Lời giải đề thi DDH số 18

ĐẠI HỌC DÂN LẬP NGOẠI NGỮ – TIN HỌC TPHCM Câu I: 1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: = − + + = − − − − 2 3 2 ( 1) ( 4) 6 9 4y x x x x x  TXĐ: D = R = − − − = −  = ⇔  = −  = − − = ⇔ = − ⇒ = − 2 ' 3 12 9 1 ' 0 3 '' 6 12 " 0 2 2 y x x x y x y x y x y Điểm uốn :( -2, -2)  BBT:  Đồ thò : 2) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : + + = + + 2 2 ( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m ⇔ − + + = − + + 2 2 ( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình : = − + + 2 ( 1) ( 4)y m m - Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .  Biện luận: − + + < − ⇔ + > ⇔ > 2 2 ( 1) ( 4) 4 ( 3) 0 0m m m m m : 1 nghiệm − + + < − ⇔ = ∨ = − 2 ( 1) ( 4) 4 0 3m m m m : 2 nghiệm − < − + + < ⇔ − < < 2 4 ( 1) ( 4) 0 4 0m m m : 3 nghiệm − + + = ⇔ = − ∨ = − 2 ( 1) ( 4) 0 1 4m m m m : 2 nghiệm − + + > ⇔ < − 2 ( 1) ( 4) 0 4m m m :1 nghiệm Câu II: 1. Giải phương trình: + − = − + − 2 ( 3)(1 ) 5 2 7x x x x Phương trình 2 2 2 3 5 2 7x x x x ⇔ + − = + − Đặt: = + − 2 t 2 7x x 0 ≥ Khi đó phương trình trở thành: + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = 2 2 4 5 5 4 0 1 4 t t t t t t Do đó :   + − = + − =  ⇔  + − =  + − =   2 2 2 2 2 7 1 2 8 0 2 23 0 2 7 4 x x x x x x x x ⇔ = ∨ = − ∨ = − ± 2 4 1 2 26x x x 2. Giải hệ phương trình :  + + =   − + =   2 2 2 2 2 2 5 3 3 x xy y x xy y Vì x = 0 không là nghiệm nên đặt y = kx. Khi đó hệ trở thành:      2 2 2 2 x (1 + 2k + 2k ) (1) x (3 - k + k ) (2) (1) chia (2) ta được : + + = − + 2 2 1 2 2 5 3 3 k k k k ⇔ + − = ⇔ = ∨ = − 2 11 12 0 1 12k k k k  Thế k = 1 vào (2) ta được: = ⇒ =  = ⇔  = − ⇒ = −  2 1 1 1 1 1 x y x x y  Thế k = -12 vào (2) ta được :  = ⇒ = − = ⇔  = − ⇒ =   2 53 12 53 53 53 12 53 x y x x y Tóm lại hệ có 4 nghiệm: (1, 1), (-1, -1), − ( 53, 12 53) , − ( 53,12 53) Câu III: 1. Tính − = + + + ∫ 1 3 2 0 1 1 x I dx x x x Ta có: − − + − + = = + + + + + + + 2 3 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x     ⇒ = − = + − + =  ÷   + +     ∫ 1 1 2 2 0 0 1 1 1 ln 1 ln( 1) ln 2 1 1 2 2 x I dx x x x x 2. Tính π 2 = − ∫ (1 cos ) sin . 0 n J x x dx Đặt: = − ⇒ = 1 cos sint x dt xdx Đổi cận: = ⇒ = 0 0x t π = ⇒ = 2 1x t + ⇒ = = = ∫ + + 1 1 1 1 1 1 0 0 n t n J t dt n n Câu IV: 1. Giải phương trình: − = 3 3 sin cos cos2x x x Phương trình ⇔ − + = − 2 2 (sin cos )(1 sin cos ) cos sinx x x x x x (sin cos )(1 sin cos sin cos ) 0 sinx - cosx = 0 (1) 1 + sinxcosx + sinx + cosx = 0 (2) x x x x x x⇔ − + + + =  ⇔    (1) π ⇔ = ⇔ = + π 1 4 tgx x k  Giải (2) bằng cách đặt π   = + = +  ÷   sin cos 2 sin 4 t x x x Điều kiện: ≤ 2t Khi đó phương trình (2) trở thành: − + + = ⇔ + + = ⇔ = − 2 2 1 1 0 2 2 1 0 1 t t t t t Do đó : π   + = −  ÷   2 sin 1 4 x π   ⇔ + = −  ÷   π  = − + π  ⇔  = π + π  2 sin 4 2 2 2 2 x x k x k Tóm lại phương trình có nghiệm: π π = + π∨ = − + π∨ = π + π (κ∈ ) ¢2 2 4 2 x k x k x k 2. Có bao nhiêu cách xếp lòch thi đấu:  Số cách chọn 3 kỳ thủ đội A: 3 C 5  Số cách chọn 3 kỳ thủ đội B: 3 C 5  Số cách xếp 3 cặp thi đấu là: P 3 Vậy số cách xếp lòch thi đấu là: 3 3 C + C .P 3 5 5 = 600 (cách) Câu V: (S): + + − − − + = 2 2 2 x 2 2 4 2 0y z x y z (D: − + + =   − + + + =  2 3 0 2 2 3 0 x y z x y z 1. Tính khoảng cách tâm I của (S) đến (D): (S) có tâm I(1, 1, 2), bán kính R = 2. (D) có vectơ chỉ phương = r (2,2,1)a Gọi α ( ) là mặt phẳng qua I và vuông góc với (D): α ⇒ − + − + − = ⇔ + + − = ( ) : 2( 1) 2( 1) ( 2) 0 2 2 6 0 x y z x y z Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (D).  =  − + + =     ⇒ − + + + = ⇔ =     + + − =   = −     ⇒ −  ÷   ⇒ = = 5 3 2 2 3 0 5 : 2 2 3 0 3 2 2 6 0 2 3 5 5 2 , , 3 3 3 ( ,( )) 8 x x y z H x y z y x y z z H d I D IH 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa (D) và tiếp xúc (S).  Mặt phẳng β ( ) chứa (D) nên phương trình có dạng: − + + + − + + + = ⇔ − + − + + + + = ( 2 2 3) ( 2 2 3) 0 ( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) 3 3 0 m x y z n x y z m n x n m y m n z m n (m và n không đồng thời bằng 0)  Mặt phẳng β ( ) tiếp xúc (S): β ⇔ = + ⇔ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ∨ = 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 6 6 2 9 9 ( ) 2 0 0 0 d I R m n m n m n m n m n m n mn m n Suy ra có 2 đáp số: β ( ) : − + + = 2 2 3 0x y z hay β ( ) : − + + + = 2 2 3 0x y z . . lòch thi đấu:  Số cách chọn 3 kỳ thủ đội A: 3 C 5  Số cách chọn 3 kỳ thủ đội B: 3 C 5  Số cách xếp 3 cặp thi đấu là: P 3 Vậy số cách xếp lòch thi đấu. (C) và đường thẳng (d) có phương trình : = − + + 2 ( 1) ( 4)y m m - Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .  Biện luận: − + + < − ⇔ + > ⇔ >