Chuong 5

CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU • Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z ngược • Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc • Phân tích hệ thống ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z hai phía tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) định nghĩa sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ đó, z biến phức → Biến đổi Z chuyển tín hiệu thời gian rời rạc sang không gian phức (mặt phẳng z) • Biến đổi Z 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn chuỗi biến đổi hội tụ ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z phía tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) định nghĩa sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=0 • Biến đổi Z hai phía phía tín hiệu nhân giống ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • Vùng hội tụ (ROC) biến đổi Z tập giá trị z −𝑛𝑛 hội tụ cho chuỗi biến đổi ∑∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 • Tiêu chuẩn hội tụ biến đổi Z dựa định lý Cauchy: lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 < ↔ ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < ∞ 𝑛𝑛→∞ Lưu ý: Định lý Cauchy áp dụng cho chuỗi có dạng: ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 … Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • Tiêu chuẩn hội tụ biến đổi Z đạt cách áp dụng định lý Cauchy: 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑅𝑅𝑥𝑥+ đó: 𝑅𝑅𝑥𝑥− = lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = 1/ lim |𝑥𝑥(−𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ • ROC biến đổi Z miền bao hai đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− 𝑅𝑅𝑥𝑥+ tương ứng mặt phẳng Z Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • ROC biến đổi Z số tín hiệu đặc biệt:  Các tín hiệu có chiều dài hữu hạn: ROC toàn mặt phẳng Z trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0, 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞)  Các tín hiệu nhân có chiều dài vô hạn: ROC toàn mặt phẳng phía đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− (𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞)  Tín hiệu phản nhân có chiều dài vô hạn: ROC toàn miền bên đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥+ ngoại trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0) • ROC biến đổi Z phía ROC biến đổi Z hai phía tín hiệu nhân Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Các tính chất biến đổi Z • Tính tuyến tính: Ζ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝑥𝑥2 𝑛𝑛 • Tính dịch thời: = 𝛼𝛼 Ζ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽Ζ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ) = 𝑧𝑧 −𝑛𝑛0 𝑋𝑋(𝑧𝑧) • Co dãn mặt phẳng Z: 𝑍𝑍 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = 𝑋𝑋 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 với ROC là: 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥+ Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Tính phản xạ: với ROC là: Các tính chất biến đổi Z 𝑅𝑅𝑥𝑥+ Ζ 𝑥𝑥(−𝑛𝑛) = 𝑋𝑋(𝑧𝑧 −1 ) < 𝑧𝑧 < • Vi phân mặt phẳng z: • Tích chập: 𝑅𝑅𝑥𝑥− Ζ 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛) = 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑧𝑧) −𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑍𝑍 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 ∗ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 = 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 𝑋𝑋2 𝑧𝑧 • Tính tương quan: 𝑍𝑍 𝑟𝑟𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑛𝑛) = 𝑋𝑋1 (𝑧𝑧)𝑋𝑋2 (𝑧𝑧 −1 ) Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Các tính chất biến đổi Z phía • Tính trễ thời gian: Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 + ∑𝑘𝑘𝑚𝑚=1 𝑥𝑥 −𝑚𝑚 𝑧𝑧 𝑚𝑚−𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) • Tăng thời gian: 𝑘𝑘−1 Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 + 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 − � 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚+𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) • Định lý giá trị cuối: 𝑚𝑚=0 lim 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim(𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) 𝑛𝑛→∞ 𝑧𝑧→1 ROC (𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) chứa đường tròn đơn vị mặt phẳng Z Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 10 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (1) • Không tính tổng quát, giả thiết 𝑋𝑋(𝑧𝑧) biểu diễn dạng 𝑁𝑁(𝑧𝑧) đa thức hữu tỷ (𝑁𝑁(𝑧𝑧) 𝐷𝐷(𝑧𝑧) đa thức 𝑁𝑁(𝑧𝑧) 𝐷𝐷(𝑧𝑧) có bậc thấp bậc 𝐷𝐷(𝑧𝑧)) • 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 điểm cực X(z): 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 phương trình 𝐷𝐷 𝑧𝑧 = nghiệm 15 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (2) • Nếu 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 khác nhau, khai triển đa thức 𝑋𝑋(𝑧𝑧) sau: 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 đó, hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘 tính sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)|𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 16 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (3) • Trong trường hợp 𝑋𝑋(𝑧𝑧) có điểm cực bội, gọi 𝑠𝑠𝑘𝑘 số lần lặp điểm cực bội 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 , khai triển đa thức 𝑋𝑋(𝑧𝑧) sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑠𝑠=1 𝑠𝑠 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 đó, hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 tính sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑘𝑘 − 𝑠𝑠 ! 𝑠𝑠𝑘𝑘 −𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑘𝑘−𝑠𝑠 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧) |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 17 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược đa thức hữu tỷ (1) 𝑍𝑍 −1 𝑍𝑍 −1 𝑧𝑧 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| = � 𝑛𝑛 −𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(𝑛𝑛 − 1) =� 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(−𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 18 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược đa thức hữu tỷ (2) 𝑧𝑧 (𝑧𝑧 − 𝛼𝛼)𝑚𝑚+1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝛼𝛼 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑚𝑚! = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 − 𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑚𝑚! 𝑍𝑍 −1 Lưu ý: Sẽ dễ tính biến đổi Z ngược ta khai triển 𝑋𝑋(𝑧𝑧)/𝑧𝑧 thay cho X(z) 19 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.2 Biến đổi Z ngược Mối quan hệ với biến đổi Fourier • Biến đổi Fourier tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) biến đổi Z vòng tròn đơn vị mặt phẳng Z → biến đổi Fourier 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn ROC biến đổi Z chứa vòng tròn đơn vị • Ứng dụng: Tính biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược tín hiệu thời gian rời rạc thông qua biến đổi Z biến đổi Z ngược tương ứng 20 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Định nghĩa hàm truyền • Xét hệ thống LTI thời gian rời rạc có đáp ứng xung ℎ(𝑛𝑛), tức là: 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = ℎ 𝑛𝑛 ∗ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) • Thực biến đổi Z hai phía phương trình áp dụng tính chất tích chập biến đổi Z để đạt được: 𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋 𝑧𝑧 → 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋(𝑧𝑧) • 𝐻𝐻 𝑧𝑧 gọi hàm truyền hệ thống 21 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Định nghĩa hàm truyền • Một hệ thống LTI thời gian rời rạc thường biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số có dạng sau: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 𝑘𝑘=0 𝑟𝑟=0 � 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 = � 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 • Thực biến đổi Z hai phía phương trình trên, ta có: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 � 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = � 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑧𝑧 −𝑟𝑟 𝑋𝑋 𝑧𝑧 𝑘𝑘=0 𝑟𝑟=0 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 22 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Định nghĩa hàm truyền • Hàm truyền hệ thống xác định sau: 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑋𝑋(𝑧𝑧) −𝑟𝑟 ∑𝑀𝑀 𝑟𝑟=0 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑧𝑧 = ∑𝑁𝑁 𝑘𝑘=0 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 • Hàm truyền xác định hệ thống, dựa việc giải phương trình sai phân sử dụng biến đổi Z biến đổi Z ngược: 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍 −1 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧) 23 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Hàm truyền hệ thống kết hợp • Hệ thống kết nối nối tiếp 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻1 (𝑧𝑧)𝐻𝐻2 (𝑧𝑧) • Hệ thống kết nối song song: 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 + 𝐻𝐻2 𝑧𝑧 • Hệ thống có phản hồi âm: 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = + 𝐻𝐻1 (𝑧𝑧)𝐻𝐻2 (𝑧𝑧) • Hệ thống có phản hồi dương: 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = − 𝐻𝐻1 (𝑧𝑧)𝐻𝐻2 (𝑧𝑧) Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 24 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Cho hệ thống LTI thời gian rời rạc biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số sau: 𝑀𝑀 ∑𝑁𝑁 ∑ 𝑎𝑎 𝑦𝑦(𝑛𝑛 − 𝑖𝑖) = 𝑖𝑖=0 𝑖𝑖 𝑗𝑗=0 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑗𝑗) • Thực biến đổi Z phía cho hai vế phương trình trên, ta có: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 𝑖𝑖=0 𝑗𝑗=0 � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑧𝑧 −𝑖𝑖 𝑌𝑌1 (𝑧𝑧) + 𝐼𝐼(𝑧𝑧) = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑧𝑧 −𝑗𝑗 𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) Trong đó, 𝐼𝐼(𝑧𝑧) bao gồm điều kiện đầu 𝑛𝑛 = −1, −2, … , −𝑁𝑁 25 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Nhắc lại: đáp ứng 𝑦𝑦(𝑛𝑛) hệ thống LTI thời gian rời rạc nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, gồm có đáp ứng khởi đầu đáp ứng trạng thái 0: hoặc: 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦0 𝑛𝑛 + 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑛𝑛 𝑌𝑌1 𝑧𝑧 = 𝑌𝑌1 z + 𝑌𝑌1 𝑠𝑠 z 26 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.3 Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Đáp ứng trạng thái với tín hiệu nhân (tức là, 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋(𝑧𝑧) ): 𝑀𝑀 −𝑗𝑗 ∑ 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑗𝑗=0 𝑗𝑗 −1 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧) 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍 −1 𝑁𝑁 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 ∑𝑖𝑖=0 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑧𝑧 −𝑖𝑖 • Đáp ứng khởi đầu: 𝑦𝑦0 𝑛𝑛 = −𝑍𝑍 −1 𝐼𝐼(𝑧𝑧) −𝑖𝑖 ∑𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0 27 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.4 Phân tích hệ thống Phân tích tính ổn định • Một hệ thống LTI thời gian rời rạc ổn định hàm truyền hội tụ 𝑧𝑧 = → ROC 𝐻𝐻(𝑧𝑧) phải chứa đường tròn đơn vị, tức là, 𝑅𝑅ℎ− < < 𝑅𝑅ℎ+ • Với hệ thống nhân quả: 𝑅𝑅ℎ+ = ∞ → điều kiện để hệ thống ổn định 𝑅𝑅ℎ− < → tất điểm cực 𝐻𝐻(𝑧𝑧) phải nằm bên đường tròn đơn vị 28 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5.4 Phân tích hệ thống Phân tích tính ổn định • Một phương pháp khác để phân tích tính ổn định hệ thống nhân thời gian rời rạc biểu diễn hàm truyền: Tiêu chuẩn Jury  Không cần phải giải phương trình đặc trưng để tìm điểm cực  Bảng Jury tạo từ hệ số đa thức đặc trưng Bảng sử dụng để xác định tính ổn định hệ thống 29 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU [...]... trình 𝐷𝐷 𝑧𝑧 = 0 là các nghiệm của 15 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (2) • Nếu 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 khác nhau, khai triển đa thức của 𝑋𝑋(𝑧𝑧) như sau: 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 trong đó, các hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘 được tính như sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)|𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 16 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến... Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 2: Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa • Nếu 𝑋𝑋(𝑧𝑧) có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa của 𝑧𝑧 −1 như sau: −𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑+∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝑧𝑧 khi đó ta có 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝑛𝑛 • Phương pháp: sử dụng phép chia đa thức • Lưu ý: ROC của 𝑋𝑋(𝑧𝑧) quyết định dạng của chuỗi lũy thừa 14 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính.. .5. 2 Biến đổi Z ngược • Định lý tích phân Cauchy: 1 ∮ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶 𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 1(𝑛𝑛 = 0) =� 0(𝑛𝑛 ≠ 0) trong đó, C là một đường khép kín theo chiều dương bao xung quanh tọa độ góc trong mặt phẳng Z • Biến đổi Z ngược được tính bằng cách áp dụng định lý tích phân Cauchy: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1 ∮ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 11 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính toán... 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑘𝑘−𝑠𝑠 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧) |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 17 5. 2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược của đa thức hữu tỷ (1) 𝑍𝑍 −1 𝑍𝑍 −1 𝑧𝑧 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| = � 𝑛𝑛 −𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 1 𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(𝑛𝑛 − 1) =� 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(−𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 18 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược của đa thức hữu tỷ (2) 𝑧𝑧 (𝑧𝑧 −... UET - VNU 22 5. 3 Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc Định nghĩa hàm truyền • Hàm truyền của hệ thống khi đó được xác định như sau: 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑋𝑋(𝑧𝑧) −𝑟𝑟 ∑𝑀𝑀 𝑟𝑟=0 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑧𝑧 = ∑𝑁𝑁 𝑘𝑘=0 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 • Hàm truyền xác định một hệ thống, và dựa trên việc giải phương trình sai phân sử dụng biến đổi Z và biến đổi Z ngược: 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍 −1 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧) 23 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 3 Hàm truyền... cho cả hai vế của phương trình trên, ta có: 𝑁𝑁 𝑀𝑀 𝑖𝑖=0 𝑗𝑗=0 � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑧𝑧 −𝑖𝑖 𝑌𝑌1 (𝑧𝑧) + 𝐼𝐼(𝑧𝑧) = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑧𝑧 −𝑗𝑗 𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) Trong đó, 𝐼𝐼(𝑧𝑧) bao gồm các điều kiện đầu tại 𝑛𝑛 = −1, −2, … , −𝑁𝑁 25 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 3 Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Nhắc lại: đáp ứng 𝑦𝑦(𝑛𝑛) của một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nghiệm tổng quát của một phương... Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 3 Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Đáp ứng trạng thái 0 với một tín hiệu nhân quả (tức là, 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋(𝑧𝑧) ): 𝑀𝑀 −𝑗𝑗 ∑ 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑗𝑗=0 𝑗𝑗 −1 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧) 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍 −1 𝑁𝑁 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 ∑𝑖𝑖=0 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑧𝑧 −𝑖𝑖 • Đáp ứng khởi đầu: 𝑦𝑦0 𝑛𝑛 = −𝑍𝑍 −1 𝐼𝐼(𝑧𝑧) −𝑖𝑖 ∑𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0 27 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 4 Phân tích hệ thống Phân... của phương trình trên và áp dụng tính chất tích chập của biến đổi Z để đạt được: 𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑋𝑋 𝑧𝑧 → 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝑋𝑋(𝑧𝑧) • 𝐻𝐻 𝑧𝑧 được gọi là hàm truyền của hệ thống 21 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 3 Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc Định nghĩa hàm truyền • Một hệ thống LTI thời gian rời rạc thường được biểu diễn bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: 𝑁𝑁... 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 • Nếu điểm cực 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là điểm cực đơn, thì thặng dư được tính như sau: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑘𝑘 12 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 5. 2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 1: Sử dụng lý thuyết thặng dư Cauchy (2) • Nếu điểm cực 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là điểm cực đơn, thì thặng dư được tính như sau: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 = 𝑧𝑧 −... nối song song: 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 + 𝐻𝐻2 𝑧𝑧 • Hệ thống có phản hồi âm: 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 1 + 𝐻𝐻1 (𝑧𝑧)𝐻𝐻2 (𝑧𝑧) • Hệ thống có phản hồi dương: 𝐻𝐻1 𝑧𝑧 𝐻𝐻 𝑧𝑧 = 1 − 𝐻𝐻1 (𝑧𝑧)𝐻𝐻2 (𝑧𝑧) Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU 24 5. 3 Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc Giải phương trình sai phân tuyến tính • Cho một hệ thống LTI thời gian rời rạc được biểu diễn bởi phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng như sau: