mô hình tối ưu hóa kinh tế như: toán tối đa hóa lợi nhuận, toán tối thiếu chi phí sản xuất toán tối ưu dựa hàm cầu… Đây mô hình phổ biến kinh tế Hướng phát triển luận văn là: Nghiên cứu mô hình tối ưu hóa phức tạp kinh tế Cập nhật số quy trình công nghệ kết hợp với mô hình tối ưu nhằm xây dựng hệ hỗ trợ định, đáp ứng nhu cầu thực tế tương lai 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng Đình Tuấn, Giáo trình Mô hình Toán Kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội 2006 [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục, Hà Nội 1999 [3] Trần Đình Tuấn, Lý thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2004 [4] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội 2004 [5] Bùi Minh Trí, Quy hoạch toán học, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2001 Tiếng Anh: [6] Allen, R G D, Mathematical Analysis for Economists, MacMillan & Co.,Ltd., London, 1983 [7] Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematics for Economics, Third Edditon McGraw-Hill, Inc [8] Eugene Silberberg, The Structure of Economics, Part A: Mathematical Analysis McGraw-Hill,Inc., 1978 [9] Edward T Dowling, Introduction to Mathematical for Economics, 2/ed Schaum’s Outline Series McGraw-Hill, Inc [10] Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, Taylor & Francis eLibrary, 2003 71 [11] Michael Hoy, John, Chris McKenna, Ray Rees, Thanasic Stengos, Mathematics for Economics, Addison Wesley Publishers Limitted, 1996 [12] N Gregory Malkin and William Scarth, Macroeconomics, Canadian Edition, Worth Publishers, 1995 [13] James M Henderson and Richard E Quandt, Microeconomic Theory, A Mathematical Approach, McGraw-Hill Company 3/ed, 1986 [14] Robert H Frank, Microeconomics and Behavior, McGraw-Hill, Inc., 1991 [...]... trị của hàm trong các trường hợp không có điều kiện hoặc có điều kiện ràng buộc Đây sẽ là các kiến thức cần thiết sử dụng để nghiên cứu các mô hình tối ưu trong các bài toán kinh tế được đưa ra trong các chương tiếp sau của luận văn 18 Chƣơng 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số thuật toán để giải các bài toán tối ưu như thuật toán đơn hình, thuật... pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:  Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của D là phương án tối ưu  Đa diện lồi D có một số hữu hạn đỉnh Như vậy phải tồn tại một thuật toán hữu hạn Thuật toán gồm 2 bước như sau: 19 Bước 1: Tìm 1 phương án cực biên Bước 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án đó + Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đó là tối ưu Nếu... ck (2.7) j 1 Định lý 2.1: Nếu đối với các phương án cực biên X  ( x1 , x2 , , xm ,0, ,0) mà các điều kiện sau được thỏa mãn: k  0, k  1, 2, , n (2.8) thì X là phương án tối ưu Nhận xét: 1 Trong (2.2) nếu A j là một véc tơ cơ sở khi đó tồn tại chỉ một hệ số zij  1 , tất cả các hệ số khác đều bằng 0 và ta có:  j  c j  c j  0, j  J Và trong thực tế để kiểm tra điều kiện tối ưu của phương án...  0 Vì vậy khi lập bảng đơn hình ta sẽ tách dòng m  1 thành hai dòng (m  1) và (m  2) Số a và b lần lượt điền vào dòng (m  2) và (m  1) khi phải lập bảng mới sẽ chọn cột khóa dựa vào số dương lớn nhất ở dòng (m  2) , sau đó so sánh đến số ở dòng (m  1) + Khi viết bài toán M , cho bài toán gốc Nếu bài toán gốc đã có một số véc tơ đơn vị thì ta chỉ cần thêm một số biến giả sao cho nó có đủ... kiện tối ưu đối với phương án mới Người ta thực hiện một dãy các thủ tục như vậy cho đến khi nhận được phương án tối ưu, hoặc đến tình huống bài toán không có phương án tối ưu 2.1.1.2 Cơ sở lý thuyết Xét bài toán QHTT dưới dạng chính tắc: F  X   C T X  Min AX  b X 0 Trong đó A   aij nm , X  ( x1 , x2 , , xn ); C  (c1 , c2 , , cn ) , giả sử rằng hạng của ma trận A là m Giả sử X là một phương...5 Trong các lĩnh vực kinh tế kỹ thuật thì qui hoạch phi tuyến, qui hoạch tuyến tính là những bài toán thường gặp 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính Từ một số các mô hình trong thực tế, ta có mô hình tổng quát cho bài toán quy hoạch tuyến tính như sau: Xác định các biến x j ( j  1, 2, , n) sao cho:... lý thuyết trên, chúng ta có thuật toán sau đây 2.1.1.3 Thuật toán đơn hình Bƣớc 1: Tìm một phương án cực biên xuất phát X và cơ sở của nó Aj , j  J Bƣớc 2: + Xác định các số z jk bởi hệ thống: Ak   z jk Aj jJ + Đối với mỗi k  J tính các ước lượng: m  k   z jk c j  ck j 1  Nếu (k  J ), k  0  x là nghiệm tối ưu Thuật toán dừng  Nếu X không phải là nghiệm tối ưu: o (k  J ), k  0 và. .. sau: - Nếu tất cả các số trong hàng cuối (trừ F) đều  0 , nghĩa là k  0, k , khi đó X là phương án tối ưu Thuật toán dừng - Nếu hàng cuối (không kể F) tồn tại số âm mà mọi số trong cột tương ứng 25 đều  0 thì bài toán không tồn tại phương án tối ưu Ngược lại: + Chọn cột s sao cho:  s  min k | k  0 , Cột s gọi là cột xoay Véc tơ As được đưa vào cơ sở + Chọn hàng r mà tỉ số:  r    xr  xj...  j  Trong đó M là một số dương đủ lớn, các biến xn i gọi là biến giả (như vậy bài toán M có n  m biến) Lúc này bài toán (II) là dạng chính tắc có thể áp dụng phương pháp đơn hình để giải Một số chú ý + Ta thấy rằng giá trị hàm mục tiêu f * và các số kiểm tra *j là hàm bậc nhất đối với M theo dạng aM  b Vì M  0 đủ lớn cho nên dấu của *j phụ thuộc vào dấu hệ số a nếu a  0  *j  0 và a ... ( x1, x2 , , xn )  Điều kiện cần: Với giả thiết rằng các hàm số f và g có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm X(x1 ,x 2 , ,x n ) và tại điểm X ít nhất một trong các đạo hàm riêng của g khác 0, ta có định lý sau đây Định lý 1.8: Nếu hàm số (1.22) với các điều kiện (1.23) đạt cực trị tại điểm (x1 ,x 2 , ,x n ) thì tồn tại một giá trị    của nhân tử Lagrange sao cho (x1 ,x 2 , ,x ... lập lịch, mô hình lý thuyết thuật toán Chương 3: Luận văn đưa số mô hình toán tối ưu kinh tế mô hình tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu chi phí sản xuất, mô hình toán tối ưu dựa hàm cầu… Trong luận... hiểu lý thuyết tối ưu hóa lĩnh vực ứng dụng thực tế chúng, em chọn đề tài Lý thuyết tối ƣu số mô hình kinh tế làm luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài tìm hiểu sở toán học lý thuyết tối ưu số mô. .. 3 Chƣơng LÝ THUYẾT TỐI ƢU HÓA Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức mô hình tổng quát toán tối ưu hóa, việc phân loại toán tối ưu sở toán học toán tối ưu 1.1 Mô hình toán tối ƣu hóa