Đê thi chọn học sinh giỏi quốc gia Bài 1 Trong mạch điện nh hình vẽ, Đ là điôt lí tởng, tụ điện có điện dung là C, hai cuộn dây L 1 và L 2 có độ tự cảm lần lợt là L 1 = L, L 2 = 2L; điện trở của các cuộn dây và dây nối không đáng kể. Lúc đầu khoá K 1 và khoá K 2 đều mở. 1. Đầu tiên đóng khoá K 1 . Khi dòng qua cuộn dây L 1 có giá trị là I 1 thì đồng thời mở khoá K 1 và đóng khoá K 2 . Chọn thời điểm này làm mốc tính thời gian t. a) Tính chu kì của dao động điện từ trong mạch. b) Lập biểu thức của cờng độ dòng điện qua mỗi cuộn dây theo t. 2. Sau đó, vào thời điểm dòng qua cuộn dây L 1 bằng không và hiệu điện thế u AB có giá trị âm thì mở khoá K 2 . a) Mô tả hiện tợng điện từ xảy ra trong mạch. b) Lập biểu thức và vẽ phác đồ thị biểu diễn cờng độ dòng điện qua cuộn dây L 1 theo thời gian tính từ lúc mở khoá K 2 . Luuhai71@gmail.com 1 K 2 K 1 L 2 L 1 C Đ E Hình 1 A B Giải Kí hiệu và quy ớc chiều dơng của các dòng nh hình vẽ và gọi q là điện tích bản tụ nối với B. Lập hệ: i C = i 1 + i 2 (1) L ' 1 i -2L ' 2 i = 0 (2) L ' 1 i = q/C (3) i = - q (4) Đạo hàm hai vế của (1) và (3): i C = i 1 + i 2 (1) Li 1 - 2Li 2 = 0 (2) Li 1 = - i C /C (3) ; i C = C i LC2 3 . Phơng trình chứng tỏ i C dao động điều hoà với LC2 3 = : i C = I 0 sin(t +) (5) Từ (2) (Li 1 - 2Li 2 )=hs i 1 - 2i 2 = hs. Tại t = 0 thì i 1 = I 1 , i 2 = 0 i 1 - 2i 2 = I 1 (6) i 1 + i 2 = i C = I 0C sin(t +). Giải hệ: i 1 = 3 I 1 + 3 I2 C0 sin(t +). i 2 = 3 I C0 sin(t +) - 3 I 1 ; u AB = q/C =L ' 1 i = 3 I2 C0 LCcos(t +). Tại thời điểm t = 0 i 1 = I 1 ; i 2 = 0 ; u AB = 0 : Giải hệ: I 0C =I 1 ; = /2; Đáp số: i 1 = 3 I 1 + 3 I2 1 cos LC2 3 t . i 2 = 3 I 1 cos LC2 3 t - 3 I 1 ở thời điểm t 1 mở K 2 : i 1 = 0 , từ (6) i 2 = - 0,5I 1 . Vì V A <V B nên không có dòng qua Đ, chỉ có dao động trong mạch L 2 C với T= LC22 và năng lợng L 2 I 2 1 . Biên độ dao động là I 0 : 2L 2 I 2 0 = L 2 I 2 1 I 0 = 2 I 1 . Chọn mốc tính thời gian từ t 1 : Khi t =t 1 = 0 i 1 = 0 , từ (6) i 2 = - 0,5I 1 ; i = 2 I 1 sin( LC2 t + ) u AB = -2Li= - 2L LC2 I 1 cos( LC2 t +) < 0. Giải hệ: = -/4 i = 2 I 1 sin( LC2 t - /4 ) Đến thời điểm t 2 tiếp theo thì u AB bằng 0 và đổi sang dấu dơng. u AB = - 2L LC2 I 1 cos( LC2 t 2 --/4 ) = 0 t 2 = 4 LC2 . Từ thời điểm này có dòng qua cả hai cuộn dây, trong mạch có dao động điện từ với T= 3/LC22 . Ta sẽ chứng minh đợc từ thời điểm t 2 luôn có dòng qua điôt. Tơng tự nh trên, trong hệ có dao động điện từ với LC2 3 = ; i 1 - 2i 2 = I 1 i 1 + i 2 = i C = I 0C sin{(t-t 2 ) +}. Luuhai71@gmail.com 2 L 2 L 1 C D Hình 2 A B i 1 i C i 1 O t 2 t 2 +T 3 I2 1 t i 1 = 3 1 I 1 + 3 2 I 0C sin{(t-t 2 ) +} i 2 = 3 1 I 0C sin{(t-t 2 ) +} 3 1 I 1 ; u AB = q/C =L ' 1 i = 3 2 I 0C LCcos{(t-t 2 ) +}. Với điều kiện ban đầu: t = t 2 ; i 1 = 0 ; u = 0 suy ra: = - /2; I 0C = I 1 /2 i 1 = 3 I2 1 {1- co(t-t 2 )}= 3 I2 1 {1- cos( LC3 2 t- 4 3 )} 0 (đpcm) Kết luận: với 0< t < 4 LC2 thì i 1 = 0; với t 4 LC2 thì i = 3 I2 1 {1- cos( LC3 2 t - 4 3 )} . Bài 2 : Cho một khung dây dẫn kín hình chữ nhật ABCD bằng kim loại, có điện trở là R, có chiều dài các cạnh là a và b. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn, nằm trong mặt phẳng của khung dây, song song với cạnh AD và cách nó một đoạn d nh hình 3. Trên dây dẫn thẳng có dòng điện cờng độ I 0 chạy qua. 1. Tính từ thông qua khung dây. 2. Tính điện lợng chạy qua một tiết diện thẳng của khung dây trong quá trình cờng độ dòng điện trong dây dẫn thẳng giảm đến không. 3. Cho rằng cờng độ dòng điện trong dây dẫn thẳng giảm tuyến tính theo thời gian cho đến khi bằng không, vị trí dây dẫn thẳng và vị trí khung dây không thay đổi. Hãy xác định xung của lực từ tác dụng lên khung. Bài 3 Phơng án thực hành Cho các dụng cụ sau: * Một hộp điện trở mẫu cho phép tuỳ chọn điện trở có trị số nguyên từ 10 đến vài M. * Một nguồn điện xoay chiều có tần số f đã biết và có hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai cực không đổi. * Một nguồn điện một chiều. * Một máy đo điện cho phép đo đợc cờng độ dòng điện và hiệu điện thế (một chiều, xoay chiều). * Các dây nối, các ngắt điện có điện trở không đáng kể. * Một đồng hồ đo thời gian. Hãy lập ba phơng án xác định điện dung của một tụ điện. Yêu cầu nêu: nguyên tắc lí thuyết của phép đo, cách bố trí thí nghiệm, cách tiến hành thí nghiệm, các công thức tính toán, những điều cần chú ý để giảm sai số của phép đo. Bài 4 Cho một khung dây dẫn kín hình chữ nhật ABCD bằng kim loại, có điện trở là R, có chiều dài các cạnh là a và b. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn, nằm trong mặt phẳng của khung dây, song song với cạnh AD và cách nó một đoạn d nh hình 2. Trên dây dẫn thẳng có dòng điện cờng độ I 0 chạy qua. Luuhai71@gmail.com 3 A B D C Hình 3 b a d A B D C Hình 2 b a d 1. Tính từ thông qua khung dây. 2. Tính điện lợng chạy qua một tiết diện thẳng của khung dây trong quá trình cờng độ dòng điện trên dây dẫn thẳng giảm đến không. 3. Cho rằng cờng độ dòng điện trong dây dẫn thẳng giảm tuyến tính theo thời gian đến không trong thời gian t, vị trí dây dẫn thẳng và vị trí khung dây không thay đổi. Tìm biểu thức của lực từ tác dụng lên khung dây theo thời gian. Giải : 1. Tại điểm cách dây dẫn r : B = r2 I 00 à ) d a 1ln( 2 bI dr r2 bI 00 ad d 00 + à = à = + = 0 2. Trong thời gian nhỏ dt có s.đ.đ : E = - dt d , trong mạch có dòng i Rdt d R E dt dq === ; dq =- .R d q = RR 0 R 000 = = = ) d a 1ln( R2 bI 00 + à 3. Gọi t là thời gian dòng giảm đến 0 thì I = I 0 (1 t/t) ; E = - ; trong khung có i = E/R =- /R = t I ) d a 1ln( R2 b 00 + à = hs Lực tác dụng lên khung là tổng hợp hai lực tác dụng lên các cạnh AD và BC: F = B 1 bi B 2 bi = Ii )ad(d2 ab Ii )ad(2 b Ii d2 b 000 + à = + à à Xung của lực là: X = t 0 Fdt = dt) t t 1(I )ad(d2 abiI 0 t 0 00 + à = ) d a 1ln( R2 I )ad(d4 ab. 2 0 2 22 0 + + à Giải ; Nêu 3 trong các phơng án sau: Phơng án 1: Mắc tụ với nguồn một chiều cho tích điện đầy rồi cho phóng điện qua điện trở lớn. Đo hiệu điện thế U 0 của nguồn và hiệu điện thế trên tụ bằng vôn kế, đo t bằng đồng hồ và đọc trị số R của hộp điện trở. Từ u = U 0 RC t e ta tính đợc C. Nếu chọn u =U 0 /e thì C = t/R. Cần chọn R lớn ( cỡ M) để thời gian phóng điện đủ lớn ( cỡ s). Phơng án 2: Lắp mạch gồm tụ nối tiếp với hộp điện trở rồi nối với nguồn . Lần lợt đo hiệu điện thế U R trên điện trở, U C trên tụ ( điều chỉnh sao cho hai hiệu điện thế này gần bằng nhau), sẽ suy ra có: C R U U f2RC = ; C R fU2R U C = Phơng án 3: Dùng máy đo vạn năng (Để ở nấc đo cờng độ ) mắc nối tiếp với tụ để đo I qua tụ, tính C = 0 fU2 I . Phơng án 4: Mắc sơ đồ nh hình vẽ. Dùng hộp điện trở nh một biến trở điều chỉnh sao cho khi chuyển khoá K giữa hai chốt Luuhai71@gmail.com 4 A C R K kim ampe kÕ ®Òu chØ nh nhau. Lóc ®ã dung kh¸ng cña tô b»ng ®iÖn trë R.(Bá qua ®iÖn trë cña dông cô ®o). VËy C = f2R 1 π . Luuhai71@gmail.com 5 1. Bài 4 : Cho mạch điện có sơ đồ nh hình vẽ bên. Cho biết: R 1 = 3; R 2 = 2; C = 100nF ; L là cuộn dây thuần cảm với L = 0,1H; R A 0; == 21 VV RR . Ampe kế và von kế là ampe kế và von kế nhiệt. Đặt vào hai đầu A, B hiệu điện thế u AB = 5 2 cost (V). 1. Dùng cách vẽ giản đồ vectơ Frexnen tìm biểu thức của các hiệu điện thế hiệu dụng 1 R U , U C và cờng độ dòng điện hiệu dụng qua R 2 theo hiệu điện thế hiệu dụng U = U AB , R 1 , R 2 , L, C và . 2. Tìm điều kiện của để ampe kế có số chỉ lớn nhất có thể. Tìm số chỉ của các von kế V 1 và V 2 khi đó. 3. Tìm điều kiện của để các von kế V 1 và V 2 có số chỉ nh nhau. Tìm số chỉ của ampe kế và các von kế khi đó. 1) MBAMAB UUU += ; (1) U MB = IR 2 ; (2) U AM = I R1 . R 1 = I L C 1 L ; (3) Chiếu (1) lên 0x và 0y có: U AB .X = IR 2 cos = IR 2 .I L /I = R 2 I L ; U AB.y = IR 2 sin + U AM U AB.y = I L C 1 L (R 1 +R 2 )/R 1 Do đó U 2 = 2 y.AB 2 X.AB UU + = 2 L I + + + 2 2 21 21 2 1 21 C 1 L RR RR R RR Đặt + = 21 21 RR RR R (*), chú ý tới (3) có I L = 2 2 2 C 1 LR 1 R UR + ; I R1 = 2 2 21 C 1 LR C 1 L RR UR + I = 2 2 2 2 1 21 2 1R 2 L C 1 LR C 1 LR RR UR II + + =+ (4) Luuhai71@gmail.com 6 A B C M A V 1 V 2 R 1 R 2 L U AB U R2 x y U AM I I L I R1 U MB U L U C 0 U R1 = I R1 R 1 = 2 2 2 C 1 LR C 1 L R UR + (5) U C = I L /C = 2 2 2 C 1 LRC 1 R UR + (6) Với R tính bởi (*) 2) Xét biểu thức của I, ta thấy biểu thức dới dấu căn (kí hiệu là y) là 22 22 1 22 22 1 )C/1L(R RR 1 )C/1L(R )C/1L(R y + += + + = Bởi R 1 >R, y đạt cực đại, tức là số chỉ ampe kế khả dĩ lớn nhất khi s/rad10 LC 1 4 == . Khi đó theo (4), (5) và (6): I max =U/R 2 =5/2=2,5(A) Số chỉ của V 2 là: U C =U/R 2 C= ))(!V(2500 10.10.2 5 47 = 3) Ta có U V1 =U V2 --> U R1 = U C --> L-1/C=1/(C) --> s/rad10.41,1 LC 2 4 == . 222 222 1 21 L25,0R L25,0R RR RU I + + = với );A(1I)(10.2 C L2 L),(2,1 RR RR R 3 21 21 === + + = ).V(3 )L5,0(R L R2 UR UU 22 2 C1R + == Luuhai71@gmail.com 7 Bài 5 : Đặt trong chân không một vòng dây mảnh, tròn, bán kính R, tâm O, mang điện tích dơng Q phân bố đều. Dựng trục Oz vuông góc với mặt phẳng của vòng dây và hớng theo chiều vectơ cờng độ điện trờng của vòng dây tại O (hình vẽ). Một lỡng cực điện có vectơ mômen lỡng cực p và có khối lợng m chuyển động dọc theo trục Oz mà chiều của p luôn trùng với chiều dơng của trục 0z (Lỡng cực điện là một hệ thống gồm hai hạt mang điện tích cùng độ lớn q nhng trái dấu, cách nhau một khoảng cách l không đổi (l<<R), C là trung điểm của l. Vectơ mômen lỡng cực điện là vectơ hớng theo trục lỡng cực, từ điện tích âm đến điện tích dơng, có độ lớn p = ql, khối lợng của lỡng cực là khối lợng của hai hạt). Bỏ qua tác dụng của trọng lực. 1. Xác định tọa độ z 0 của C khi lỡng cực ở vị trí cân bằng bền và khi lỡng cực ở vị trí cân bằng không bền? Tính chu kì T của dao động nhỏ của lỡng cực quanh vị trí cân bằng bền. 2. Giả sử lúc đầu điểm C nằm ở điểm O và vận tốc của lỡng cực bằng không. Tính vận tốc cực đại của lỡng cực khi nó chuyển động trên trục Oz. Giải : Thế năng của lỡng cực tại điểm cách tâm O của vòng dây một khoảng z là: W t = 2222 )2/lz(r kQq )2/lz(r kQq + ++ 2/122222/12222 )}zr/(Zl1{(zr kQq )}zr/(Zl1{(zr kQq ++ +++ W t ) zr Zl5,0 1( zr kqQ ) zr Zl5,0 1( zr kqQ 22 22 22 22 + + + + + = 2/322 )zr( kqQZl + 2; F = dZ dW t ; 2 5 22 22 )Zr( )Z2r(kqlQ F + = (1) F = 0 khi: z = r/ 2 và 2rz = ; 2rz = , tại điểm đó thế năng cực tiểu, là cân bằng bền. z = - r/ 2 , tại điểm đó thế năng cực đại, là cân bằng không bền Tại điểm cân bằng bền (z = r/ 2 ). Khi vật lệch x: Z' = r/ 2 +x. Thay vào (1) 2 5 5 2 5 2 2 5 22 22 3r )kqlQrx16 )r5,1( )rx22kqlQ ))x2/r(r( ))x2/r(2r(kqlQ 'F ++ + Luuhai71@gmail.com 8 z 0 R Q q -q l C z 0 R Q q -q l C 2 5 4 3mr kqlQ16 = ; kpQ m 2 3r T 4 5 2 = Tại điểm cân bằng bền (z = r/ 2 ), F= 0 nên vận tốc cực đại: ( ) 2 3 2 2 max r5,1 2/kqlQr 2 mv = ; m kpQ 3.r 2 v 4/3 max = Bài 6 . Cho mạch điện có sơ đồ nh hình vẽ. Hai tụ điện 1 C và 2 C giống nhau, có cùng điện dung C. Tụ điện 1 C đợc tích điện đến hiệu điện thế 0 U , cuộn dây có độ tự cảm L, các khoá 1 K và 2 K ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn dây, của các dây nối, của các khoá là rất nhỏ, nên có thể coi dao động điện từ trong mạch là điều hoà. 1. Đóng khoá 1 K tại thời điểm t = 0. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của: a) cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây. b) điện tích 1 q trên bản nối với A của tụ điện 1 C . 2. Sau đó đóng 2 K . Gọi 0 T là chu kỳ dao động riêng của mạch 1 LC và 2 q là điện tích trên bản nối với 2 K của tụ điện 2 C . Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây và của 2 q trong hai trờng hợp: a) Khoá 2 K đợc đóng ở thời điểm 4/3 01 Tt = . b) Khoá 2 K đợc đóng ở thời điểm 02 Tt = . 3. Tính năng lợng điện từ của mạch điện ngay trớc và ngay sau thời điểm 2 t theo các giải thiết ở câu 2b. Hiện tợng vật lý nào xảy ra trong quá trình này? Giải : 1. a) Chu kỳ dao động của mạch LCTLC 2/2: 001 == Điện tích q của bản A của tụ điện 1 C vào thời điểm t = 0 là ( ) 00 0 CUQq == và ( ) 00 =i Vào thời điểm t ta có: )./(sin// 0 LCtLCUdtdqi == b) ( ) )/cos()/(cos 00 LCtCULCtQtq == 2. a) Tại thời điểm 2/34/3 01 LCTt == thì ( ) )3(04/3 0 = Tq và ( ) LCULCUTi /2/3sin/4/3 000 == (4) Từ thời điểm này dao động điện từ có tần số góc LC2 1 1 = . (Hai tụ điện mắc song song coi nh một tụ ghép có điện dung 2C và có điện tích bằng 0 vào thời điểm 4/3 0 Tt = ). Với điều kiện ban đầu (3) và (4) ta có: ( ) 4/3cos 0111 TtIi = , với LCUI / 01 = . hay )5( 4 23 2 cos/ 01 = LC t LCUi Ký hiệu 12 q là điện tích của tụ ghép và 'q là điện tích của tụ 2 C , ta có ( ) 4/3sin''2 0112 TtQqq == Để tính 'Q ta áp dụng định luật bảo toàn năng lợng: ( ) C Q LI C Q 222 1 2 2' 2 1 2 0 == 22' 00 CUQQ == Luuhai71@gmail.com 9 Từ đây suy ra: )6( 4 23 2 sin 2 ' 0 = LC t CU q 2.b) Nếu đóng 2 K vào thời điểm 02 Tt = thì ta có: ( ) ( ) )7(2cos 0000 QCUCUTq === và ( ) )8(0 0 = Ti Tại thời điểm này hai tụ 1 C và 2 C mắc song song, tụ 1 C tích điện tích 0 Q còn tụ điện 2 C thì không tích điện, dòng trong mạch bằng không. Do vậy, ngay sau đó lợng điện tích 0 Q này trên tụ 1 C sẽ phân bố lại cho cả hai tụ điện. Quá trình phân bố này xảy ra rất nhanh trong khi điện tích cha kịp dịch chuyển qua cuộn dây, vì tại thời điểm này 0 = i và sự thay đổi cờng độ dòng điện qua cuộn cảm bị cản trở do hệ số tự cảm (gây ra cảm kháng), điện tích hầu nh chỉ truyền qua các khoá và dây nối. Vì hai tụ điện có điện dung nh nhau nên điện tích 0 Q đợc phân bố đều cho hai tụ điện. Sau khi điện tích đợc phân bố đều trên hai tụ điện, trong mạch lại có dao động điện từ với tần số góc 12 2 1 == LC , với điều kiện ban đầu (7) và (8). Vì vậy ta có: == 2 2 sin)(sin 2222 LC t ITtIi ( ) TtQqq == 20212 cos2 = 2 2 cos 0 LC t Q Từ dt dq i 12 2 = L C U LC Q I 2 2 0 0 2 == , cuối cùng ta có: = 2 2 sin 2 02 LC t L C Ui và = 2 2 1 cos 2 0 2 LC CU q . 3. Sự phân bố lại điện tích làm giảm năng lợng điện từ, từ giá trị CQ 2/ 2 0 đến C Q C Q 42 1 2 2 2 0 2 = . Độ giảm năng lợng này chuyển thành năng lợng sóng điện từ truyền đi trong không gian. Luuhai71@gmail.com 10 . q 2.b) Nếu đóng 2 K vào thời điểm 02 Tt = thì ta có: ( ) ( ) )7(2cos 0000 QCUCUTq === và ( ) )8(0 0 = Ti Tại thời điểm này hai tụ 1 C và 2 C mắc song