SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI HỌC KỲ II - LỚP 11 Năm học: 2015 - 2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu (1,0 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim n2 + 5n − ( x − 1)2 − x →0 x b) lim − 2n Câu (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x = −1 : x +1 f (x) = x + − x ≠ −1 x = −1 Câu (2,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + x )(5 − 3x ) b) y = 3sin x.sin x Câu (2,0 điểm) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 3x + giao điểm 1− x (C) với trục tung b) Chứng minh phương trình x + x − = có nghiệm dương nghiệm âm Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh rằng: SI ⊥ (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAD SBC tam giác vng c) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SD BC d) Gọi F trung điểm AD Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SFC) Hết - SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ II - LỚP 11 Năm học: 2015 - 2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Nội dung Câu (1,0 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim n + 5n − − 2n2 = lim Điểm − n n2 =− −2 n2 1+ 0,5 ( x − 1)2 − x2 − 2x = lim = lim ( x − 2) = −2 x →0 x →0 x →0 x x b) lim 0,5 Câu (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x = −1 : TXĐ: D = [ −2; +∞ ) Ta có: f (−1) = lim f ( x ) = lim x +1 x +1 f (x) = x + − x ≠ −1 x = −1 ( x + 1) ( x + + 1) = lim x →−1 x →−1 x +1 0,25 0,25 ( ) x + +1 = x + −1 ⇒ lim f ( x ) = f (−1) Vậy hàm số liên tục điểm x = −1 x →−1 x →−1 x →−1 = lim 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + x )(5 − 3x ) Ta có: y = −3 x − 3x + 5x + 5x ⇒ y ' = −12 x − x + 10 x + 0,5 0,5 b) y = 3sin x.sin x y ' = 6sin x cos x.sin x + 6sin x.cos3 x = 6sin x (cos x sin x + sin x cos3 x ) = 5sin x sin x 0,5 0,5 Câu (2,0 điểm) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = (C) với trục tung Giao (C) với Oy là: A ( 0;1) y' = ( x − 1) ⇒ k = f ' ( 0) = 3x + giao điểm 1− x 0,25 0,5 Phương trình tiếp tuyến (C) A là: y = x + 0,25 b) Chứng minh phương trình x + x − = có nghiệm dương nghiệm âm Đặt f ( x ) = x + x − ⇒ f ( x ) liên tục R f(0) = –2, f(1) = ⇒ f(0).f(1) < ⇒ PT có nghiệm c1 ∈ ( 0;1) f(–1) = 1, f(0) = –2 ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT có nghiệm c2 ∈ ( −1; ) 0,25 0,25 0,25 Dễ thấy c1 > 0, c2 < ⇒ phương trình cho có nghiệm dương 0,25 nghiệm âm Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh rằng: SI ⊥ (ABCD) Ta có: (SAB) ⊥ ( ABCD),(SAB) ∩ ( ABCD) = AB Vì ∆SAB tam giác I trung điểm AB nên SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) 0,5 0,5 b) Chứng minh tam giác SAD SBC tam giác vuông AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB ) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ ∆SAD vuông A AD ⊥ SI 0,5 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B BC ⊥ SI 0,5 c) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SD BC Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SD BC *) BC P AD ⇒ BC P (SAD ) *) Gọi M, N, Q trung điểm cạnh SA, SD, BC Ta có: MN P AD, BQ P AD MN = BQ = AD ⇒ MNQB hình bình hành ⇒ NQ P MB AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ MB mà BC//AD, NQ//MB nên BC ⊥ NQ AD ⊥ MB , MB ⊥ SA ⇒ MB ⊥ (SAD ) ⇒ MB ⊥ SD ⇒ NQ ⊥ SD Vậy NQ đoạn vng góc chung BC SD Tam giác SAB cạnh a nên MB = a a ⇒ d (BC , SD ) = NQ = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 d) Gọi F trung điểm AD Tính khoảng cách từ B đến (SFC) S C B B I K I A C H K D F A F D J a ả =C ,C +F = 90 D ả +F = 90 ⇒ ID ⊥ CF ∆ AID = ∆ DFC (cgc) ⇒ D 1 1 1 Tam giác SAB cạnh a nên SI = 0,25 Mặt khác: CF ⊥ SI ⇒ CF ⊥ (SIK ) ⇒ (SID ) ⊥ (SFC ) Mà (SID ) ∩ (SFC ) = SK nên hạ IH ⊥ SK d ( I ,(SFC )) = IH Ta có: ∆ KFD : ∆ AID ⇒ KD = Do đó: IK = ID − KD = AD.FD a = ID 0,25 a a 3a − = 10 ∆SIK vng I có IH đường cao nên ta có: 1 20 32 9a 3a 2 = + = + = ⇒ IH = ⇒ IH = 2 2 2 IH SI IK 3a 9a 9a 32 hay d (I ,(SFC )) = IH = 0,25 3a Trong mp(ABCD), kéo dài BA CF cắt J Ta có: AF / / BC ⇒ JA AF JI = = ⇒ = , đó: JB BC JB d ( I ,(SFC )) JI JB 3a a = ⇒ d (B,(SFC )) = d (I ,(SFC )) = = d (B,(SFC )) JB JI Hết - 0,25 ... ĐỀ THI HỌC KỲ II - LỚP 11 Năm học: 20 15 - 20 16 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Nội dung Câu (1,0 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim n + 5n − − 2n2 = lim Điểm − n n2 =− ? ?2 n2 1+ 0,5 ( x − 1 )2. .. 3a − = 10 ∆SIK vng I có IH đường cao nên ta có: 1 20 32 9a 3a 2 = + = + = ⇒ IH = ⇒ IH = 2 2 2 IH SI IK 3a 9a 9a 32 hay d (I ,(SFC )) = IH = 0 ,25 3a Trong mp(ABCD), kéo dài BA CF cắt J Ta có:... nghiệm c1 ∈ ( 0;1) f(–1) = 1, f(0) = ? ?2 ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT có nghiệm c2 ∈ ( −1; ) 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Dễ thấy c1 > 0, c2 < ⇒ phương trình cho có nghiệm dương 0 ,25 nghiệm âm Câu (4,0 điểm) Cho hình