Phép tính Tenxơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn, w18, E48

Phép tính Tenxơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn, w18, E48. Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc.Trân trọng.ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢOhttp:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htmhoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)DANH MỤC TẠI LIỆU ĐÃ ĐĂNGA.HOÁ PHỔ THÔNG1.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF2.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, Word3.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC4.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỌC VÔ CƠ PHẦN 1. CHUYÊN Đề TRÌNH HÓA VÔ CƠ 10 VÀ 115.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC6.BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 1407.BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 41708.ON THI CAP TOC HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF9.TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÓA HỌC PHỔ THÔNG10.70 BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC, word11.CHUYÊN ĐỀ VÔ CƠ, LỚP 11 – 12. ĐẦY ĐỦ CÓ ĐÁP ÁN12.Bộ câu hỏi LT Hoá học13.BAI TAP HUU CO TRONG DE THI DAI HOC14.CAC CHUYEN DE LUYEN THI CO DAP AN 4815.GIAI CHI TIET CAC TUYEN TAP PHUONG PHAP VA CAC CHUYEN DE ON THI DAI HOC. 8616.PHUONG PHAP GIAI NHANH BAI TAP HOA HOC VA BO DE TU LUYEN THI HOA HOC 27417.TỔNG HỢP BÀI TẬP HÓA HỌC LỚP 1218.PHAN DANG LUYEN DE DH 20072013 14519.BO DE THI THU HOA HOC CO GIAI CHI TIET.doc20.Tuyển tập Bài tập Lý thuyết Hoá học luyện thi THPT Quốc gia21.PHÂN DẠNG BÀI TẬP HOÁ HỌC ÔN THI THPT QUỐC GIA 5722.BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN 29 ĐỀ 14523.BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN PHẦN 2B.HỌC SINH GIỎI1.Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THPT Lý thuyết và Bài tập2.Tài liệu hướng dẫn thí nghiệm thực hành học sinh giỏiolympic Hoá học 543.CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HOÁ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP 174.ĐỀ THI CHUYÊN HOÁ CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT PHẦN ĐẠI CƯƠNG VÔ CƠ 5.Tuyển tập Đề thi Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THCS Lý thuyết và Bài tập6.Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Hoá học, 12 phương pháp giải toán7.Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ Olympic hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳngC. HOÁ ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC1.ỨNG DỤNG CỦA XÚC TÁC TRONG HÓA HỮU CƠ2.CƠ CHẾ PHẢN ỨNG TRONG HÓA HỮU CƠTIỂU LUẬN3.TL HÓA HỌC CÁC CHẤT MÀU HỮU CƠ4.GIÁO TRÌNH HÓA HỮU CƠ DÀNH CHO SINH VIÊN CĐ, ĐH, Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn TĩnhHóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn TĩnhHóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn Tĩnh5.VAI TRÒ SINH HỌC CỦA CÁC HỢP CHẤT VÔ CƠ 446.BÀI TẬP NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 407.Giáo trình Hoá học phân tích8.Giáo trình Khoa học môi trường. http:baigiang.violet.vnpresentshowentry_id4897549.Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 110.Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 211.Giáo trình bài tập Hoá Phân tích 112.Thuốc thử Hữu cơ13.Giáo trình môi trường trong xây dựng14.Bài tập Hóa môi trường có đáp án đầy đủ nhất dành cho sinh viên Đại họcCao đẳng15.Mô hình, mô hình hóa và mô hình hóa các quá trình môi trường16.Cây trồng và các yếu tố dinh dưỡng cần thiết17.Đất đồng bằng và ven biển Việt Nam18.Chất Hữu cơ của đất, Hóa Nông học19.Một số phương pháp canh tác hiện đại,Hóa Nông học20.Bài tập Hoá Đại cương có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học21.Hướng dẫn học Hoá Đại cương dành cho sinh viên ĐH, CĐ22.Bài giảng Vai trò chất khoáng đối với thực vật PP23.Giáo trình Thực hành Hoá vô cơ dành cho sinh viên ĐH, CĐ24.Bài tập Vô cơ dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết25.Bài tập Vô cơ thi Olympic dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết26.Bài giảng Hoá học Phức chất hay và đầy đủ27.Bài giảng Hoá học Đại cương A1, phần dung dịch28.Bài tập Hoá lý tự luận dành cho sinh viên có hướng dẫn đầy đủ29.Bài tập Hoá lý trắc nghiệm dành cho sinh viên có đáp án đầy đủ30.Khoá luận Tốt nghiệp bài tập Hoá lý31.Giáo trình Hoá Phân tích dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng32.Bài giảng Điện hoá học hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng33.Bài tập Hoá học sơ cấp hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng34.Bài giảng phương pháp dạy học Hoá học 135.Bài giảng Công nghệ Hoá dầu36.Hóa học Dầu mỏ và Khí37.Bài tập Hóa dầu hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng38.Bài tập Công nghệ Hóa dầu, công nghệ chế biến khi hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng39.Bài giảng Hóa học Dầu mỏ hay dành sinh viên Đại học, cao đẳng40.Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳng41.Phụ gia thực phẩm theo quy chuẩn quốc gia42.Hướng dẫn thực hành Hoá Vô cơRC0 Các phản ứng Hoá học mang tên các nhà khoa học hay dành cho sinh viên43.Bài tập trắc nghiệm Hoá sinh hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng44.Bài tập Hoá học Hữu cơ có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng P145.Bài giảng Hoá học Hữu cơ 1 powerpoint hay46.Bài tập cơ chế phản ứng Hữu cơ có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên47.Bài giảng Hoá học Hữu cơ dành cho sinh viên48.Bài tập Hoá sinh học hay có đáp án dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng49.Hoá học hợp chất cao phân tử50.Giáo trình Hoá học Phức chất dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng51.Bài giảng Hoá học Đại cương dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng52.Bài giảng Cơ sở Lý thuyết Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng53.Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần Hidrocacbon54.Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần dẫn xuất Hidrocacbon và cơ kim55.Bài giảng Hoá học Hữu cơ file word đầy đủ và hay nhấtD.HIỂU BIẾT CHUNG1.TỔNG HỢP TRI THỨC NHÂN LOẠI2.557 BÀI THUỐC DÂN GIAN3.THÀNH NGỬCA DAO TỤC NGỬ ANH VIỆT4.CÁC LOẠI HOA ĐẸP NHƯNG CỰC ĐỘC5.GIAO AN NGOAI GIO LEN LOP6.Điểm chuẩn các trường năm 2015E.DANH MỤC LUẬN ÁNLUẬN VĂNKHOÁ LUẬN…1.Công nghệ sản xuất bia2.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong hạt tiêu đen3. Giảm tạp chất trong rượu4.Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel5.Tinh dầu sả6.Xác định hàm lượng Đồng trong rau7.Tinh dầu tỏi8.Tách phẩm mầu9.Một số phương pháp xử lý nước ô nhiễm10.Tinh dầu HỒI11.Tinh dầu HOA LÀI12.Sản xuất rượu vang13.Vấn đề mới và khó trong sách Giáo khoa thí điểm14.Phương pháp tách tạp chất trong rượu15.Khảo sát hiện trạng ô nhiễm arsen trong nước ngầm và đánh giá rủi ro lên sức khỏe cộng đồng16.REN LUYEN NANG LUC DOC LAP SANG TAO QUA BAI TAP HOA HOC 10 LV 15117.Nghiên cứu đặc điểm và phân loại vi sinh vật tomhum18.Chọn men cho sản xuất rượu KL 4019.Nghiên cứu sản xuất rượu nho từ nấm men thuần chủng RV 4020.NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CÂY DẤU DẦU LÁ NHẴN21.LUẬN ÁN TIẾN SĨ CHẾ TẠO KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐIỆN HOÁ CỦA ĐIỆN CỰC 2122.NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CỦA MỘT SỐ LOÀI THUỘC CHI UVARIA L. HỌ NA (ANNONACEAE)23.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong dịch chiết từ đài hoa bụp giấm file word RE02324.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong quả mặc nưa25.Nghiên cứu xử lý chất màu hữu cơ của nước thải nhuộm …bằng phương pháp keo tụ điện hóa26.Nghiên cứu và đề xuất hướng giải quyết các vấn đề khó và mới về hoá hữu cơ trong sách giáo khoa hoá học ở Trung học phổ thông27.Nghiên cứu chiết xuất pectin từ phế phẩm nông nghiệp, thực phẩm28.Chiết xuất quercetin bằng chất lỏng siêu tới hạn từ vỏ củ Hành tây29.Thành phần Hóa học và hoạt tính Kè bắc bộ pp30.Nghiên cứu phương pháp giảm tạp chất trong rượu Etylic31.Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel từ mỡ cá tra với xúc tác KOHγAl2O3 bằng phương pháp bề mặt đáp ứng32.Tối ưu hoá quá trình chiết ANTHOCYANIN từ bắp cải tím33.Chiết xuất và tinh chế CONESSIN, KAEMPFEROL, NUCIFERIN từ dược liệu (Ko) RE03334.Phương pháp tính toán chỉ số chất lượng nước cho một số sông thuộc lưu vực sông Nhuệ sông Đáy 35.Xử lý suy thoái môi trường cho các vùng nuôi tôm (Nghiên cứu và ứng dụng công nghệ tiến tiến, phù hợp xử lý suy thoái môi trường nhằm sử dụng bền vững tài nguyên cho các vùng nuôi tôm các tỉnh ven biển Bắc bộ và vùng nuôi cá Tra ở Đồng Bằng Sông Cửu Long)36.Đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ, W813E0036 (Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ)37.Công nghệ lên men mêtan xử lý chất thải làng nghề“Nghiên cứu hiện trạng ô nhiễm và công nghệ lên men mêtan nước thải chế biến tinh bột sắn của một số làng nghề thuộc huyện Hoài Đức, Hà Nội”38.Tính chất của xúc tác Fe2O3 biến tính bằng Al2O3(Tổng hợp và tính chất xúc tác của Fe2O3 được biến tính bằng Al2O3 và anion hóa trong phản ứng đồng phân hóa nankan”)39.Tác động môi trường của việc thu hồi đất, Word, 5, E0039 “Đánh giá ảnh hưởng môi trường của việc thu hồi đất tại quận Tây Hồ, Hà Nội” 540.Không gian hàm thường gặp, W8, E40 (“Về một số không gian hàm thường gặp”. 41.Xác định hoạt chất trong thuốc kháng sinh, W 10, E41 (Nghiên cứu xây dựng phương pháp phổ hồng ngoại gần và trung bình kết hợp với thuật toán hồi quy đa biến để định lượng đồng thời một sốhoạt chất có trong thuốc kháng sinh thuộc họ βLactam”42.Phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tửW10.2E42 “Nghiên cứu phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tử”43.Động lực học của sóng biển, W12, E43. NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA SÓNG SAU ĐỚI SÓNG ĐỔ TẠI BÃI BIỂN NHA TRANG44.Xử lý chất thải tại nhà máy giấy hiệu quả, file word 13, E44 (NÂNG CAO HIỆU QUẢ XỬ LÝ CỦA CÁC BỂ HIẾU KHÍ BẰNG CÁCH ĐIỀU CHỈNH DINH DƯỠNG THÍCH HỢP CHO VI KHUẨN ĐỐI VỚI HỆ THỐNG XỬ LÝ NƯỚC THẢI CỦA NHÀ MÁY GIẤY45.Định lượng Paraquat bằng phương pháp sắc ký lỏng, W14, E45. (Nghiên cứu định lượng Paraquat trong mẫu huyết tương người bằng phương pháp sắc ký lỏng hiệu năng cao)46.Định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường, W15, E46 “Nghiên cứu xác lập cơ sở khoa học cho định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường khu vực Đại học Quốc gia Hà Nội tại Hòa Lạc và các xã lân cận”47.Giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân, W16, E47. “Nghiên cứu thực trạng và đề xuất giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân trên địa bàn quận Nam Từ Liêm, thành phố Hà Nội”48.Phức chất đa nhân của đất hiếm phối tử hữu cơ đa càng, W17, E48. “Phức chất đa nhân của đất hiếm và kim loại chuyển tiếp với một số phối tử hữu cơ đa càng”49.Phép tính Xentơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn (PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNGF.TOÁN PHỔ THÔNG1.TUYEN TAP CAC DANG VUONG GOC TRONG KHONG GIAN2.Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 500 câu có đáp án3.Phân dạng Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán4.Bộ đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán5.Chuyên đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán6.Bộ đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán7.Bộ đề kiểm tra trắc nghiệm 1 tiết phút môn Toán lớp 128.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P19.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P210.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P311.Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P1 có đáp án12.Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P213.Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia14.Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia.15.Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia có đáp án16.Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia17.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán18.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có đáp án19.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có giải chi tiết20.Ôn tập Toán 12, luyện thi THPT Quốc gia21.Phân dạng bài tập hình học 11 rất hay có giải chi tiết các dạng22.Bài tập trắc nghiêm Toán 1123.Đề trắc nghiệm toán đại số 12 dành cho kiểm tra 1 tiêt, 15 phút có đáp ánG.LÝ PHỔ THÔNG1.GIAI CHI TIET DE HOC SINH GIOI LY THCS

TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC LUẬN ÁN-ĐỒ ÁN-LUẬN VĂN-KHOÁ LUẬN-TIỂU LUẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết cácvấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lýthuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học TullioLevi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác Trong luận vănnày tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phươngtrình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị.Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa độ trụ, hệ tọa

độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nóichung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõcác bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi củatenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên

hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ congbất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biếndạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độcầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệutham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính củatenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả cũngtrình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phảnbiến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụthể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cânbằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng cácphương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biếndạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏmỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc làhàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở cácthành thay đổi theo một quy luật xác định

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm phần tử

Quy ước về chỉ số

Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại

2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3” Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó có thể thaybằng chữ khác

Ví dụ hệ thống Kronecker

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể: ,

,

Cách thành phần còn lại của

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vôhướng =0 nếu , nếu nên

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tựnhư đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại.Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

Lấy điểm là lân cận của điểm

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng

Trong đó

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ và

Phép cộng, trừ

Tích vô hướng

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:

Với các véc tơ cơ sở là không đổi

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằngphép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị

và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức sau

(1.4)Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùngnhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm

Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng:

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độcong khác

Ta kí hiệu là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong Do đó sẽ được xác định từ biểuthức:

Thay ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:

Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:

Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong

Khai triển cụ thể (1.9)

Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ Có thể biểu diễn véc tơ dưới dạng:

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi

Biểu diễn với các thành phần phản biến

Suy ra:

Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

Biểu diễn với các thành phần hiệp biến

từ đó suy ra

Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau

Đối với tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở tenxơ hạng 2 sẽđược biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

Suy ra:

bao gồm 9 thành phần:

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được

Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

Vậy:

Hệ thống gồm có 9 phần tử

trong đó

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

Thay các vào ( 1.19) suy ra

Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ

Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được

Do nên

Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có

Nhân 2 vế của ( 1.23) với

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là Xét trong tọa độ cong

Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

- tenxơ KroneckerVới hệ cơ sở đã biết ta xác định được

hay Đặt:

Trong trường hợp này:

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

Giống như trên ta có thể suy ra

Hình 3.

z

Hình 4.

Ta tính được các đạo hàm riêng

Vậy từ (1.3) ta có

Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu

1.3.2 Tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

Suy ra:

( không tổng theo )

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ

1920

21

222324

25262728

29

303132

333435

404142

43

46Bảng 1

47

48 1.4 Đạo hàm hiệp biến

49 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

50 Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

51

52 Ta biểu thị qua các véctơ cơ sở như sau :

53

54 Vậy :

55 Các đại lượng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2

56 Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ

77 Đạo hàm theo biến

100 Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

101 Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22): suy ra102

133 Thay vào công thức (1.47) suy ra:

134 Thay vào biểu thức (1.40) suy ra

135 Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử

136

137 c Ví dụ

138 Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụngbảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả.

139 Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cầntính 18 thành phần Christoffel

140 Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )

161 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất

162 Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổi tạitừng điểm

163 Xét véctơ có các thành phần phản biến

164

165 Lấy vi phân biểu thức của véctơ

175 Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất đối với biến

số trong hệ tọa độ cong

176 gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần của véctơ

177 Trong trường hợp rêpe cố định , suy ra

178 Xét véctơ với các thành phần hiệp biến

188 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai

189 Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai

190

191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)

192

193 ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành:194

195 ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3 trở

203 Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ

204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.

205 Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thứcOstrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ

206 Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liêntục chuyển động

207 Vật chuyển động với vận tốc , chịu

tác động của lực khối , tại một

điểm bất kỳ trên mặt chịu tác dụng

của véctơ ứng suất

217 Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng của phần môi trường vật chất giữnguyên, không đổi trong quá trình chuyển động Do đó

229 Các phương trình ở (2.5) là các phương trình chuyển động của môi trường liên tục

230 Trong đó, do và áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến đối với tenxơ hạng hai ta

242 Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục

243 Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ

244 Trong tọa độ trụ

245

252 Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1:

253 Từ đó ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý sẽ thu đượ c

254

255 Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:

256 257 nên258

259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có

260 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu được

277 Trong hệ tọa độ cầu có

278 Có 9 thành phần của ký hiệu Christoffel khác không, còn lại bằng không

279

280

281282

283284

302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị

303 Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức

356357

P O

367 2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng

368 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi

369 Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với các kíchthước khác

370 Mặt chia đôi độ dày của vỏ gọi là mặt giữa Tùy thuộc vào dạng của mặt giữa chúng

ta phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở đây chỉ xét vỏ có độ dày không đổi

371 372 Vectơ bán kính điểm của mặt giữa

là hàm Trong đó là hai thông số tạo

thành hệ tọa độ cong của các điểm trênmặt Ta có

373

374 Khi đó phần tử đường được xác định bởi công thức

380 Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng các giả thiết

381 Đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn thẳng và trực giaovới mặt giữa sau khi biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff)

382 Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứngsuất khác nên có thể bỏ qua

383 Chọn hệ trục tọa độ như sau trục

trực giao với mặt giữa, trục hướng

theo đường chính khúc ( đường có

tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với

phương chính) của mặt giữa( Hình

388 Trong đó là chuyển dịch của điểm trên mặt giữa, tức là với

389 Theo giả thiết thứ nhất “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khi biếndạng sẽ vẫn trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt tại

390 Thay các giá trị ở công thức (2.34) vào các giá trị trong (2.19 ) ta suy ra

5)

393 hay

414 Trong đó là chuyển dịch mặt giữa,

415 biểu thị biến dạng mặt giữa,

416 là biến thiên của độ cong mặt giữa,

417 là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặt giữa,

ds

a Hình 7

431 Momen đối với trục

432

433

434 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu

435 a Vỏ trụ

436 Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ như sau ( Hình 7)

437 Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh của trụ tròn, đường trùng với đường tròntrong mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính của trụ tròn là , khi đó phần tử đường

445 Các thành phần biến dạng của vỏ trụ xác định theo công thức (2.40)

446 Thay các đại lượng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu được kết quả sau

kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi đã thu được các phương trình tính biến dạng –chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.

475 Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

i. Trình bày các phép biến đổi để thu được

- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

- Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm của véctơ

ii. Trình bày được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,

iii. Tính được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

iv. Vận dụng các phép tính cơ sở của tenxơ vào bài toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu

476 Những hướng nghiên cứu tiếp theo:

i. Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đặt tải đơn giản của vỏ trụ, vỏ cầutheo các phương pháp đã thiết lập

ii. Giải gần đúng bằng phương pháp số một số bài toán đàn hồi cho bản chữ nhật và bảntròn theo các phương trình đã thiết lập.

477 Tài liệu tham khảo

[1].Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2].Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học

Quốc Gia Hà Nội

[3].A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley.

[4].D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition,

Westview Press

[5].Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr

University Press

[6].Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York.

[7].Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York.

[8].I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York.

[9].J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics,

Trafford Publishing

[10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger

Dordrecht Heidelberg London New York

[11]. Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications,

2nd ed, Springer-Verlag, New York

[12]. R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover.

[13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New

York: Dover

[14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York.

478