ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ĐỀ MÔN: TOÁN Thời gian làm : 120 phút Phần trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời, có phương án Hãy chọn phương án (viết vào làm chữ đứng trước phương án lựa chọn) Biểu thức ( −4 ) ( ) − có giá trị bằng: A ( − 3) B −2 ( − 3) C ( − 3) D ( − ) Cho 20 − a − 10 − a = biểu thức 20 − a + 10 − a có giá trị bằng: A B - C D -6 Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông cân Khi đó, tỉ số A −1 B R bằng: r C + 2+ 2 D 1+ 2 Cho (O; cm) O nằm hai dây AB // CD có độ dài AB = cm, CD = cm Khi khoảng cách hai dây là: A cm B cm C cm D cm Phần tự luận (18 điểm) Câu (3 điểm) Tính A = − 11 − + 11 2x + x x−4 − ÷ Cho biểu thức P = ÷ x − x − ÷ x x +1 x − x +1 ( với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P 4−x < Câu 2.(2 điểm).Giải phương trình ( x + ) x + = 3x + x + TaiLieu.VN Page Câu (3 điểm).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1): x − 3y + = (d2): x + 2y − = (d3): ( m − 1) x + 3y − − 2m = a) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) b) Xác định m để ba đường thẳng đường thẳng phân biệt đồng quy Câu (8 điểm) Cho D ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Kẻ OM ^ BC M Gọi G trọng tâm D ABC Chứng minh SAHG = 2SAGO Chứng minh AD BE CF + + ³ HD HE HF Câu 5.(2 điểm) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn 2 xy − y + x + y =10 y + − y + + 2 x − = -Hết - Họ tên thí sinh:……………………… .Chữ ký giám thị 1: ……………………… Số báo danh :…………………… … Chữ ký giám thị 2: …………………… TaiLieu.VN Page ĐÁP ÁN VA HƯỚNG DẪN CHẤM THI Phần trắc nghiệm Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Đáp án D A C D Phần tự luận ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu (3 điểm) a) Tính A = − 11 − + 11 Nhận xét A < A2 = ( − 11 − + 11 ) = − 11 + + 11 − (6− )( 11 + 11 ) = 12 − 36 − 11 = 12 − 2.5 = Suy A = − (vì A < 0) 2x + x x−4 − ÷ b) Rút gọn P = ( với x ≥ 0; x ≠ ) ÷ x − x − ÷ x x +1 x − x +1 = ( ( ) ) x +1 x − x +1 x − x +1 2x + − x x +1 )( ( )( x +1 ( )( ) x −2 ÷= ÷ x −2 x +2 ( x − x +1 )( ) x +1 x − x +1 ( x− x −2 ) ) x −2 = x −2 x < P − x < ⇔ x − ( ) x < ⇔ ⇔x 0, y > 0, z > Chứng minh ( x + y + z) ççç + + ÷ ÷ ÷ x y z è ø Ta có: æ1 1ö æx y ö æx z ö æz yö ÷= +ç ÷+ç + ÷ ÷ + ÷ +ç + ÷ ( x + y + z) ççç + + ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç è ø x y z y x z x y z è ø è ø è ø = 3+ x + y2 x + z z2 + y2 + + xy xz zy = 3+ 2 ( x - y) + 2xy ( z - x ) + 2xz ( z - y) + 2yz + xy = 3+2 +2 +2 + (Vì với x > 0, y > 0, z > ( x - y) ( x - y) xy xy ³ 0; Cách 2: Sử dụng x + y + z ≥ 3 xyz ta có + zx + ( z - x) ( z - x) zx zx ³ 0; + yz ( z - y) ( z - y) yz 0,25đ yz ³ 0,25đ ³ 0) 1 1 + + ³ 33 suy x y z xyz æ1 1 ö ÷³ ( x + y + z) ççç + + ÷ ÷ ÷ …… èx y z ø 0,25đ + Áp dụng kết toán ta có æHD HE HF öæ AD BE CF ö HD HE HF ÷ ç + + ÷ ç + + ³ Mà + + = (cmt) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ çAD BE CF øè çHD HE HF ø è AD BE CF Do AD BE CF + + ³ HD HF HF TaiLieu.VN 0,75đ Page Câu Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn 2 xy − y + x + y =10 (1) y + − y + + 2 x − = (2) Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ ( ; y≥0 2x −1 + y ) 0.25 =9 ⇔ y =3 ⇔ 2x −1 + x − = − y (*) 0.25 Thay vào (2) y + − y + − 2( y − 2) − = ⇔ ( y + − 4) − ( y + − 3) − 2( y − 2) = 0.25 y + − 16 y +1− y−4 − − =0 ⇔ 3y +1 + y +1 + y +2 2 ⇔ (y-4) − − =0 ÷ 3y +1 + ÷ y + + y + y − 4=0 ⇔ = + y + + y +1 + (3) y +2 0.25 Với y=4 ta có x = Với y ≥ ta có 0.25 ≤ 3y +1 + Từ (*) suy y ≤ suy + y +1 + 0.25 > Vậy phương trình (3) y +2 0.25 vô nghiệm Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) TaiLieu.VN 0.25 Page