đề tài cấp II

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học phần I : đặt vấn đề K hi giải hoàn thành toán nói chung toán hình nói riêng Các em học sinh thờng thỏa mÃn đà làm đợc Rất em trăn trở suy nghĩ tiếp nh : a, Còn giải cách không ? Còn trình bầy ngắn gọn không ? b, Cũng giả thiết kết luận ( Chứng minh) đợc c, Và cuối thay đổi hay vài điều kiện giả thiết Thì kết luận thu đợc có đặc biệt Rõ ràng tự giác làm đợc công việc sau giải toán hình vô có ý nghĩa Nó tạo cho em thói quen tốt sau giải xong công việc nhằm đánh giá nhận xét mức, đà làm, cha làm đợc Để từ rút học bổ ích cho Thiết nghĩ cách học, cách hiểu thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động sáng tạo Tuy nhiên thùc tÕ ®a sè häc sinh cha cã thãi quen làm nh vậy, mà có hình thức mà Do ngời giáo viên dạy toán cần phải hớng dẫn cho học sinh thờng xuyên thực công việc này, đặc biệt em có lực môn Từ suy nghĩ đà trăn trở mạnh dạn đa hớng: Phát triển toán hình Nhằm giúp em tạo thói quen tốt sau giải toán , đồng thời giúp em yêu thích môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm lực t Cùng đồng nghiệp tham khảo cách tự "Thiết kế" tập từ tập đà biết phần II : néi dung I/ C¬ së lý luËn Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Chúng ta đà biết: Trong chơng trình toán môn hình học, em đà đợc làm quen với định lý tính chất ba đờng trung tuyến tam giác Định lý: Trong tam giác ba đờng trung tuyến qua điểm, khoảng cách từ điểm đến đỉnh có độ dài 2/3 độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh Về phần chứng minh định lí SGK - HH7 đà chứng minh cụ thể Tuy nhiên mạnh dạn đa cách chứng minh khác, sở ta suy xét tiếp toán: Chứng minh: A C1 B G B1 A1 C Gi¶ sư ta gọi AA1 , BB1, CC1 Là trung tuyến tam giác ABC ( A1, B1, C1 lần lợt trung điểm BC, CA, AB ) Ta phải chứng minh AA1 , BB1, CC1 cung qua điểm Thật : Gọi AA1 cắt BB1 G (Ta kÝ hiƯu S lµ diƯn tÝch SABC : đọc diện tích tam giác ABC ) Ta có: SABC 1= SACA1 ( Hai tam giác có chung đờng cao hạ từ A đáy BA1 = CA1 nªn diƯn tÝch cđa chóng b»ng nhau) Tõ chøng minh ta có kết luận: Trong tam giác đờng trung tuyến chia tam giác thành hai phần cã diƯn tÝch b»ng vµ b»ng diƯn tÝch tam gi¸c Êy”(*) Tõ kÕt luËn (*) ta suy ra: SAC A1= SBC B1 (= SABC ) Nhng: S ACA1= SGAB1 + S GA1C B1 S BC B1= SGBA1 + S G A1C B1 Kinh NghiÖm Vậy : Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học S GAB1 = SGBA1 ( ) Lại ¸p dơng kÕt ln (*) th× : SGAB1 = SGC B1 ( = SGBA1 = SGC A1 ( = 2 S GAC ) S GBC ) (2) Tõ (1), (2) Suy : S GAB1 = S GC B1 =S GC A1 ThÕ th× : S GAC = SACA1 Nhng l¹i cã ∆GAC, ∆ACA1 có chung độ dài đờng cao hạ từ C, gọi h chẳng hạn Vậy ta có : GA h = AG = (3) AA1 BG cã : BB = AA1 h Suy ra: Tơng tự chứng minh trênta Bây ta giả sử AA1 cắt CC1 G' Chøng minh t¬ng nh vËy tù ta cịng cã : AG ' = AA1 (4) Tõ (3) (4) Suy AG' = AG ABC xác định nên G' trùng với G Chứng tỏ : Ba đờng trung tuyến tam giác qua điểm, khoảng cách từ điểm đến đỉnh độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh ( Giao điểm gọi trọng tâm tam giác) ( Chú ý: Cách giải hoàn toàn phù hợp với học sinh lớp Bởi bậc tiểu học em đà học công thức tính diện tích số hình có Tam giác) Nếu ta dừng lại chẳng nói làm Điều đợc tập đà giải xong Tuy nhiên đà trình bày trên, việc hớng dẫn cho học sinh cần phải có thời gian phù hợp đủ để nhìn nhận, đánh giá đà làm đợc, cha làm đợc, góc độ khác chẳng hạn: Bài toán giải theo hớng hay không ? Bài toán giữ nguyên giả thiết kết luận thêm đợc nữa? Bài toán đặc biệt hóa giả thiết (và ngợc lại tổng quát hóa giả thiết) số điều kiện ( đợc) thu đợc kết luận nào? Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Riêng hai vấn đề nêu có tính chất làm ví dụ dành cho bạn đọc Còn nội dung chủ yếu Kinh nghiệm suy nghĩ đa hớng Phát triển Đó nội dung hớng thứ ba II Nội dung biện pháp Quay lại toán ta đà chứng minh đợc: Trong Tam giác ABC trung tuyến AA1,,BB1 , CC1 qua điểm G và: Nh thì: GA GB GC = = = AA1 BB1 CC1 GA GB GC = = = AA1 BB1 CC1 GA1 GB1 GC1 1 + + = + + =1 AA1 BB1 CC1 3 Do đó: (5) Phát triển I: Từ toán suy xét thêm ta thấy: Tuy Tam giác ABC nhng AA1,,BB1 , CC1 Là ba trung tuyến Tam giác - Là ba đờng đặc biệt, nên G có tính chất đặc biệt nh nghĩa mà ta có đẳng thức ( 5) Bây chuyển đặc biệt hóa thành khái quát rằng: Giả sử đờng AA1,,BB1 , CC1 Tam giác ABC cïng ®i qua mét ®iĨm K bÊt kú n»m trong ABC Đẳng thức (5) có thay đổi theo Thật vậy: Cho K điểm cña ∆ABC ( K n»m ∆ABC) Gäi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1,,B1 , C1 A B1 C1 B H H1 C A1 Ta gäi S lµ diƯn tÝch ∆ABC, S1 lµ diƯn tÝch Tam giác KBC ,S2 dt KCA ,S3 dt KAB ,hb ,hc độ dài đờng cao cđa ∆ABC øng víi c¹nh :BC, CA , AB gọi h1, h2, h3 lầnlợt độ dài đờng cao cđa ∆KBC, ∆ KCA , ∆KAB h¹ tõ K ta cã: S= BC.ha = CA hb = AB.hc (6) Kinh NghiÖm S1 = Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học 1 AB.h3 (7) S h3 S h2 = ; S =h S hb c BC.h1 , S2 = CA.h2 , S3= S h Tõ (6) vµ (7) ta cã S1 = h1 ; Tiếp tục kẻ AH a vuông góc với BC H , KH1 vuông góc với BC H1 Suy ∆ AHA1 cã AH // KH1 ( cïng v«ng vãi gãc BC) KH KA VËy ta cã : AH1 = AA1 Do ®ã: hay KA1 h1 = AA1 ( Do ta gäi độ dài đờng cao ABC ứng với cạnh BC h1là độ KA S dài đờng cao KBC hạ từ K ) Do AA1 = S1 KB1 S = BB1 S T¬ng tù ta còng cã: KA KB S KC , CC1 = S KC S S S Tõ ®ã suy ra: AA1 + BB1 + CC1 = S1 + S2 + S = 1 S1 + S + S S Nhng S1 +S2 + S3 = SKBC + SKcA +SKAB = SABC = S VËy S1 + S2 + S3 S = =1 S S KA KB KC S Chøng tá r»ng : AA1 + BB1 + CC1 = S = 1 1 So sánh (5) (5.1) ta thấy cần ®iỊu kiƯn ba ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua ba đỉnh tam giác đồng qui điểm (*) đẳng thức ( 5) Nhng rõ ràng giải đợc toán mức độ đòi hỏi hiểu biết học sinh phải cao nhiều từ ta có toán mới: Bài toán I : Cho K điểm ABC gọi AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1 Chøng minh r»ng: KA1 KB1 KC1 S + + = =1 AA1 BB1 CC1 S TiÕp tục không dừng lại đây, ta lại suy xét thêm toán tơng tự nh từ toán ban đầu ta đà mở rộng thêm toán toán Bây từ kết toán ban đầu ta có: AA1 GA1 BB1 = GB1 CC1 = GC1 =3 Kinh NghiƯm Híng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Thế ta có hớng phát triển khác Phát triển II : Tõ nhËn xÐt trªn ta suy AA1 BB1 CC1 3 + + = + + =9 GA1 GB1 GC1 1 (8) Së dÜ có đẳng thức (8) G điểm đặc - trọng tâm Tam giác Vậy vấn đề đặt thay đặc biệt vị trí điểm G thành khai quát thành điểm K Tam giác Thì đẳng thức (8) có không, hay ta thu đợc điều (*) Chỉ xét điểm đồng quy Tam giác ThËt vËy : ta cịng gäi K lµ mét ®iĨm bÊt kú ∆ABC gäi AK, BK, CK lÇn lợt cắt BC, CA, AB A1, B1, C1.Theo phát triÓn I ta KA1 S1 KB1 S = = , AA1 S BB1 S AA1 BB1 CC1 S S S + + = + + KA1 KB1 KC1 S1 S S cã: KC1 S = CC1 S , Vậy suy ra: Để cho toán khó thêm chút , ta tạo tiếp nút kiến thức chẳng hạn: Do: S = S1 + S2 + S3 ( Trong ph¸t triĨn ) Nªn : S + S3 S3 S S S1 + S + S = = 1+ =1+ S2 + S S1 S1 S1 1 S1 S S1 S S S = 1+ + , S = 1+ S + S S2 S2 S2 3 S Do ®ã: + S1 S + S2 S = 3+ S3 S2 S1 + S1 S2 + , t¬ng tù : S3 S1 S1 + S3 + S2 S3 S3 + S2 Nhng ta chó ý K nằm ABC nên diện tích KBC, KCA, KAB số dơng Mặt khác đại số ta có: (a-b)2 ∀ a, b ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ∀ a, b ⇒ a b + b a ≥ ∀ a, b > (*) dÊu " = " xảy a= b áp dụng (*) vào ta cã: S S S S S AA BB S 3 3+ S + S2 + S + S + S + S ≥ 3+2+2+2 =9 3 DÔ thÊy dÊu “=” xẩy S1 = S2 = S3 điều có đợc K trùng G CC Do đó: KA1 + KB1 + KC1 ≥ (8.1) So s¸nh (8) vµ (8.1) Ta thÊy (8) 1 chØ lµ trờng hợp đặc biệt (8.1) Từ ta có toán Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Bài toán II : Chứng minh rằng: Nếu K điểm ABC AK, BK,CK lần lợt cắt AA BB CC BC, CA, AB A1 ,B1, C1 lu«n cã: KA1 + KB1 + KC1 ≥ 1 Suy xét tiếp tục toán ban đầu cã : GA GB GC = = = AA1 BB1 CC1 GA GB GC Suy ra: GA = GB = GC 1 GA GB GC VËy : GA + GB + GC 1 =2 = + 2+ = (9) Phát triển III : Từ đẳng thức (9) vấn đề đặt không hạn chế G mà thay G ( Trọng tâm) điểm K Tam giác, kết thu đợc có AA BB CC đặc biệt so với (9) Thật ph¸t triĨn II ta cã: KA1 + KB1 + KC1 1 Lợi dụng bất đẳng thøc nµy ta suy xÐt tiÕp DƠ thÊy mn cã KA ta lấy hiệu AA1 KA1 Từ ta bớt vế bất đẳng thức đơn vị ta đợc: A B1 C1 B C A1 AA1 BB CC - 1+ KB1 - 1+ KC1 - 1≥ -3 KA1 1 AA1 − KA1 BB1 − KB1 CC1 − KC1 ⇔ + KB + KC KA1 1 KA KB KC 1 ≥6 ⇔ KA + KB + KC ≥ (9.1) So sánh (9) (9.1) ta thấy rõ ràng (9) trờng hợp đặc biệt (9.1) mà thô Nh ta có toán tổng quát toán mới: Bài toán III : Cho K điểm ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1 ,B1, C1 Chứng minh r»ng : KA KA1 KB KC 1 + KB + KC ≥ Kinh NghiƯm Híng Ph¸t Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Cứ tiếp tục suy xét tiếp toán phát triển tiếp Phát triển IV : Trong baì toán ban đầu ta cã : GA AA1 GA1 GB1 GC1 = = = GA GB GC GA1 GB1 GC1 1 + + = + 2 GA GB GC GB GC 1 = BB = CC = ThÕ th× : Suy + = (10) Có đợc đẳng thức (10) G trọng tâm ABC Bây giê nÕu ta thay G bëi mét ®iĨm K bÊt kú ∆ABC th× tỉng KA1 KA + KB1 KB + KC1 KC Có đặc biệt so với (10) KA S Ta suy xÐt tiÕp nh sau: v× AA1 = (Trong ph¸t triĨn 1) S KA S KA S Suy ra: AA − = S −1S ⇔ AA1 = S −1S KA1 1 1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 VËy S KA1 KA = S +1 S S3 S KB1 KC1 = S +2 S , =S +S KB KC 1 S1 S KA1 KB1 KC1 + + = S + S + S +2 S KA KB KC 3 Tơng tự: Do đó: S3 +S +S Ta tiÕp tơc ph¸t triĨn tiÕp toán để toán khó thêm, giải đòi hỏi ngời làm toán phải hiểu biết kiến thức rộng Chẳng hạn nh ta đà chứng minh đợc: a b + ≥2 b a víi mäi a,b > d©ó (=) a = b b c c a + ≥ víi mäi a,b,c > a c b+c a+c a+b Nªn: a + b + c ≥ víi mäi a,b,c > b+c a+c a+b ⇔ a +1+ b +1+ c +1 ≥ + a+b+c a+b+c a+b+c ⇔ a + b + c ≥ 1 1 ⇔(a+b+c)  a + b + c  ≥ (**) víi mäi a,b,c >   ThÕ th× : c + b ≥ , b = c S S S3 S S dÊu (=) sÈy a = S3 L¹i cã: S +1 S + S +2 S + S + S = S +1 S +1+ S +2 S +1+ S + S +1-3 3 1 2 3 1 S1 + S + S = S +S S1 + S + S + S +S S1 + S + S + S +S -3 Kinh NghiƯm Híng Ph¸t TriĨn T Duy Qua Bài Toán Hình Học 1  + + -  + S S + S S + S1   1  = ( S1 + S + S + S + S + S1 )  S + S + S + S + S + S  -3 2 3 1  = (S +S +S )  S Nhng S1, S2 , S3 số dơng nên theo (**) ta l¹i cã: ( S + S + S + S + S + S1 )   1  + +   S1 + S S + S S + S1  VËy : ( S1 + S + S + S + S + S1 )  1 + +    S1 + S S + S S + S1  ≥9 ≥ – Hay: S1 S2 + S3 S S + S +2 S + S + S ≥ 1 2 KB1 KB (10.1) .9 - = Nªn: KA1 KA + + KC1 ≥ KC Tõ (10) vµ (10.1) ta thÊy r»ng (10) chØ lµ mét trêng hợp đặc biệt (10.1) mà Điều G trờng hợp đặc biệt K Từ ta có toán mới: Bài toán IV Chứng minh rằng: Nếu K điểm ABC AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1 ,B1, C1 thì: KA1 KA + KB1 KB + KC1 ≥ KC Phát triển V : Trong toán ban đầu ta cã : GA AA1 AA1 GA GB GC 1 AA BB Suy ra: = GA GB 3 + + = (11) 2 2 = BB = CC = + BB1 GB + CC1 GC = = CC1 GC = Do : Cũng lý luận nh thay điểm G ( Đặc biệt ) điểm K (Bất kỳ) ABC kết thu đợc có đặc biệt (11) không ? Thật vậy: Trong ABC gọi K điểm bất kỳ, AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1,B1,C1 Ta kẻ KD vuông góc với AH D, kẻ AH vuông góc với BC H, kẻ KH1 vuông góc víi BC t¹i H1 Ta cã: ∆AHA1 ~ ∆ADK(g.g) Do ®ã suy ra: AA1 AH = KA = AD - h1 Kinh NghiƯm Híng Ph¸t TriĨn T Duy Qua Bài Toán Hình Học A B1 C1 C A1 B VËy: AA1 KA = * * BC S = = S −S 1 * * BC − * h1 * BC 2 ha - h1 AA1 Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 Nªn S = KA S + S3 S S AA1 = S − S = S + S T¬ng tù ta cịng cã: KA BB1 CC S S = , KC1 = S + S Do ®ã : KB S + S1 VËy : AA1 KA AA1 KA = BB1 KB BB + KB + CC1 KC CC + KC + =S S S S + + S + S S + S1 + S2 Vì S = S1 + S2 + S3 Nên: 1  + +  ( S1 + S + S )  + S S + S S + S1  [ S1 + S + S + S + S + S1 ]  + +  ≥   2  S1 + S S + S S + S1  =S ( Theo ph¸t triĨn ) VËy AA1 BB1 CC1 + + ≥ *9= KA KB KC (11.1) So sánh (11) (11.1) ta thấy rõ ràng (11.1) bao hàm (11) Hay nói cách khác toán ban đầu trờng hợp toán mà Ta có toán mới: Bài toán V Cho K điểm ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 Chøng minh r»ng: AA1 BB1 CC1 + + ≥ KA KB KC Cứ tiếp tục nh ta phát triển toán từ dấu hiệu toán ban đầu Vì r»ng: GA GB GC = = =2 GA1 GB1 GC1 ta lại suy xét tiếp Phát triển VI: Từ kết ta suy rằng: 10 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học GA GB GC * * = 2*2*2 = GA1 GB1 GC1 (12) B©y giê nÕu thay träng t©m G bëi điểm K Tam giác ABC Thì kết thu đợc so với ( 12 ) có đặc biệt (?) Từ suy nghĩ ta lại biến đổi tiếp tục Do: KA1 S1 = KA S + S KB1 , = KB ( theo ph¸t triĨn 4) VËy: KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 S2 , ,, S3 +S1 KC1 = KC S3 S1+ S2 S + S S1 + S S1 + S * * S2 S3 = S Nhng v×: a2+b2 ≥ ab ∀ a,b Suy : x + y ≥ x.y ∀ x,y ≥ (**) ¸p dơng : (**) ta cã S1+S2 ≥ S1 S S1+S3 ≥ S1 S S2+S3 ≥ S S Nªn: ( S1+S2 ) (S2+S3) (S1+S3) ≥ (S1.S2.S3)2 Vì S1, S2 , S3 số dơng nên ( S1+S2 ) (S2+S3) (S1+S3) S1 S2 S3 VËy Hay: KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 ≥ KA KB KC * * KA1 KB1 KC1 S1 S2 S3 S1 S2 S3 =8 ≥ (12.1) §èi chiÕu so sánh (12) ( 12.1) ta thấy (12) trờng hợp đặc biệt (12.1) mà Nghĩa toán ban đầu trờng hợp toán Ta có toán : Bài toán VI : Chứng minh rằng: Nếu K điểm ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1 ,B1, C1 thì: KA KB KC * * ≥8 KA1 KB1 KC1 Kh«ng dừng lại ta lại tiếp tục suy xét Từ phát triển ta đà chứng minh đợc: KA1 S1 = AA1 S AA S Suy : KA1 = S 1 11 Kinh NghiƯm Híng Ph¸t Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học BB S BB CC CC S T¬ng tù ta cã: KB1 = S , KC1 = S 1 AA S S S VËy th× KA1 KB1 KC1 = S S S 1 Để tạo thêm mức khó toán ta phát triển tiếp vấn đề này: Phát triĨn VII: V× ta cã: S = S1 + S2+S3 Nªn: S S1 S S S S = S1 + S + S S + S + S S1 + S + S * * S1 S2 S3  = 1 +   S S   S1 S   S S  +  + +  + +  S S1   S S   S S     Nhng ta lu«n cã: a2+b2 ≥ 2ab ( ∀ a,b) b2+c2 ≥ 2bc ( ∀b,c) c2+a2 ≥ 2ca ( ∀ c,a) Suy ra: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca( ∀ a,b,c) (***) dÊu (=) x¶y a=b=c Do S1 , S2 , S3 dơng Nên ta hạn chế điều kiện cho a,b,c dơng (***) Từ (***) suy ra: a2+b2+c2-ab - bc - ca ≥ ∀a,b,c ⇔ (a+b+c)( a2+b2+c2-ab - bc - ca) ≥ ( ∀ a,b,c > 0) ⇔ (a+b+c)( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca) ≥ ⇔ (a+b+c) [( a + b + c ) − 3c(a + b) − 3ab ] ≥ ⇔ (a+b+c)3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c) ≥ ⇔ (a+b+c)3-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc ≥ ⇔ [ ( a + b ) + c ] -3 (a+b).c [ ( a + b ) + c ] - 3ab(a+b) -3abc ≥ ⇔ (a+b)3+c3 - 3ab(a+b) - 3abc ≥ ⇔ (a+b)3-3ab(a+b) + c3 -3abc ≥ ⇔ a3+b3+c3-3abc ≥ VËy: a3+b3+c3 ≥ 3abc( ∀ a,b,c > 0)(**) ¸p dơng (**) ta cã: 12 Kinh NghiƯm S Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học S S S S S S S 3 1+ S2 + S = (3 1) + (3 ) + (3 ) ≥3 1.3 3 =3 S1 S1 S1 S S1 1 S2 S3 + VËy: 1+ S3 S1 S ≥3 S S3 S1 SS S T¬ng tù: 1+ S + S ≥ 3 S3 3 S SS S 3 1+ S + S ≥3 S2 2 Tõ ®ã ta suy r»ng:  S S   S1 S   S1 S  S S S1 S S1 S 1 +  S + S  + S + S  + S + S  ≥ 3.3.3 ( S S S ) =27     1  2  3 Đến đây, nhờ phép biến đổi ta đà làm cho hết dấu hiệu diện tích mà đại lợng số, nghĩa lµ: AA1 KA1 BB CC KB1 KC1 ≥ 27 1 Điều ta đặc biệt hóa điểm K trùng với trọng tâm G Tam giác ABC dễ thấy dấu xẩy nghĩa AA1 BB1 CC1 =3.3.3 = 27 GA1 GB1 GC1 Rõ ràng toán ban đầu trờng hợp đặc biệt toán Ta có toán Bài toán VII : Cho K điểm nằm ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1 ,B1, C1 Chøng minh r»ng: AA1 KA1 BB CC KB1 KC1 ≥27 1 PhÇn III: KÕt luËn Cø tiÕp tục nh sau toán hớng dẫn cho học sinh dành khoảng thời gian định để suy xét toán theo ba hớng, mà đà đa Thiết nghĩ phơng pháp học toán làm toán bổ ích lý thú làm đợc điều ®ã víi häc sinh sÏ t¹o 13 Kinh NghiƯm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học hiểu sâu có nhiều phơng pháp giải đơng nhiên tìm đợc phơng pháp hay Với ngời dạy việc tìm nhiều lời giải toán tạo cách thiết kế loạt toán có dạng với toán ban đầu Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi khối - đà đa để thực nghiệm Ban đầu em bỡ ngỡ, sau tỏ thích thú, say mê Đặc biệt hai hớng đầu em tỏ hiểu say mê tìm nhiều phơng pháp giải từ chọn đợc phơng pháp hay Còn phơng pháp số đà biết tự thiết kế toán Tôi nghĩ thành công bớc đầu nhỏ bé Do đặc điểm nội dung kiến thức Kinh nghiệm đa để áp dụng cho em khối lớp - nên số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với em đà học qua lớp học lớp Bài toán ban đầu suy xét nh ta khai thác đợc nhiều điều bổ ích Sau xin giới thiệu hai bất đẳng thức đợc phát triển từ toán Đề nghị bạn tham gia 1/ AA1 BB1 CC1 27 * * ≥ KA KB KC KA + KB + KC ≥2 + KB1 + KC1 2/ KA Trên kinh nghiệm cá nhân nên tránh khỏi hạn chế Tôi mong đợc đánh giá góp ý bạn đồng nghiệp Hội đồng khoa học cấp để kinh nghiệm ngày đợc hoàn thiện 14 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Tài liệu tham khảo 1/ Bất đẳng thức: Nguyễn Vũ Thanh 2/ Các chuyên đề môn toán: Trơng Công Thành Nguyễn Hữu Thảo Mục lục Phần1: Đặt vấn đề Phần2: Nội dung I Cơ sở lý luận II Nội dung biện pháp Phần 3: KÕt ln 15 15 Kinh NghiƯm Híng Ph¸t TriĨn T Duy Qua Bài Toán Hình Học 16 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán H×nh Häc 17 Kinh NghiƯm Híng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học 18 ... 2+ = (9) Phát triển III : Từ đẳng thức (9) vấn đề đặt không hạn chế G mà thay G ( Trọng tâm) điểm K Tam giác, kết thu đợc có AA BB CC đặc biệt so với (9) Thật vËy ph¸t triĨn II ta cã: KA1 + KB1... biệt toán Ta có toán Bài toán VII : Cho K điểm nằm ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB A1 ,B1, C1 Chøng minh r»ng: AA1 KA1 BB CC KB1 KC1 ≥27 1 PhÇn III: KÕt luËn Cø tiếp tục nh sau toán... đồng khoa học cấp để kinh nghiệm ngày đợc hoàn thiện 14 Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học Tài liệu tham khảo 1/ Bất đẳng thức: Nguyễn Vũ Thanh 2/ Các chuyên đề môn toán: