Chuyen de toan casio

Phần I: Các toán đa thức Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = P(-5,1289) = ; P(4,327) = ; P( ) = Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x 1)(1 + x + x + + x ) x10 = x x Từ tính P(0,53241) = Tơng tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x x9 x Từ tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bớc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + = 16a + 8b + 4c + 2d + e + = 1 1 a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + = 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 1 1 625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 http://www.ebook.edu.vn Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính đợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tơng tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính đợc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; Tính A = P(4) = 10 P(5) P(6) =? P(7) H.Dẫn: - Giải tơng tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A= x( x + 1) Từ tính đợc: P (5) P (6) = P (7) Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999 a + b + 2000 = a = g(x) = f(x) - x - 2000 a + b + 2001 = b = * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính đợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số http://www.ebook.edu.vn Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = a, b, c nghiệm hệ phơng trình: a + b + c + = 9a + 3b + c + 11 = 25a + 5b + c + 27 = a = MTBT ta giải đợc: b = c = g(x) = f(x) - x2 - - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên: d = 10 a + b + c + d = 12 8a + 4b + 2c + d = 27 a + 9b + 3c + d = lấy phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu giải hệ gồm phơng trình ẩn a, b, c 25 MTBT cho ta kết quả: a = ; b = ; c = 12; d = 10 2 f ( x) = 25 x x + 12 x + 10 f (10) = 2 Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đợc d f(-1) = -18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tơng tự nh 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính đợc f(2005) = http://www.ebook.edu.vn Bài 10: Cho đa thức P ( x) = 13 82 32 x x + x x + x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P ( x) = ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9 Vì só nguyên liên tiếp tìm đợc số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x +1)( x + 2)(x + 3(x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên 4x Bài 11: Cho hàm số f ( x) = x Hãy tính tổng sau: +2 a) 2001 S1 = f + f + + f 2002 2002 2002 b) S = f sin 2002 + f sin 2002 2 0 + + f sin 2002 H.Dẫn: * Với hàm số f(x) cho trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = f(a) + f(b) = * áp dụng bổ đề trên, ta có: a) S1 = f 2002 = + + + 10 00 20 01 + f + + f 2002 2002 10 02 100 + f + f 2002 2002 1 f + f = 10 00 + = 00 0, 2 b) Ta có sin 2002 = sin S = f sin 2 02 2001 1000 1002 , , sin = sin 2002 2002 2002 + f sin 2002 = f sin2 + 2002 Do đó: 0 0 + + f sin + f sin 0 2002 1000 500 f sin2 + + f sin + 2002 2002 501 f sin + 2002 f sin 2 500 500 = f sin + f cos + + f sin + f cos + f (1) 2002 2002 2002 2002 = [1 + + + 1] + 2 = 1000 + = 1000 3 http://www.ebook.edu.vn Tìm thơng d phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm d phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải: b b b - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r P = 0.Q + r r = P a a a Bài 12: Tìm d phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Giải: 5 5 - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r P = 0.Q + r r = P r = P 2 2 Tính máy ta đợc: r = P = Bài toán 2: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thơng d phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có: -2 -5 -5 23 * Tính máy tính giá trị nh sau: () SHIFT STO -3 -118 590 -2950 14751 -1 -73756 M ì ANPHA M + = ì ANPHA M + ì ANPHA M ì ANPHA ì (-5) : ghi giấy -5 (23) : ghi giấy - = (-118) : ghi giấy -118 M + = (590) : ghi giấy ANPHA M + = (-2950) : ì ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751 ì ANPHA M - - = = 23 590 ghi giấy -2950 (-73756) : ghi giấy -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) http://www.ebook.edu.vn Cách giải: - Để tìm d: ta giải nh toán - Để tìm hệ số đa thức thơng: dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng phép chia đa thức P(x) cho (x + b ) sau nhân vào thơng với ta đợc đa thức thơng cần tìm a a Bài 14: Tìm thơng d phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Giải: - Thực phép chia P(x) cho x , ta đợc: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x x + x + Từ ta phân tích: 1 P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x x + x + 2 1 = (2x - 1) x + x + 8 Bài 15: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) Ta có: P1 + m = m = P1 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x = ta đợc m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0 = H.Dẫn: x0 = 1 nghiệm P(x) m = P1 , với P1(x) = 3x2 - 4x + 2 x0 = 1 nghiệm Q(x) n = Q1 , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 2 Tính máy ta đợc: m = P1 = ;n = Q1 = http://www.ebook.edu.vn Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: a) Giải tơng tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x) (x - 2) Q(x) (x - 2) R(x) (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 đợc thơng q1(x) d r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 đợc thơng q2(x) d r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lợc đồ Hoocner, ta tính đợc hệ số đa thức q1(x), q2(x) số d r1, r2: 0 0 0 16 32 64 -1 16 16 64 Vậy: r2 = 128 256 16 16 http://www.ebook.edu.vn Phần II: Các toán Dãy số Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán ta dự đoán, ớc đoán tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dãy số hình thành cho học sinh kỹ năng, t thuật toán gần với lập trình tin học Sau số quy trình tính số hạng số dạng dãy số thờng gặp chơng trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng dãy số: 1) D y số cho công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n N* f(n) biểu thức n cho trớc Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT - Lập công thức tính f(A) gán giá trị ô nhớ : - Lặp dấu bằng: A STO A = A + = = Giải thích: SHIFT f(A) : STO A A = A : ghi giá trị n = vào ô nhớ A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thứ lần nhất) thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thứ hai) * Công thức đợc lặp lại ấn dấu = http://www.ebook.edu.vn Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: n n + un = ; n = 1, 2,3 Giải: - Ta lập quy trình tính un nh sau: SHIFT STO A ( ữ ) ( ) ữ ) A ( ( + ANPHA A ) ) ữ ) ANPHA : A - ( ( - ANPHA = ANPHA ANPHA ANPHA A + 1= - Lặp lại phím: = = Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) D y số cho hệ thức truy hồi dạng: u1 = a un+1 = f(un ) ; n N* f(un) biểu thức un cho trớc Cách lập quy trình: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - Nhập biểu thức un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ có un ta nhập ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = hình u1 = a lu kết - Khi nhập biểu thức f(un) phím ANS , bấm dấu = lần thứ máy thực tính u2 = f(u1) lại lu kết - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc số hạng dãy số u3, u4 Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: http://www.ebook.edu.vn u1 = un + = u , n N * n + un + Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số nh sau: = ( (u1) ữ ANS + ) ( ANS + ) = (u2) = = - Ta đợc giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi: u1 = 3 3 u n +1 = ( u n ) , n N * Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số nh sau: SHIFT ANS = = = (u1) SHIFT 3 = (u2) (u4 = 3) Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên 3) D y số cho hệ thức truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b 10 un+2 = Au n+1+ Bu n + C ; n N* http://www.ebook.edu.vn Bài 10 Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, ngời ta cho lát lại đờng ven hồ Hoàn Kiếm viên gạch hình lục giác Dới viên gạch lục giác có mầu (các hình tròn mầu, phần lại mầu khác) Hãy tính diện tích phần gạch mầu tỉ số diện tích hai phần đó, biết AB = a = 15 cm A B Giải: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác a2 a a = Diện tích hình tròn là: R = 12 là: R = Diện tích hình tròn là: a2 O F Tính máy: 15 SHIFT x2 ì ữ = Min (353.4291) Diện tích toàn viên gạch là: Diện tích phần gạch xọc là: a 3a = 3a a 2 Bấm tiếp phím: ì 15 SHIFT x2 ì ữ = MR = (231.13797) ấn tiếp phím: ữ MR SHIFT % Kết quả: 65.40 Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình tròn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 % Bài 11 Viên gạch hình lục giác ABCDEF có hoa văn hình nh hình vẽ, đỉnh hình M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh lục giác Viên gạch đợc tô hai mầu (mầu hình mầu phần lại) Biết cạnh lục giác a = 16,5 cm + Tính diện tích phần (chính xác đến 0,01) + Tính tỉ số phần trăm hai diện tích A M B S N F O C R P a 3a = Giải: Diện tích lục giác ABCDEF bằng: S1=6 D Q a a Lục giác nhỏ có cạnh b = , cánh tam giác có cạnh b = Từ suy 2 3b 3a ra: diện tích lục giác cạnh b S2 bằng: S2 = = , diện tích tam giác cạnh b S3: S3 = 3a Tính máy: ì 16.5 SHIFT x2 ì ấn tiếp phím: ì 16,5 SHIFT x2 ì ữ ì = MODE (353.66) Min ữ = MR = (353.66) ấn tiếp phím: ữ MR SHIFT % Kết quả: 100 Vậy diện tích hai phần Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đôi 48 http://www.ebook.edu.vn Bài 12 Cho lục giác cấp ABCDEF có cạnh AB = a = 36 mm Từ trung điểm cạnh dựng lục giác A ' B ' C ' D ' E ' F ' hình cánh có đỉnh trung điểm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục giác cấp MNPQRS Với lục giác ta lại làm tơng tự A' A B nh lục giác ban đầu ABCDEF đợc M N B' F' hình lục giác cấp Đối với lục giác cấp 3, ta lại làm tơng tự nh F P c S đợc lục giác cấp Đến ta dừng lại C' E' R Q Các cánh hình đợc tô mầu (gạch xọc), hình thoi hình chia thành D E D' tam giác tô hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp đợc tô mầu trắng a) Tính diện tích phần đợc tô mầu "trắng" theo a b) Tính tỉ số phần trăm diện tích phần "trắng" diện tích hình lục giác ban đầu Giải: a) Chia lục giác thành tam giác có cạnh a đờng chéo qua đỉnh đối xứng qua tâm, từ ta có S = a2 3a = Chia lục giác ABCDEF thành 24 tam giác có cạnh a Mỗi tam giác cạnh a có diện tích diện tích tam giác "trắng" A ' NB ' (xem hình vẽ) Suy diện tích tam giác trắng vòng = diện tích lục giác cấp ABCDEF 24 3a Vậy diện tích tam giác trắng vòng là: a (1) b b) Tơng tự với cách tính ta có: MN = b = ; c = 3b (2) Diện tích tam giác trắng lục giác cấp MNPQRS là: Diện tích tam giác trắng lục giác cấp là: 3c c Diện tích lục giác trắng (với d = ): (3) 3d (4) Tóm lại ta có: 3a 3a = ; 2 S1 = S3 = S2 = 3b 3a 3a = = ; 4 22 25 3d 3c 3a 3a 3a 3a = = ; S = = = 4 42 27 27 82 Strắng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( ấn phím: ì 36 SHIFT x2 ì 3a 24 + 22 + 1 + + )= 26 23 25 ữ = MODE (3367.11) Min Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2 ấn tiếp phím: SHIFT x y + SHIFT x + = ữ SHIFT 49 http://www.ebook.edu.vn x y ì MR = (1157.44) Vậy Strắng 1157,44 mm2 Strang ữ MR SHIFT % (34.38) Vậy ấn tiếp phím: SABCDEF 34,38% Đáp số: 1157,44 mm2 34,38% Bài 13 Cho hình vuông cấp ABCD với độ dài cạnh AB = a = 40 cm Lấy A, B, C , D làm tâm, thứ tự vẽ cung tròn bán kính a, bốn cung tròn cắt M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình vuông, gọi hình vuông cấp Tơng tự nh trên, lấy M , N , P, Q làm tâm vẽ cung tròn bán kính MN , đợc giao điểm E , F , G , H hình vuông cấp Tơng tự làm tiếp đợc hình vuông cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ) a) Tính diện tích phần hình không bị tô mầu (phần để trắng theo a) b) Tìm tỉ số phần trăm hai diện tích tô mầu không tô mầu Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vuông cấp 2) S1 = a2 a2 - 2b ( b cạnh hình vuông cấp 2) Tơng tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp cấp 3: S2 = 4( S3 = ( b2 b2 - c2 c2 - ) 2c ( c cạnh hình vuông cấp 3) ) 2d ( d cạnh hình vuông cấp 4) Rút gọn: S1 = a2( - 2) - 2b2; S2 = b2( - 2) - 2c2; S3 = c2( - 2) - 2d2 ; Strắng=S1+S2+S3 = (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2) b) Ta có: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) Tơng tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vào công thức tính diện tích Strắng ta đợc: Strắng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) = a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) ấn phím: 15 o,,, sin ì = Min SHIFT x y + MR SHIFT x2 + = ì SHIFT ì 40 SHIFT x ì 40 SHIFT x ì [( MR SHIFT x + MR SHIFT x y )] ì 40 SHIFT x ì [( + MR SHIFT x y = MODE (1298.36) Min Vậy Strắng 1298,36 cm2 Bấm tiếp phím: 40 SHIFT x2 MR = (301.64) Vậy Sgạch xọc 301,64 cm2 50 http://www.ebook.edu.vn Bấm tiếp phím: ữ MR SHIFT % (23.23) Vậy Sgach xoc Strang 23,23% Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23% Bài 14 Cho tam giác ABC có cạnh a = 33,33 cm tâm O Vẽ cung tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác đợc hình Gọi A ', B ', C ' trung điểm cạnh BC, CA AB A Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta đợc hình nhỏ a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) B' tam giác ABC để đợc hình lại O b) Tính tỉ số phần trăm phần cắt bỏ B C diện tích tam giác ABC A' Giải: A ' B ' C' tam giác nhận O làm tâm (vì AA ', BB ', CC ' đờng cao, đờng trung tuyến A ' B ' C' ) có điểm chung O, nghĩa phần diện tích chung Mỗi viên phân có góc tâm 600, bán kính viên phân Khi S1 = Ta có: OA = OA2 OA2 - = đờng cao tam giác Gọi S1 diện tích OA2 (2 -3 ) 12 a a = 3 Gọi S diện tích lớn, S' diện tích nhỏ Khi ấy: S =6S1 = OA2 a2 (2 -3 )= (2 -3 ) Gọi cạnh tam giác A ' B ' C' b, tơng tự ta có: S'= b2 a2 (2 -3 ) = (2 -3 ) 24 Tổng diện tích là: S + S' = (2 -3 )( a2 a2 + ) 24 Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) S'' S''= SABC -(S + S')= Tính SABC : 33.33 SHIFT x2 ì Tính S'' : ì a2 a2 a2 - (2 -3 )( + ) = ( )a 24 12 ữ = (481.0290040) Min ữ ữ 12 ì = ì 33.33 SHIFT x = (229.4513446) Vậy S'' 229,45 cm2 ấn tiếp phím để tính S'' : ữ MR SHIFT % Kết quả: 47.70 SABC 51 http://www.ebook.edu.vn Đáp số: S'' 229,45 cm2; S'' 47,70 % SABC 52 http://www.ebook.edu.vn 53 http://www.ebook.edu.vn Phần VI Hình học không gian Bài 15 (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vòng trờng, lớp 10) 1) Tính thể tích V hình cầu bán kính R = 3,173 2) Tính bán kính hình cầu tích V = 137, 45 dm3 Giải: 1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu: V = R3 Tính máy: 3.173 SHIFT x y ì ì ữ = (133.8131596) 2) Từ công thức V = R3 suy R = 3V áp dụng: ì 137.45 ữ ữ = SHIFT x y ab / c = (3.20148673) Đáp số: V = 133.8134725 dm3 ; R = 3, 201486733 dm Bài 16 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB) A Tính góc HCH phân tử mêtan ( H : Hydro, C : Carbon) Giải: Gọi G tâm tứ diện ABCD cạnh a , I tâm tam giác BCD Góc HCH phân tử mêtan góc AGB tứ diện ABCD Khi ta có: IB = Suy AI = AB IB = a ( a )2 = a D a I B C BG = AG = AI = Tính AGB :2 ab / c a 2 G Gọi E điểm AB Khi sin AGE = SHIFT sin -1 = ì a AE = = AG a 2 = SHIFT o,,, ( 109o 28o16.39 ) Đáp số: 109o 28'16 '' 54 http://www.ebook.edu.vn Bài 17 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB) Cho hình chóp tứ giác SABCD , biết trung đoạn d = 3, 415 cm , góc cạnh bên đáy 42o17 ' Tính thể tích Giải: Gọi cạnh đáy chóp tứ giác SABCD a , chiều cao h , góc cạnh bên đáy Khi SH = tg AH a h2 + ( )2 = d 2 hay ( 2d Suy a = + tg hay h = SH = a tg S Mặt khác, a a tg )2 + ( )2 = d 2 h = a d tg = tg + 2tg C B Thể tích tứ diện đợc tính theo công thức: V= d 2tg 4d = = 2 3 + 2tg (1 + 2tg ) d 2tg (1 + 2tg ) D Tính máy: 4ì2 [( ữ M H A ì 3.415 SHIFT x y ì 42 o,,, 17 o,,, tan Min ữ + ì MR SHIFT x )] SHIFT x y ab / c = (15.795231442) Đáp số: V = 15,795 cm3 55 http://www.ebook.edu.vn Phần VII Phơng pháp lặp giải gần phơng trình f ( x ) = Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình có nghiệm khoảng (a, b) Giải phơng trình f ( x) = phơng pháp lặp gồm bớc sau: Đa phơng trình f ( x) = phơng trình tơng đơng x = g ( x) Chọn x0 (a, b) làm nghiệm gần ban đầu 3.Thay x = x0 vào vế phải phơng trình x = g ( x) ta đợc nghiệm gần thứ x1 = g ( x0 ) Thay x1 = g ( x0 ) vào vế phải phơng trình x = g ( x) ta đợc nghiệm gần thứ hai x2 = g ( x1 ) Lặp lại trình trên, ta nhận đợc dãy nghiệm gần x1 = g ( x0 ) , x2 = g ( x1 ) , x3 = g ( x2 ) , x4 = g ( x3 ) , , xn = g ( xn ) , Nếu dãy nghiệm gần { xn } , n = 1, 2, hội tụ, nghĩa tồn lim xn = x (với giả thiết hàm n g ( x) liên tục khoảng (a, b) ) ta có: x = lim xn = lim g ( xn ) = g (lim xn ) = g ( x) n n n Chứng tỏ x nghiệm phơng trình x = g ( x) x nghiệm phơng trình f ( x) = Tính hội tụ: Có nhiều phơng trình dạng x = g ( x) tơng đơng với phơng trình f ( x) = Phải chọn hàm số g ( x) cho dãy { xn } xây dựng theo phơng pháp lặp dãy hội tụ hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau Định lý Giả sử (a, b) khoảng cách ly nghiệm x phơng trình x = g ( x) f ( x) = phơng trình tơng đơng với phơng trình f ( x) = Nếu g ( x) g '( x) hàm số liên tục cho g ( x) q < x [ a, b] xn = g ( xn ) từ vị trí ban đầu x0 (a, b) dãy { xn } xây dựng theo phơng pháp lặp hội tụ tới nghiệm x khoảng (a, b) phơng trình f ( x) = Thí dụ Giải phơng trình x x = Phơng trình có nghiệm khoảng (1;1.5) tơng đơng với x = x2 + Do g ( x) = x + có đạo hàm g '( x) = 2x ( x + 1) 2 thỏa mãn điều kiện g '( x) = [...]... chia 1732 x 968 cho 2004 Số d là: r = 1232 3 Tìm ớc chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN): 22 http://www.ebook.edu.vn Bổ đề (cơ sở của thuật toán Euclide) Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r) Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide nh sau (với hai số nguyên dơng a, b): - Chia a cho b, ta đợc thơng q1 và d r1: a = bq1 + r1 - Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 và d r2: b = r1q2 + r2 - Chia r1 cho... 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi: x1 = x2 = 1 2 2 2 xn +1 = 5 xn +1 + 5 sin( xn ) , n N * Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó Giải: - Thực hiện quy trình: MODE 4 2 1 SHIFT STO A + ( 2 SHIFT x2 ì ì sin x2 ì ì sin ì ( 2 ữ 5 SHIFT ì sin ữ 5 ) ( 2 ữ 5 SHIFT ( ANPHA A ) ) SHIFT ( 2 ữ 5 SHIFT ( ANPHA B SHIFT + ) ) + SHIFT ( 1 ) SHIFT ( 2 SHIFT ) STO B ữ 5... điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an): an = Giải: - Thực hiện quy trình: MODE 4 2 sin ( 1 SHIFT ANPHA A ANPHA : sin( n ) ; n +1 n N * STO A ữ ) ANPHA A ( ANPHA A ANPHA = + 1 ) ANPHA A + 1 = = ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9): n an n an n an n an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11