Sang kien kinh nghiem

Phòng gd-Đt huyện Xuân trờng Trờng THCS Xân Hồng Báo cáo sáng kiến Tên sáng kiến: Một số bài tập về bất đẳng thức Tác giả: Nguyễn bá long Ngề nghiệp: Giáo viên Chức vụ: Tổ trởng tổ Toán-Lý Xuân Hồng, ngày 10 tháng 5 năm 2008 1 Tên sáng kiến: Một số bài tập về bất đẳng thức Tác giả: Nguyễn bá long Trình độ chuyên môn: Cử nhân cao đẳng Nơi công tác: Trờng THCS Xuân Hồng-Xuân Trờng-Nam Định Đơn vị áp dụng sáng kiến: Trờng THCS Xuân Hồng . 2 A. Đặt vấn đề Trong một lớp học có nhiều đối tợng học sinh. Mỗi em có những yêu thích khác nhau đối với các bộ môn. Hiện nay có rất nhiều học sinh yêu thích và ham mê học bộ môn toán. Cũng có những em đợc cha mẹ định hỡng cho học bộ môn toán từ rất sớm để theo chuyên ngành tự nhiên. Tuy nhiên những học sinh có năng khiếu toán thờng thích làm nhiều số lợng bài tập toán, và thích giải những bài toán khó con thờng và xem nhẹ những bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập. Do đó hay bị mất kiến thức cơ bản hoặc những kĩ năng tính toán trình bày vẽ hinh không tốtVì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần yêu cầu các em nắm vng những đơn vị kiến thức cơ bản và giảI tốt trình bày tốt các bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập rồi mới làm các bài tập nâng cao. Trong quá trình dạy bồi dỡng cho những học sinh yêu thích bộ môn toán cũng nh trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi tôI thờng chia ra lam nhiều loại bài tập theo nhng chuyên đề khác nhau giúp các em nắm bắt và hình thành tri thức toán học một cách sâu sắc. Từ đó có đợc những suy luận đúng trong quá trình học toán. ở đề tài này tôI chỉ xin trình bày một số bài tậpvề chuyên đề bất đẳng thức mà tôI đã thực hiện khá hiệu quả trong quá trinh giảng dạy. Riêng phần các bài tập chứng minh Bất đẳng thức các em học sinh ở trờng THCS ít đợc tiếp xúc. Tuy nhiên với kiến thức và tầm suy luận của các em với nh- ng em học sinh yêu thích môn toán) thì các em hoàn toàn có thể nắm đợc nội dung và cách làm bài tập về chng minh Bất đẳng thức. Các bài tập về chứng minh BĐT thờng khá trừu tợng đối với học sinh THCS nhng nếu chia bài tập ra thành từng thể loại và đợc trinh bày tù dễ đến khó. Giáo viên chỉ ra cách suy luận cho học sinh thì các em cũng có thể nắm đợc và làm đợc bài tập về chứng minh BĐT một cách dễ dàng. Sau đây tôI xin trình bày cách sắp xếp và hớng dân cho học sinh sử dụng phép biến đổi tơng đơng đơng, và các phép biến đổi đẳng thức cơ bản mà học sinh đã đ- ợc hcọ trong chơng trình THCS đễ giảng một số bài tập về bất đẳng thức. 3 B. Phơng pháp nghiên cứu, và tài liệu sủ dụng 1,Phơng pháp nghiên cứu. Dựa trên cơ sơ giảng dạy và kinh nghiệm thực tiễn Bồi dờng học sinh giỏi. Qua nhiều lần trao đổi và hội thảo chuyên đề cùng tổ chuyên môn. Kiểm tra đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh. Tham khảo ý kiến cur đông nghiệp và Ban giám hiệu. Thống kê, tổng hợp các kết quả theo tng năm học. 2, Tài liệu tham khảo: +, Sách giáo khoa, sách bài tập lớp 8, lớp 9 THCS. +, Phơng pháp dạy học môn toán_CĐSP. +, Sách nâng cao chuyên đề lớp 9. 4 C. Nội dung Dùng phép biến đổi tơng đơng a >b a b > 0 dể chứng minh bất đẳng thức trớc tiên ta đa ra một số bất đẳng thức cơ bản mẫu mực Bài tập 1: Chứng minh rằng 2 x y y x + với x,y cùng dấu. Giáo viên cho học sinh nhận xét và đa ra cach làm, hớng cho các em biến đổi tơng đơng để đI đến một bát đẳng thức luôn đúng. Giải: 2 x y y x + 2 0 x y y x + 2 2 2 0 x y xy xy + ( ) 2 0 x y xy điều này luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi x = y Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Lu ý cho học sinh khi chứng minh bất đẳng thức ta phảI chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào. Vẫn dung phép biến đổi tơng đơng nh trên ta có thể áp dụng để chứng minh BĐT a a c c b b d d + < < + bằng cách chứng minh a a c b b d + < + luôn đúng và a c c b d d + < + luôn đúng. Bài tập 2: Với b>o, c>0 và a c b d < Chứng minh rằng: a a c c b b d d + < < + Giải: Ta có a a c b b d + < + 5 ( ) ( ) a b d b a c ab ad ba bc ad bc a c b d + < + + < + < < điều nay đúng theo giả thiết. Tơng tự có: a c c b d d + < + ( ) ( ) a c d c b d+ < + ad + cd < cb + cd ad < cb a c b d < đúng theo giả thiết Vậy a a c c b b d d + < < + điều phải chứng minh. Vẫn dùng phép biến đổi tơng đơng nhng ta có thể giúp các em phát hiện và sử dụng các kiến thức khác đã biết để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn nh BĐT trong tam giác. Bài tập 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2a b c ab bc ca+ + > + + Giải: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: , ,a b c b c a c a b> > > Bình phơng 2 vế của từng BĐT đợc: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2a b bc c b c ca a c b ba a> + > + > + Cộng hai vế của ba BĐT tơng ứng đợc: ( ) 2 2 2 2a b c ab bc ca+ + > + + Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Một só bài tập dùng phép biến đổi bất đẳng thức tơng đơng nhng sau đó các em phải tiếp tục sử dụng tốt các phép biến đổi đẳng thức thì mới đi đến kêt luận đ- ợc. 6 Bài tập 4: a, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + + b, Chứng minh rằng với a>0, b>0, c>0 thì . . m m n p p n a b a b a b+ + Trong m, n, p là các số nguyên dơng và m = n+p Giải: a, Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6 0a b b c c a abc+ + + + + Mà ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc+ + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6a a b b b c c c a abc+ + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a abc b c b bca c a c cab a b + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0a bc b ca c ab + + Vậy đẳng thức đợc chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c b, Ta có: . . m m n p p n a b a b a b+ + . . 0 m m n p p n a b a b a b+ mà . . m m n p p n a b a b a b+ = . . n p n p n p p n a b a b a b + + + = . . . n p n p n p p n a a b b a b a b+ = . . . n p n p n p p n a a a b b b a b + = ( ) ( ) n p p n p p a a b b b a + = ( )( ) p p n n a b a b +, Nếu a > b thì 0 p p a b và 0 n n a b + Nếu a b thì 0 p p a b và 0 n n a b Vậy ( )( ) 0 p p n n a b a b hay . . m m n p p n a b a b a b+ + điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b Có thể chỉ cho các em thấy nếu đã nắm vững các phép biến đổi đẳng thức, nắm vững và vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ thì việc chứng minh và làm các bài tập vê chứng minh cá bất đẳng thức cũng không khó khăn từ đó chỉ cho các em thấy việc quan trọng là nắm vững các kiến thức cơ bản. 7 Bài tập 5: a, chứng minh rằng với a,b,c là các số không âm thì 3 3 3 3a b c abc+ + b, Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + + + + Giải: a, Ta có 3 3 3 3a b c abc+ + 3 3 3 3 0a b c abc+ + Mà 3 3 3 3a b c abc+ + 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3a a b ab b a b ab abc c= + + + + ( ) ( ) 3 3 3a b c ab a b c= + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3a b c a b a b c c ab a b c = + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 3a b c a ab b ac bc c ab = + + + + + + ( ) 2 2 2 a b c a b c ac ab bc = + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a b c a ab b b bc c c ac a = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 a b c a b b c c a = + + + + Do a, b, c 0 nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0; 0; 0; 0a c b c c a a b c + + Vậy 3 3 3 3 0a b c abc+ + hay 3 3 3 3a b c abc+ + điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c b, Ta có ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 0a b c d e a b c d e+ + + + + + + Mà 2 2 2 2 2 a b c d e ab ac ad ac+ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2. . . 2. . . 2. . . 2. . . 4 2 4 2 4 2 4 2 a a b b a a c c a a d d a a e e= + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 a b a c a d a e = + + + + + + + ữ ữ ữ ữ Vậy ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + + + + điều phải chứng minh 8 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = e = 0 Sau khi chứng minh đợc bài toán này giáo viên tiếp tục đa ra bài tập 1, Với a, b, c 0 chứng minh rằng 3 3 a b c abc + + (BĐT cosi cho 3 số không âm) 2, Với a, b, c, d 0 chứng minh rằng 4 4 a b c d abcd + + + Giáo viên yêu cầu học sinh áp dụng các bài toán trớc để làm bài tập này, từ đó, chỉ cho học sinh cách áp dụng và phát triển các bài toán có thể dễ dàng, tiếp thu đợc nhng tri thức mới một cách sáng tạo. Bài tập 6: Chứng minh rằng với a, b, c dơng thì ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ Vì đã có cách giải của các bài tập trớc nên ta có thể cho học sinh suy nghĩ áp dụng các bài tập đã học vd: ( ) 3 3a b c abc+ + và 3 1 1 1 1 1 1 3 . . a b c a b c + + ữ suy ra điều phải chứng minh Giải: áp dụng bài tập 3 tacó : ( ) 3 3a b c abc+ + và 3 1 1 1 1 1 1 3 . . a b c a b c + + ữ Nên suy ra: ( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 3 .3 9a b c abc a b c a b c + + + + ữ vậy ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải khác. Cách khác: ( ) 1 1 1 a b c a b c + + + + ữ = a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + = 3 b a c a c b a b a c b c + + + + + + ữ ữ ữ 9 9 VËy ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   ®iÒu ph¶i chøng minh DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c 10 [...]... nghiên cứu là nhiêm vụ khó khăn đòi hỏi ngời giáo viên phải phảI liên tục nghiên cứu tìm tòi sang tạo thì mới đáp ứng đợc yêu cầu đổi mới Trong đề tài chỉ là kinh nghiệm rút ra từ thực tiễn giảng dạy chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót rất mong cấp trên cung nh các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôI đợc rút kinh nghiệm vận dụng trong quá trình giảng dạy thêm hiệu quả, chất lợng hơn Tôi xin chân . viên phải phảI liên tục nghiên cứu tìm tòi sang tạo thì mới đáp ứng đợc yêu cầu đổi mới. Trong đề tài chỉ là kinh nghiệm rút ra từ thực tiễn giảng dạy chắc. cứu, và tài liệu sủ dụng 1,Phơng pháp nghiên cứu. Dựa trên cơ sơ giảng dạy và kinh nghiệm thực tiễn Bồi dờng học sinh giỏi. Qua nhiều lần trao đổi và hội