Ổn định của vòm

Chương Ổn định vòm Chương ỔN ĐỊNH CỦA VÒM Vòm loại kết cấu thuộc hệ có trục đường cong, vòm chịu nén tâm trục trùng với đường cong áp lực Khi ổn định, vòm chuyển từ dạng cân chịu nén sang dạng cân chịu uốn, nghĩa ổn định vòm xuất ứng suất phụ uốn Trong phần, trình bầy cách tính ổn định hai loại vòm: vòm tròn vòm parabôn Ngoài ra, đề cập đến toán ổn định dạng đối xứng vòm parabôn 3.1 Phương trình vi phân tròn Xét tròn AB, chịu biến dạng uốn mặt phẳng ban đầu Sau biến dạng di chuyển đến vị trí A’B’ (hình 3-1), ta phân tích chuyển vị điểm theo hai thành phần: chuyển vị hướng tâm ký hiệu w chuyển vị theo phương tiếp tuyến ký hiệu u Các chuyển vị hệ xem nhỏ, đồng thời chuyển vị v thường nhỏ so với chuyển vị w, nên để tính toán ta bỏ qua ảnh hưởng chuyển vị u Để thiết lập phương trình vi phân chuyển vị cong ta xét phân tố chiều dài ds Giả sử trước biến dạng phân tố có vị trí mn, sau biến dạng phân tố chuyển dời tới m’n’ Tiết diện m có chuyển vị hướng tâm w chuyển vị góc dw/ds Tiết diện n có chuyển vị hướng tâm (w + dw) dw d w chuyển vị góc là:  ds ds ds Từ ta thấy gia số chuyển vị góc từ điểm m’ đến điểm n’ là: Δdθ  d2w ds ds Nếu chuyển vị w hướng phía tâm cong cung tròn dương, mô men uốn làm giảm độ cong ban đầu dương, ta có liên hệ độ biến thiên độ cong mô men uốn sau: d m A m n B n, , B , A , m dw dS w m r0 d+d n n , dw d dw + ( )dS dS dS dS , d r0 d  O Hình 3-1 Sơ đồ biến dạng đoạn vòm cong 1 EJ   r r0    M  (3-1) Trong r r0 bán kính cong trước sau biến dạng Từ quan hệ hình học ta có: 92 Chương Ổn định vòm dθ dθ  Δdθ   r0 ds r ds  Δds Nếu so sánh chiều dài phân tố lúc trước sau biến dạng, ta bỏ qua góc vô bé dw/ds tức xem chiều dài phân tố m’n’ (r0 - w)d thì: Δds  (r0 - w)dθ  r0 dθ   wdθ   w ds r0 Do đó: d2w ds ds  r  w ds1    r0  dθ  Hay:  w  d2w 1     r  r0  r0 ds 1 w d2w    r r0 r0 r ds (3-2) Vì bán kính cong ban đầu r0 bán kính sau biến dạng r khác nên ta thay w/r0r w/r20 Do đó, từ (3-1) (3-2) ta có: w d2w M   EJ r0 ds (3-3) Nhưng: dw dw dθ dw   ; ds dθ ds r0 dθ d w d  dw  d w    ds ds  r0 dθ  r02 dθ Nên phương trình (3-3) trở thành: Mr02 d2w  w   EJ dθ (3-4) Đó phương trình vi phân cân cong viết theo hệ toạ độ cực 3.2 Ổn định vành tròn chịu áp lực phân bố hướng tâm Dưới tác dụng tải trọng phân bố hướng tâm, vành tròn ổn định mặt phẳng (hình 3a) Ta xét nửa vành tròn chịu áp lực phân bố với cường độ q phản lực N0, M0 (hình 3-2) Mô men uốn tiết diện C có chuyển vị hướng tâm w xác định theo biểu thức sau: 93 Chương Ổn định vòm q AC , nhưng: N  q AO , Nên: M C  M  N AD  2 q M C  M   AC  2AO.AD   2 Từ hệ thức lượng tam giác, ta có: y Do đó: A N0 D O 0 M0 Nhưng sau thay vào biểu thức mô được:  0 AC  2AD.AO  OC  AO R x q  Nên men uốn ta OC  AC  AO  2AD.AO C 2 q M C  M   OC  AO   2 theo (hình 3-2) OC  R  w Hình 3-2 Sơ đồ tính nửa vành tròn chịu áp lực AO  R  w ta có: Nên sau thay OC AO vào biểu thức mô men uốn đồng thời bỏ qua số hạng vô bé bậc hai, ta được: M C  M  qR w  w  Do đó, phương trình vi phân (3-4) có dạng: d2w qR qR M   w    w w R 2 EJ dθ  EJ EJ  Hay:  qR  d2w 1  D  w  EJ  dθ  D (3-5) R M  qRw  EJ (3-6) Nghiệm phương trình vi phân (3-5) có dạng: w  Acoskθ  Bsinkθ  D k2 Phương trình chuyển vị góc: dw D   Akcoskθ  Bsinkθ  dθ k Trong đó: k  1 qR EJ Các điều kiện biên:  = 0; (3-7) dw dw  ;  = /2;  dθ dθ 94 Chương Ổn định vòm Do đó: B = Asink π  Tải trọng tới hạn nhỏ tương ứng với nghiệm: kπ  π ; k = 2 Thay k = vào công thức (3-7) ta tải trọng tới hạn: q th  EJ R3 (3-8) 3.3 Ổn định vòm tròn chịu áp lực hướng tâm phân bố hướng tâm 3.3.1 Vòm hai khớp Dưới tác dụng áp lực phân bố hướng tâm, vòm tròn hai khớp tồn lực nén tâm Tải trọng tới hạn nhỏ xảy tương ứng với biến dạng phản đối xứng (hình 3-3), ta không cần nghiên cứu dạng ổn định đối xứng Lực dọc tiết diện vòm N = q.R Trong R bán kính vòm tròn trạng thái biến dạng, mô men uốn tiết diện M = N.w = q.R.w Thay đại lượng vào phương trình vi phân (3-4) ta được:  qR  d2w 1  0  w   EJ dθ   (3-9) Nếu tiết diện vòm không đổi nghiệm tổng quát phương trình có dạng: w  Acoskθ  Bsinkθ Trong k xác định theo k  1 qR EJ (3-10) Từ điều kiện biên:  = 0; w = 0;  = ; w = 0, ta xác định được: A = 0; Bsink = Phương trình ổn định là: sink = Tải trọng tới hạn nhỏ tương ứng với nghiệm: k =  Do đó, theo (3-10) ta có:1  Suy ra:  f q th  l Trường hợp đặc q th  EJ R3 R qR π  EJ α R    EJ R3  π2     α  1   biệt  = /2 thì: (3-12) Đối với trường hợp vòm thoải nghĩa góc  nhỏ so với  công thức (3-11) ta bỏ qua số Hình 3-3 Sơ đồ tính vòm hai khớp đơn vị Lúc công thức lực tới hạn có dạng gần sau: 95 Chương Ổn định vòm q th  a, π EJ αR  C B A R M0 Lực dọc tới hạn: R   (3-13) M0 R  N th  q th R  π EJ αR 2  π EJ s2 l Trong s nửa chiều dài theo đường cung vòm Như vòm thoải, ta xem vòm b, có liên kết khớp hai đầu với chiều dài tính M0 2z toán nửa M0 chiều dài đường cung vòm áp M0 l dụng công thức Ơle để xác định lực dọc tới hạn Ngoài cần ý kết tìm theo công thức gần thường lớn kết Hình 3-4 Sơ đồ tính vòm không khớp tìm theo công thức xác Để xác định xem loại vòm vòm thoải, ta nghiên cứu sai số hai công thức (3-11) (3-13) Ta dễ dàng tìm sai số tỷ đối: ε 100 π2 1 α2 (3.15) Trong trường hợp vòm có tỷ số mũi tên f với chiều dài nhịp l f/l = 1/5, ta có: tg α f   0,4 Suy  = 4330' l Theo (3-15) sai số tỷ đối: 100   6,2%  180    1  43,5  Như ta thấy f/l  1/5 coi vòm thoải công thức (3-13) cho kết đáp ứng yêu cầu thực tế 3.3.2 Vòm không khớp Theo A.N.Đinnhich, tải trọng tới hạn nhỏ vòm không khớp xảy tương ứng với dạng ổn định phản đối xứng Khi biến dạng, vòm không khớp khác vòm hai khớp mặt cắt chân vòm có xuất mô men M0 Như mô men uốn vòm không khớp xác định vòm hai khớp, có bổ sung thêm mô men uốn phụ M0 gây Biểu đồ mô men uốn phụ M0 gây có dạng hình thang xoắn (hình 3-4b) Ta có: M θ  q.R.w  Nhưng: 2M z l z  R sin  l  2R sin  Nên: 96 Chương Ổn định vòm M θ  q.R.w  M sinθ sinα (3.16) Thay biểu thức mômen uốn vào phương trình vi phân (3-4) ta được: M R sinθ d w  qR  1  w   EJ  EJsinα dθ  (3.17) Nghiệm phương trình (3-16) có dạng: w  A cos k  B sin k   = 0; w = 0;  = ; w = C sin  , k 1 dw  dθ Từ điều kiện thứ ta A = 0, từ điều kiện thứ hai thứ ba ta được: Bsinkα  C sinα  ; k 1 Bkcoskα  C cosα  k 1 Phương trình ổn định: sinkα D kcoskα sinα k2 1  cosα k2 1 Sau khai triển biến đổi ta được: ktgα ctgkα  (3-18) Giải phương trình (3-18) ta tìm k từ (3-17) ta suy tải trọng tới hạn sau: q th  EJ k 1 R3   (3-19) Bảng (3-1) cho ta giá trị k tương ứng với góc  vòm không khớp: Bảng 3-1 Bảng giá trị hệ số k  30 60 90 120 150 180 k 8,62 4,38 2,36 2,07 3.3.3 Vòm ba khớp Dưới tác dụng tải trọng phân bố hướng tâm, vòm tròn ba khớp ổn định theo dạng phản đối xứng theo dạng đối xứng (hình 3-5a b) Khi ổn định theo dạng phản đối xứng, Đường biến dạng vòm ba khớp giống đường biến dạng vòm hai khớp Như vậy, ta dùng công thức (3-11) để xác định tải trọng tới hạn cho vòm ba khớp tương ứng với dạng biến dạng phản đối xứng Trong trường hợp thứ hai, đường biến dạng vòm đối xứng (hình 3-5b), điểm C có chuyển vị thẳng đứng Thực nghiệm chứng tỏ tải trọng tới hạn nhỏ vòm ba khớp xảy tương ứng với 97 Chương Ổn định vòm trường hợp biến dạng đối xứng Lúc này, cường độ tải trọng tới hạn xác định theo công thức sau: q th  4v  α EJ α2 (3-20) R3 C a, b, f l C1   Hình 3-5 Sơ đồ tính vòm ba khớp Trong giá trị nhỏ v xác định theo phương trình ổn định sau: tgv  v 4tgα  α   v3 α3 (3-21) 3.3.4 Vòm khớp Dưới tác dụng tải trọng phân bố hướng tâm, vòm khớp ổn định theo hai trường hợp sau: C - Trường hợp thứ phản đối xứng giống khớp Do đó, ta xác định tải q f l  nhất: vòm ổn định theo dạng Lúc đường biến dạng vòm đường biến dạng vòm không dùng công thức (3-19) để trọng tới hạn  Hình 3-6 Vòm khớp - Trường hợp thứ hai: vòm ổn định theo dạng đối xứng (hình 3-6) Tải trọng tới hạn nhỏ xảy tương ứng với trường hợp xác định theo công thức sau:   REJ q th  k  (3-22) k xác định theo phương trình sau: [2(k  1)  (k  2k  2)coskα  (k  1)kα sin kα]tgα  98 Chương Ổn định vòm  k[sinkα  (k  1)kαcoskα ] Trong tất trường hợp trên, tải trọng tới hạn viết dạng chung sau: EJ R3 q th  K (3-23) Lực dọc tới hạn viết dạng chung: N th  K EJ R2 (3-24) Hệ số K1 phụ thuộc góc  có giá trị ghi bảng 3-2 Bảng 3-2 Bảng giá trị hệ số k1 2 Vòm không khớp Vòm khớp 300 600 900 1200 1500 1800 294,0 73,3 32,4 19,1 11,5 8,0 162,0 40,2 17,4 10,2 6,56 4,61 Nếu thay: R(1 - cos) = f; Rsinα  q th  K Vòm hai khớp Vòm ba khớp 143,0 32,0 15,0 8,0 4,76 3,00 108,0 27,6 12,0 6,75 4,32 3,00 l , công thức (3-23) có dạng sau: EJ l3 (3-25) Trong hệ số K2 hệ số phụ thuộc vào điều kiện liên kết gối tựa tỷ số f/l Các giá trị K2 ghi bảng 3-3 Bảng 3-3 Bảng giá trị hệ số k2 f l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Vòm không khớp Vòm khớp 58,9 90,4 93,4 80,7 64,0 33,0 50,0 52,0 46,0 37,0 Vòm hai khớp Vòm ba khớp 28,4 39,3 40,9 32,8 24,0 22,2 33,5 34,9 30,2 24,0 Ta biểu thị biến thiên hệ số K2 theo tỷ số f/l đồ thị (hình 3-7) Qua đường cong ta thấy: - Độ ổn định vòm giảm dần số khớp vòm tăng lên - Tải trọng tới hạn vòm có giá trị lớn tỷ số f/l có giá trị vào khoảng 0,3 99 Chương Ổn định vòm K2 90 80 Kh«ng khíp 70 60 50 Hai khíp 40 30 3.4 Ổn định vòm Ba khíp parabôn 20 Trong mục ta dạng đường parabôn bậc chiều dài nhịp vòm nghiên cứu toán ổn định vòm có hai, chịu tải trọng phân bố theo 10 0,1 0,2 0,3 0,4 f l Nếu bỏ qua mô men uốn biến dạng nén vòm tác dụng tải trọng thẳng đứng phân bố đều, vòm xuất lực dọc trục Hình 3-7 Đồ thị k2 = f(f/l) Nhưng tải trọng đạt đến giá trị tới hạn vòm bị ổn định vòm xuất mô men uốn Trên (hình 3-8) biểu thị dạng ổn định phản đối xứng vòm parabôn hai khớp tương ứng với tải trọng tới hạn nhỏ A C Lôcxin người tìm nghiệm xác toán Viện sỹ A N Đinnhích nghiên cứu ổn định vòm parabôn có tiết diện không đổi thay đổi tương ứng với điều kiện liên kết gối tựa khác A N Đinnhích dùng phương pháp số để tích phân phương trình vi phân cấp ba phức tạp xác định hệ số ổn định cho trường hợp Ở không nghiên cứu tỉ mỉ nghiệm xác mà đưa kết cuối C f l Hình 3-8 Vòm parabol Bảng 3-4 Bảng giá trị hệ số k3 f l Vòm không khớp Vòm khớp Vòm hai khớp 0,1 0,2 0,3 0,4 60,7 101,0 115,0 111,0 33,8 59,0 96,0 28,5 45,4 46,5 43,9 100 Vòm ba khớp Biến dạng đối xứng 22,5 39,6 47,3 49,2 Biến dạng phản đổi xứng 28,5 45,4 46,5 43,9 Chương Ổn định vòm 0,5 0,6 0,8 1,0 97,4 83,8 59,1 43,7 80,0 63,0 48,0 38,4 30,5 20,0 14,1 38,0 28,8 22,1 38,4 30,5 20,0 14,1 Cũng trường hợp vòm tròn, công thức xác định lực tới hạn cho vòm parabôn biểu diễn dạng chung sau: q th  K EJ l3 (3-27) K3 hệ ổn định phụ thuộc loại vòm tỷ số mũi tên f với chiều dài l nhịp vòm Trong bảng 3-4 cho biết giá trị hệ số K3 Đối với vòm ba khớp ta cần đối chiếu trị số K3 hai trường hợp biến dạng đối xứng biến dạng phản đối xứng, chọn giá trị K3 nhỏ để xác định lực tới hạn Khi biến dạng phản đối xứng, hệ số K3 vòm ba khớp trùng với hệ số K3 vòm hai khớp Khi tính loại cầu vòm có tiết diện thay đổi, ta cần phải thiết lập tích phân phương trình vi phân cân có kể đến thay đổi mô men quán tính Nói chung, loại toán nghiên cứu có bảng hệ số ổn định ứng với trường hợp vòm có tiết diện thay đổi theo quy luật thường gặp thực tế Khi tính vòm parabôn có tiết diện thay đổi A F Smirnôp dùng lý thuyết ma trận để giải toán cách tương đối đơn giản Công thức tính tải trọng tới hạn vòm parabôn có tiết diện thay đổi chịu tác dụng tải trọng thẳng đứng phân bố viết dạng chung sau: q th  K EJ l3 (3-28) Khi tiết diện vòm thay đổi theo luật J = J0/cos3, hệ số K4 có giá trị tìm theo (bảng 3-5) Trong J0 mô men quán tính đỉnh vòm  góc hợp tiếp tuyến với trục vòm so với phương nằm ngang Bảng 3-5 Bảng giá trị hệ số k4 f l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 65,5 134,0 204,0 277,0 444,0 587,0 30,7 59,8 81,1 101,0 142,0 170,0 24,0 51,2 81,1 104,0 142,0 170,0 101 Chương Ổn định vòm 1,0 700,0 193,0 193,0 Khi tiết diện vòm thay đổi theo luật J = J0/cos, hệ số K4 có giá trị tìm theo (bảng 3-6) Bảng 3-6 Bảng giá trị hệ số k4 f l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 1,0 Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 62,3 112,0 154,0 152,0 133,0 118,0 29,5 49,0 57,0 52,0 44,0 37,0 23,2 43,6 59,0 57,0 52,0 44,0 37,0 Câu hỏi cuối chương: 1, Trình bày phương trinh vi phân tròn? 2, Trình bày ổn định vòm parabol? 102