đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 6

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5) Môn: Toán - Thời gian làm bài 150 Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y + )1)(1( 22 yx ++ b = x 2 1 y + + y 2 1 x + Giả thiết rằng: xy dơng, hãy tính b theo a. 2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của ph- ơng trình: x 2 - (a-1)x - a 2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (2đ): 1) Giải hệ phơng trình: 2x 2 - y 2 = 1 xy + x 2 = 2 2) Cho hàm số y = x 2 với x -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lợt có hoành độ trái dấu. Câu III (2đ): 1) Giải phơng trình: (x 2 - 3x + 2) (x 2 + 15x + 56) + 8 = 0 2) Cho n số thực a 1 , a 2 ,, ., a n sao cho a 1 3 + a 2 3 + + a n 3 = 0 Chứng minh: a 1 + a 2 + .+ a n . Biết rằng - 1 ai 1 với i =1,2, ,n Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD 1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đờng thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đờng thẳng d chứa cạnh DC sao cho E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất. 2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tơng ứng M và N sao cho MAN = 45 0 . BD cắt AM, AN lần lợt tại I và K. Chứng minh SCIK = S NMIK. Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0; R) sao cho 0 nằm trên đờng tròn (0, R). Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đờng tròn (0; R) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC 2 + BC 2 đạt giá trị lớn nhất. ***** 3 n đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Câu Nội dung Điểm I 2.0đ I 1 1.0đ Ta có: a 2 = 1 + x 2 + y 2 + 2x 2 y 2 + 2xy )1)(1( 22 yx ++ (1) b 2 = x 2 + y 2 + 2x 2 y 2 + 2xy )1)(1( 22 yx ++ (2) So sánh (1) và (2) suy ra b 2 = a 2 - 1 Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau: + Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b = 1 2 a + Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = - 1 2 a 0,25đ 0,25đ 0,5đ I 2 1.0đ Ta có a 2 - a + 2 = (a - ) 2 + - [(a- ) 2 + ] < 0 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình, Ta có: với mọi a x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = (a-1) 2 + 2(a 2 - a + 2) = 3[( a - ) 2 + ] = 3(a- ) 2 + Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x 1 2 + x 2 2 bằng 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ II 2,0đ II 1 1,0đ + Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x 2 = hệ này vô nghiệm. x 2 = 2 + Nếu y 0 hệ đã cho suy ra xy + x 2 = 4x 2 - 2y 2 3x 2 - xy -2y 2 (* ) = 0 Chia hai vế của (*) cho y 0 Ta đợc 3( ) 2 - ( ) - 2 = 0 = 1 x = y x = = - x = 1 + Từ x = y hệ đã cho viết thành x = y y = 1 2x 2 - y 2 = 1 x = - 1 y = -1 + Từ x = - hệ đã cho viết thành: x = - 2x 2 - y 2 =1 Hệ này vô nghiệm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 1 4 7 4 7 2 1 4 7 3 2 9 11 3 2 3 11 3 11 3 2 3 11 2 1 y x y x y x y x 3 2 3 2y 3 2y 3 2y Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 và x = 1 y = - 1 y = 1 0,25đ II 2 1,0đ Đờng thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đờng phân giác góc phần tử thứ nhất: y = x. + Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta đợc b = 2 Vậy đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề bài thì phải có: 0 < b 2. 0,25đ 0,25đ 0,5đ III 2,0đ III 1 1,0đ Vế trái của phơng trình đã cho bằng: x 4 + 12x 3 + 13x 2 - 138x + 120 = (x 4 + 6x 3 - 15x 2 ) + (6x 3 + 36x 2 - 90x)- - (8x 2 + 48x - 120) = x 2 (x 2 + 6x - 15) + 6x (x 2 + 6x - 15) - 8(x 2 +6x-15) = (x 2 + 6x - 15) (x 2 + 6x - 8). Vậy phơng trình đã cho viết thành: (x 2 + 6x - 15) (x 2 + 6x - 8) = 0 *Giải các phơng trình: x 2 + 6x - 15 = 0 và x 2 + 6x - 8 = 0 ta đợc phơng trình đã cho có bốn nghiệm: x 1 = -3 + 2 6 ; x 2 = -3 - 2 6 ; x 3 = - 3 + 17 ; x 4 = - 3 - 17 . 0,5đ 0,5đ III 2 1,0đ + Ta có: 4a 3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- ) 2 0 với mọi a thoả mãn -1 a1 + Từ đó 4a 1 3 - 3a 1 + 1 = 4(a 1 + 1) (a 1 - ) 2 0 4a 2 3 - 3a 2 + 1 = 4(a 2 + 1) (a 1 - ) 2 0 4a n 3 - 3a n + 1 = 4(a n + 1) (a n - ) 2 0 Vậy ta có : 4(a 1 3 + a 2 3 +.+ a n 3 ) - 3(a 1 + a 2 +.+a n ) + n 0 = 0 - 3(a 1 + a 2 ++ a n ) - n (a 1 + a 2 + .+a n ) đ. p. c/m. 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2 1 2 1 2 1 2 1 3 n 2 0 y y = x 2 ( x 1 ) - 1 x ( c ) A B Câu Nội dung Điểm IV IV 1 Gọi P,Q lần lợt là hình chiếu của 0 trên d và d Đặt diện tích 0EF = S Ta có P0E = 0FQ = (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Đặt 0P = a, 0Q = b Ta có 0E = , 0F = Do đó: S = vì a,b không đổi nên S nhỏ nhất khi 2sin cos lớn nhất. Vì sin , cos dơng nên 2sin cos sin 2 + cos 2 = 1 (BĐTcôsy) do đó Max (2sin cos) = 1 khi sin = cos. Vậy S nhỏ nhất khi sin = cos = 45 0 .Vậy E và F cần dựng thoả mãn P0E = 0FQ = 45 0 . * Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d). 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ VI 2 2đ Vì C đối xứng với A qua DB nên điều phải chứng minh S AIK = SNMIK S AIK= S AMN do IAN = IDN = 45 0 nên tứ giác IADN nội tiếp. Suy ra AI IN Tơng tự ta có AK KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp. Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra AKI AMN Do đó : = cos 45 0 = (tỷ số đồng dạng) Vậy: Suy ra điều cần chứng minh. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ cos a sin b cossin2 ab 2 1 AN AI AM AK = 2 1 2 1 . . = ANAM AIAK AMNS AIKS A B C D M N K I 45 0 A E P B d a b D F Q C d 0 = Câu Nội dung Điểm V Gọi H, K lần lợt là trung điểm của AB và chân đờng vuông góc hạ từ 0 xuống 0C. Ta có: 0H AB và hình chữ nhật 0HCK. Do đó AC 2 + BC 2 = ( ) 2 + = = 2[(R 2 - 0H 2 ) + (00 2 - 0K) 2 ] = (R 2 - 0H 2 ) + 2[R 2 - (R - 0H) 2 ] = 2R 2 - 40H 2 + 4R0H = = 2R 2 + R 2 - (R - 20H) 2 2R 2 + R 2 Vậy giá trị lớn nhất của AC 2 + BC 2 = 2R 2 + R 2 đạt đợc khi (R- 20H) 2 = 0 hay 0H = . Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là tiếp tuyến chung ngoài của các đờng tròn (0; R) và (0; ). ******* 0,25đ 0,5đ 0,25đ A B C O O H K HC AB + 2 HC AB 2 2 2 2 2 2 HC AB + 2 'R 2 'R . + Ta có: 4a 3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- ) 2 0 với mọi a thoả mãn -1 a1 + Từ đó 4a 1 3 - 3a 1 + 1 = 4 (a 1 + 1) (a 1 - ) 2 0 4a 2 3 - 3a 2 + 1 = 4 (a 2. 1) (a 1 - ) 2 0 4a n 3 - 3a n + 1 = 4 (a n + 1) (a n - ) 2 0 Vậy ta có : 4 (a 1 3 + a 2 3 +.+ a n 3 ) - 3 (a 1 + a 2 +. +a n ) + n 0 = 0 - 3 (a 1 + a 2