ToanCasio fx 570VN PLUS

Tham khảo tài liệu các chuyên đề giải toán trên máy tính CASIO dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh nhằm củng cố kiến thức và luyện thi giải toán trên máy tính cầm tay với chủ đề: Bậc của đa thức, hệ phương trình.....

TẠ DUY PHƯỢNG

MỘT SỐ TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA

MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO fx-570VN PLUS

Hà Nội–2013

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 4-5

Phần 1 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong

giải toán số học… ……… … 6

Chương 1 Tìm thương và số dư… … 6

§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10

chữ số cho một số tự nhiên b……… … 6

§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên

b khi a vượt quá 10 chữ số …… ……… …… 11

Chương 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO

fx-570VN PLUS .16

§1 Tìm ước số chung lớn nhất của hai số ………… ………… 16

§2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ

số trên CASIO fx-570VN PLUS .……… …….…17 Chương 3 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số trên CASIO

fx-570VN PLUS .19

§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số… … …… 19

§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ

số trên CASIO fx-570VN PLUS ……… … …….…19

Chương 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO

fx-570VN PLUS .22

§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố… … … … 22

§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên máy tính CASIO fx-570VN

PLUS .… ………… ………… … ….…23

Phần 2 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong

giải toán đại số và giải tích… …… 27

Chương 1 Dãy truy hồi 27

§1 Các bài toán cơ bản … … … 27

§2 Các bài toán nâng cao … … 38

Chương 2 Tính toán với ma trận 39

§1 Các khái niệm cơ bản của đại số ma trận… … … 42

§2 Tính toán với ma trận trên CASIO fx-570VN PLUS …….…47

Chương 3 Giải phương trình và hệ phương trình…… 53

§1 Hệ phương trình bậc nhất …… … … … 53

§2 Giải phương trình và hệ phương trình trên CASIO fx-570VN PLUS …55

Chương 3 Tính giới hạn… … 57

Phần 4 Một số tính năng vượt trội khác của CASIO fx-570VN PLUS … … ……… 62

§1 Toán thống kê… … … 62

§2 Một số vấn đề khác …65

Kết luận… … 67

Tài liệu tham khảo… … 70

LỜI NÓI ĐẦU

CASIO fx-570VN PLUS là máy tính điện tử khoa học mới, có những tính

năng giải toán tương đối hoàn hảo, kết hợp được những tính năng vượt

trội của CASIO fx-500MS, CASIO fx-570MS, CASIO fx-500ES, CASIO

fx-570ES, CASIO fx-570ES PLUS và CASIO fx-500 VN PLUS trong

cùng một máy

CASIO fx-570VN PLUS rất thuận tiện trong giải các bài toán số học:

các bài toán chia có dư, tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số, phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Nếu các máy khác chỉ có phím Ans lưu kết quả của phép toán vừa tính xong (cũng đã rất thuận lợi trong sử dụng, thí dụ, trong giải gần

đúng phương trình), thì CASIO fx-570VN PLUS còn được cài đặt phím

Pr eAns (tiền nghiệm-kết quả của phép tính được tính trước và được khai báo nhờ bấm phím ALPHA Ans ) rất thuận tiện trong tính các giá trị của dãy truy hồi cấp hai Khác với một số máy khác, nghiệm phức

của phương trình bậc hai, bậc ba trên CASIO fx-570VN PLUS được viết

dưới dạng số phức a  bi thông thường Sau khi giải phương trình bậc

hai, CASIO fx-570VN PLUS còn tính tọa độ đỉnh của Parabol Ngoài ra, CASIO fx-570VN PLUS còn có những tính năng vượt trội khác mà các

máy khác không có: Giải bất phương trình, lập bảng tính giá trị của một

hay hai hàm số, Vì vậy, CASIO fx-570VN PLUS có thể được sử dụng

rất hiệu quả trong dạy và học trong các trường phổ thông và đại học Mục đích của Tài liệu này là giới thiệu các tính năng vượt trội của

CASIO fx-570VN PLUS không chỉ trong thực hành giải toán phổ thông,

mà còn cả trong giải các bài toán nâng cao (thi học sinh giỏi) Vì vậy, hy vọng nó cũng có ích cho cả các sinh viên đại học và cao đẳng, nhất là các sinh viên sư phạm Toán

Nhằm giúp bạn đọc chưa bao giờ sử dụng máy tính, khi trình bày các qui trình bấm phím, chúng tôi hướng dẫn tỉ mỉ thực hành các thao tác Theo quan điểm của tác giả, phổ biến một số loại máy với chức năng tương đương hoặc vượt trội là có lợi cho người sử dụng Với những ưu điểm và tính năng khác nhau, các loại máy khác nhau có thể hỗ trợ và liên kết nhau, giúp người sử dụng song song giải quyết những vấn đề mà một máy không có khả năng hoặc đòi hỏi thao tác phức tạp Giới thiệu tỉ

mỉ những ưu điểm và hạn chế của từng loại máy có lẽ cũng phần nào gợi

ý các nhà thiết kế cải tiến các loại máy hiện có để cho ra đời những máy tính phù hợp hơn với người sử dụng, đặc biệt là với học sinh, sinh viên

và giáo viên phổ thông

Tác giả cũng quan niệm rằng, việc sử dụng loại máy cụ thể nào trong

giảng dạy không quá quan trọng, vấn đề là các nội dung toán học mà máy tính chuyển tải như một công cụ dạy học trợ giúp truyền thụ kiến thức Vì vậy, phần chính của cuốn sách là hướng dẫn sử dụng hiệu quả

máy tính trong học tập Các thí dụ và bài tập được lựa chọn nhằm minh

họa khả năng làm giàu các kiến thức toán học nhờ máy tính, chứ không

chỉ dừng lại ở mức độ thực hành tính toán Hy vọng các bạn đã sử dụng

máy tính VINACAL, SHARP hoặc các loại máy CASIO khác cũng có

thể tìm thấy những điều thú vị trong tài liệu này

Tài liệu được biên soạn phù hợp với chương trình Toán Trung học cơ sở

và Trung học phổ thông Hy vọng rằng, Tài liệu có thể được các giáo viên, học sinh và sinh viên tham khảo, sử dụng trong dạy và học toán

Do hạn chế về khuôn khổ của Tài liệu, nhiều tính năng của CASIO

fx-570VN PLUS còn chưa được khai thác hết Hy vọng bạn đọc sẽ khám

phá thêm nhiều điều thú vị khi sử dụng CASIO fx-570VN PLUS

Rất mong nhận được và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của

bạn đọc Thư từ trao đổi xin được gửi về địa chỉ sau: PGS TS Tạ Duy

Phượng, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại:

0983605756; e-mail: tdphuong@math.ac.vn

Hà Nội, 26 tháng 8 năm 2013

Tác giả

PHẦN 1

CÁC TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA CASIO fx-570VN

PLUS TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC

Một trong những tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS so với

các máy khác là máy đã được cài đặt chương trình để có khả năng giải

một số bài toán số học (tìm thương và số dư, tìm ước số chung lớn nhất

và bội số chung nhỏ nhất, phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên

tố) chỉ bằng một lệnh (một thao tác)

CHƯƠNG 1 TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ

§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10 chữ số cho một số tự nhiên b

Trước tiên ta nhớ lại

Định lí Với hai số tự nhiên a và b bất kì (a  b), bao giờ cũng tìm

được duy nhất các số q và r sao cho a  qb  r , trong đó 0   r b Khi r  0 ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ta cũng nói a là

bội số của b hay b là ước số của a

Thuật toán chia

Để chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b (a  b ), ta thực hiện theo thí dụ sau

được 131 không chia được cho 209 Hạ nốt 2 được 1312 chia 209 được 6

dư 58 Vậy a  2572012  209 12306 58  

Thuật toán chia được thực hiện trong Bảng 1 dưới đây Thuật toán này

đã được lập trình để máy tính tự động thực hiện tính toán

b trên CASIO fx-570VN PLUS

Do đã được lập trình sẵn, CASIO fx-570VN PLUS có thể giải bài toán

tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b

chỉ bằng một lệnh (một thao tác) như sau

Trước tiên bấm phím ON để mở máy

 Khai báo số bị chia a

 Bấm phím ALPHA  R (lệnh tìm thương và số dư)

 Khai báo tiếp số chia, bấm phím = để được kết quả trên màn

hình: Q (Số thương Q), R= (Số dư R=)

Thí dụ 1.1 (Đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính cấp khu vực, Bộ

Giáo dục và Đào tạo, lớp 6, 7, 2001)

a) Tìm thương và số số dư khi chia 18901969 cho 2382001;

b) Tìm thương và số dư khi chia 3523127 cho 2047

Cách giải 1 (trên CASIO fx-570VN PLUS)

a) Bấm phím

18901969 ALPHA  R 2382001 = (7, R=2227962)

Chú ý Từ nay về sau ta qui ước: Để tránh cồng kềnh, các số được viết

trực tiếp mà không viết trong các ô thể hiện phím bấm Thí dụ, 2382001 không viết 2 3 8 2 0 0 1 Đáp số là biểu thức được viết trong ngoặc sau phím = Thí dụ: = (7, R=2227962) nghĩa là thương bằng 7

và số dư bằng 2227962

b) Bấm phím

3523127 ALPHA  R 2047 = (1721, R=240)

Vậy 3523127 chia cho 2047 được thương là 1721 và số dư là 240

Lời bình 1.1 Sau khi khai báo số bị chia, chỉ bằng một thao tác

ALPHA  R và sau đó khai báo số chia, ta có ngay kết quả Với các máy tính khác (không có chức năng ALPHA  R ) để tìm thương và

số dư, ta phải sáng tạo vòng vo (thủ công, không cần thiết) như sau

Cách giải 2 Lần lượt trừ số bị chia cho số chia cho tới khi được số nhỏ

hơn số chia, chính là số dư (trước khi trừ đưa số chia vào ô A để sử

dụng nhiều lần):

2382001 SHIFT STO A 18901969  ALPHA A  (16519968)  ALPHA A  (14137967)  ALPHA A  (11755966)  ALPHA A  (9373965)  ALPHA A  (6991964)  ALPHA A  (4609963)  ALPHA A  (2227962)

Cách giải 3 Chia số bị chia cho số chia để tìm thương, rồi tìm số dư

bằng cách trừ số bị chia cho tích của phần nguyên của thương và số chia (Phần nguyên của 7.93532101 bằng 7):

2382001 SHIFT STO A 18901969  ALPHA A  (7.93532101)  ALPHA A  7  ALPHA A  (2227962)

Lời bình 1.2 Cách giải 2 sử dụng kĩ thuật trừ liên tiếp: lấy số bị chia liên

tiếp trừ cho số chia, cho tới khi được số nhỏ hơn số chia, đó chính là số

dư Số lần trừ liên tiếp chính là thương Cách này chỉ áp dụng được khi

thương tương đối nhỏ (thí dụ, thương là 7 trong câu a) và phải nhớ đã

trừ bao nhiêu lần

Cách giải 3 sử dụng công thức a   b c=b    c  r, trong đó   c là phần nguyên của c Trước tiên ta đưa b vào ô nhớ B để sử dụng nhiều lần, sau đó chia a cho b để được c (và nhìn màn hình để được phần nguyên   c ), rồi nhân lại với b (bằng cách gọi số b từ ô nhớ Bnhờ ALPHA B ) để được lại a, sau đó trừ đi b    c (bấm phím

  c  ALPHA B ) để được số dư r

b) 2047 SHIFT STO B 3523127  ALPHA B 

(1721.117245)  ALPHA B  1721  ALPHA B  (240.)

Lời bình 1.3 Trong thực tế, không thể áp dụng cách 2 (đã thực hiện tốt

để giải câu a)) vào câu b) vì số lần bấm phím quá lớn (1721 lần bấm dãy phím  ALPHA B  )

Lời bình 1.4 CASIO fx-570VN PLUS thật là đơn giản: Chỉ cần một

thao tác ALPHA  R là có thể tìm được thương và phần dư trong

phép chia với các số lớn Không cần sáng tạo vòng vo!

Lời bình 1.5 CASIO fx-570VN PLUS thật là hữu ích: Có thể sử dụng

CASIO fx-570VN PLUS trợ giúp giải các bài toán chia hết (bài tập khó

của Toán Trung học cơ sở) như ví dụ dưới đây

Thí dụ 1.2 Tìm a b c , , biết số 11 8 1987 a b c chia hết cho 504

Cách giải 1 (Toán kết hợp với máy tính) Vì 504    7 8 9 nên để

11 8 1987 a b c chia hết cho 8 thì ba số tận cùng 87c phải chia hết cho 8

Vì 87 c  800 7  c nên để 87c chia hết cho 8 thì c chỉ có thể bằng 2

Số cần tìm có dạng 11 8 19872 a b

Để số đã cho chia hết cho 9 thì 37    a b 36 1    a b phải chia hết cho 9, tức là a    b 1 9 hoặc a    b 1 18. Suy ra a   b 8hoặc a   b 17.

Thử tất cả các trường hợp trên máy tính, ta có kết quả sau:

a b Số đã cho  504= Thương Dư Kết luận

Vì số đã cho đồng thời phải chia hết cho 9 nên a và b đồng thời phải thỏa mãn hai điều kiện: a   b 8 hoặc a   b 17 và 3 a  2 b  1bằng một trong các số: 0, 7, 14, 21, 28

Trường hợp 1 3 a  2 b   1 0. Từ điều kiện a   b 8 ta được

Lời bình 1.6 Sử dụng máy tính hay hơn Ta đã không phải suy nghĩ gì về

điều kiện chia hết cho 7, mà dùng máy tính để kiểm tra nó! Trong Cách

giải 2 (giải toán), ta cũng vẫn phải sử dụng máy tính trợ giúp các phép toán trung gian (tìm phần dư của 1108019872 khi chia cho 7)

Bài tập

Lưu ý Với CASIO fx-570VN PLUS , nhiều bài tập trước đây phải thao

tác dài hơn (theo cách giải 2 hoặc cách giải 3), nay có thể rút ngắn nhờ chỉ một lệnh ALPHA  R

Bài 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, 2002-2003)

Tìm thương và số dư khi thực hiện phép chia:

(Lớp 12 Trung học phổ thông) số 123456789 cho 23456

(Lớp 12 Trung học Bổ túc) số 3456789 cho 23456

Bài 1.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, 2001-2002)

(Lớp 6) Chia 6032002 cho 1905 có số dư là r Chia 1 r cho 209 có số 1

Bài 1.5 (Chọn đội tuyển Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh)

Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi

chia cho 619 dư 237

§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b khi a vượt quá 10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị của máy tính khoa học)

Thí dụ 2.1 (Thi học sinh giỏi cấp khu vực, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2006) Tìm số dư trong mỗi phép chia sau:

a) 103103103: 2006;

Tuy nhiên, đáp số chưa thật làm ta yên tâm!

Nhận xét 2.1 Với các bài toán mà số bị chia vượt quá 10 chữ số, trên

thực tế lệnh ALPHA  R không làm việc Tuy nhiên, ta vẫn có thể

sử dụng lệnh này như sau

Cách 2 Biểu diễn số bị chia dưới dạng tổng một số có 10 chữ số (nhân

với lũy thừa của 10) và một số khác (có dưới 10 chữ số như trong câu b

và trên 10 chữ số như trong câu c):

30419753041975=30419753040000+1975= 304197530410000+1975 Kết hợp tính trên máy và ghi kết quả ra giấy ta được:

Tìm thương và số dư khi chia 22032006 cho 2010:

22032006 ALPHA  R 2010 = ( 10961, R=396) Vậy

103200610320061032006=

=51343587223900000  2010 + 22032006

=51343587223900000  2010 + 10961  2010 + 396

=51343587223910961  2010 + 396

Đáp số: Thương và số dư khi chia 103200610320061032006 cho 2010

tương ứng là 51343587223910961 và 396

Lời bình 2.1 Ta phải “sáng tạo vòng vo” như trên vì các máy tính khoa

học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) nói chung chỉ hiển thị được 10

chữ số trên màn hình Sử dụng Caculator (cài đặt trên máy tính cá nhân Personal Computer), ta không cần sáng tạo vòng vo này, do Caculator

có thể làm việc chính xác đến 32 chữ số:

Nháy chuột vào Caculator (trên máy tính cá nhân) và thực hiện phép

chia nhờ phím chia / theo Cách giải 3 trong Bài 1.1:

30419753041975 / 151975 = (200162875.74913637111367001151505)  151975  151975  200162875 = (113850)

Tương tự, 51343587223910961.197014925373134

103200610320061032006 / 2010 = (51343587223910961.197014925373134)  2010  51343587223910961  2010 = (396)

Bài 2.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học phổ thông, 2003)

Tìm số dư khi chia số 2010

2001 cho số 2003

CHƯƠNG 2 TÌM ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT CỦA HAI

HAY BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Ước số chung lớn nhất của hai số

Trước tiên ta nhớ lại

Định nghĩa 1 Ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b là số

a

b (tự động thực hiện trên máy sau khi khai báo phân

số và bấm phím = ) Sau đó lấy a chia cho a1 (hoặc lấy b chia cho

1

b ), được thương bằng d, chính là UCLN của hai số a và b

Thí dụ 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên Đề chọn đội tuyển thi

học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)

Khai báo phân số a

b nhờ phím và bấm phím = để được phân số tối giản:

1754298000 75125232 = (2125

91 )

Chia a  1754298000 cho 2125 (hoặc chia b  75125232 cho 91)

để được UCLN của a và b:

1754298000  2125 = (825552) hay 75125232  91 = (825552)

Đáp số: UCLN của a và b bằng 825552

§ 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO 570VN PLUS

fx-Qui tắc tìm ước số chung lớn nhất (Greate Common Division, viết tắt là

GCD) của hai số trình bày ở trên đã được lập trình và tính trên CASIO

fx-570VN PLUS như sau

Thí dụ 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên Đề thi chọn đội tuyển

thi học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)

Cho a=75125232, b=1754298000 Tìm UCLN của a và b

Giải Toàn bộ qui trình bấm phím được viết như sau:

ALPHA GCD 1754298000 SHIFT , 75125232 = (825552)

Đáp số: USCLN của 1754298000 và 75125232 là 825552

Để tìm ước số chung lớn nhất của ba số A B C , , trên CASIO fx-570VN

PLUS ta làm như sau

 Khai báo lệnh GCD: ALPHA GCD ALPHA GCD

 Khai báo hai số A B , , đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm phím SHIFT ,

 Đóng ngoặc bằng phím ) và khai báo số C

 Bấm phím = để được kết quả

CHƯƠNG 3 TÌM BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT CỦA HAI HAY

BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

Trước tiên ta nhớ lại

Định nghĩa 1.1 Bội số chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên a và b là số

tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho a và b

Quan hệ giữa bội số chung nhỏ nhất (BCNN) và ước số chung lớn nhất (UCLN) của hai số tự nhiên a và b được mô tả theo công thức sau:

Như vậy, trước tiên ta tìm UCLN của a và b Sau đó tìm BCNN của a

và b theo công thức trên

Qui tắc trên có thể áp dụng để tìm BCNN của ba hay nhiều số

§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số hay nhiều số trên CASIO fx-570VN PLUS

Qui tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (Lower Common Multiple, viết tắt là LCM) của hai hay ba số trình bày ở trên đã được lập trình tính trên

CASIO fx-570VN PLUS như sau

Tìm BCNN của hai số:

 Bấm phím ALPHA LCM Trên màn hình hiện: LCM(

 Khai báo các số, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm phím SHIFT ,

 Bấm phím = để được kết quả

Vậy UCLN(C D , ) bằng: 15  3 = (5) hay 1975  395 = (5)

Vậy UCLN(A B C , , ) = UCLN(C D , ) = 5

Gọi E là bội chung nhỏ nhất của A và B Khi đó

E  A B   A B UCLN(A B , )= 24570

Vì UCLN(A B C , , ) = 5 nên UCLN(E C , ) = 5

Vậy bội chung nhỏ nhất của A B C , , bằng:

BCNN( , , ) A B C  BCNN( , ) E C   E C : UCLN(E C , )

=(24570 1975) : 5   9705150.

Cách 2 Tìm BCNN của ba số A= 195; B= 1890; C= 1975 trên

CASIO fx-570VN PLUS:

ALPHA LCM ALPHA LCM 195 SHIFT , 1890 )

Tìm UCLN và BCNN của hai số a=3022005, b=7503021930

Bài 2.4 (Thi giải toán trên máy tính, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, tháng

11, 2004 và tháng 1, 2005) Tìm UCLN và BCNN của hai số

a=1234566, b=9876546

Bài 2.5 (Sở GD và ĐT Thái Nguyên, chọn đội tuyển, lớp 12, 2004)

Tìm USCLN của hai số a1754298000 và b75125232

Bài 2.6 (Bộ Giáo dục Đào tạo, lớp 12, 2002) Tìm ước số chung lớn nhất

của hai số: a = 24614205, b = 10719433

Bài 2.7 (Sở Giáo dục Đào tạo Đồng Nai, Phổ thông Trung học,

2002-2003) Tìm ước chung lớn nhất của hai số

Bài 2.9 (Bộ Giáo dục Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2009-2010)

Cho a = 11994; b = 153923; c = 129935

Tìm ƯCLN(a,b,c) và BCNN(a,b,c)

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Trước tiên ta nhớ lại

Định nghĩa 1 Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Định lí 1.1 Mọi số tự nhiên đều có duy nhất một phân tích thành tích của

các thừa số nguyên tố, tức là mọi số tự nhiên a đều có thể viết được duy nhât dưới dạng

1 2 n,

n

a  p p  p trong đó p1, , pn là các số nguyên tố, i là các lũy thừa của pi.

Thuật toán đơn giản nhất phân tích một số a ra thừa số nguyên tố là

lần lượt kiểm tra số đó có là bội của các số nguyên tố pi(pi lần lượt bằng 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ) không Nếu có, ta được i.

i

a  bp

Tiếp tục kiểm tra số xem b có là bội của pi1 hay không, trong đó pi1

là số nguyên tố ngay sau pi trong bảng số nguyên tố

Định lí 1.2 Nếu N là hợp số thì nó có thừa số nguyên tố p  N Dựa vào Định lí này ta chỉ cần tìm thừa số nguyên tố p  N

Thí dụ 1.1 Phân tích số 29601 ra thừa số nguyên tố

Giải Rõ ràng 29601 không chia hết cho 2, cho 5, nhưng chia hết cho 3:

29601 9867 3  

Ta lại có 9867  3289 3  Vậy 29601 9867 3 3289 3     2

Vì 3289 không chia hết cho 3 nên ta kiểm tra xem 3289 có chia hết cho

7 không Bấm máy ta được: 3289:7=469.8571429 Vậy 3289 không chia hết cho 7

Tiếp tục xem 3289 có chia hết cho 11 không: 3289  299 11 

Vì 299 không chia hết cho 11 nên ta kiểm tra tiếp xem 299 có chia hết cho 13, 17, 19, 23 không

Cuối cùng ta được 2

29601 3     11 13 23.

Nhận xét 1.1 Số 29601 không quá lớn và phân tích ra thừa số tương

đối dễ (vì 29601 có các ước số nhỏ, chỉ là 3, 11, 13, và 23) Tuy nhiên

thuật toán phân tích ra thừa số nguyên tố được thực hiện bằng tay cho số

29601 cũng đã khá vất vả Vì vậy hiện nay bài toán phân tích một số ra

thừa số nguyên tố thường được thực hiện trên máy tính với những phần

mềm dựa trên các thuật toán phân tích nhanh một số ra thừa số nguyên

tố Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm về những điều thú vị này trong:

Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán (Bộ sách Toán cao

cấp-Viện Toán học), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2003

§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO fx-570VN

PLUS

Một trong những ưu điểm nổi trội nhất của CASIO fx-570VN PLUS so

với các máy tính khoa học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) khác là chương trình phân tích một số ra thừa số nguyên tố đã được cài đặt sẵn trong máy

Để phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta lần lượt thực hiện các thao tác sau

 Khai báo số tự nhiên cần phân tích ra thừa số nguyên tố và bấm phím = Trên màn hình hiện số đã cho

 Lệnh cho máy phân tích ra thừa số nhờ SHIFT FACT (Fact -factor-phân tích ra thừa số)

Thí dụ 2.2 Phân tích số 8824575375 ra thừa số nguyên tố

Giải Thực hiện qui trình bấm phím

8824575375 = SHIFT FACT (35   53 74 112)

Thí dụ 2.3 Phân tích số 7396812423 ra thừa số nguyên tố

Giải Thực hiện qui trình bấm phím

7396812423 = SHIFT FACT (32     7 11 19 59 547)

Lời bình 2.1 Với khả năng tính toán nhanh của các vi mạch điện tử, chỉ

trong chớp mắt, sau khi bấm phím = , CASIO fx-570VN PLUS có thể

phân tích một số khá lớn dưới 10 chữ số ra các thừa số nguyên tố có ba

chữ số CASIO fx-570VN PLUS thật tuyệt vời!

Lời bình 2.2 Tuy nhiên, CASIO fx-570VN PLUS cũng còn có hạn chế:

CASIO fx-570VN PLUS chưa thể phân tích các số có chứa các số

nguyên tố lớn hơn bốn chữ số ra thừa số nguyên tố

Thí dụ 2.4 (Sở Giáo dục và đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ sở,

2006-2007)

Phân tích số 9405342019 thành thừa số nguyên tố

Giải Thực hiện qui trình bấm phím

19  1371241 ) Thoạt nhìn, ta sẽ tưởng 1371241 là số nguyên tố Nhưng nếu sử dụng

Maple, ta thấy

> ifactor(1371241);

2

1171Như vậy, 1371241 được phân tích ra thừa số nguyên tố là

2

1371241 1171 

Cố gắng thử phân tích 1371241 ra số nguyên tố trên CASIO fx-570VN

PLUS:

1371241 = SHIFT FACT (1371241)

Như vậy, do hạn chế về lập trình hoặc bộ nhớ, CASIO fx-570VN PLUS

chưa có khả năng phân tích một số chứa các số nguyên tố với trên bốn

chữ số Tuy nhiên, CASIO fx-570VN PLUS cũng đã cảnh báo chuyện này bằng cách để các thừa số đó trong ngoặc Thí dụ, kết quả phân tích

số 9405342019 trên Vinacal 570 ES Plus là 3  

19  1371241 Số 3

19không để trong ngoặc, nghĩa là đó là lũy thừa của số nguyên tố, còn số (1371241) được để trong ngoặc, nghĩa là nó có thể là hợp số chứa các số nguyên tố có nhiều hơn ba chữ số

1371241 1171 

Vì 1171  34.2 nên ta chỉ cần kiểm tra xem 1171 có chia hết cho các số nguyên tố 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31 không Ta thấy 1171 không chia hết cho các số trên nên nó là số nguyên tố Vậy

 2 3

9405342019 19   1171

Bài tập

Bài 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở, 2003-2004)

Phân tích các số 20387 và 139231 ra thừa số nguyên tố

Bài 2.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ

sở, 2005-2006)

Phân tích các số 252633033 và 8863701824 ra thừa số nguyên tố

Bài 2.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 2007-2008)

Phân tích các số 8563513664 và 244290303 ra thừa số nguyên tố

Bài 2.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, Trung học Cơ sở, lớp 9, 2008-2009) Phân tích số P = 2450250 ra thừa số nguyên tố

Bài 2.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010)

Phân tích số 311875250 thành tích các thừa số nguyên tố

PHẦN 2 CÁC TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA CASIO

fx-570VN PLUS TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 1 DÃY SỐ, TỔNG CỦA DÃY SỐ VÀ DÃY TRUY HỒI

Nhiều bài toán thực tế (sinh học, kinh tế, ) và toán học (tính gần đúng nghiệm của phương trình, ) được mô tả bởi phương trình sai phân và các dãy truy hồi Mặt khác, các dãy truy hồi dễ dàng được thực hiện trên máy tính qua các phép lặp Vì vậy các bài tập về dãy truy hồi khá phổ

biến trong các đề thi Giải toán trên máy tính Với lệnh PreAns (kết quả

trước đó, nhờ bấm phím ALPHA Ans ), CASIO fx-570VN PLUS

có thể trợ giúp đắc lực giải các bài tập về dãy truy hồi cấp hai (phương

trình sai phân cấp hai), hơn hẳn các máy tính khác

§1 Tính theo dãy truy hồi bậc nhất

Bài 1.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2008-2009)

Cho dãy số xác định bởi công thức :

2 n

n

3 13xx

Bài 1.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2007-2008; Phòng Giáo

dục và Đào tạo huyện Đông Triều, Lóp 9, 2011-2012)

Cho dãy số a0 1;

2 1

Bài 1.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, Trung học Phổ thông, 10.2.2009)

Cho tập hợp các số vô hạn sau: 1 2 3, , , 4 ,

4 9 16 25

1) Viết cụng thức số hạng tổng quỏt

2) Tớnh số hạng thứ 35

3) Viết quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh tổng 30 số hạng đầu tiờn

Bài 1.4 (Sở Giỏo dục và Đào tạo Súc Trăng, lớp 9, 2008-2009)

Cho dóy số cú số hạng tổng quỏt U n 1 i.n 21

n



 

( i1 nếu n lẻ, i 1nếu n chẵn, n là số nguyờn n1)

Tớnh tổng 20 số hạng đầu tiờn của dóy số

Bài 1.5 (Bộ Giỏo dục và Đào tạo, Trung học Phổ thụng, 11.3.2011)

Tớnh gần đỳng giới hạn của dóy 3 3 3 3

n

U      (n dấu căn) Tỡm n0 để với mọi nn0 thỡ u n gần như khụng thay đổi (chỉ xột đến chớn chữ

số thập phõn), cho biết giỏ trị u2010. Nờu qui trỡnh bấm phớm tớnh u n. Tỡm n0

để vơi mọi nn0 thỡ u n cú phần nguyờn và chớn chữ số thập phõn ngay sau dấu phẩy là khụng đổi Tớnh giỏ trị u2011. Viết qui trỡnh giải

Bài 1.6 (Phũng Giỏo dục và Đào tạo huyện Đụng Triều, Lúp 9, 2011-2012)

Đ2 Dóy Fibonacci và dóy Lucas

2.1 Bài toán thỏ đẻ con

Giả sử thỏ đẻ con theo qui luật: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ

đ-ợc một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con sau 2 tháng tuổi lại bắt

đầu sinh một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, v.v và giả sử tất cả các con thỏ đều sống Hỏi nếu có một đôi thỏ nuôi từ tháng giêng và đẻ con vào tháng hai thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ tất cả

Bài toán này đ-ợc Fibonacci (1170-1250), một th-ơng gia ng-ời

ý, cũng là một nhà toán học nổi tiếng nhất thời Trung cổ, viết

trong cuốn sách Liber abaci (Sách về tính toán) năm 1202

Số thỏ của từng tháng sẽ là:

Trong tháng giêng có một đôi thỏ số 1

Vào đầu tháng 2, đôi thỏ này đẻ một đôi thỏ số 2 Vậy trong tháng 2 có 2 đôi thỏ

Vào đầu tháng 3, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 3, còn đôi thỏ số 2 mới sau 1 tháng nên ch-a đẻ đ-ợc Vậy trong tháng 3 có 3 đôi thỏ

Vào đầu tháng 4, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 4, đôi thỏ số 2 đẻ

ra đôi thỏ số 5, còn đôi thỏ số 3 mới đ-ợc 1 tháng nên ch-a đẻ

đ-ợc Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Vào đầu tháng 5, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 6, đôi thỏ số 2 đẻ

ra đôi thỏ số 7, đôi thỏ số 3 đẻ ra đôi thỏ số 8, đôi thỏ số 4 và số

5 mới đ-ợc 1 tháng ch-a đẻ đ-ợc Vậy trong tháng 5 có 8 đôi thỏ

thỏng thứ n1 (mới sinh ra từ u n1 thỏ đó được ớt nhất hai thỏng tuổi)

Như vậy, ta có công thức sau:

1 1,

u  u2 1, u n1u nu n1 với mọi n2

Dãy số trên sau này đ-ợc Lucas gọi là dãy Fibonacci Những số

hạng u của dãy trên đ-ợc gọi là số Fibonacci n

2.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci

Số hạng thứ n của dãy Fibonacci đ-ợc tính theo công thức

Một điều thú vị là: Một biểu thức chứa căn thức khá cồng kềnh,

nh-ng nó luôn là một số nguyên với mọi giá trị của n

Bây giờ ta có thể chứng minh tính chất này bằng quy nạp

Giả sử công thức (2.1) đúng với mọi giá trị của nk

Khi ấy với n k 1 ta có:

2.3 Tính số Fibonacci trên máy tính điện tử khoa học

Ta có cách tìm số Fibonacci cực kì đơn giản trên máy tính khoa

học nh- sau:

Quy trình 1 tính số Fibonacci trên Casio fx-570 MS

Và lặp lại dãy phím:

 ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA B SHIFT STO B

Thực hiện quy trình này trên các máy t-ơng ứng (có 10 chữ số),

ta đ-ợc 49 số Fibonacci đầu tiên, số thứ 50 bằng 10

1258626902 , v-ợt quá khả năng hiển thị của màn hình):

Giải thớch CASIO fx-570VN PLUS được cài đặt phớm PreAns (nhờ

bấm phớm ALPHA Ans ) để lưu kết quả tớnh toỏn trước Vỡ vậy, khi bấm phớm : 1 = , kết quả u11,được lưu trong ụ nhớ Ans Khi bấm tiếp 1 = , kết quả u2 1,được đẩy sang ụ nhớ PreAns , nhường ụ Ans cho u2 1 mới khai bỏo Khai bỏo dóy phớm Ans  ALPHA Ans và bấm phớm = , mỏy sẽ tớnh u3u2u1 và gửi vào ụ nhớ Ans , u21

từ ụ nhớ Ans lại được đẩy sang ụ nhớ PreAns Quỏ trỡnh tớnh cỏc số

hạng u n1u nu n1 cứ như vậy được tiếp tục nhờ bấm phớm = theo đoạn lập trỡnh sẵn Ans  ALPHA Ans (hiển thị trờn màn hỡnh)

Lời bình 2.1 Công cụ nh- nhau (trên cùng một máy), nh-ng

quy trình 2 đòi hỏi ít thao tác hơn, do đó ít nhầm lẫn hơn và thời gian thực hiện ngắn hơn nhiều so với thời gian tính theo quy trình 1

Quy trình 3 (trên máy Calculator trong Windows trong máy tính cá nhân):

Bấm CALC máy hiện X?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số Fibonacci dưới 10 chữ số

Vì U2 3 vẫn đang trên màn hình nên tính U3 3U22U13 và gửi vào ô A như sau:

 3  2 ALPHA A  3 SHIFT STO A (1)

Vì giá trị U33U22U13 vẫn đang trên màn hình nên ta tính

U 3U 2U 3 và gửi vào ô B như sau:

 3  2 ALPHA B  3 SHIFT STO B (2) Quy trình lặp: Sử dụng phím trên phím REPLAY để trở về dòng (1), bấm phím  để được các U2n 1 3U2n2U2n-13:

 (*) Lại sử dụng phím trên phím REPLAY để trở về dòng (2), bấm phím  để được các U2n 3U2n 1 2U2n-23:

 (**) Lặp lại hai dòng quy trình (*) và (**) ta tính được các U trong bảng sau n

Cách 2 Quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 (chỉ thực hiện được trên

các máy Vinacal Vn-570MS, Casio fx-570MS, hoặc Casio fx-570ES):

Gửi U12 vào ô A : 2 SHIFT STO A

Gửi U2 3 vào ô B : 3 SHIFT STO B

Gửi số khởi tạo m2của lệnh đếm vào ô M : 2 SHIFT STO M Khai báo biến đếm để tăng chỉ số của các số hạng Un+1 trong quá trình tính các số hạng ấy:

Khai báo công thức tínhU2n 1 3U2n2U2n-13:

ALPHA : ALPHA A ALPHA = 3 ALPHA B  2 ALPHA A

 3

Tăng biến đếm:

Khai báo công thức tính U2n 3U2n 1 2U2n 2 3:

ALPHA : ALPHA B ALPHA = 3 ALPHA A  2 ALPHA B

 3

Giải thích Sau khi khai báo chương trình trên thì màn hình sẽ hiện ra

dãy các kí tự như sau:

Cách 3 (sử dụng phím Pr eAns trên CASIO fx-570VN PLUS)

Khai báo U12 : 2  (2): U12 được lưu trong ô Ans

Khai báo U2 3 : 3  (2): U2 3 được lưu trong ô Ans U12được đẩy sang ô Pr eAns

Khai báo công thức Un 1 3Un2Un-13:

3 Ans  2 ALPHA Ans  3 Lần lượt bấm phím  để được U , U , như bảng trên (trang 34) 3 4

Lời bình Với CASIO fx-570VN PLUS, không còn khó khăn khi tính các

số hạng của dãy truy hồi cấp hai

Bài 2.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 12 Bổ túc THPT, 11.3.2011)

Dãy số  a n được xác định như sau: a15,a2 3,a n2 4a n15a n với

mọi n nguyên dương Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số đó

Bài 2.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2007-2008)

Cho dãy số : U12; U2 3; Un 1 3Un 2Un-13 với n2

1) Lập quy trình bấm phím tính Un 1 trên máy tính cầm tay

Bài 2.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, lớp 9, 2009-2010)

Cho dãy số un được xác định như sau

2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính tích 7 số hạng đầu tiên

Bài 2.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, lớp 9, 2008-2009)