VẬN DỤNG CAO PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương Phần VẬN DỤNG CAO Vì Phần Vận Dụng Cao nên giới thiệu bạn toán khó liên quan đến đơn điệu chứa tham số BÀI TOÁN Định m để hàm số y  f ( x, m) đơn điệu  ;   ,   ;  ,  ;  Lời bình: Đây toán, có nhiều tài liệu viết, chi tiết, nhiên đa số sử dụng phương pháp dùng tam thức bậc để giải quyết, gửi bạn phương pháp khác, thích hợp với thi toán Trắc nghiệm, đánh giá, bạn thực hiểu vấn đề phương pháp này, tin bạn nhanh tính toán, để đưa đáp án Phương pháp xin đặt tên là, Bảng mab Phương pháp mab: Cơ sở phương pháp xử lý tham số ( chẳng hạn m) thoả mãn  ;   ,   ;  ,  ;  theo bốn yêu cầu: f '( x)  ax2  bx  c  0; x   a; b  (*)  f  x  đồng biến  a; b  f '( x)  ax2  bx  c  0; x   a; b   f  x  nghịch biến  a; b  Ở đây, xét trường hợp cho toán (*) Bước Xét trường hợp đặc biệt tham số m0 làm cho a f '  , Lúc tìm tập nghiệm S (*) So sánh S với  ;   , kết luận nhận loại m0 Bước Tính  f ' xét dấu theo m:  f ' a f '  vào bảng mab Để chia miền m hợp lý theo dấu  f ' , a f ' Bước Đặt  ;   vào vị trí hợp lý bảng xét dấu f '( x) phụ thuộc vào a,  qua trường hợp Bước Hợp nghiệm m trường hợp kể để đưa m thoả mãn ycbt Số điện thoại: 0946.798.489 Ghi chú: Bài toán giải đồ thị  a; b  tiện lợi nhanh gọn tham số m có bậc nhất, độc lập m khỏi x Ở ta thường sử dụng định lý đảo dấu sau cho tam thức bậc hai g( x)  ax2  bx  c ● x1    x2  ag    (không xét dấu  g )  ag     S b ●   x1  x2   g  (với    x1  x2 ) 2a  S      ag     S b ● x1  x2     g  (với    x1  x2 ) 2 a  S     CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN (ĐƯỢC TRÌNH BÀY, THEO TỰ LUẬN) Bài Định giá trị tham số m, để hàm số sau đồng biến khoảng    2;   y  x3   m  1 x2  2m2  3m  x  2m  2m  1 Lời giải phân tích Hàm số đồng biến  2;    g( x)  f '  x   0; x     g  x   3x2   m  1 x  2m2  3m   0; x  Với ag   Tính      'g   m  1  2m2  3m    'g  m2  m   0, m Lúc ta gọi x1 ; x2  x1  x2  hai nghiệm g  x  , ta có Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương  2;    2;   vô lý  x g  x  f '  x  x1   x2  0   ag g    2m2  m     YCBT  x1  x2    S   2  m   m   20 2 Bài Định a để hàm số y  x3   a  1 x2   a   x ngịch biến  0;  Lời giải phân tích ycbt  g( x)  f '( x)  x2   a  1 x   a    0, x   0;  Ta có ag   nên  g '   a  1   a    a2  a   0, x Ta xét dấu g  x  x  0;   g  x x1   x2    g      a    12   a ycbt  x1    x2     g    9  a   a   Phương pháp đồ thị ycbt  g( x)  f '( x)  x2   a  1 x   a    0, x   0;   x2  2x    2x  1 a; x   0;  lúc ta có  2x  1   G  x  x2  2x   a 1 2x  Số điện thoại: 0946.798.489 Với G '  x   2x2  2x   2x  1  0; x   0; 3  G  x  : tăng, suy a  max G( x)   0;3 12 Trên nói phương pháp mab, thời gian nguyên cứu ngắn, sức khoẻ không tốt, hứa cố gắng giới thiệu sơ cho bạn đọc mab Chúc bạn đọc thành công học tập, công tác mạnh khoẻ Sau đây, toán trích từ sách “KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM NGUYỄN PHÚ KHÁNH” gửi bạn đọc, để bạn đọc rỏ dạng toán Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K   ;   , ;   ,  ;  , ;  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y  2x  nghịch biến (2; ) xm y  mx  nghịch biến khoảng  ;1 xm y  2x2  3x  m đồng biến khoảng (; 1) x 1 y  x2  2mx  3m nghịch biến khoảng ( ;1) 2m  x y  x2  5x  m  đồng biến khoảng 1;   x3 y  mx2  6x  nghịch biến nửa khoảng 1;   x2 Bài 2: Định m để hàm số : Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương y  x3  (1  2m)x2  (2  m)x  m  đồng biến khoảng (0; ) y  x3  3x2  mx  đồng biến khoảng (; 0) y  x3  mx2  (1  2m)x  đồng biến 1;   y  x3  (m  1)x2  (2m2  3m  2)x  m(2m  1) đồng biến  2;   y  mx3   m  1 x2   m  1 x  2013 đồng biến khoảng  2;     y  x3   m  1 x2  2m  3m  x  2013m  2m  1 đồng biến nửa  2;   Bài 3: Định m để hàm số : y  2x3  3(2m  1)x2  6m(m  1)x  đồng biến khoảng (2; ) y  x3  (m  1)x2  (2m2  3m  2)x nghịch biến (2; ) y  (m  1)x3  (m  1)x2  2x  (m  1) nghịch biến khoảng (; 2) y  mx3  (m  1)x2  3(m  2)x  đồng biến (2; ) y  x3  3x2  mx  nghịch biến khoảng  0;   y  2x3  2x2  mx  đồng biến khoảng 1;   Lời giải tác giả: Bài 1: Hàm số nghịch biến (2; )  hàm số xác định (2; ) m  m  (2; )  x  (2; ), y'      m2 2m   m    Số điện thoại: 0946.798.489   y'  0, x   ;1 Hàm số nghịch biến khoảng  ;1   m   ;1  2  m  m     2  m  1  m   m   ;1 Ta có: f(x)   m  2x2  4x  Đặt g(x)  2x2  4x   g'(x)  4x  Hàm số cho đồng biến (; 1)  y'  0, x  (; 1)  m  g(x) ( ; 1] Đặt t  x  ,khi : f(x)  trở thành: g(t)  t  2(1  2m)t  m2  4m   2m  Hàm số cho nghịch biến ( ;1)  y'  0, x  ( ;1)   g(t)  0, t    m   '    m   '   m   Với m          S  4m    m        P   m  4m   x2  6x   m2  , x  1;   (  x    , x  ) hay  x    m 2 với x  1;   Xét g  x    x   khoảng 1;   g'  x    x   với x   x   tức g'  x    với x  1;   g  x  đồng biến khoảng 1;   lim g  x   16 lim g  x    x1 x Khi m   x   , x  1;    m2  16 hay 4  m  Hàm nghịch biến nửa khoảng 1;    f  x   mx2  4mx  14  , x  1;    Cách 1: Dùng tam thức bậc hai  Nếu m    không thỏa mãn Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương  Nếu m  Khi f  x  có   4m2  14m  Nếu  m  f  x   x  , f  x  có hai nghiệm x1 ,x2 f(x)   x   x1 ; x2  nên   không thỏa mãn  Nếu m  m  x1 Khi f  x   có hai nghiệm 2m  4m  14m 2m  4m  14m ; x2  m m Vì m  m   x1  x2  f  x    x  x1 x  x2 Do f(x)  x  1;    x2   3m  4m  14m  m   Cách 2:   m  14 x  4x Ta có ming  x   g 1   x1 14  g  x  x  1;    m  g  x  x1 14 14 m 5 Bài 2: 1 f    m   m 2 Ta có: y  3x2  6x  m y có   3(m  3) + Nếu m  3    y  0, x  hàm số đồng biến  m  3 thoả + Nếu m  3    phương trình y  có nghiệm phân biệt x1 ,x2 (x1  x2 ) Khi hàm số đồng biến khoảng (; x1 ),(x2 ; ) Do hàm số đồng biến khoảng (; 0) Số điện thoại: 0946.798.489    m  3     x1  x2  P    m  S  2    x  (1; ) ,x2  2mx   2m   x  (1 : ) ,x2   2m(x  1)  x  (1; ) , x2   2m (do x   x  1) x1 Xét hàm số f  x   x2  2x  x2   với x  (1; ) , x  (1; ) f '(x)  x1 (x  1)2 x  (1; ) ,f(x)  2m  f(x)  2m  f(1)  2m   2m  m  x[1; ) f(x)  3x2  2(m  1)x  (2m2  3m  2)  x [2; ) Vì x1  x2 nên f(x)   x  x1 x  x2 Do f(x)  x [2; )  x2    '   m   m  m     2  m  2  '  (5  m)   2m  m   y'  0, x   2;    mx2   m  1 x  m   0, x   2;      x2  4x  m  4x  1, x   2;    m  Xét hàm số g  x    g'  x    2;   4x  x  4x  2x  2x  1   x2  4x  lim g  x   x 2  4x  x  4x  , x   2;   ,x   2;    0, x   2;    g  x  nghịch biến khoảng 9 , lim g  x   Vậy m  13 13 x   f  x   3x2   m  1 x  2m  3m   , x  2;   Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương Vì tam thức f  x  có  '  7m2  7m   ,m  x1  nên f  x  có hai nghiệm : m   ' m   ' ; x2  Vì x1  x2 nên f  x   x  x1 x  x2 3 Do f  x   x  2;    x2    '   m  2  m  Bài 3: Hàm số đồng biến khoảng (; m), (m  1; ) , hàm số đồng biến (2; )  m    m  Hàm số nghịch biến khoảng (2; )  y'  x1  x2   '      '    m      m2  x   x      m  5      x    x      Đặt t  x – ta được: y  g(t)  (m2  1)t  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10 Hàm số cho nghịch biến khoảng (; 2)  g(t)  0, t   a  m   TH1:       3m  2m   m    a  3m  2m       TH2:    4m  4m  10  S     2m  P    m   Xét hàm số g  x   Ta có: g'  x   x2  2x liên tục khoảng  0;1 4x  4x2  2x   4x  1 , x   0;1 : g'  x    x  1 1 , g   2 Số điện thoại: 0946.798.489 Hơn lim g  x   0, lim g  x   x0 x1 Dựa vào bảng biến thiên suy m  5 y'  3x2  6x  m  0, x   m  3x2  6x  f  x  Ta có f '  x   6x   0, x  f    Từ ta : m  Cách 1: y'  0, x  1;    g  x   6x2  4x  m,x  g'  x   12x   0, x   g  x  đồng biến khoảng 1;     lim g  x   lim 6x2  4x  2, lim g  x    x1 x1 x Dựa vào bảng biến thiên suy  m  m  2 a  f  x   có hai nghiệm thỏa mãn x1  x2  1 *  Đặt t  x   x  t  , g  t   f  t  1 Cách 2: Khi  '   6m   m  Điều kiện  *   g  t   6t  8t   m có hai nghiệm không dương, tức  '   g Sg    b   Pg  Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH  ;  , ; Bài 1: Định m để hàm số : y  x4  2mx2  3m  đồng biến khoảng (1; 2) y  x3  (m  2)x2  (3m  2)x  đồng biến đoạn  3;  Bài 2: Tìm m để hàm số: 1 y  x3   2m  1 x2  mx  nghịch biến khoảng  0;1 y  x3  (m  1)x2  (2m  1)x  m nghịch biến (0; 3) Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương y  x3  3x2  3(m2  1)x  đồng biến (1; 2) y  x – 3x   2m  1 x – biến [2; 1] y  x3  3x2   m  1 x  4m nghịch biến khoảng  1;1 y  mx3  x2  3x  m  đồng biến khoảng  3;  Lời giải tác giả: Bài 1: + m  , y  0, x  (0; )  m  thoả mãn + m  , y  có nghiệm phân biệt:  m , 0, Hàm số cho đồng biến (1; 2)  m m 1 0 m 1 Vậy m   ;1 x [3; 4],3x2  2(m  2)x  3m    x [3; 4],3x2  4x   m(2x  3)  x  [3; 4], g'(x)  3x2  4x  3x2  4x   m Xét g  x   , x  [3; 4] 2x  2x  6x2  18x  (2x  3)  2[3x(x  3)  4] (2x  3)2  với x thuộc đoạn  3;  17  g  x  đồng biến đoạn  3;   g(x)  g(3)  x[3;4] Bài 2: Cách f(x)  mx2  2(m  1)x  3(m  2)  0, x  (2; ) (3) TH 1: m  (3) với x  TH 2: m  ta thấy trường hợp không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán TH 3: m  , f(x) có  '  2m2  4m  11 Số điện thoại: 0946.798.489 * Nếu  '   m  2 (do m  )  f(x)  x  * Nếu  '    m  2 (*) Khi f(x) có hai nghiệm x1  x2  x  x1 f(x)     f(x)  0, x   x   x  x2  m   '    '  m   3m  2m   m  m Kết hợp với (*)  2 m Vậy m  giá trị cần tìm 3 Cách 2: Xét hàm số g(x) với x  Ta có : g'(x)  2(x2  6x  3) (x2  2x  3)2  g'(x)   x   , lim g(x)  x  m  g(x) x  (2; )  m  maxg(x)  x 2 Xét hàm số f(x)  x2  2x  ,x  [0; 3] ,m  x1  Nếu m   m   m   y'  x nên hàm số đồng biến m    m 3  Nếu m  , suy yêu cầu toán   m   m    m  3  Nếu m  , suy yêu cầu toán   m   Hàm số nghịch biến [2; 1]  x [2; 1], y'   x  [2; 1],3x2  6x   2m Xét h  x   3x2 – 6x  [2; 1] Chương KSHS Ứng dụng đạo hàm Vấn đề Đơn điệu hàm số Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương x [2; 1],h(x)  2m  h(x)  2m  10  2m  m  5 x[ 2; 1] Cách : Hàm số cho nghịch biến khoảng  1;1   y'  0, x   1;1 Xét hàm số g  x    3x2  6x  , x   1;1  g'  x   6x   0, x   1;1  g  x  nghịch biến khoảng  1;1 lim g  x   2, lim g  x   10 Vậy m  10 thoả yêu cầu x1 x1 Cách : y''  6x  Nghiệm phương trình y''  x  1  Do đó, hàm số cho nghịch biến khoảng  1;1 m  lim g  x   10 x1 Xét hàm số g  x   g'  x   6x2  18x 9x4 lim g  x    x3 2x  3x2 liên tục khoảng  3;  , ta có  0, x   3;   g  x  nghịch biến khoảng  3;  4 , lim g  x    Dựa vào bảng biến thiên suy m    27 27 x0 13 [...]... , suy ra yêu cầu bài toán   m  1  1 4 Hàm số nghịch biến trên [2; 1]  x [2; 1], y'  0  x  [2; 1],3x2  6x  1  2m Xét h  x   3x2 – 6x  1 trên [2; 1] Chương 1 KSHS và Ứng dụng đạo hàm Vấn đề 1 Đơn điệu hàm số Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương x [2; 1],h(x)  2m  min h(x)  2m  10  2m  m  5 x[ 2; 1] 5 Cách 1 : Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;1...Chương 1 KSHS và Ứng dụng đạo hàm Vấn đề 1 Đơn điệu hàm số Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương 3 y  x3  3x2  3(m2  1)x  1 đồng biến trên (1; 2) 4 y  x – 3x   2m  1 x – 4 biến trên [2; 1] 3 2 5 y  x3  3x2   m  1 x...  2 2 6 2 m Vậy m  là những giá trị cần tìm 3 2 3 Cách 2: Xét hàm số g(x) với x  2 Ta có : g'(x)  2(x2  6x  3) (x2  2x  3)2  g'(x)  0  x  3  6 , lim g(x)  0 x  m  g(x) x  (2; )  m  maxg(x)  x 2 2 Xét hàm số f(x)  2 3 x2  2x  1 ,x  [0; 3] ,m  0 x1 3  Nếu m  1  m  1  m  0  y'  0 x nên hàm số đồng biến trên m  1  1  m 3  Nếu m  0 , suy ra yêu cầu...  1;1 Xét hàm số g  x    3x2  6x  1 , x   1;1  g'  x   6x  6  0, x   1;1  g  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 và lim g  x   2, lim g  x   10 Vậy m  10 thoả yêu cầu x1 x1 Cách 2 : y''  6x  6 Nghiệm của phương trình y''  0 là x  1  1 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;1 khi và chỉ khi m  lim g  x   10 x1 6 Xét hàm số g  x... khoảng  1;1 6 y  mx3  x2  3x  m  2 đồng biến trên khoảng  3; 0  Lời giải tác giả: Bài 1: 1 + m  0 , y  0, x  (0; )  m  0 thoả mãn + m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, Hàm số cho đồng biến trên (1; 2)  m m 1 0 m 1 Vậy m   ;1 2 x [3; 4],3x2  2(m  2)x  3m  2  0  x [3; 4],3x2  4x  2  m(2x  3)  x  [3; 4], g'(x)  3x2  4x  2 3x2  4x  2  m