VẬN DỤNG CAO PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

VẬN DỤNG CAO Vì đây là Phần Vận Dụng Cao nên chúng tôi sẽ giới thiệu các bạn các bài toán khó liên quan đến đơn điệu chứa tham số.. Lời bình: Đây là bài toán, đã có rất nhiều tài liệu v

Phần 4 VẬN DỤNG CAO

Vì đây là Phần Vận Dụng Cao nên chúng tôi sẽ giới thiệu các bạn các bài toán

khó liên quan đến đơn điệu chứa tham số

BÀI TOÁN Định m để hàm số y f x m( , ) đơn điệu trên

 ;  , ; , ;

Lời bình: Đây là bài toán, đã có rất nhiều tài liệu viết, khá chi tiết, tuy nhiên đa

số sử dụng phương pháp là dùng tam thức bậc 2 để giải quyết, nay tôi gửi các bạn phương pháp khác, thích hợp với thi toán Trắc nghiệm, vì tôi đánh giá, khi các bạn thực sự hiểu vấn đề phương pháp này, tôi tin rằng các bạn sẽ nhanh hơn trong tính toán, để đưa ra đáp án đúng Phương pháp này tôi xin đặt tên

là, Bảng mab

Phương pháp mab:

Cơ sở phương pháp là xử lý tham số ( chẳng hạn m) thoả mãn trên

 ;  , ; , ; theo một trong bốn yêu cầu:

f x ax bx c   x a b (*) f x  đồng biến trên  a b ;

f x ax bx c   x a b  f x  nghịch biến trên  a b ;

Ở đây, chúng tôi xét trường hợp cho bài toán (*)

Bước 1 Xét các trường hợp đặc biệt khi tham số m0 làm cho a f' 0, Lúc đó tìm

được ngay tập nghiệm S của (*)

So sánh S với  ;  , kết luận nhận hoặc loại m0

Bước 2 Tính f' xét dấu theo m: f' và a f'0 vào cùng một bảng mab Để

chia miền m hợp lý theo dấu f',a f'

Bước 3 Đặt  ;  vào vị trí hợp lý của bảng xét dấu '( )f x phụ thuộc vào a, và

 qua các trường hợp trên

Bước 4 Hợp nghiệm của m trong các trường hợp kể trên để đưa ra m thoả mãn ycbt

Ghi chú: Bài toán là có thể giải bằng đồ thị trên  a b tiện lợi và nhanh gọn khi ; tham số m có bậc nhất, và có thể độc lập được m ra khỏi x

Ở đây ta thường sử dụng định lý đảo về dấu như sau cho tam thức bậc hai

2

( )

g x ax bx c

● x1  x2 ag  0 (không xét dấu g )

● x1x2

  0 0 0 2

g

ag

S









  



  



a

    )

●

 

0 0 0 2

g

ag

S











    



  



a

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN (ĐƯỢC TRÌNH BÀY, THEO TỰ LUẬN)

Bài 1 Định các giá trị tham số m, để hàm số sau đồng biến trên nữa khoảng



2;

 

yx  m x  m  m x m m

Lời giải và phân tích

Hàm số đồng biến trên  2;  g x( ) f x'   0; x 2

Với a g 3 0 Tính

'g m 1 3 2m 3m 2 'g 7 m m 1 0, m

Lúc này ta gọi x x1; 2x1x2 là hai nghiệm của g x  , ta có

x  x 1 x 2 

  '  0

YCBT

2 0

2 5

2 0 2

g

a g

m







Bài 2 Định a để hàm số 3    

2

3

x

y  a x  a x ngịch biến trên  0; 3

Lời giải và phân tích

Ta có a g 1 0 nên   2  2

Ta xét dấu g x  

 

ycbtx1  0 3 x2  

 03 00

g g





7

a

a



Phương pháp đồ thị

2

       lúc đó ta có 2x 1 0

2 3

1

2 1

x



2;

 

 0; 3

Với  

2 2

2 1

x

12 max ( )

7

a G x 

Trên là 2 bài tôi nói về phương pháp mab, vì thời gian nguyên cứu còn ngắn, và sức khoẻ đang không tốt, như đã hứa tôi cố gắng giới thiệu sơ cho các bạn đọc mab Chúc các bạn đọc thành công trong học tập, công tác và mạnh khoẻ

Sau đây, là các bài toán tôi trích từ quyển sách “KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM của NGUYỄN PHÚ KHÁNH” gửi các bạn đọc, để các bạn đọc được rỏ hơn về dạng toán này

Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K   ; ,    ; ,   ; ,   ; 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Định m để hàm số :

1 y 2x 1

x m





 nghịch biến trên (2;)

2 y mx 4

x m





 nghịch biến trên khoảng ;1

3

2

2x 3x m

y

x 1



 đồng biến trên khoảng ( ; 1)

4

x 2mx 3m

y

2m x



 nghịch biến trên khoảng (;1)

5

y

x 3



 đồng biến trên khoảng 1;

6

2

mx 6x 2

y

x 2



 nghịch biến trên nửa khoảng  1; 

Bài 2: Định m để hàm số :

1 yx3 (1 2m)x2(2 m)x m 2   đồng biến trên khoảng (0;)

2 yx33x2mx 4 đồng biến trên khoảng (; 0)

3

3

2

x

3

     đồng biến trên 1;

4 y x 3(m 1)x 2(2m23m 2)x m(2m 1)   đồng biến trên  2; 

y mx 2 m 1 x m 1 x 2013

3

      đồng biến trên khoảng 2;

y x  m 1 x  2m 3m 2 x 2013m 2m 1   đồng biến trên nửa



2;

 

Bài 3: Định m để hàm số :

1 y 2x 33(2m 1)x 26m(m 1)x 1  đồng biến trên khoảng (2;)

2 yx3(m 1)x 2(2m23m 2)x nghịch biến trên (2;)

3 y 1(m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

      (m 1)nghịch biến trên khoảng (; 2)

4 y 1mx3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

3

      đồng biến trên (2;)

5 y x33x2mx 4 nghịch biến trên khoảng 0;

6 y2x32x2mx 1 đồng biến trên khoảng 1;

Lời giải tác giả:

Bài 1:

1 Hàm số nghịch biến trên (2; ) hàm số xác định trên (2;) và

2

 

2 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 khi và chỉ khi  

y' 0, x ;1

    





  



2



   



  

  2 m 2  2 m 1

m 1

3 Ta có: f(x) 0 m 2x 24x 3 Đặt g(x) 2x 24x 3 g'(x) 4x 4 

Hàm số cho đồng biến trên ( ; 1)

( ; 1]

y' 0, x ( ; 1) m min g(x)

 

4 Đặt t x 1  ,khi đó : f(x) 0 trở thành:

g(t)  t 2(1 2m)t m  4m 1 0 

Hàm số cho nghịch biến trên (;1) y' 0, x ( ;1) 2m 1

g(t) 0, t 0



 

Với m 1

2

 thì  

' 0 ' 0

S 0

P 0

 

 



  



 



m 0

m 0 4m 2 0

 



 



 

 







m 0

 

 

 



5 x26x 9 m  2 0,  x 1; ( vì  2

x 3 0, x 1  ) hay  2 2

x 3 m với  x 1; Xét    2

g x  x 3 trên khoảng 1; và g' x  2 x 3  với

x 1   x 3 4 tức g' x  8 0 với  x 1; g x  đồng biến trên

khoảng 1; và  

x 1

lim g x 16





xlim g x

  

Khi đó 2  2

m  x 3 ,  x 1; 2

m 16

  hay 4 m 4  

6 Hàm nghịch biến trên nửa khoảng  1;  f x mx24mx 14 0  ,

  

x 1;

   

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

 Nếu m 0 khi đó   không thỏa mãn

 Nếu m 0 Khi đó f x có    4m214m

 Nếu 0 m 7

2

  thì f x   0 x , nếu f x có hai nghiệm   x ,x thì 1 2

f(x) 0  x x ; x1 2 nên   không thỏa mãn

 Nếu m 0 hoặc m 7

2

 Khi đó f x 0 có hai nghiệm

Vì m 0 hoặc m 7

2

 x1x2 f x   0 x x1 hoặc x x  2

2

f(x) 0 x    1; x   1 3m 4m 14m m 14

5

x 1

14





Ta có    

x 1

      

Bài 2:

1 f 1 m 5 m

 

2 Ta có: y3x26x m y có   3(m 3)

+ Nếu m 3 thì   0  y  0, x  hàm số đồng biến trên  m 3 thoả

+ Nếu m 3 thì   0  phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x1 2

1 2

(x x ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x ),(x ;1 2 )

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (; 0)

 0 x 1x2 

0

P 0

S 0



 

 



 





m 0

2 0

  

 



 



3   x (1; ) ,x22mx 1 2m 0     x (1 :) ,x2 1 2m(x 1) 

2

x 1

x (1; ) , 2m (do x 1 0 khi x 1)

x 1





Xét hàm số   x2 1

f x

x 1





 , x (1; )

2 2

x 2x 1

(x 1)

 với mọi x (1; )

x [1; )

1

x (1; ) ,f(x) 2m min f(x) 2m f(1) 2m 1 2m m

2

 

4 f(x) 3x 22(m 1)x (2m  23m 2) 0 x [2;    )

Vì x1x2 nên f(x) 0  x x1 hoặc x x 2

Do đó f(x) 0 x [2;    ) x2    2 ' 5 m

2 m

2

5 y' 0, x  2;  mx24 m 1 x m 1 0, x       2;

2

4x 1

x 4x 1



Xét hàm số   24x 1  

x 4x 1



2

2x 2x 1

x 4x 1

nghịch biến trên khoảng

2;và    

x

x 2

9 lim g x , lim g x 0

13

 



13



6 f x 3x2 2 m 1 x   2m23m 2 0 , x   2; 

Vì tam thức f x có    ' 7m27m 7 0 , m    nên f x có hai nghiệm :  

  Vì x1x2 nên f x  x x hoặc 1 x x  2

Do đó f x     0 x 2;  x2     2 ' 5 m   2 m3

2

Bài 3:

1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m 1; ), hàm số đồng biến trên (2;) m 1 2  m 1

2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;) y' 0 và x1x22

 11   22 

' 0

' 0

x 2 x 2 0

 



 









3

m 2 2

  



 

  



3

m 2 2

3 Đặt t x – 2 ta được: y g(t) (m 21)t2(4m22m 6)t 4m24m 10

Hàm số cho nghịch biến trong khoảng (; 2) g(t) 0, t 0  

TH1: a 0

0

 

 

2

2







TH2:

a 0

0

S 0

P 0

 

 



 



 





2 2 2

4m 4m 10 0 2m 3

0

m 1







 

4 Xét hàm số   x2 2x

g x

4x 1



 liên tục trên khoảng  0;1

Ta có:  

2 2

4x 2x 2 g' x

4x 1



 ,  x  0;1 : g' x 0 x 1

2

 



 

 

Hơn nữa  

x 0

lim g x 0,





x 1

1 lim g x

5





 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 0

5 y' 3x26x m 0, x 0    m 3x 26x f x  

Ta có f ' x 6x 6 0, x 0    và f 0 0 Từ đó ta được : m 0

6 Cách 1: y' 0, x  1; g x 6x24x m,x 1

g' x 12x 4 0, x 1    g x đồng biến trên khoảng 1;

x

lim g x lim 6x 4x 2, lim g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2  m m 2

Cách 2: Khi và chỉ khi hoặc 1 

3

      hoặc f x 0 có hai nghiệm thỏa mãn x1x21 *  Đặt t x 1    x t 1, khi đó g t  f t 1 

Điều kiện  * g t 6t28t 2 m  có hai nghiệm không dương, tức là '

g

g

g

0

 

 





 

b

Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH     ; ,   ; 

Bài 1: Định m để hàm số :

1 y x 42mx23m 1 đồng biến trên khoảng (1; 2)

2 y x 3(m 2)x 2(3m 2)x 2  đồng biến trên đoạn 3; 4 

Bài 2: Tìm m để hàm số:

3

     nghịch biến trên khoảng  0;1

2

3

2

x

3

      nghịch biến trên (0; 3)

3 yx33x23(m21)x 1 đồng biến trên (1; 2)

4 y x – 3x 3 22m 1 x – 4.  biến trên [ 2; 1] 

5 y x 33x2m 1 x 4m   nghịch biến trên khoảng 1;1

6 y mx 3x23x m 2  đồng biến trên khoảng 3; 0

Lời giải tác giả:

Bài 1:

1 + m 0 , y   0, x (0; )  m 0 thoả mãn

+ m 0 , y0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m

Hàm số cho đồng biến trên (1; 2)  m 1   0 m 1 Vậy m   ;1

2  x [3; 4],3x22(m 2)x 3m 2 0      x [3; 4],3x24x 2 m(2x 3)  

2 3x 4x 2

2x 3

 Xét   3x2 4x 2

2x 3

2

6x 18x 8 2[3x(x 3) 4]

(2x 3) (2x 3)

  với mọi x thuộc đoạn 3; 4 

g x  đồng biến trên đoạn 3; 4 

x [3;4]

17 min g(x) g(3)

3



Bài 2:

f(x) mx 2(m 1)x 3(m 2) 0, x (2; ) (3)

TH 1: m 0 khi đó (3) chỉ đúng với mọi x 3

TH 2: m 0 ta thấy trường hợp này không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH 3: m 0 , f(x) có   ' 2m24m 1

* Nếu ' 0 m 2 6

2



    (do m 0 )f(x) 0 x  

* Nếu ' 0 0 m 2 6

2



Khi đó f(x) có hai nghiệm x1x2 và

1

2 2

x x

x x

 

2

  

Kết hợp với (*) 2 m 2 6



3

 là những giá trị cần tìm

Cách 2: Xét hàm số g(x) với x 2 Ta có :

2

2 2

2(x 6x 3) g'(x)

(x 2x 3)



g'(x) 0 x 3 6

xlim g(x) 0

 

x 2

2

m g(x) x (2; ) m maxg(x)

3



2 Xét hàm số

2

x 2x 1

x 1

3

 Nếu m 1    m 1 m 0 y' 0 x  nên hàm số đồng biến trên

 Nếu m 0 , suy ra yêu cầu bài toán m 1 1 m 3

m 1 2

  

    

 Nếu m 0 , suy ra yêu cầu bài toán m 1 2 m 3

m 1 1

  

     

4 Hàm số nghịch biến trên [ 2; 1] 

2

x [ 2; 1], y' 0 x [ 2; 1],3x 6x 1 2m

Xét   2

h x 3x – 6x 1 trên [ 2; 1] 

x [ 2; 1]

x [ 2; 1],h(x) 2m min h(x) 2m 10 2m m 5

  

5 Cách 1 : Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;1 khi và chỉ khi

y' 0, x   1;1 Xét hàm số    2   

g x   3x 6x 1 , x   1;1

g' x 6x 6 0, x 1;1 g x

         nghịch biến trên khoảng 1;1 và

x 1 x 1

lim g x 2, lim g x 10

    Vậy m 10 thoả yêu cầu

Cách 2 : y'' 6x 6 

Nghiệm của phương trình y'' 0 là x  1 1 Do đó, hàm số đã

cho nghịch biến trên khoảng 1;1 khi và chỉ khi  

x 1

m lim g x 10





6 Xét hàm số   2x 32

g x

3x



 liên tục trên khoảng 3; 0, ta có

  6x2 418x    

9x

      nghịch biến trên khoảng3; 0 và

4 lim g x , lim g x

27

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 4

27

 