THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON *** Lí thuyết Công thức nhị thức Newton : n (a b) n k C n a nk b k C n a C n a n n 1 C n a n 1 b C n a n2 n 1 b C n a b n 1 C n b n n k 0 Chú ý : + Số hạng tổng quát : T + Hệ số số hạng : k nk b k nk Cn Cn k CHÚ Ý: TÀI LIỆU NÀY KÈM VIDEO KHÓA HỌC 2017 Các dạng toán thường gặp phần Nhị thức Newton: BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số xK khai triển BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng khai triển BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh khai triển Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số xK khai triển DẠNG 1: Thầy trình bày Video trước em https://www.facebook.com/nguyentheanh.teacher/videos/vb.1000095 63529065/1662969680698467/?type=2&theater DẠNG 2: Nâng cao chút Tìm hệ số x5 khai triển [(1-2x(1-x)]8 Giải mà giải tay nhìn chung thời gian nhiên để em hiểu chất toán học thầy giải theo hai TỰ LUẬN: [1 x (1 x ) ] k C8 8k [ x (1 x ) ] k k C8 8k [ x (1 x ) ] k k 0 C ( ) x (1 x ) k k k k k 0 k C8 ( 2) x k k k 0 k km ( x) m km ( x) m m Ck m0 k C k C8 ( 2) x m k k k k 0 m0 k C k C8 ( 2) m k k km ( 1) ( x ) m km k 0 m0 k C k C ( ) ( 1) ( x ) m k k m km k 0 m0 Ta thấy hệ số k m x5=> m k 0 k Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher k 3; i C C ( ) ( 1) 4 k ; i C C ( ) ( 1) 5 k 5; i C C ( ) ( 1) 3 Vậy hệ số x5 khai triển là: -7616 BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng khai triển Xét n (a b) n k Cna nk b k k 0 Số hạng giữa: (a+b)n Nếu n chẵn số hạng là: k n Nếu n lẻ số hạng là: n 1 k n 1 k Tìm số hạng khai triển a) (x ) b) (2x+3y)25 10 x Hướng dẫn: a) (x ) 10 x (x 10 ) 10 x 10 k C 10 x k 0 10 k x k k C 10 x 10 k k 0 Số hạng tương tứng với k=5=>Hệ số số hạng C 10 5 b) (2x+3y)25 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher 25 2x 3y 25 k k C 25 ( x ) (3 y) 25 k K 0 25 k k C 25 ( x ) (3 y) 25 k K 0 25 k k C 25 (3) 25 k k x y 25 k K 0 k=12=> Hệ số: C 25 k=13=> Hệ số: C 25 12 12 13 13 13 12 BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ Xét: a ( N ) a a Z N Q Z Chúng ta xem ví dụ nhé: Tìm số hạng nguyên khai triển Hướng dẫn: 9k k C9 3 k 23 k 0 Để số hạng nguyên=> 9 k N k k N k 3 0 k Vậy số hạng là: 4536 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh khai triển (1 x ) C n C n x C n x C n x n o 2 n n (1 x ) C n C n x C n x ( 1) C n x n o (1 x ) 2n (1 x ) 2n (1 x ) n n n 2n C n C n x C n x C n x (1 x ) 2 4 2n 2n 2n n 1 C n C n x C n x C n 3 5 x n 1 Ngoài em cần nhớ trường hợp: Tích phân Đạo hàm vế (1 x ) C n C n x C n x C n x n o n n Khi đạo hàm vế ta được: n (1 x ) n 1 C n C n x C n x n C n x n n 1 Khi tích phân ta được: (1 x ) d x ( C n C n x C n x C n x ) d x xC n C n n o VD Tính giá trị biểu thức: Lời giải : Ta có: x 1 x n n o x 2 Cn A C 0 C 0 C 0 0 C 0 100 C 0 C 0 x C 0 x C 0 x 100 C 0 C 0 x C 0 x C 0 x C 0 x Lấy (1)+(2) ta được: x 2 100 1 x 100 100 C n n 100 2 n 1 n 1 100 (2) C 0 C 0 x C 0 x C 0 x x 100 3 (1) 100 x 4 100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: 0 1 x 99 0 1 x Thay x=1 vào => A 99 C 0 x C 0 x 0 C 0 x 0 2 99 100 99 C 0 C 0 0 C 0 100 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher BÀI TỰ LUYỆN VÀ CÓ LỜI GIẢI x VD1 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức n , biết n 1 An C n 1 n Lời giải: Giải phương trình n ( n 1) n ( n 1) ; Điều kiện: n ≥ ; n N n 1 An C n 1 n Phương trình tương đương với x ( n 1) ! n ( n 1) !( n 1) ! 4n 4n n2 – 11n – 12 = n = - (Loại) v n = 12 Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 2x x 12 Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = k C 12 ( x ) 12 k x k ; k N, ≤ k ≤ 12 Hay Tk+ = C 12 x k 12 k x k 24 k = k C 2 12 k x k N , k 12 k 24 3k Số hạng không chứa x Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C 12 7920 VD Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An C n C n Lời giải: Điều kiện n Ta có x 2 n n C k n x 2k nk k 0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn n4 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Hệ số số hạng chứa x8 Ta có: Cn n4 An C n C n (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n3 – 7n2 + 7n – 49 = (n – 7)(n2 + 7) = n = Nên hệ số x8 C 280 VD3 Cho khai triển đa thức: x Tính tổng: 2013 a o a x a x a x S a a a a Lời giải: Ta có: x (1 x ) a a x a x a x 2013 (1 x ) a a x a x a x 2013 2013 Nhận thấy: x (1 x ) ak x ak ( x) k k 1012 thay VD4 Cho khai triển: a6 2x 10 x 10 x x 1 ( x 1) ( x x 1) 2 (1 x ) 14 16 14 Hãy tìm giá là: 12 (1 x ) 10 16 x là: 6 C 14 ; Trong khai triển x hệ 12 C 12 Trong khai triển x hệ số 10 Vậy hệ số nên (1 x ) 14 x Trong khai triển x hệ số số 2213 x a o a x a x a x 2x (*) Lời giải: Ta có 1 vào hai vế (*) ta có: x 1 S a a a a 3 trị 2013 a6 16 C 14 6 C 12 6 16 x là: 6 C 10 C 10 6 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher VD5 Tính giá trị biểu thức: Lời giải: Ta có: x 100 1 x A C 0 C 0 C 0 0 C 0 100 C 0 C 0 x C 0 x C 0 x 100 2 100 (1) 100 C 0 C 0 x C 0 x C 0 x C 0 x Lấy (1)+(2) ta được: x 100 1 x 100 100 (2) 100 C 0 C 0 x C 0 x C 0 x 2 4 100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được: 0 1 x 99 0 1 x Thay x=1 vào => A 99 C 0 x C 0 x 0 C 0 x 0 99 100 99 C 0 C 0 0 C 0 100 VD6 : Chứng minh : a C n C n C n C n b C n C n C n ( 1) C n 0 n n n n n Hướng dẫn : (1 x ) n k C n x k n 1 C n C n x C n x C n 2 x n 1 C n x n n k 0 Thay x=1 vào khai triển ta có : n (1 1) n n 1 C n C n C n C n C n k k 2 n 1 C n n n k 0 C n C n C n C n Có (1 x ) n n n n k C n x C n C n x C n x ( 1) k 2 n 1 n 1 Cn x n 1 ( 1) C n x n n n k 0 Thay x=1 vào khai triển ta có : n (1 1) n C n C n C n C n ( 1) k k 2 n 1 n 1 Cn n 1 ( 1) C n n n n k 0 C n C n C n ( 1) C n 0 n n VD : Tìm số hạng thứ 13 khai triển biểu thức (3-x)15 Hướng dẫn: 15 (3 x ) 15 k C nk ( 1) x k k k 0 Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Với k=0 ta có số hạng thứ Với k=12 ta có số hạng thứ 13 Vậy số hạng thứ 13 : VD8 : Cho P (x ) 16 12 C x 12 (x 0) x Tìm hệ số số hạng thứ 12 Tìm số hạng khai triển Hướng dẫn : P (x 16 ) 16 x k C 16 x k 0 16 k x k 16 C 16 x k 16 k x k k k 0 16 P k C 16 x 16 k k k 0 16 a Hệ số tổng quát số hạng khai triển : k C k k 0 Số hạng thứ 12 k=11 Hệ số số hạng thứ 12 là: 11 C 11 16 b Số hạng tổng quát khai triển là: k k C x 16 k k 0 Do k nhận giá trị từ đến 16 nên số hạng có k=8 Vậy số hạng khai triển là: C x C 8 16 16 VD9: Tìm số hạng độc lập với x khai triển biểu thứ sau: P ( x x ) 17 (x 0) Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Hướng dẫn: 17 C P k 17 17 ( k 0 ) x 17 k ( x ) k C k 17 (1 k ) x 3k k 0 17 C k 17 x 34 17 k 12 k 0 Số hạng tổng quát khai triển : k C 17 x 34 17 k 12 Số hạng độc lập với x số hạng không chứa x Nói cách khác, mũ x Nên 34 17k k 12 Vậy số hạng cần tìm : C 17 VD10: Xác định số hạng tổng quát khai triển: 28 P (x x x ) biết: n n 1 n2 Cn Cn n Cn Hướng dẫn: Giải phương trình : 1 n n ( n 1) 79 n 1 Cn Cn n n2 Cn 79 Điều kiện n 79 n n 156 n 12 n 12 n 13 28 P (x x x 28 k 12 ) 12 k C ( x x) 12 k x k 0 Ta có: 12 P k C 12 x 16 104 k 15 k 0 Phần TRẮC NGHIỆM, thầy update VIDEO thêm cho em để em hiểu rõ hơn Chúc em học tốt! Thầy đồng hành với em năm 2017 này Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher Trang 10