Giao trinh bai tap đề ôn cuối kì 2014 2015

Đề ôn CHK - 2014 ĐỀ SỐ Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = xe x , x > 0, − (x + 2)2 , x ≤ π √ Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = e x(ln3 x xm dx − cos2 x dx + ln2 x + lnx) Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo miền phẳng giới hạn đường y = (x + 1)2 − 1, y = 0, x = 2, quay quanh trục Ox Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y + y = x2 y cos x x Câu 6: Tìm nghiệm riêng phương trình y” + 4y = sin 2x + thoả điều kiện y(0) = 1/4, y (0) = Câu 7: Giải hệ phương trình x (t) = x + 8y + e2t , y (t) = 2x + y − ĐỀ SỐ 2: ln2 |x| Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 lnx Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân I = x(1 − x)α 0 Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = dx lnn (1 + x)dx −1 Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo quay miền phẳng giới hạn đường xy = 1, y = x, x = 9y, quay quanh trục Oy Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình : (x2 + y )dx + (xy + x2 )dy = Câu 6: Tìm nghiệm riêng phương trình y + 4y + 4y = e2x + x thoả điều kiện y(0) = , y (0) = Câu 7: Giải hệ phương trình x = x − 2y + t2 + y = 2x + 5y + t2 t Hướng dẫn đáp số ĐỀ SỐ xe x , x > 0, − (x + 2)2 , x ≤ Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = a Khảo sát hàm y = xe x , x > ex Tiệm cận : lim+ y = lim+ = +∞ : Hàm có TCĐ x = x→0 x→0 x y lim y = +∞; lim = 1; lim (y − x) = lim x e x − = : Hàm có TCX y = x + x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x − Cực trị: y = e x ;y = ↔ x = x b Bảng biến thiên: Gộp chung phần parabol y = − (x + 2)2 , x ≥ −∞ x −2 f (x) + − f (x) −∞ − || +∞ || +∞ + +∞ 2e Vẽ đồ thị theo thứ tự: Vẽ tiệm cận Xác định điểm cực trị Vẽ π √ Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân I = π xm dx − cos2 x xm √ dx + − cos2 x I= xm Khi x → : f (x) ∼ Khi x → π : f (x) = = x 2 x2 −m π √ π Tp HT xm − cos(π − x) + cos(π − x) Vậy cho HT với m > − xm dx − cos2 x −m− 3 πm ∼ 3 +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = e dx x(ln3 x + ln2 x + lnx) dx Đặt t = ln x → dt = Ta tpsr loại hàm hữu tỉ: x +∞ I= √ √ dt π = ln − t + t2 + t3 2 (π−x) = πm (π − x) Tp HT ∀m Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo miền phẳng giới hạn đường y = (x + 1)2 − 1, y = 0, x = 2, quay quanh trục Ox − (x + 1)2 Vx = π dx = 512 π 15 −2 y = x2 y cos x x Đây pt Bernulli, ta giải cách đặt z = y −1 → y = −z y thay vào pt cho: Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y + z − z = −x2 cos x ⇒ z = e x dx x (−x2 cos x)e− dx x dx + C ⇒y= x (−x sin x − cos x + C) Câu 6: Tìm nghiệm riêng phương trình y” + 4y = sin 2x + thoả điều kiện y(0) = 1/4, y (0) = ytn = C1 cos 2x + C2 sin 2x yr = x(a cos 2x + b sin 2x) + c yr ax cos 2x + bx sin 2x + c yr cos 2x(a + 2bx) + sin 2x(b − 2ax) yr cos 2x(4b − 4ax) + sin 2x(−4a − 4bx) VT cos 2x(4b) + sin 2x(−4a) ytq =C1 cos 2x + C2 sin 2x − x cos 2x + 4 Câu 7: Giải hệ phương trình x (t) = x + 8y + e2t , =⇔ y (t) = 2x + y − (D − 1)x − 8y = e2t (1), −2x + (D − 1)y = −1(2) Khử x cách nhân pt (1) với 2, pt (2) với (D-1) cộng vế pt với nhau: −16 + (D − 1)2 y = 2e2t +(D−1)(−1) ↔ y”−2y −15y = 2e2t +1 ↔ y = C1 e3t +C2 e−5t − Tính x từ pt (2) 16 x = (y − y + 1) = 2C1 e3t − 4C2 e−5t − e2t + 15 15 ĐỀ SỐ 2: ln2 |x| Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 MXĐ: x = Nhận xét: Hàm cho hàm chẵn, ta cần khảo sát với x > Tiệm cận : lim y = +∞ ⇒ TCĐ : x = x→0 ln |x| = ⇒ TCN : y = x→∞ 2x2 lim y = lim x→∞ Cực trị : 2x ln |x| − 2x ln2 |x| ln |x|(1 − ln |x|) y = =2 ; y = ↔ x = 1, e x x3 2t e − 15 15 Bảng biến thiên x y || y ||+∞ e − + 0 e2 +∞ − Vẽ đồ thị bên phải, sau lấy đối xứng qua trục Oy Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân lnx I= x(1 − x)α lnx dx = x(1 − x)α lnx dx + x(1 − x)α dx Khi x → 0+ : f (x) ∼ √ Tp HT x Khi x → 1− : f (x) ∼ Tp HT α < (1 − x)α Vậy cho HT α < Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = lnn (1 + x)dx −1 Đặt t = ln(1 + x) → x = et − 1, dx = et dt = Ta tn et dt = tn et − ntn−1 et + n(n − 1)tn−1 et + + (−1)n−1 n!.t.et + (−1)n n!.et I= −∞ −∞ Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo quay miền phẳng giới hạn đường xy = 1, y = x, x = 9y, quay quanh trục Oy Vẽ miền D: xy = hyperbol có nửa đối xứng góc phần tư thứ thứ ba Do vậy, ta tính phần phía trục Ox quay, nhân với   x x dx + x − dx Vy = 2.2π  x x − x Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình : (x2 + y )dx + (xy + x2 )dy = Đây pt đẳng cấp bậc y2 1+ x + xy y + +1 y =0⇒y =− x + xy y → y = u + u x, thay vào pt trên, biến đổi để pt tách biến x √ udu y + x2 + xy 2y + x √ =C −x = −dx ⇒ ln − arctan u2 + u + x2 x Đặt u = Câu 6: Tìm nghiệm riêng phương trình y + 4y + 4y = e2x + x thoả điều kiện y(0) = , y (0) = x = x − 2y + t2 + Câu 7: Giải hệ phương trình y = 2x + 5y + t2 − t = ... y − (D − 1)x − 8y = e2t (1), −2x + (D − 1)y = −1(2) Khử x cách nhân pt (1) với 2, pt (2) với (D-1) cộng vế pt với nhau: −16 + (D − 1)2 y = 2e2t +(D−1)(−1) ↔ y”−2y −15y = 2e2t +1 ↔ y = C1 e3t