Chuyên đề thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Nội dung chuyên đề gồm: A Kiến thức cần thiết: B Các dạng toán: I Các phương pháp tính thể tích Các Phương pháp tính trực tiếp Phương pháp tính gián tiếp II Một số dạng toán liên quan: Tỷ số thể tích Sử dụng thể tích để tính khoảng cách A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT: I Một số tích chất: 1.Tính chất 1: ( Dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)  a ⊥ b, a ⊥ c  a, b ⊂ (α ) ⇒ a ⊥ (α ) a ∩ b = { M }  Tính chất 2: ( Dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc) Hệ quả: Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh a ⊥ (α ) ⇒ a ⊥ b tam giác vuông góc với  b ⊂ (α ) cạnh lại 3.Tính chất 3: (Dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) (α ) ⊥ ( β ), (α ) ⊥ (γ ) ⇒ ∆ ⊥ (α )  ∆ = ( β ) ∩ (γ ) 4.Tính chất 4: (Dùng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) (α ) ⊥ ( β ), (α ) ∩ ( β ) = ∆ ⇒ b ⊥ (α )  b ⊂ ( β ), b ⊥ ∆ Tính chất 5: (Dùng để chứng minh đường thẳng vuông a // b góc với mặt phẳng) ⇒ b ⊥ (α )  a ⊥ (α ) II Các toán khoảng cách: Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy Xác định d(A, (SBC))? Cách giải S + Kẻ AM ⊥BC,(M∈BC), AH ⊥SM, (H ∈ SM) + Ta CM được: d(A, (SBC)) = AH 1 + Tính AH: = + 2 AH SA AM Chú ý: H C A M B Nếu tam giác ABC Cân A M trung điểm BC Nếu tam giác ABC có góc B vuông M trùng B Nếu tam giác ABC tù B C M nằm đoạn BC Bài toán 2: (Hình chóp có cạnh bên nhau) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC S Xác định d(S,(ABC))? Cách giải + Kẻ SH ⊥ (ABC),(H∈(ABC)) ⇒ d(S,(ABC)) = SH A C H + CM được: ∆ SHA = ∆SHB = ∆ SHC ⇒ HA = HB = HC B ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chú ý: Cho hình chóp S.ABC Khi mệnh đề sau tương đương: i SA = SB =SC ii SA, SB, SC nghiêng với đáy iii Hình chiếu vuông góc S mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài toán 3: (Hình chóp có mặt bên nghiêng với đáy) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên nghiêng với S đáy Xác định d(S,(ABC))? Cách giải + Kẻ SH ⊥ (ABC), (H ∈ (ABC)) d(S,(ABC)) = SH P A C + Kẻ HM⊥ AB, (M ∈AB); H HN ⊥BC, (N∈ BC); N M HP⊥ CA, (P ∈CA); B + CM được: ∆ SHM = ∆ SHN = ∆ SHP ⇒ HM = HN = HP ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài toán 4: (Tứ diện có mặt bên vuông góc với mặt đáy) Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Xác định d(S,(ABC))? S Cách giải + Kẻ SH⊥ AB, (H∈ AB) ( SAB) ⊥ ( ABC ), ( SAB) ∩ ( ABC ) = AB + Ta có:  A SH ⊂ ( SAB), SH ⊥ AB B H ∆ ) ⇒ SH ⊥ ( ABC + Vậy d(S,(ABC)) = SH C Chú ý: - Tam giác SAB cân S H trung điểm AB 1 = 2+ - Tam giác SAB vuông S thì: SH⊥ SA SB III Các toán góc: Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)? S Cách giải + Kẻ AM ⊥ BC,(M ∈ BC) ⇒ SM ⊥ BC ⇒ ((SBC),(ABC)) = ∠ SMA C A B M Bài toán 2: (Góc hai mặt phẳng tạo hai tam giác cân chung đáy) Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC tam giac ABC hai tam giác cân chung đáy BC S Cách giải + Gọi M trung điểm BC từ giả thiết ta có: AM ⊥ BC, SM ⊥ BC ∠SMA ⇒ ((SBC),(ABC)) =  A 180 − ∠SMA B M C Bài toán 3: (Góc hai mặt phẳng tạo hai tam giác chung đáy) Cho chóp S.ABC có tam giác SBC tam giác ABC S Tính góc hai mp (SBC) (ABC)? Cách giải + Vì ∆ SBC = ∆ ABC suy kẻ: AM ⊥ BC SM ⊥ BC ∠SMA A ⇒ ((SBC),(ABC)) = 180 − ∠SMA  B M C Phương pháp tính gián tiếp: Các toán loại dựa vào việc phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hiệu khối so sánh thể tích với khối đa diện khác Trong nhiều toán tính thể tích cách trực tiếp gặp khó khăn hai lý do: + Hoặc khó xác định tính chiều cao + Hoặc tính diện tích đáy không dễ dàng Khi nhiều trường hợp ta làm sau: + Phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hay hiệu khối (khối chóp hay khối lăng trụ) mà khối dễ tính thể tích + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với khối đa diện Một số vílàdụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a, góc ASB = 600, góc BSC = 900, góc CSA = 1200 Tính VS.ABC HD: + Lấy B’, C’ thuộc SB, SC cho SB’ = a, SC’ = a VSABC SB SC + Ta có: = = nên VS.ABC = 6.VS.AB’C’ SB ′ SC ′ VSAB′C ′ + Tính VS.AB’C’: Xét tam giác: SAB’: SA = SB’ = a góc ASB’ = 600 SAC’ có: SA = SC’ = a góc ASC’ = 1200 A nên AC’ = a SB’C’ có: SB, = SC’ = a góc B,SC’ = 900 nên BC’ = a => tam giác AB’C’ vuông B’ a2 => SAB’C, = S nên AB’ = a H C’ B’ + Vì SA = SB’ =SC’ = a, tam giác AB’C’ vuông B B nên theo Bài toán khoảng cách ta có: a Gọi H trung điểm AC’=> SH ⊥ ( AB′C ′) => SH = sin60 a = 3 a a VS.AB’C’ = Vậy VS.ABC = 12 C Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm đường chéo AC = 4cm Đoạn SO = 2 cm vuông góc với đáy, O giao điểm AC với BD Gọi M trung điểm SC N giao điểm SD với (ABM) Tìm thể tích khối chóp A.BMNC HD + Ta có AB//CD => AB//(SCD) => (ABM)∩ (SCD) = MN (N∈ SD) + Vì M trung điểm SC nên N trung điểm SD S Ta có: VS.ABMN = VS.SABN + VS.BMN (1) Theo toán tỷ số thể tích ta có: VS ABN SN 1 = = ⇒ VS ABN = VS ABD = VS ABCD VS ABD SD 2 VS BMN SN SM 1 = = ⇒ VS BMN = VS BCD = VS ABCD VS BCD SD SC 4 Từ (1) suy ra: VS.ABMN = VS ABCD M N D A 11 V = SO S = SO AC BD = ABCD Dễ thấy S ABCD 23 Suy VS.ABMN = C O B Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD đều, có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a Gọi M,N,P trung điểm SA,SB,CD S Tìm thể tích tứ diện AMNP HD: Do MS = MA => d(A,(MNP)) = d(S,(MNP)) N M ⇒VA.MNP = VS.MNP Theo toán tý số thể ⇒tích ta H B O D Suy ra: VS MNP = A VS MNP SM SN = = có: V SA SB S ABP P C 11 S ABP SO = AB.HP.SO 43 24 a2 a3 = a.a a − = 24 48 a3 Vậy VA.MNP = 48 ( O H tương ứng tâm đáy ABCD trung điểm AB) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh a SA = 2a SA vuông góc với đáy Gọi M, N tương ứng hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính VA.BMNC HD: Ta có: VA.BMNC = VS.ABC – VS.AMN (1) S + Theo toán tỷ lệ thể tích thì: VS AMN SM SN = VS ABC SB SC N + Xét tam giác SAB ta có:SB = a 1 2a 4a = + = ⇒ AM = ⇒ SM = AM AB SA 4a 5 A 4a + Tương tự ta có:SC = a ; SN = M B VS AMN 16 16 Suy ra: = ⇒ VS AMN = VS ABC ⇒ VS BCMN = VS ABC VS ABC 25 25 25 3 a a a Vậy VS BCMN = = Mà VS ABC = 2a 50 C II Một số toán liên quan: Tỉ số thể tích: Các toán thường có dạng sau đây: Cho khối đa diện mặt phẳng (P), mặt phẳng cắt khối đa diện theo thiết diện (Q) Thiết diện chia khối đa diện thành hai phần tích V1, V2 Bài toán yêu cầu tìm tý số Phương pháp giải: + Xác định thiết diện + Chọn hai phần để tính thể tích gọi V1 V1so sánh k V1 với thể tích khối ban đầu V Ta giả +Khi Tính = đó: V2 (01 d(SA,BM) = d(SA,(OBM)) = d(S,(OBM)) = d(C,(OBM)),(do MS ⊥ (ABCD) = MC) Ta có: OB2 = AB2 – OA2 = => OB = Kẻ MH 1 ⇒ MH = SO = Vậy VM.OBC = SOBC.MH 1 = OB.OC.MH = Ta có: OM = , SA = SO + OA = Khi ta có: VC.OBM= d(C,(OBM)) SOBM VC.OBM = d(C,(OBM)) 1.OB.OM A d(C,(OBM)) = S M D C H O B [...]... 1 Tỉ số thể tích: Các bài toán này thường có dạng sau đây: Cho một khối đa diện và một mặt phẳng (P), mặt phẳng này cắt khối đa diện theo một thiết diện (Q) nào đó Thiết diện này chia khối đa diện thành hai phần có thể tích là V1, V2 Bài toán yêu cầu tìm tý số Phương pháp giải: + Xác định thiết diện + Chọn một trong hai phần để tính thể tích và gọi đó là V1 V1so sánh k V1 với thể tích của khối ban... A K D IV Thể tích khối đa diện: 1 Thể tich khối chóp: S A D H 1 V = B.h 3 + B: là diện tích đáy + h: là chiều cao C B 2 Thể tích khối lăng trụ: C’ A’ B’ V= + B: là diện tích đáy + h: là chiều cao C H A B.h B 3 Phân chia khối lăng trụ tan giác thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau: C’ Có nhiều cách phân chia A’ B’  A′ABC  ví dụ:  A′BB′C  A′CC ′B′  C A B 4 Công tức chia tỷ lệ thê tích: * Lưu... thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản hoặc so sánh thể tích của nó với khối đa diện cơ bản khác Trong nhiều bài toán tính thể tích một cách trực tiếp có thể gặp khó khăn vì hai lý do: + Hoặc là khó xác định và tính chiều cao + Hoặc là tính diện tích đáy không dễ dàng Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể làm như sau: + Phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hay hiệu các khối cơ bản (khối. .. = VS A′B′C ′ SC ′ B.CÁC DẠNG TOÁN: I Các phương pháp tính thể tích: 1 Phương pháp tính trực tiếp: Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích khối đa diện là chiều cao và diện tích đáy Trong quá trình tính cần chú ý: * Với khối chóp cần chính xác hóa vị trí chân đường cao của hình chóp, cụ thể: + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau ( hoặc nghiêm đều với đáy) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp... * Với khối lăng trụ có thể tính thể tích theo các hướng trên hoặc chia nhỏ thành nhiều khối chóp đơn giản để tính * Với khối đa diện phức tạp ta thường chia nhỏ thành nhiều khối chóp, lăng trụ đơn giản để tính Các ví dụ minh họa: Loại 1: Hình chóp, lăng trụ biết trước đường cao Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông tại B và AB =a, BC =2a Tính thể tích khối chóp... dễ dàng Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể làm như sau: + Phân tích khối cần tính thể tích thành tổng hay hiệu các khối cơ bản (khối chóp hay khối lăng trụ) mà các khối nay dễ tính thể tích hơn + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với một khối đa diện Một số vílàdụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a, góc ASB = 600, góc BSC = 900, góc CSA = 1200 Tính VS.ABC HD: + Lấy B’,... Tính thể tích khối VS.ABCD HD: S Gọi H là hình chiếu của I lên BC Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với đáy Tính được: IC = a 2 , IB = BC = a 5 A B SABCD = 1 AD.(AB+CD) = 3a2 2 Ta có: 1 IH.BC 2 Nên IH = 3 3 5 I H D = SIBC = SABCD – SABI – SCDI 1 2 3 2 2 2 = 3a − a − a = a 2 2 a 3 Từ đó: VS ABCD 600 a 3 15 = 5 C 2 Phương pháp tính gián tiếp: Các bài toán loại này dựa vào việc phân tích khối cần tính thể. .. = SO AC BD = ABCD Dễ thấy S ABCD 2 23 3 Suy ra VS.ABMN = 2 C O B Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD đều, có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a 2 Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,SB,CD S Tìm thể tích tứ diện AMNP HD: Do MS = MA => d(A,(MNP)) = d(S,(MNP)) N M ⇒VA.MNP = VS.MNP Theo bài toán tý số thể tích ta H B O D Suy ra: VS MNP = A VS MNP SM SN 1 = = có: V SA SB 4 S ABP P C 11 1 S ABP SO = AB.HP.SO... với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình vuông cạnh a HD: Áp dụng Bài toán 4 về khoảng cách ta có: + Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) + Vì tam giác ABC đều cạnh a => SH = S Tính được SABCD = a2 Vậy V S ABCD a 3 2 a3 3 = 6 B C H A D Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể biết cách góc... đây O là giao điểm của AC với BD Gọi M là trung điểm của SC và N là giao điểm của SD với (ABM) Tìm thể tích khối chóp A.BMNC HD + Ta có AB//CD => AB//(SCD) => (ABM)∩ (SCD) = MN (N∈ SD) + Vì M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của SD S Ta có: VS.ABMN = VS.SABN + VS.BMN (1) Theo bài toán tỷ số thể tích ta có: VS ABN SN 1 1 1 = = ⇒ VS ABN = VS ABD = VS ABCD VS ABD SD 2 2 4 VS BMN SN SM 1 1