Giáo trình bài tập clctt4 b

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT ) Lưu chất chuyển động bên biên rắn (trong kênh, ống, …) bao quanh biên rắn (máy bay, tàu thuyền…), xem môi trường liên tục Mỗi phần tử lưu chất xem có kích thước (một điểm) có khối lượng vô nhỏ ) Chương đề cập đến hai phần: động học động lực học Trong phần động học, thông số dòng chảy quan tâm xem xét vận tốc, gia tốc biến thiên chúng theo thời gian Bên cạnh đó, phương trình liên tục lưu chất trình bày nhiều dạng khác G VN ) Trong phần động lực học, sở lý thuyết chuyển động phần tử lưu chất có xét đến nguyên nhân gây chuyển động (lực) việc xây dựng phương trình vi phân chuyển động trình bày Các nguyên lý biến thiên động lượng bảo toàn lượng áp dụng để xây dựng phương trình động lực học Euler, Navier-Stoke, phương trình lượng động lượng đề cập Sau việc áp dụng phương trình cho đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định trình bày EN 3.1 Hai phương pháp mô tả chuyển đông lưu chất : H 3.1.1 Phương pháp Lagrange : EC + Xét hệ thống trục tọa độ cố định OXYZ (hình H.3.0a) D AT + Chuyển động lưu chất mô tả vị trí phần tử lưu chất theo thời gian z Mo(xo,yo,zo) r ro y M(x,y,z) r r O x H.3.0a t=0 ⇒ r ro (xo , yo, zo) ∀t ⇒ r r (x, y, z) hay x = x(xo , yo, zo, t) → r r r r = f ( ro , t) (3.1) y = y(xo , yo, zo, t) z = z(xo , yo, zo, t) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 35 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực → xo , yo, zo t gọi biến số Lagrange r r r + Nếu biết r , ta tính vận tốc u (ux, uy, uz) gia tốc a (ax, ay, az) phần tử lưu chất thời điểm sau : r r dr u= dt ux = dx , dt uy = dy , dt uz = d2y ay = , dt dz dt (3.2.a) d 2z az = dt (3.2.b) VN d 2x ax = , dt & r r d 2r a= dt G + Đường nối vị trí phần tử lưu chất theo thời gian gọi quỹ đạo chuyển động phần tử lưu chất Phương trình (3.2a) phương trình quỹ đạo phần tử lưu chất EN + Nhận xét : H - Phương pháp dùng rộng rãi học chất rắn, thuận tiện số lượng phần tử EC - Trong học lưu chất phương pháp khó thực số lượng phần tử lớn D AT - Ngòai ra, lưu chất, tồn tượng khuếch tán phân tử → phân tử lưu chất giữ đặc tính riêng khoảng thời gian ngắn → việc xác định quỹ đạo khó khăn - Trong thực tế việc nghiên cứu phần tử riêng lẽ không cần thiết việc giải toán phức tạp nên phương pháp dùng - Phương pháp Lagrange chủ yếu áp dụng số trường hợp để nghiên cứu tượng sóng biển, quan sát vết sau vật 3.1.2 Phương pháp Euler : + Trong phương pháp này, thông số động học phần tử chất lỏng qua điểm miền chuyển động quan tâm Ví dụ trạm đo vận tốc đặt cố định sông + Trong hệ tọa độ xác định, chuyển động lưu chất mô tả vận tốc phần tử lưu chất vị trí theo thời gian + Tại điểm M(x,y,z) cố định không gian, thời điểm t có phần tử lưu chất qua M có r r vận tốc u (M(x,y,z), t) Ở thời điểm t + dt có phần tử khác qua M có vận tốc u (M(x,y,z), www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 36 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực t+dt) Như toàn môi trường lưu chất (∀ M ∈ miền chuyển động), ta xác định r r r r trường vectơ vận tốc u = u (M, t), hay u = u (x,y,z,t), với thành phần : ux =ux(x,y,z,t) uy =uy(x,y,z,t) (3.3) uz =uz(x,y,z,t) x, y, z t gọi biến Euler + Nhận xét : G VN - Phương pháp Euler đặc biệt có ưu việc tìm lời giải toán lien quan đến chuyển động lưu chất nhờ vào lý thuyết trường → xác định đặc trưng chuyển động vị trí cần thiết (ví dụ : dòng chảy bao quanh vật, xác định vận tốc, áp suất điểm bề mặt vật rắn) H 3.2 Một số khái niệm thường dùng : EN - Ngòai ra, số lượng phương trình vi phân hữu hạn biến thành phương trình sai phân tuyến tính, nên tìm lời giải phương pháp gần đúng, chẳng hạn phương pháp sai phân giải số thông qua chương trình máy tính EC Đường dòng (lưu tuyến) : D AT + Đường dòng thời điểm t, đường vạch lưu chất cho vectơ vận tốc phần tử lưu chất đường tiếp xúc với + Đường dòng xác định từ vectơ vận tốc phần tử lưu chất khác thời điểm xác định (≠ quĩ đạo vết phần tử lưu chất theo thời gian) + Theo định nghĩa, tiếp tuyến đường dòng điểm trùng với vectơ vận tốc r r r r r điểm → u // d r hay u x d r = Ở : r r r r u = ux i + uy j + uz k www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 37 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực r r r r d r = dx i + dy j + dz k → Phương trình vi phân đường dòng : dx dy dz = = ux uy uz (3 ) + Nhận xét : (C2) H (C1) (C2) D AT H.3.0b M EC r u1 (C1) r u2 M EN G VN - Hai đường dòng thời điểm cắt tiếp xúc Điều chứng minh phương pháp phản chứng: điểm, thời điểm có r véctơ vận tốc u (hình H.3.0b) , chúng tiếp xúc không bảo đảm phương trình bảo tòan khối lượng (hình H3.0.c); cứung minh chương lưu, toán phẳng (chuyển động chiều), đường dòng, hàm dòng ψ = const lưu lượng Q chảy hai đường dòng (ψ1 - ψ2) → điểm có hai giá trị ψ khác Tuy nhiên, ngọai trừ trường hợp điểm kỳ dị trường chuyển động Ví dụ điểm dừng chuyển động quanh hình trụ tròn đứng yên (H.3.0d) H.3.0c H.3.0d www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 38 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực - Trong chuyển động ổn định, đường dòng trùng với quỹ đạo hình dạng đường dòng không thay đổi theo thời gian VN Dòng nguyên tố (sợi lưu tuyến) dòng chảy: H.3.1a H.3.1b EN G + Dòng nguyên tố tập hợp tất đường dòng qua điểm dA (vi phân diện tích không gian chứa lưu chất chuyển động) + Dòng chảy tập hợp tất dòng nguyên tố qua diện tích A hữu hạn EC H + Ống dòng bề mặt bao quanh dòng chảy ⇔ tập hợp tất đường dòng qua điểm chu vi bề mặt A Vì vận tốc phần tử lưu chất ống dòng theo phương tiếp tuyến nên lưu chất xuyên qua ống dòng D AT Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực : m = cotang(α) ; A=(b+m.h).h P = b + 2.h + m ; R = A/P H.3.1d H.3.1c www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 39 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực H.3.1e VN + Mặt cắt ướt A mặt cắt thẳng góc với tất đường dòng qua Mặt cắt ướt mặt phẳng (khi tất đường dòng song song thẳng), mặt cong (H.3.1c & d) A EN + Bán kính thủy lực (ướt) R = G + Chu vi ướt χ (hoặc P) phần chu vi mặt cắt ướt tiếp xúc với thành rắn (H.3.1c & d) χ H Lưu lượng: Lưu lượng thể tích : D AT - EC Lưu lượng lượng lưu chất qua mặt cắt ướt đơn vị thời gian: Q = ∫∫ u.dA H.3.1f (3.5a) A Với A diện tích ướt, dA vi phân diện tích A u vận tốc (pháp tuyến với dA) điểm dA Thứ nguyên [Q] = L3/T, đơn vị m3/s, l/s - Lưu lượng khối lượng : QM = ∫∫ ρ u.dA (3.5b) A Thứ nguyên [Q M] = M/T, đơn vị kg/s, g/s Vận tốc trung bình mặt cắt ướt : www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 40 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực + Vận tốc trung bình V mặt cắt ướt A: V= Q = u.dA A A ∫∫ A (3.5c) + Vận tốc trung bình V giá trị tưởng tượng, khác với vận tốc thực u điểm + Trong thực tế, dễ xác định vận tốc trung bình V cách đo lưu lượng Q diện tích ướt A 3.3 Phân loại chuyển đông : 3.3.1 Phân loại theo ma sát nhớt : VN + Chuyển động lưu chất lý tưởng: EN G Trong thực tế lưu chất có tính nhớt Tuy nhiên, xét chuyển động lưu chất mà tính nhớt hay lực ma sát nhớt cản trở chuyển động phần tử lưu chất không đáng kể, người ta bỏ qua lực ma sát nhớt (để làm đơn giản toán) lưu chất xem lý tưởng Ví dụ: chuyển động lưu chất qua biên rắn ⇒ lớp lưu chất sát biên: lưu chất thực; lớp lưu chất xa biên: lưu chất lý tưởng (bỏ qua ma sát) H + Chuyển động lưu chất thực: EC - Có hai loại : chuyển động tầng chuyển động rối D AT - Osborne Reynolds (1883) người làm thí nghiệm để chứng minh tồn hai loại chuyển động - Mô tả thiết bị thí nghiệm : Thiết bị thí nghiệm gồm bình lớn đựng nước, bình nhỏ đựng nước màu (có khối lượng riêng khối lượng riêng nước) Nước chảy nhờ ống thủy tinh có van điều chỉnh cuối ống Dòng nước màu cho chảy vào ống (xem hình H.3.2) - Mô tả tượng : muc mau nuoc dong muc mau H 3.2a Thiết bị thí nghiệm Reynolds www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 H.3.2b Các trạng thái chảy 41 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Khi vận tốc nước ống nhỏ, dòng màu chảy thành sợi thẳng ⇒ lưu tốc song song thành lớp → Trạng thái chuyển động tầng Khi vận tốc nước tăng lên (mở van), dòng màu bắt đầu gợn sóng sau hòa lẫn vào nước ⇒ phần tử chuyển động hỗn độn, trộn lẫn nhau, vận tốc dao động liên tục theo phương thay đổi trị số ⇒ áp suất dao động → Trạng thái chuyển động rối Khi chuyển động phần tử lưu chất bị nhiễu ⇒ lực quán tính có khuynh hướng làm đổi hướng vận tốc, lực ma sát nhớt phần tử bao quanh có xu hướng giữ trạng thái cũ ⇒ VN h Trong chuyển động tầng: lực quán tính nhỏ, lực ma sát nhớt quan trọng đủ để giữ phần tử lưu chất theo trật tự định G h Trong chuyển động rối: lực quán tính lớn, lực ma sát không đủ sức khống chế nhiễu EN - Tiêu chuẩn phân loại trạng thái chảy : Tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy số Reynolds (Re), số không thứ nguyên, tỷ số lực lực quán tính lực nhớt: Với : H ρ l 2V2 ρlV = const → μ Vl μ Re = EC const ρ l V V l = μ ν D AT ρ : khối lượng riêng lưu chất (kg/m3), l : chiều dài đặc trưng dòng chảy (m), V : vận tốc đặc trưng dòng chảy (m/s), μ : hệ số nhớt động lực học lưu chất (Pa.s), ν= μ hệ số nhớt động học lưu chất (m2/s) ρ # Khi Re < Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động tầng (hình H.3.2b) # Khi Re > Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động rối (hình H.3.2b) - Dòng chảy ống tròn: Đối với dòng chảy ống tròn, người ta lấy chiều dài đặc trưng l = D Và số Reynold tới hạn sau: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 42 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Reth = ρ V D V D = = 2300 ν μ (3.6) 3.3.2 Phân loại theo thời gian : + Chuyển động ổn định : Chuyển động ổn định (thường trực, dừng) tính chất chuyển động không thay đổi theo thời gian ⇒ đạo hàm riêng phần theo thời gian đại lượng mô tả chuyển động ∂* 0→ ( = 0) → ∂t a = a(x, y, z) ⇔ + Chuyển động không ổn định : ∂u =0 ∂t & ∂a =0 ∂t VN u = u(x, y, z) & u = u(x, y, z, t) & EN G Chuyển động không ổn định (không thường trực, không dừng) tính chất chuyển động thay đổi theo thời gian → a = a(x, y, z, t) H + Chuyển động rối : EC - Chuyển động rối thực chất chuyển động không ổn định phức tạp D AT - Thường người ta thay chuyển động rối thực dòng chảy rối trung bình thời gian Vận tốc chuyển động dòng chảy rối thực xem tổng thành phần : vận tốc trung bình thời gian ⎯u thành phần vận tốc mạch động u’ : u x = u x + u 'x Với, u x : vận tốc trung bình theo thời gian theo phương x u’x : vận tốc mạch động theo phương x ux = T t +T ∫ u dt x t # Nếu ⎯u không phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối ổn định (H.3.3b) # Nếu ⎯u phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối không ổn định (H.3.3b) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 43 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực ux u'x ux t t t+T Hình 3.3a Vận tốc tức thời ux T H.3.3b VN 3.3.3 Phân loại theo không gian : + Chuyển động chiều : EN G - Mọi chuyển động thực tế xảy không gian chiều ⇒ vận tốc, áp suất yếu tố khác dòng chảy thay đổi theo phương khác - Trong số trường hợp đặc biệt, ta đơn giản hóa chuyển động dòng chảy thành dòng chảy chiều, sai số đơn giản không đáng kể D AT EC H + Chuyển động chiều : Hình 3.4 Chuyển động chiều qua đập tràn Khi thông số chuyển động thay đổi theo phương vuông góc nằm mặt phẳng xem không thay đổi mặt phẳng song song với Ví dụ dòng chảy qua bờ tràn có mặt cắt ngang không đổi, bề rộng dài vô tận + Chuyển động chiều : - Khi thông số chuyển động vận tốc, áp suất, độ cao mô tả chuyển động thời điểm định thay đổi theo phương có giá trị điểm mặt cắt ướt - Chiều chuyển động chọn thường dựa theo chiều đường dòng trung tâm có giá trị vận tốc, áp suất độ cao giá trị trung bình mặt cắt ướt thẳng góc với đường dòng điểm www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 44 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực EN G VN 3.8 Phương trình lượng : H H.3.20 EC + Nguyên lý thứ nhiệt động lực học (nguyên lý bảo toàn lượng) : D AT “Độ biến thiên theo thời gian lượng toàn phần hệ thống phần tử lưu chất tổng công suất cung cấp cho hệ thống đó, cộng với nhiệt lượng thêm vào hệ thống đơn vị thời gian” : ~ dQ dE = Pm + Ps + dt dt (3.42a) - E : tổng lượng hệ thống = ( động + nội + điện + hóa năng, ) - Pm : công suất ngoại lực, lực khối, tác dụng vào hệ thống - Ps : công suất ngoại lực, lực mặt, tác dụng vào hệ thống ~ - Q : nhiệt lượng thêm vào khối lưu chất Nếu môi trường lưu chất có nhiệt độ không đổi → T = const: trình đẳng nhiệt, không trao đổi nhiệt lương với bên ngòai, ta bỏ qua số hạn → dE = Pm + Ps dt (3.42b) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 63 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 3.8.1 Năng lượng toàn phần hệ thống : Ta giả sử quan tâm đến hai thành phần lượng động nội E = Ec + Ei Với : Ec = ∫∫∫ ρ w u2 dw : động hệ thống lưu chất tích W; u : vận tốc phần tử lưu chất ∫∫∫ ρ.e.dw : nội hệ thống lưu chất tích W; VN Ei = w G e : nội đơn vị khối lượng lưu chất ⎡ u2 ⎤ e + ⎢ ⎥.ρ dw = ∫∫∫ 2⎦ w ⎣ Pm = ∫∫∫ r r ρ F u dw (3.43) (3.44) D AT w Với : ⎡ u2 ⎤ e + ⎢ ⎥.ρ dw 2⎦ ⎣ EC 3.8.2 Công suất lực khối Pm : d ∫∫∫ dt w H dE d = dt dt EN → r F : lực khối tác dụng lên đơn vị khối lượng lưu chất r u : vận tốc phần tử lưu chất 3.8.3 Công suất lực mặt Ps : rr Ps = ∫∫ T u dA ∑ (3.45) r Với T lực mặt tác dụng lên đơn vị diện tích (ứng suất bề mặt) 3.8.4 Phương trình lượng : Thế phương trình (3.43), (3.44), (3.45) vào phương trình (3.42b) ta đạt phương trình lượng dạng tích phân sau : www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 64 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực d ∫∫∫ dt w ⎡ u2 ⎤ e + ⎢ ⎥.ρ dw = 2⎦ ⎣ r r ρ F u dw + ∫∫∫ rr ∫∫ T u.dA (3.46) ∑ w 3.9 Ứng dụng phương trình cho đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định : 3.9.1 Phương trình lượng : Áp dụng phương trình lượng tổng quát dạng tích phân (3.46): ⎡ u2 ⎤ + e ⎢ ⎥.ρ dw = 2⎦ ⎣ ∫∫∫ r r ρ F u dw + w rr T ∫∫ u.dA ∑ VN d ∫∫∫ dt w + Số hạng biến thiên lượng theo thời gian: G ⎡ u2 ⎤ Áp dụng lý thuyết vận tải Reynolds, đặt X = ∫∫∫ ⎢e + ⎥.ρ dw lượng hệ thống 2⎦ w ⎣ ⎡ ∂ u2 ⎤ + e ⎢ ⎥.ρ dw = ∫∫∫ ∂t 2⎦ ⎣ w ⎡ ⎡ u2 ⎤ r r u2 ⎤ + + + e ρ dw e ⎢ ⎥ ∫∫ ⎢⎣ ⎥⎦.ρ u.n.dA 2⎦ ⎣ ∑ D AT EC H EN ⎡ u2 ⎤ chứa thể tích kiểm sóat W, từ suy k= ⎢e + ⎥ lượng đơn vị khối lượng 2⎦ ⎣ Áp dụng phương trình (3.10b) để xét biến thiên lương theo thời gian thể tích kiểm soát W, có diện tích kiểm sóat ∑ ⎡ u2 ⎤ ⎢e + ⎥.ρ dw = 2⎦ ⎣ d ∫∫∫ dt w ∂ Ở đây, ta xét lưu chất chuyển động ổn định ⇒ ∫∫∫ ∂t w (3.47) trở thành → d ∫∫∫ dt w ⎡ ⎡ u2 ⎤ r r u2 ⎤ = + + e ρ dw e ⎢ ⎥ ∫∫ ⎢⎣ ⎥⎦.ρ u.n.dA 2⎦ ⎣ ∑ (3.47) (3.48) + Thế (3.48) vào (3.46), ta được: ⎡ u2 ⎤ r r ∫∫ ⎢e + ⎥⎦.ρ u.n.dA = ∑ ⎣ ∫∫∫ w r r rr ρ F u dw + ∫∫ T u dA ∑ (3.49) - Công suất lực khối (lực trọng trường): Trong hệ tọa độ Oxyz, với oz thẳng đứng hướng lên, vectơ cường độ lực khối trường trọng lực là: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 65 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực r r r F = - gr ad (π ) = - gr ad ( g.z ) → ∫∫∫ w với п = g.z r r r r ρ F u dw = - ∫∫∫ ρ gr ad (π ) u dw (3.50) w r r ∂π ∂π ∂π ρ gr ad (π ) u = ρ.ux + ρ.uy + ρ.uz = ∂x ∂y ∂z ∂ (π ρ u x ) ∂ (π ρ u y ) ∂ ( ρ u x ) ∂ ( ρ u y ) ∂ (π ρ u z ) ∂ ( ρ u z ) + + - π[ + + ] ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z = (3.51) Từ phương trình bảo tòan khối lượng (3.12b), cho ta: G Do đó, (3.51) ⇒ VN ∂ ( ρ u x ) ∂ ( ρ u y ) ∂ ( ρ u z ) r + + =0 Div(ρ u ) = ∂x ∂z ∂y H EN ∂ (π ρ u z ) r r r ∂ (π ρ u x ) ∂ (π ρ u y ) ρ gr ad (π ) u = + + = div(π.ρ u ) ∂x ∂y ∂z Thế vào phương trình (3.50), ta được: w r r r r ρ F u dw = - ∫∫∫ ρ gr ad (π ) u dw = w EC ∫∫∫ ∫∫∫ r div(π.ρ u ).dw (3.52) w ∫∫∫ w D AT Áp dụng phép biến đổi GAUSS, ta có: r div(π.ρ u ).dw = rr rr ∫∫ ρ.π u.n.dA = ∫∫ ρ.g.z.u.n.dA ∑ ∑ → Thế vào phương trình (3.52), ta được: ∫∫∫ w r r rr ρ F u dw = - ∫∫ ρ g z.u n.dA ∑ (3.53) - Công suất lực mặt: r Lực mặt T bao gồm áp lực thẳng góc với diện tích chịu lực hướng vào (ngược chiều vectơ r phương n diện tích ấy; lực ma sát nhớt τ ngược chiều dòng chảy Chiều dòng chảy chọn r vectơ đơn vị t ⇒ r r r T = -p n - τ t www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 66 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Thế vào số hạng tính công suất lực mặt phương trình (3.49): rr rr rr ∫∫ T u.dA = - ∫∫ p.u.n.dA - ∫∫τ u.t dA ∑ ∑ (3.54) ∑ Thế (3.53), (3.54) vào (3.49) ⇒ Phương trình lượng lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định: ⎡ rr rr rr u2 ⎤ r r + e ∫∫ ⎢⎣ ⎥⎦.ρ u.n.dA = - ∫∫ ρ g.z.u.n.dA - ∫∫ p.u.n.dA - ∫∫τ u.t dA ∑ ∑ ∑ ∑ (3.55) VN hay (3.56) G r r rr r u2 r r [ p + ρ g z ] u n dA + ρ u n dA = ( e ρ n τ t ).u dA + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ EN + Ứng dụng cho đoạn dòng chảy: D AT EC H Xét đoạn dòng chảy giới hạn hai mặt cắt ướt đổi dần 1-1 2-2 mặt bên Sb tạo đường dòng hình vẽ (H.3.20) Diện tích mặt kiểm soát gồm ba diện tích A1, A2 Sb: H.3.21b H.3.21a rr a) Tính tích phân số hạng ∫∫ [ p + ρ g z ].u n.dA phương trình (3.56): ∑ rr ∫∫ [ p + ρ g.z ].u.n.dA = ∫∫ [ p ∑ A1 r r r r + ρ g.z1 ].u1 n1 dA1 + ∫∫ [ p2 + ρ g.z ].u n2 dA2 + A2 r r + ∫∫ [ pb + ρ g z b ].u b nb dAb Sb r r - Trên mặt Sb : u b nb = www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 67 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực r r - Trên mặt A1 : u1 n1 = -u1 r r - Trên mặt A2 : u n = u2 - Vì ta chọn mặt cắt ướt A1 A2 phẳng, dòng chảy đổi dần mặt cắt này, nên theo phương trình (3.41) → p + ρ.g.z = const ⇒ rr ∫∫ [ p + ρ g.z ].u.n.dA = -(p1 + ρ.g.z1) ∫∫ u dA + (p2 + ρ.g.z2) ∫∫ u ∑ A1 dA A2 - Từ công thức (3.5a) phương trình liên tục (3.16a): ∫∫ u dA = ∫∫ u dA = Q → A2 VN A1 rr ∫∫ [ p + ρ g.z ].u.n.dA =[-(p1 + ρ.g.z1) + (p2 + ρ.g.z2)].Q G ∑ (3.57) EN u2 r r b) Tính tích phân ∫∫ ρ u n.dA phương trình (3.56): ∑ u12 r r ∫∫A ρ u1 n1 dA1 + D AT u2 r r ∫∫ ρ.u.n.dA = ∑ EC H Áp dụng diện tích kiểm sóat tương tự trên, bỏ qua số hạng liên quan đến diện tích xung quanh ống dòng Sb, ta có : =- Số hạng: ∫∫ u3 A u 22 r r ∫∫A ρ.u n dA2 u 23 u13 ρ dA + ∫∫A ∫∫A ρ dA2 (3.58) ρ dA động khối lưu chất qua diện tích A - Giả sử vận tốc phân bố A: u=V điểm A ⇒ ∫∫ A u3 ρ dA = V3 V2 ρ A = ρ Q 2 - Nếu xét đến phân bố vận tốc không đồng mặt cắt A : www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 68 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực ∫∫ A u3 ρ dA = α V3 ρ A Với : α= u dA A ∫∫ V A (3.59) α gọi hệ số sửa chữa động Hệ số tồn phân bố vận tốc không đồng mặt cắt ướt α luôn lớn (khi vận tốc phân bố mặt cắt ướt đều) Sự phân bố vận tốc không đồng giá trị α lớn VN Đối với dòng chảy ống : # Chảy tầng ⇒ α = G # Chảy rối ⇒ α = 1,05 -:- 1,15 EN Tuy nhiên tính tóan thực tế, dòng chảy thường rối, người ta thường lấy α=1 u13 ∫∫A ρ.dA1 + V12 V22 u 23 ρ dA = [-α + α ].ρ.Q 2 ∫∫A 2 EC u2 r r ∫∫ ρ.u.n.dA = ∑ H - Từ đó, số hạng động viết sau : (3.60) D AT r r r c) Tính tích phân ∫∫ (e.ρ n + τ t )u dA phương trình (3.56): ∑ Tích phân diễn tả phần biến đổi lượng ma sát bên phần tử lưu chất ma sát phần tử lưu chất với bên Phần lượng biến thành nhiệt không lấy lại được, ta gọi ma sát Số hạng khó xác định lý thuyết Thông thường xác định thực nghiệm, tùy theo trường hợp cụ thể Ta đặt: r r r ρ τ ( e n + t )u dA = ρ.g.hf.Q ∫∫ ∑ (3.61) Với hf trung bình đơn vị trọng lượng lưu chất dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2 hf có thứ nguyên [L], có đơn vị m Thế ba tích phân (3.57), (3.60) (3.61) vào (3.56), ta được: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 69 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực [-(p1 + ρ.g.z1) + (p2 + ρ.g.z2)].Q + [-α1 V12 V2 + α2 ].ρ.Q = - ρ.g.hf.Q 2 Chia phương trình cho Q, xếp lại, ta phương trình lượng (Bernoulli) áp dụng cho đoạn dòng chảy ổn định, lưu chất thực, không nén được, tác dụng trọng lực, là: V12 V22 p1 + γ.z1 + α1 ρ = + p2 +γ.z2 + α2 ρ + γ.hf 2 (3.68a) Chia (3.68a) cho ρ, ta được: V12 V 22 p2 + g.z1 + α1 + g.z2 + α2 = +g.hf ρ ρ p1 VN V12 V2 p = + z2 + α2 +hf γ 2g 2g (3.68c) D AT EC H EN γ + z1 + α1 G Chia (3.68b) cho g, ta được: p1 (3.68b) H.3.21c - Ý nghĩa số hạng : z : Vị đơn vị trọng lượng lưu chất g.z : Vị đơn vị khối lượng lưu chất γ.z : Vị đơn vị thể tích lưu chất p γ : Áp đơn vị trọng lượng lưu chất www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 70 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực p : Áp đơn vị khối lượng lưu chất ρ p : Áp đơn vị thể tích lưu chất V2 : Động đơn vị trọng lượng lưu chất 2g V2 : Động đơn vị khối lượng lưu chất : Động đơn vị thể tích lưu chất VN ρ V2 : Tổn thất lượng đơn vị trọng lượng lưu chất từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 ρhf : Tổn thất lượng đơn vị khối lượng lưu chất từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 EN G hf ρ.g.hf = γ.hf γ H : Thế (cột áp tĩnh) đơn vị trọng lượng lưu chất γ +α V2 EC z+ p p : Năng lượng toàn phần (cột áp động) đơn vị trọng lượng chất lưu D AT z+ : Tổn thất lượng đơn vị thể tích lưu chất từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 2g d) Dòng chảy từ m/c 1-1 đến 2-2 qua máy thủy lực (Hình H.3.21): - Máy bơm: Dòng chảy nhận thêm lượng Hb từ máy bơm: V12 V22 γ.Hb + p1 + γ.z1 + α1.ρ + γ.hf = p2 + γ.z2 + α2.ρ 2 (3.70a) V12 p V2 = + g.z2 +α2 + g.hf ρ 2 (3.70b) g.Hb + p1 ρ + g.z1 + α1 V12 V 22 p2 + z1 + α1 = + z2 + α2 + hf Hb + γ γ 2g 2g p1 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 (3.70c) 71 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Công suất khối lưu chất nhận từ máy bơm (công suất hữu ích, công suất hiệu dụng): Phữu ích = γ.Q.Hb (3.71a) Công suất trục máy bơm : γQH b η Ptrục = (3.71b) η: hiệu suất máy bơm - Tua-bin : Dòng chảy phần lượng, cung cấp lượng để quay trục tuabin, rôto, để phát điện (3.72a) V12 p2 V22 -g.Ht + + g.z1 + α1 + g.z2 + α2 = +g.hf ρ ρ 2 (3.72b) VN V12 V2 = p2 + γ.z2 + α2.ρ + γ.hf 2 -γ.Ht + p1 + γ.z1 + α1.ρ γ EN p1 V12 V2 p = + z2 + α2 + hf γ 2g 2g + z1 + α1 (3.72c) H -Ht + G p1 (3.73a) D AT Pcấp = γ.Q.Ht EC Công suất mà khối lưu chất cung cấp cho Tua-bin Công suất trục tua-bin : Ptrục = η.γ.Q.Ht (3.73b) η : hiệu suất tua-bin Ví dụ 1: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC VÀ NĂNG LƯỢNG Cho dòng chảy kênh chữ nhật có bề rộng b, qua cửa van thẳng hình H.3.VD1 Cho độ sâu mặt cắt 1-1 h1 độ sâu mặt cắt 2-2 h2 Tính lưu lượng Q chảy qua kênh ? GIẢI: Phương trình liên tục cho đọan dòng chảy qua mặt cắt ướt 1-1 2-2 cho: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 H.3.VD1 72 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực V1.A1 = V2.A2 Với A1 = b.h1 ; A2=b.h2 Suy ra: V1.h1 = V2.h2 hay V1 = V2 h2 h1 (VD.1.1) Phương trình lượng mặt cắt 1-1 2-2, bỏ qua tổn thất lượng chọn chuẩn cao độ trùng với đáy kênh: V12 V 22 p2 z1 + + α1 = z2 + + α2 γ γ 2g 2g p1 (VD1.2) +z1 = h1 (Cao trình mặt thóang mặt cắt 1-1, mặt thóang áp suất dư 0) p2 γ G γ EN p1 VN Vì mặt cắt 1-1 phẳng, đường dòng song song thẳng, dòng chảy đổi dần nên theo (3.41), ta có +z2 = h2 V12 V2 = h2 + 2g 2g EC h1 + H Thế vào phương trình (VD1.2), lấy α1 = α2 = 1, ta được: (VD1.3) V22 2g D AT Thế phương trình (VD.1.1) phương trình (VD.1.3), xếp lại, ta được: ⎡⎛ h ⎞ ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = h2 – h1 → ⎥⎦ ⎢⎣⎝ h1 ⎠ V2 = g (h2 − h1 ) (VD.1.4) ⎛ h2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎝ h1 ⎠ Và lưu lượng Q = V2.b.h2 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 73 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 3.9.2 Phương trình động lượng : Áp dụng phương trình động lượng (3.19) cho thể tích kiểm soát W, nằm mặt cong kín ∑ , với X tổng động lượng hệ thống: r X= K = r v → k = ρ u ∫∫∫ ρ.u.dw W r r dK F = = dt ∑ d r ∫∫∫ dt ( ρ u ).dw w Áp dụng phương trình (3.10c) → r ∂ ( ρ u ) dw + ∂t r w w + Trường hợp chuyển động ổn định, số hạng ∂ r r r ∫∫ ρ u ( u n ).dA VN d ∫∫∫ dt ( ρ u ).dw = ∫∫∫ (3.74) ∑ r r ∫∫∫ ∂ t (ρ u ).dw = , đó: G r ∑F = r r r EN W r rr ∑ F = ∑ F + ∑ F = ∫∫ ρ.u.(u.n ).dA r S r ∑F +∑F tổng ngoại lực khối ngoại lực mặt tác dụng lên khối lưu chất nằm S EC m ∑ (3.75) H m D AT thể tích W bao mặt kín ∑ H.3.22 - Xét đoạn dòng chảy giới hạn m/c ướt 1-1 2-2 mặt bên Sb tạo đường dòng hình (3.22) Tương tự phương trình lượng, phương trình động lượng biến đổi sau: r r r r r ∑ F = ∫∫ ρ.u (u n ).dA + ∫∫ ρ.u A1 1 r r (u n ).dA2 (3.76) A2 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 74 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực r r ∑ F = - ∫∫ ρ.u u dA + ∫∫ ρ.u 1 A1 Số hạng r u dA2 (3.77) A2 r ∫∫ ρ u.u.dA động lượng khối lưu chất qua diện tích A A - Nếu ta giả sử toàn mặt cắt A, vận tốc V ⇒ r r r ∫∫ ρ V V dA = ρ.V V A = ρ.Q V → A Nếu vận tốc phân bố không mặt cắt ướt, ta có: r r ∫∫ ρ u.u.dA = αo.ρ.Q V VN (3.78) A αo = dA A u2 dA A ∫∫ A V (3.79) EN ρ V A = G ∫∫ ρ.u αo gọi hệ số hiệu chỉnh động lượng H # Chuyển động tầng ống: αo = 4/3 EC # Chuyển động rối ống : αo = 1,02 -:- 1,05 D AT - Thế (3.78) vào (3.77), phương trình động lượng viết lại sau : r r ∑F =∑F m r r + ∑ FS =ρ.[ ∑ (αora Qora V ora) - ∑ r (αovào Qovào V ovào)] (3.80) Với : r ρ ∑ (αoraQora V ora) : Tổng động lượng phần tử lưu chất khỏi thể tích kiểm soát đơn vị thời gian r ρ ∑ (αovào Qovào V ovào): Tổng động lượng phần tử lưu chất vào thể tích kiểm soát đơn vị thời gian www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 75 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực G VN Ví dụ 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG EN H.3.VD2 EC GIẢI: H Cho dòng chảy với lưu lượng Q1, vận tốc V1, đập vào phẳng nghiêng với mặt phẳng nằm ngang góc α (xem hình H.3.23) Tính lực nước tác dụng vuông góc với phẳng ? D AT Gọi R phản lực phẳng, Rn thành phần phản lực vuông góc với phẳng Áp dụng phương trình (3.80) lấy αo= r r r R = ρ ∑ Qra Vra − ρ Q1 V1 (VD.2.1) r r Qra Vra lưu lượng vận tốc mặt cắt Vra song song với phẳng Chiếu phương trình (B.1.1) lên phương vuông góc với phẳng, ta được: Rn = - ρ.Q1.V1.sin(α) Theo nguyên tắc lực tác động lực phản tác động, ta có lực nước tác động Fn = -Rn = ρ.Q1.V1.sin(α) (VD.2.2) Ví dụ 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 76 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Cho dòng chảy kênh hình chữ nhật, lưu lượng qua đơn vị chiều rộng q, chảy qua cửa van phẳng thẳng đứng Chọn mặt cắt 1-1 2-2 hình vẻ Cho h1, h2 q VN H.3.VD3 GIẢI: G Chọn mặt kiểm tra bao bọc bời Mặt 1-1, (2-2), mặt cửa van; đáy kênh mặt thóang EN Ở hai mặt 1-1 2-2, dòng chảy đổi dần diện tích ướt phẳng Nên áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh Do ta dùng công thức thủy tĩnh để tính lực P1 P2 sau: (VD.3.1) EC H h12 h22 P1 = + γ b ; P2 = γ b ; 2 Với b=1m D AT Áp dụng phương trình động lượng (3.80) chiếu xuống phương nằm ngang: P1 - P2 - R - Fms = ρ.q.V2 - ρ.q.V1 (VD.3.2) Bò qua lực ma sát, giá trị từ phương trình (B.2.1) vào (B.2.2), xếp lại, ta được: R= γ (h 2 ⎛q q⎞ − h22 − ρ q⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ h2 h1 ⎠ ) Và lực nước tác dụng vào phẳng giá trị ngược chiều với phản lực R F= γ (h 2 ⎛q q⎞ − h22 − ρ q⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ h2 h1 ⎠ ) (VD.3.3) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 77 [...]... hạn b i hai mặt cắt ướt đổi dần 1-1 và 2-2 và mặt b n Sb tạo b i các đường dòng như hình vẽ (H.3.20) Diện tích mặt kiểm soát gồm ba diện tích A1, A2 và Sb: H.3.2 1b H.3.21a rr a) Tính tích phân số hạng ∫∫ [ p + ρ g z ].u n.dA trong phương trình < /b> (3.56): ∑ rr ∫∫ [ p + ρ g.z ].u.n.dA = ∫∫ [ p ∑ 1 A1 r r r r + ρ g.z1 ].u1 n1 dA1 + ∫∫ [ p2 + ρ g.z 2 ].u 2 n2 dA2 + A2 r r + ∫∫ [ pb + ρ g z b ].u b nb dAb Sb... chất b n ngoài vào và lắp đầy thể tích A ) Như vậy ở thời điểm t1 đại lượng X của toàn hệ thống nằm trong thể tích kiểm soát là: H Xt1 =XAt1 + XBt1 D AT Xt2 =XBt2 + XCt2 EC Và ở thời điểm t2 ⇒ (a) (b) Sự thay đổi đại lượng X của hệ thống trong khoảng thời gian Δt là : ΔX = (XBt2 + XCt2)-( XAt1 + XBt1) (c) Thêm vào và trừ XAt2 , ta được: ΔX = (XBt2 + XAt2)-( XAt1 + XBt1)+ XCt2 - XAt2 = X(A +B) t2 - X(A +B) t1... ρ.Fy - du y ∂p = ρ ∂y dt (3.2 1b) ρ.Fz - du ∂p = ρ z dt ∂z (3.21c) Biến đổi 3 phương trình < /b> (3.21a), (3.2 1b) và (3.21c) dưới dạng vectơ, ta được: r r 1 r du F - gr ad ( p ) = ρ dt (3.22) VN Hệ phương trình < /b> (3.21a), (3.2 1b) và (3.21c) hoặc (3.22) được gọi là hệ phương trình < /b> vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng, còn được gọi là hệ phương trình < /b> Euler G ) Hệ này gồm 3 phương trình < /b> chứa 4 ẩn số là ux, uy,... b mặt) 3.8.4 Phương trình < /b> năng lượng : Thế các phương trình < /b> (3.43), (3.44), (3.45) vào phương trình < /b> (3.4 2b) ta đạt được phương trình < /b> năng lượng dạng tích phân như sau : www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 64 Trường Đại Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực d ∫∫∫ dt w ⎡ u2 ⎤ e + ⎢ ⎥.ρ dw = 2⎦ ⎣ r r ρ F u dw + ∫∫∫ rr ∫∫ T u.dA (3.46) ∑ w 3.9 Ứng dụng các phương trình < /b> cơ b n... đối lưu (3. 7b) VN dt = (3.7c) G az = du y EN ay = gia tốc cục b EC - Thành phần gia tốc đối lưu : H Theo (3.7), ta thấy gia tốc của phần tử lưu chất gồm 2 thành phần : D AT ∂u z ∂u z ∂u ux + uy + z uz ∂x ∂y ∂z biểu thị suất biến thiên của vận tốc của các phần tử lưu chất do sự khác biệt vị trí trong trường chuyển động - Thành phần gia tốc cục b : ∂u z ∂t biểu thị suất biến thiên cục b của vận tốc... ∂x 2 ∂x (3.2 0b) (3.20c) Thế (3.2 0b) và (3.20c) vào phương trình < /b> (3.20a), ta được: ρ.Fx.δx.δy.δz - du x ∂p δx.δy.δz = ρ.δx.δy.δz ∂x dt Sau khi chia 2 vế cho thể tích, phương trình < /b> trên trở thành: ρ.Fx - du ∂p = ρ x dt ∂x (3.21a) Chứng minh tương tự, b ng cách chiếu phương trình < /b> (3.20) lên các trục OY và OZ, ta được : www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 55 Trường Đại Học B ch Khoa –... (e.ρ n + τ t )u dA trong phương trình < /b> (3.56): ∑ Tích phân này diễn tả phần sự biến đổi năng lượng do ma sát b n trong giữa các phần tử lưu chất và do ma sát giữa các phần tử lưu chất với b n ngoài Phần năng lượng này biến thành nhiệt năng mất đi không lấy lại được, ta gọi là mất năng do ma sát Số hạng này rất khó xác định b ng lý thuyết Thông thường nó được xác định b ng thực nghiệm, tùy theo từng... (XBt2 + XAt2)-( XAt1 + XBt1)+ XCt2 - XAt2 = X(A +B) t2 - X(A +B) t1 + XCt2 - XAt2 Sự biến thiên của X theo thời gian là : ΔX X ( A+ B ) t2 − X ( A+ B ) t1 X Ct 2 − X At2 = + Δt Δt Δt www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 49 Trường Đại Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực X ( A + B ) t 2 − X ( A + B ) t1 X Ct 2 − X At 2 dX ΔX = lim = lim + lim Δt → 0 Δ t Δt→ 0 Δt→ 0 dt Δt Δt (1)... Q2 + Q3 Q1 + Q2 + Q5 = Q3 + Q4 VN H.3.1 8b H.3.18a ∑Q = ∑Q ra (3.18) H vào EN G Mở rộng phương trình < /b> (3.17a) đối với dòng chảy một chiều, chuyển động ổn định, lưu chất không nén được, xét tại nút I, có nhiều nhánh vào và ra, phương trình < /b> liên tục, trở thành: EC 3.7 Phương trình < /b> vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng (phương trình < /b> Euler) : D AT 3.7.1 Phương trình < /b> Euler : H.3.19a www.datechengvn.com... ướt phẳng, áp suất phân b tuân theo quy luật thủy tĩnh ⇔ dòng chảy tại mặt cắt ướt có R → ∞ được gọi là dòng chảy biến đổi dần www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 62 Trường Đại Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực EN G VN 3.8 Phương trình < /b> năng lượng : H H.3.20 EC + Nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học (nguyên lý b o toàn năng lượng) : D AT “Độ biến thiên theo thời gian ... (b) Sự thay đổi đại lượng X hệ thống khoảng thời gian Δt : ΔX = (XBt2 + XCt2 )-( XAt1 + XBt1) (c) Thêm vào trừ XAt2 , ta được: ΔX = (XBt2 + XAt2 )-( XAt1 + XBt1)+ XCt2 - XAt2 = X(A +B) t2 - X(A +B) t1... Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực ρ.Fy - du y ∂p = ρ ∂y dt (3.2 1b) ρ.Fz - du ∂p = ρ z dt ∂z (3.21c) Biến đổi phương trình (3.21a), (3.2 1b) (3.21c) dạng vectơ, ta được: r r r du F -. .. thể tích W2 → chứa X2 - Gọi A thể tích mà: A ⊂ W1 A ⊄ W2 - Gọi B thể tích mà: B = W1 ∩ W2 VN - Gọi C thể tích mà: C ⊂ W2 C ⊄ W1 ) Như có nghĩa rằng, sau thời gian Δt: G - Một số phần tử lưu chất