VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐ

VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐVỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐVỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐVỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐVỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Mã số: ĐH2013-TN06-04 Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Ngoan THÁI NGUYÊN – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Mã số: ĐH2013-TN06-04 Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Ngoan Người tham gia thực hiện: ThS Nguyễn Thu Hằng TS Cao Thị Hồng Xác nhận quan chủ trì đề tài (ký, họ tên, đánh dấu) THÁI NGUYÊN – 2016 Mục lục Thông tin kết nghiên cứu Information on research results Mở đầu Chương Nhóm đại số trường 13 1.1 Tính chất phân rã nhóm đại số liên thông 13 1.2 Phân loại nhóm đơn 23 1.3 Đối đồng điều Galoa 25 Chương Một số tính chất phân rã nguyên lý địa phương-toàn cục 2.1 27 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm giải 28 2.2 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm reductive 30 2.3 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thông 38 2.4 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất tựa phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thông 39 Chương Nguyên lý Hasse cho không gian trường toàn cục 3.1 42 Nguyên lý Hasse cho không gian xạ ảnh Chứng minh thứ 42 3.2 Chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 46 3.3 Một số áp dụng 50 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Một số ký hiệu quy ước viết tắt C trường số phức R trường số thực Q trường số hữu tỉ f ∼f hai dạng toàn phương (hoặc hecmit) tương đương Fq trường có q phần tử Qp trường p-adic Fq (t) trường hàm hữu tỉ Fq d(q) định thức dạng toàn phương (hoặc hecmit) q (a, b/k) đại số quaternion trường k M(m, R) đại số ma trận vành R NrdA/k (a) chuẩn thu gọn phần tử a đại số đơn tâm A/k TrdA/k (a) vết thu gọn phần tử a đại số đơn tâm A/k disc(h) biệt thức h Br(k) nhóm Brauer trường k Ru (G) lũy đơn nhóm G R(G) giải (căn) nhóm G Ad biểu diễn phụ hợp Ga nhóm cộng Gm nhóm nhân Tn nhóm ma trận tam giác khả nghịch Un nhóm ma trận tam giác lũy đơn Dn nhóm ma trận đường chéo khả nghịch GLn nhóm tuyến tính tổng quát SLn nhóm tuyến tính đặc biệt X(G) nhóm đặc trưng G Z(G) tâm nhóm G ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Khoa học THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: Về số tính chất số học nhóm đại số - Mã số: ĐH2013-TN06-04 - Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Ngoan ĐT: 0942956989 E-mail: ngoantl@yahoo.com - Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Khoa học - Thời gian thực hiện: năm (1/2013-12/2014) Mục tiêu - Nghiên cứu tính chất số học tính chất địa phương - toàn cục số lớp đa tạp đặc biệt: Nhóm đại số nhóm chúng, không gian liên quan - Nâng cao lực nghiên cứu cho cán giảng dạy Đại số Lý thuyết số Đại học Thái Nguyên; Phục vụ hiệu cho việc thực Luận án Tiến sĩ chủ nhiệm đề tài; Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học Đại học Thái Nguyên với sở nghiên cứu khác nước Kết nghiên cứu Đề tài chứng minh kết sau: • Cho G xuyến xác định trường toàn cục k Khi G phân rã k G phân rã kv với v ∈ V • Cho G nhóm lũy đơn liên thông xác định trường toàn cục k Khi G phân rã k G phân rã kv với v ∈ V • Cho G nhóm giải liên thông xác định trường toàn cục k Nếu G phân rã kv với v ∈ V , G phân rã k • Cho G k-nhóm tuyến tính liên thông reductive G phân rã kv với v ∈ V , G phân rã k • Cho G nhóm đại số tuyến tính liên thông xác định trường toàn cục k Khi nguyên lý địa phương-toàn cục thỏa mãn cho tính chất phân rã G • Cho X không gian xạ ảnh nhóm đại số liên thông reductive G xác định trường toàn cục k Khi nguyên lý Hasse thỏa mãn X • Cho k trường toàn cục G nhóm đại số tuyến tính liên thông xác định k Nếu G tựa phân rã kv với v ∈ V G tựa phân rã k Sản phẩm: 4.1 Sản phẩm khoa học Xuất hai báo thuộc danh mục SCI [1] Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Quốc Thắng (2014), ”On some Hasse principles for algebraic groups over global fields”, Proceedings of the Japan Academy, Ser A, Mathematical Sciences, Vol 90 (No 5), 73-78 [2] N.T Ngoan and N Q Thang(2016), ”On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic”, Proc of the Steklov Ins Math., v 292, 171-184 4.2 Sản phẩm đào tạo Chủ nhiệm hướng dẫn bảo vệ đạt loại tốt 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học + Đa tạp affine - Tác giả: Hoàng Thị Hoa - Sinh viên Khoa Toán Tin - Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 2013 Hoàn thành phần luận án chủ nhiệm đề tài Hiệu - Các báo khoa học sản phẩm nghiên cứu đề tài xuất tạp chí quốc tế Khả áp dụng phương thức chuyển giao kết nghiên cứu - Các báo khoa học phổ biến tới độc giả thông qua thư viện truyền thống thư viện điện tử Các báo tiền đề nghiên cứu cho nhà toán học nghiên cứu Đại số Lý thuyết số - Các kết đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, giảng viên, nghiên cứu sinh nhà toán học lĩnh vực - Các kết đề tài báo cáo tại: Hội nghị Đại số-Tô pô-Hình học Toàn quốc tháng 12/2014; Hội nghị khoa học hệ nghiên cứu sinh Viện Toán học tháng 10/2015; Các hội nghị đánh giá Nghiên cứu sinh Viện Toán học; Xêmina Đại số Lý thuyết Số Viện Toán học Ngày tháng năm 2016 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information - Project title: - Code number: ĐH2013-TN06-04 - Coordinator: Master Ngo Thi Ngoan Tel: 0280.3750722 E-mail: ngoantl@yahoo.com - Implementing Institution: Thai Nguyen University of Sciences - Duration: years (1/2013-12/2014) Objectives - Research on the arithmetics properties of algebraic groups; certain local - global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields - Develop ability research of algebraic and arithmetic teachers of Thai Nguyen University of Sciences; attend efficiently up to coordinator’s thesis; extend scientific cooperation betwen Thai Nguyen University and others; serve to graduate program in training and researching of Thai Nguyen University Research results Our project have the three following main results: Prove the following: • Let k be a global field, G a k−torus Then G is split over k if and only if G is so over all kv , v ∈ V • Let k be a global field, G a connected unipotent k−group Then G is split over k if and only if G is so over all kv , v ∈ V • Let k be a global field, G a solvable k−group Then G is split over k if and only if G is so over all kv , v ∈ V • Let k be a global field, G a connected reductive k−group Then G is split over k if and only if G is so over all kv , v ∈ V Prove the following: • Let X be a projective homogeneous space of a connected reductive group G, all are defined over a global function field k Then the Hasse principle holds for X Prove the following: • Let k be a global field, G a connected linear algebraic groups defined over k If G is quasi-split over kv for all v, then so is G over k Products +) 02 science papers: [1] Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Quốc Thắng(2014), ”On some Hasse principles for algebraic groups over global fields”, Proc Japan Acad Ser A, Vol 90(No 5), 73-78 [2] Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Quốc Thắng(2016), ”On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic”, Proc of the Steklov Ins Math., v 292, 171-184 +) Guiding successfully On the Affine Varieties - Author: Nguyen Thị Hoa - student of ThaiNguyen University of sciences (period 2010-2014) Effects - Science research papers have been published in the international journals such as: Proc Japan Acad Ser A transfer alternatives of research results and applic ability - Project is a good reference for readers who are interested in the arithmetics properties of algebraic groups 48 ¯ q ) với v ∈ V Khi x thuộc vào ảnh H1f lat (k, P ) H1f lat (k, G Để chứng minh Mệnh đề 3.2.1, ta cần kết sau Bổ đề 3.2.2 Cho G nhóm nửa đơn xác định k, S k-xuyến phân rã Khi (1) Nếu P k-nhóm parabolic G với k-nhóm Levi ZG (S), H1f lat (k, P ) → H1f lat (k, G) đơn ánh (2) Nếu k trường toàn cục G thỏa mãn nguyên lý Hasse đối đồng điều, P ZG (S) Chứng minh Bổ đề 3.2.2 : (1) Ta đặt M = ZG (S) Khi P = M.Ru (P ) tích nửa trực tiếp Ký hiệu p : P → M = P/Ru (P ) phép chiếu Người ta biết (xem [31]), lũy đơn P nhóm lũy đơn k-phân rã, có đối đồng điều Galois tầm thường Ta kiểm tra cấu xạ tự nhiên ζ : M → G cảm sinh song ánh ξ ∗ : H1f lat (k, M ) H1f lat (k, P ) Vì P = M.Ru (P ) tích nửa trực tiếp, nên có lát cắt M → P phép chiếu P → M Theo kết Harder (xem [36, Satz 2.1.2]) ánh xạ ζ ∗ : H1f lat (k, M ) → H1f lat (k, G) đơn ánh, ánh xạ chẻ qua ξ ∗ , H1f lat (k, P ) → H1f lat (k, G) đơn ánh (2) suy từ (1) Bổ đề 3.2.3 Cho G k-nhóm nửa đơn, P k-nhóm parabolic G, P = M.Ru (P ) phân tích Levi P xác định k Khi ánh xạ tự nhiên M → P , P → G M → G cảm sinh đơn ánh A(M ) → A(P ), A(P ) → A(G) A(M ) → A(G) Chứng minh Bổ đề 3.2.3: Ta biết A(M ) = P ic(M )D , A(P ) = P ic(P )D , A(G) = P ic(G)D , nên để chứng minh ánh xạ đơn ánh ta cần ánh xạ đối ngẫu P ic(G) → P ic(P ), P ic(P ) → P ic(M ), P ic(G) → P ic(M ) toàn ánh Theo [31, Sec 5], k-phân thớ G → G/P tầm thường địa phương tôpô Zariski, theo [9, p 276], [33, Prop 6.10], ánh xạ tự nhiên 49 P ic(G) → P ic(P ) toàn ánh Tính chất toàn ánh P ic(P ) → P ic(M ) có từ chẻ P = M.Ru (P ) Cụ thể ta có ánh xạ chiếu p : P → M, phép nhúng i : M → P, với p ◦ i = idM Các ánh xạ cảm sinh đồng cấu p : P ic(M ) → P ic(P ) i : P ic(P ) → P ic(M ) với i ◦ p = idP ic(M ) Nói riêng ra, i toàn cấu Tính chất toàn ánh ánh xạ thứ ba P ic(M ) → P ic(G) suy từ tính toàn ánh hai ánh xạ đầu ta có bổ đề chứng minh Tiếp theo, sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.2.4 (xem [12], [27, Theorem 2.6]) Cho k trường toàn cục, G nhóm liên thông reductive xác định k Khi tồn dãy khớp 0→ X1 (G) Σ → H1f lat (k, G) → ⊕v H1f lat (kv , G) →G A(G), có tính hàm tử theo G ¯ q nhóm nửa đơn phụ hợp tựa phân Chứng minh Mệnh đề 3.2.1 Cho G = G rã Đặt P = M.Ru (P ) Gọi S xuyến k-phân rã G cho M = ZG (S) Theo Bổ đề 3.2.4, ta có biểu đồ sau giao hoán với dòng khớp X1 (M )   −−−→ H1f lat (k, M ) −−−→  α X1 (G) −−−→ H1f lat (k, G) −−−→ v δ v H1f lat (kv , M ) −−−→ A(M )   β γ H1f lat (kv , G) −−−→ A(G) Ta biết theo Bổ đề 2.4.4, nhóm nửa đơn phụ hợp trường toàn cục thỏa mãn nguyên lý Hasse cho đối đồng điều, δ có hạt nhân tầm thường, đơn ánh Vì biểu đồ trên, nhóm Shafarevich - Tate M (tương ứng G) tầm thường X1 (M ) = 0, X1 (G) = theo Bổ đề 3.2.2(2) Ta có ánh xạ α, β đơn ánh theo [36, Satz 2.1.2] ánh xạ γ đơn ánh theo Bổ đề 3.2.3 Lấy x ∈ H1f lat (k, G) cho ảnh v H1f lat (kv , G) nằm ảnh β Vì dòng cuối khớp γ đơn ánh, nên ta suy có phần tử y ∈ H1f lat (k, M ) 50 cho α(y) x có ảnh v H1f lat (kv , G) Vì α đơn ánh, nên ta suy x = α(y) cho ta điều phải chứng minh 3.3 Một số áp dụng A Chứng minh khác Định lí 2.2.1 Định lí 2.4.1 Áp dụng nguyên lý Hasse cho không gian vừa trình bày, đưa cách chứng minh khác cho Định lý 2.2.1 Định lý 2.4.1 sau Định lý 2.2.1 Cho k trường toàn cục, G k-nhóm reductive liên thông Khi G phân rã k G phân rã kv , với v ∈ V Chứng minh thứ hai Định lý 2.2.1 Ta sử dụng Định lý 3.1.1, 3.1.2 để chứng minh định lý Lập luận chứng minh thứ ta giả sử G nhóm hầu đơn tuyệt đối xác định trường toàn cục k ta xét sơ đồ Dynkin G theo ký hiệu phân loại Tits [29] Với sơ đồ Dynkin, ta ký hiệu G0 cho tương ứng nhóm k-phân rã với dạng cho Vì n số đỉnh ∆(G0 , k), đỉnh thuộc khuyên (chứa đỉnh) Lấy ∆ = {α1 , , αn } tập nghiệm đơn biểu diễn ∆(G0 , k) n đỉnh lấy Pi nhóm cực đại k-parabolic chuẩn dạng ∆ \ αi tương ứng Theo 3.1.2 - 3.1.6, G có nhóm parabolic cực đại dạng Pi xác định k Đặc biệt, dẫn Tits ∆(G, k), ta có đỉnh tương ứng với αi khuyên Điều với i, nên tất đỉnh thuộc khuyên, tức G k-phân rã có điều phải chứng minh Định lý 2.4.1 Cho k trường toàn cục, G nhóm đại số tuyến tính liên thông xác định k Nếu G tựa phân rã kv với v G tựa phân rã k Chứng minh thứ hai Định lí 2.4.1 Theo định nghĩa theo chứng minh 51 Định lý 2.3.1 ta giả sử G nhóm reductive Ký hiệu BG đa tạp nhóm Borel G Ta biết BG xác định k hữu tỉ k¯ (Xem [34, 3, Exp XII]) Chứng minh đưa trường hợp nguyên lý Hasse cho BG Áp dụng kết Định lý 3.1.5, ta thấy đa tạp BG có k-điểm, tức G có nhóm Borel xác định k B Hạng tương đối nhóm reductive nguyên lý địa phương-toàn cục Tiếp theo số áp dụng nguyên lý địa phương-toàn cục liên quan đến hạng tương đối (chiều xuyến phân rã cực đại) nhóm liên thông reductive G xác định trường toàn cục k Gọi T k-xuyến cực đại G, Ts xuyến cực đại k-phân rã T , T = Ta Ts tích hầu trực tiếp k-xuyến không đẳng hướng Ta T với Ts Đặt s := dim(Ts ), a := dim(Ta ) r := rankk (G) k-hạng G, n := s + a = dim(T ) hạng G ta nói T có dạng (a, s) Rõ ràng r ≥ s Với chốn v k, ký hiệu rv := rankkv (G) ta có rv ≥ r với v Ta có câu hỏi liên quan đến rv : (a) Liệu với số nguyên không âm c với v, ta có rv = c, có suy r = c? (b) Nếu có rv > với v có suy r > 0? (c) Nếu k trường toàn cục G có kv -xuyến cực đại dạng (a, s) chốn v k, G có k-xuyến cực đại dạng (a, s)? (d) Có thể xảy đẳng thức minv rv = r không? Chú ý 3.3.1 1) Có thể nói câu hỏi liên quan mật thiết đến 52 kết mục trước Chẳng hạn, G có xuyến cực đại T dạng (0, n) trường k, G phân rã k Do ta có câu trả lời khẳng định trường hợp 2) Nếu G có kv -xuyến cực đại dạng (1, n − 1) chốn v, điều tốt ta nói G đẳng hướng kv với v 3) Nếu G nửa đơn có hai thành phần hầu đơn, ta xây dựng ví dụ nhóm nửa đơn G xác định trường toàn cục k cho G đẳng hướng kv chốn v G không đẳng hướng k Do câu hỏi (a) thực có nghĩa nhóm G k-nhóm hầu đơn tuyệt đối Chúng có nguyên lý địa phương-toàn cục tính đẳng hướng nhóm đại số hầu đơn trường toàn cục sau Định lý 3.3.2 Cho k trường toàn cục, G k-nhóm hầu đơn tuyệt đối, c số nguyên không âm (i) Nếu rv = c với v, r = c (ii) Cho G có sơ đồ Dynkin khác với An , E6 (và k trường số thực) Với chốn v k, ký hiệu rv := rankkv (G) Nếu rv > với v r > (iii) Tồn trường toàn cục k k-nhóm hầu đơn dạng An E6 mà không thỏa mãn nguyên lý địa phương-toàn cục tính đẳng hướng k Chứng minh (i) Ta biết với hầu hết chốn v k, nhóm G tựa phân rã kv i1) Nếu G có kiểu k, có kiểu kv , ta có c = rv = rank(G) với v, nghĩa G phân rã kv với v Theo nguyên lý địa phương - toàn cục cho tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính, ta có G phân rã k, c = rk(G) i2) Nếu G có kiểu k, G phân rã kv với v, G phân rã k, mâu thuẫn với giả thiết kiểu G Vì G tựa phân rã không phân rã kv với v (vì rv = c cố định với v) Theo Định lý 53 2.2.1 Định lý 2.4.1 ta suy G tựa phân rã (nhưng không phân rã) k, r = c (ii) Trước tiên ta nhận xét rằng, k trường hàm toàn cục G có kiểu khác A G đẳng hướng k (Định lý 2.2.2) Như G dạng A, ta cần xét trường hợp trường số Ta xét dạng nhóm sau Dạng An Ta xét G k-nhóm hầu đơn đơn liên dạng An Theo phân loại Tits ([29]), G(k) = SU(n+1)/d (D, f ), D đại số chia tâm mở rộng bậc hai k k với phép đối hợp loại hai J cho k = {x ∈ k |xJ = x} f dạng hecmit (D, J) không suy biến với số Witt r, d|n + 1, 2rd ≤ n + Vì G có kiểu nên ta có n ≥ Đã cho G đẳng hướng kv với v, nên f vậy, áp dụng nguyên lý Hasse cho dạng hecmit (D, J) (Định lý ??) ta suy f đẳng hướng k Dạng Bn , n ≥ Gọi Ad(G) k-nhóm phụ hợp ứng với G Khi Ad(G)(k) = SO2n+1 (f ), với f dạng toàn phương không suy biến k Theo giả thiết, G đẳng hướng kv với v, tức f đẳng hướng kv với v Theo Định lý Hasse - Minkowski, f đẳng hướng k, nên G Dạng Cn , n ≥ Ta giả sử G đơn liên dạng Cn , n ≥ Theo phân loại Tits [29], G kv -phân rã, G có dẫn Tits kv sau s α1 s❦ α2 s α3 s s❦ α2rv s s α2rv +1 s⇐=s αn−1 αn Ở rv ≥ Trường hợp sau ta có G(k) = SUn (D, f ), D đại số chia quaternion không tầm thường tâm k, f dạng hecmit không suy biến ứng với phép đối hợp chuẩn J D Từ suy f đẳng hướng k f ⊗ kv 54 đẳng hướng với v, tức r > Dạng Dn , n ≥ Ta giả sử G(k) = SUn (D, f ), với D k đại số chia quaternion không tầm thường tâm k, f dạng toàn phương không suy biến k dạng phản hecmit không suy biến ứng với phép đối hợp chuẩn J D Theo nguyên lý địa phương-toàn cục cho dạng toàn phương dạng hecmit, f đẳng hướng k, tức r > Dạng D4 , D4 Giả sử G đẳng hướng kv với v ∈ Vk Khi theo [29] dẫn Tits G kv có dạng s ✘✘✘ ✘ ✘ ✘ s s❦✘ ❳ α2 ❳❳❳❳❳❳ s α1 α3 α4 dạng tựa phân rã ✛✘ α1 ✘s ✘ ✘✘✘ s❳ ❦ ✘✘ s α3 α2 ❳❳❳❳❳❳ s α4 ✚✙ Nhìn vào dẫn Tits G, ta ý đỉnh ứng với nghiệm α2 khuyên Áp dụng Mệnh đề 3.1.6 ta suy G có k-nhóm parabolic cực đại dạng Pα2 , nói riêng ra, G k-đẳng hướng Dạng E6 Giả sử G có dạng E6 (trên trường số k ảo), theo giả thiết G 16 đẳng hướng khắp nơi nên G có dạng E6,2 dạng E6,6 (phân rã) (G không 28 có dạng E6,2 k ảo) Vậy trường hợp G đẳng hướng k 55 Giả sử G có dạng E6 (trên trường số k bất kì) G đẳng hướng khắp nơi Khi đó, R (nếu G có phép nhúng vào R) tựa phân rã G phải có dạng E16 6,2 (khi k có phép nhúng vào R) với dẫn Tits αs ✛✘ αs α5 α6 ✙ ✚ ✘ ✘✘✘ s❳✘✘ ✘ α4 ❳❳❳❳❳❳ s s❦ α2 s Trong trường hợp đó, tập nghiệm Θ = {α2 } khuyên ([29, pp 58 59]) Còn trường p-adic kv , từ giả thiết G ta biết G kv -phân rã kv -tựa phân rã, tập Θ tập khuyên Vì vậy, địa phương khắp nơi, Θ khuyên, nghĩa với chốn v k, G có kv -nhóm parabolic dạng PΘ , PΘ nhóm parabolic chuẩn cực đại G ứng với tập Θ Tiếp tục áp dụng Mệnh đề 3.1.6, ta suy G có nhóm parabolic dạng PΘ k, tức G k-đẳng hướng Dạng E7 Nếu k nhúng vào R, G đẳng hướng R, theo [29], G có dạng E28 7,3 , với dẫn Tits s❦ α1 s α3 s s dạng E97,4 với dẫn Tits α4 α2 s α5 s❦ α6 s❦ α7 56 s❦ α1 s❦ α3 s❦ s α4 s s❦ α5 α6 s α7 α2 dạng phân rã (mỗi đỉnh khuyên) Vì G đẳng hướng kv với chốn v phi Acsimet k, nên trường đó, G có dạng E97,4 dạng phân rã Trong trường hợp này, tập Θ := {α1 , α6 } tập khuyên Như ta suy G có k-nhóm parabolic chuẩn dạng PΘ , G đẳng hướng Dạng E8 Trên R (nếu k nhúng vào R), G phân rã G có dẫn Tits (xem [29]) sau s❦ α1 s α3 s s α4 s s❦ α5 α6 s❦ s❦ α7 α8 α2 Trên trường p-adic, ta biết G phân rã Những lập luận tập nghiệm đơn Θ := {α1 , α6 , α7 , α8 } tập khuyên, G có k-nhóm parabolic dạng PΘ Nói riêng ra, G đẳng hướng k Dạng F4 Nếu k nhúng vào R, G đẳng hướng R G có dạng phân rã dạng F21 4,1 với dẫn Tits sau s α1 s =⇒s α2 α3 s❦ α4 Trên trường p-adic, ta biết G phân rã Trong trường hợp này, tập 57 nghiệm đơn {α4 } tập khuyên, ta suy G đẳng hướng Dạng G2 Ta thấy G phân rã địa phương khắp nơi, ta biết G phân rã k (iii) Mệnh đề liên quan đến câu hỏi (d) trên, liệu đẳng thức minv rv = r có xảy không Chúng ta trường hợp tổng quát điều không Đặc biệt, nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính đẳng hướng không thỏa mãn số trường hợp nhóm hầu đơn tuyệt đối Dạng An Một ví dụ trường hợp đưa Harder (xem [3, p 778]) Cụ thể là, cho k trường toàn cục với đại số chia đơn tâm bậc n = pq, p, q hai số nguyên tố khác Chọn 2p (tương ứng 2q) chốn phi Acsimet phân biệt {v1 , , v2p } (tương ứng {w1 , , w2q }) k Khi theo luật thuận nghịch cho đại số đơn tâm trường toàn cục, tồn đại số chia D tâm k có số n, thỏa mãn invvi (D) = 1/p với ≤ i ≤ 2p (tương ứng invwj (D) = 1/q với ≤ j ≤ 2q) invv (D) = với v khác Khi k-nhóm G cho G(k) = SL1 (D) không đẳng hướng k, đẳng hướng kv với v Dạng E6 Cho k trường số, giả sử k thực (tức k ⊂ R) Ta tồn k-nhóm không đẳng hướng kiểu E78 6,0 mà đẳng hướng R kv với chốn phi Acsimet v, tức câu hỏi (b) có câu trả lời phủ định trường hợp Lấy chốn phi Acsimet v0 k Xét tập hữu hạn khác rỗng S chốn phi Acsimet k, không chứa v0 , Với v ∈ S lấy Dv kv -đại số chia đơn tâm bậc Theo cách xây dựng Tits đại số Jordan ([24], [29]), Dv liên 58 kết với kv -nhóm G(v) dạng E16 6,2 có dẫn Tits s α1 s α3 s❦ α4 s α5 s α6 s❦ α2 Với v thực, ta xây dựng R-nhóm G∞ kiểu E28 6,2 với dẫn Tits s❦ α1 s α3 s s α4 s α5 s❦ α6 α2 Với chốn phi Acsimet khác v ∈ S ∪ {v0 }, ta lấy G(v) kv -nhóm phân rã có dạng E6 Khi theo Định lý 3.1.1, tồn k-nhóm G dạng E6 , cho với v = v0 , ta có G đẳng cấu với G(v) kv Theo kết biết Kneser (xem [19, Ch VI, Theorem 5]) kv0 , G đẳng hướng, G đẳng hướng địa phương khắp nơi, G lại không đẳng hướng k Định lý 3.3.2 chứng minh Kết luận Đề tài thu kết sau: - Chứng minh nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thông trường toàn cục - Chứng minh nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất tựa phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thông trường toàn cục - Chứng minh nguyên lý Hasse mạnh cho không gian nhóm reductive liên thông trường hàm toàn cục, (mở rộng kết biết Harder) - Chứng minh nguyên lý Hasse cho tính đẳng hướng cho lớp rộng nhóm hầu đơn đưa phản ví dụ cho lớp nhóm hầu đơn lại 59 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] A Borel(1991), Linear Algebraic Groups, Springer - Verlag, USA [2] A Borel(1965), ”Linear Algebraic Groups” in: "Algebraic groups and Discontinuous subgroups", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics A.M.S., v 9, 3- 19 [3] A Borel(1983), Oeuvres : Collected papers, vol II, Springer -Verlag [4] M Borovoi(1992), ”The Hasse principle for homogeneous spaces”, J Reine Angew Math., Bd 426, 179 - 192 [5] M Borovoi(1993), ”Abelianization of the second non-abelian Galois cohomology”, Duke Math J., v 72, 217 - 239 [6] M Borovoi(1998), ”Abelian Galois Cohomology of Reductive Groups”, Memoirs of Amer Math Soc., v 162, - 50 [7] B Conrad(2012), ”The structure of solvable groups over general fields”, Preprint, (See: http://www.math.stanford.edu/ conrad/) [8] J L Colliot-Thélène, P Gille and R Parimala(2004), ”Arithmetic of linear algeberaic groups over two-dimensional geometric fields”, Duke Math J., v.121, 285 - 341 [9] R Fossum and B Iversen(1973), ”On Picard groups of algebraic fiber spaces”, J Pure and Appl Algebra 3, 269 - 280 [10] J E Humphreys(1981), Linear algebraic groups, Springer-Verlag, New York [11] R E Kottwitz(1984), ”Stable trace formula : cuspidal tempered terms”, Duke Math J., v 51, 611 - 650 [12] R E Kottwitz(1986), ”Stable trace formula : elliptic singular terms”, Math Annalen, Bd 275, 365 - 399 [13] M Kneser(1969), Lectures On Galois Cohomology of Classical Groups, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay [14] K McCrimmon(1969), ”The Freudenthal-Springer-Tits constructions of exceptional Jordan algebras”, Trans Amer Math Soc., v.139, 495 - 510 [15] J Neukirch(1986), Class field theory, Springer - Verlag, 60 61 [16] N.T Ngoan and N Q Thang(2014), ”On some Hasse principle for algebraic groups over global fields”, Proc Jap Acad Ser A, v 90(No.5), 73 - 78 [17] N.T Ngoan and N Q Thang(2016), ”On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic”, Proc of the Steklov Ins Math., v 292, 171-184 [18] R Pierce(1982), Associative algebras, Springer - Verlag, New York [19] V Platonov and A Rapinchuk(1994), Algebraic Groups and Number Theory, Academic Press, London [20] G Prasad, A.S Rapinchuk(2006), ”On the existence of isotropic forms of semi-simple algebraic groups over number fields with prescribed local behavior”, Adv Math v 207(no 2), 646-660 [21] W Scharlau(1985), Quadratic and Hermitian forms, Springer - Verlag, [22] J P Serre(1980), A Course in Arithmetic, Springer [23] T A Springer(1998), Linear Algebraic Groups, Birkh¨auser [24] T A Springer(1965), ”Non-abelian H in Galois cohomology” in "Algebraic and discontinuous subgroups”, Proc Symp Pure Math A M S., v 9, 164 - 182 [25] R Steinberg(1968), Lectures on Chevalley groups, mimeographied lecture notes, Yale University [26] N Q Thˇan ´g (2008), ”On Galois cohomology of semisimple groups over local and global fields of positive characteristic”, Math Z., Bd 259(no 2), 457 470 [27] N Q Thă´ ng(2011), ”On Galois cohomology and weak approximation in connected reductive groups over fields of positive characteristics”, Proc Japan Acad ser A, v 87 (No 10), 203 - 208 [28] N Q Thˇan ´g(2012), ”On Galois cohomology of semisimple algebraic groups over local and global fields of positive characteristic, II”, Math Z., Bd 270, 1057 - 1065 [29] J Tits(1966), ”Classification of algebraic semisimple groups” in "Algebraic groups and discontinuous subgroups", Proc Symp Pure Math., A M S., v , 33 - 62 [30] T Tsukamoto(1961), ”On the local theory of quaternionnic anti-hermitian forms”, J Math Soc Jap., v 13, 387 - 400 Tiếng Pháp [31] A Borel et J Tits(1967), ”Groupes réductifs”, Publications Math l’IHÉS, 27, 55 - 151 [32] J Oesterlé(1984), ”Nombre de Tamagawa et groupes unipotents en caractéristique p”, Invent Math., v 78, 13 - 88 62 [33] J J Sansuc(1981), ”Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques sur un corps de nombres”, J Reine Angew Math., Bd 327, 12 80 [34] M Demazure et A Grothendieck(1970), et al "Schémas en groupes", Lecture Notes in Math., v 151 - 153, Springer -Verlag Tiếng Đức ¨ [35] G Harder(1965), ” Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen”, Mathematische Zeitschrift , 90, 404 - 428 ¨ [36] G Harder(1966), ” Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen, II”, Math Z., 92, 392 - 415 ¨ [37] G Harder(1975), ” Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen, III”, Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik Bd 274/275, 125 - 138 [38] G Harder(1968), ”Bericht u ¨ber neuere Resultate der Galoiskohomologie halbeinfacher Gruppen” Jahresbericht der Deutschen MathematikerVereinigung, Bd 70 , 182 - 216 [39] G Harder(1967), ”Halbeinfache Gruppenschemata u ¨ber Dedekindringen”, Invent Math., v 4, 165 - 191 [...]... thuần nhất của một nhóm đại số reductive liên thông (Định lý 3.1.5), mở rộng một kết quả đã biết của Harder trong trường hợp trường hàm Và đưa ra một số ứng dụng của kết quả đó Chương 1 Nhóm đại số trên một trường Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm cơ bản của nhóm đại số trên một trường theo các tài liệu [1, 2, 10, 23] 1.1 Tính chất phân rã của nhóm đại số liên thông Cho k là một trường,... những tính chất quan trọng của nhóm đại số G là tính chất phân rã (hoặc tựa phân rã) của G Tính chất phân rã và tựa phân rã của nhóm đại số thể hiện tính đơn giản nhất về mặt cấu trúc của chúng Do đó, chúng tôi đặt ra vấn đề khảo sát các tính chất này thông qua cách tiếp cận địa phương-toàn cục Việc nghiên cứu tính chất (tựa-)phân rã của các nhóm cũng có liên quan mật thiết với việc nghiên cứu tính chất. .. nghiên cứu tính chất số học và nguyên lý Hasse của một số đối tượng hình học (cụ thể ở đây là các không gian thuần nhất của nhóm đại số) 2 Mục tiêu - Mục tiêu thứ nhất là nghiên cứu các tính chất số học và các tính chất địa phươngtoàn cục trong nhóm đại số và các nhóm con của chúng - Mục tiêu thứ hai là nghiên cứu nguyên lý phương-toàn cục cho không gian thuần nhất của nhóm đại số trên trường toàn cục... rằng, mỗi nhóm đại số nửa đơn xác định trên một trường k là tích hầu trực tiếp các k -nhóm đại số k-hầu đơn, và mỗi k -nhóm đại số k-hầu đơn là hạn chế Weil của một nhóm đại số hầu đơn tuyệt đối Sau này ta sẽ nói nhóm đại số hầu đơn tuyệt đối một cách ngắn gọn là nhóm hầu đơn Mỗi nhóm hầu đơn tuyệt đối sẽ có một sơ đồ Dynkin liên thông, và một sơ đồ Dynkin là liên thông khi và chỉ khi nó có một trong... là một đa tạp đại số afin G được gọi là một nhóm đại số afin nếu có các cấu xạ µ : G × G → G, µ(a, b) = ab, ρ : G → G, ρ(a) = a−1 , 13 14 giữa các tập afin, mà cùng với chúng G là một nhóm (ii) Nhóm đại số afin G được gọi là xác định trên k hay k -nhóm nếu G, µ và ρ đều xác định trên k (iii) Một k-đồng cấu giữa các k -nhóm đại số là một đồng cấu giữa các nhóm và là một k-cấu xạ của các k-đa tạp đại số. .. cấu xạ các nhóm đại số (Tính chất (3) cho phép ta nói rằng T là tích hầu trực tiếp của Ts và Ta ) 16 Định nghĩa 1.1.10 Một nhóm đại số G được gọi là lũy đơn nếu mọi phần tử của G đều là lũy đơn Ví dụ Nếu dim G = 1 và G là nhóm lũy đơn liên thông thì G đẳng cấu với nhóm cộng của một trường; G∼ = Ga = g ∈ GL2 | g = 1 x 0 1 Một nhóm đại số tuyến tính liên thông, lũy đơn là liên hợp với một nhóm những... cực đại của G đều liên hợp Mỗi phần tử nửa đơn đều thuộc một xuyến Tâm hóa của mỗi xuyến đều là liên thông (2) Tất cả các nhóm con Borel (tức là nhóm con giải được liên thông cực đại) của G đều liên hợp Mỗi phần tử của G đều thuộc vào một trong các nhóm con đó (3) Nếu P là một nhóm con đóng của G, thì G/P là một đa tạp xạ ảnh nếu và chỉ nếu P chứa một nhóm con Borel của G Chú ý 1.1.19 Cho G là một nhóm. .. k và nhóm reductive G/Ru (G) xác định và phân rã trên k (ii) Một k -nhóm đại số tuyến tính G được gọi là tựa phân rã trên k (k-quasi-split) nếu Ru (G) xác định trên k và G/Ru (G) có một nhóm con Borel xác định trên k Định nghĩa 1.1.25 (Hạn chế vô hướng của Weil (xem [19, Ch.2]) Cho k là một trường, L/k là một mở rộng hữu hạn tách được của k, G là một nhóm đại số xác định trên L Một k -nhóm đại số G được... Cho G là một nhóm đại số, ta biết rằng chỉ có duy nhất một thành phần bất khả quy của G chứa e, kí hiệu là Go , gọi là thành phần liên thông (của đơn vị) của G Nhóm đại số G được gọi là liên thông nếu G = Go Điều này xảy ra khi và chỉ khi G là bất khả quy Định lý 1.1.3 (Xem [1, Ch I, Prop 1.10]) Cho G là một k -nhóm đại số afin Khi đó G đẳng cấu trên k với một k -nhóm con đóng của nhóm tuyến tính tổng... Chương 2 Một số tính chất phân rã và nguyên lý địa phương-toàn cục Trong chương này chúng tôi trình bày những nghiên cứu về nguyên lý địa phươngtoàn cục cho tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục Nghiên cứu được bắt đầu từ những trường hợp đặc biệt là: nhóm tuyến tính liên thông giải được (xuyến đại số, nhóm lũy đơn); nhóm reductive liên thông; tổng quát đến tính chất