ON TAP ly thuyết toán 12

Trường Nguyễn Trung Trực ƠN TẬP LÝ THUYẾT TỐN 12 NĂM HỌC : 2015-2016  “Trên bước đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Trang Trường Nguyễn Trung Trực PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt Độ 00 rad GTLG sinα cosα tanα cotα || 300 450 600 900 π π π π 2 2 2 3 2 1 3 1200 1350 1500 2π 3π 5π || − − − − Trang 3 2 2 −1 −1 − − 3 − 1800 π 2700 3600 3π 2π −1 −1 || || || Trường Nguyễn Trung Trực Ct đổi độ sang rad Rad = π 180 Đoˆ Ct đổi Rad sang độ Đoˆ = 180 π Rad Cung đối sin( − x ) = − sin x cos(− x ) = cos x tan( − x ) = − tan x cot( − x ) = − cot x Công thức biến đổi tổng thành tích Các hệ thứ 1/ sin x + cos x = sin x tan x = = cos x cot x 3/ cot x = 2/ cos x = sin x tan x Cơng thức biến đổi tích thành tổng 4/ tanx.cotx=1 1 = + tan x ⇔ cos x = cos a cos b = [ cos(a − b) + cos( a + b)] cos x + tan x 1 6/ = + cot x ⇔ sin x = sin a sin b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin x + cot x sin a cos b = [ sin(a − b) + sin(a + b)] Công thức cộng 5/ sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b ) = Cung phụ tan a tan b sin(π / − x ) = cos x cos(π / − x ) = sin x cot(π − x ) = − cot x Hơn ∏ sin(π + x ) = − sin x cos(π + x ) = − cos x tan(π + x ) = tan x cot(π + x ) = cot x sin u = ⇔ u = kπ Công thức nhân đôi Cung bù sin(π − x ) = sin x tan(π − x ) = − tan x Các phương trình đặc biệt sin u = ⇔ u = tan a tan(π / − x ) = cot x sin 2a = sin a cos a = + tan a cot(π / − x ) = tan x cos 2a = cos a − sin a = cos a − cos(π − x ) = − cos x a +b a −b cos 2 a +b a −b sin a − sin b = cos sin 2 a +b a −b cos a + cos b = cos cos 2 a +b a −b cos a − cos b = −2 sin sin 2 sin a + sin b = sin = − sin a = tan 2a = − tan a + tan a tan a − tan a π + k 2π sin u = − ⇔ u = − + k 2π π + kπ cos u = ⇔ u = k 2π cos u = − ⇔ u = π + k 2π cos u = ⇔ u = tan u = ⇔ sin u = ⇔ sin u = ⇔ u = kπ cos u tan u = ⇔ u = Công thức nhân ba ; π π + kπ tan u = −1 ⇔ u = − sin3x = 3sinx - sin x cos3x = 4cos3x - 3cosx cot u = ⇔ Công thức hạ bậc cos u sin u cot u = ⇔ u = + cos x − cos x sin x = cos x = ( cos x + cos x ) sin x = ( sin x − sin x ) cos x = Trang π π + kπ = ⇔ cos u = ⇔ u = + kπ cot u = −1 ⇔ u = − π + kπ Cơng thức tính theo t: t = tan 2t 1+ t2 1− t2 cos a = 1+ t2 2t tan a = 1− t2 sin a = a π + kπ Trường Nguyễn Trung Trực Chú ý x x + cos x = cos 2 − cos x = 2sin π  π  sin x + cos x = sin  + x ÷ = cos  − x ÷ 4  4  π  π  cos x − sin x = sin  − x ÷ = cos  + x ÷ 4  4  sin x + cos x = − sin 2 x sin x + cos x = − sin 2 x A.Phương Trình Lượng Giác u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = ±u + k 2π tan u = tan v ⇔ u = u + kπ cotu = cotv ⇔ u = u + kπ B Phương Trình bậc hai theo hàm số lượng giác: Loại: acos2x + bcosx + c = ( hoaëc a.sin2x + bsinx + c = ) Đặt u = cosx ( u = sinx ) , điều kiện –1 ≤ u ≤ Loaïi: atg2x + btgx + c = ( a.cotg2x + bcotgx + c = ) Đặt u = tgx ( u =cotgx ) , Không cần điều kiện cho u C Phương trình bậc theo sin cos cung:  Có dạng: a.sinx + b.cosx = c (1)  Phương pháp giải: + Tính a2 + b2 + Chia vế cho a + b ⇒ … ⇒ cos(x - α ) = … + Ta giải phương trình dựa vào phương trình LG  Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 D Phương trình đẳng cấp(bậc hai đới với sinx và cosx)  Có dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (a,b,c ≠ ) (1) * Caùch 1: π + TH1 cosx = ⇔ x = + kπ Thay vaøo pt (1) ⇒ KL + TH2 cosx ≠ Chia vế pt (1) cho cos2x Trang Trường Nguyễn Trung Trực pt (1) ⇒ … ⇒ m.tg2x + n.tgx + p = (2) Ta giải pt (2) dựa vào pt bậc theo hàm số LG *Cách 2: Ta sử dụng công thức hạ bậc − cos x + cos x sin x = cos = 2 Ta đưa pt (1) pt bậc theo sin cos E Phương Trình đối xứng:  Có daïng: a( cosx ± sinx ) + b.sinx.cosx + c =  Phương Pháp giải: + Đặt u = cosx ± sinx ( − ≤u≤ ) Ta đưa pt (1) pt bậc theo u PHẦN ĐẠI SỐ (1) 1/Phương pháp xét tính đơn điệu ( đồng biến ,nghịch biến hàm số ) B1: TXĐ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) B3: Lặp BBT B4: KL Vậy Hàm số đồng biến ( ) và ( ), nghịch biến ( ) 2/Phương pháp tìm cực trị hàm số * dấu hiệu B1: TXĐ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) B3: Lặp BBT B4: KL Vậy Hàm số đạt cực đại tại x=? và y( CÐ ) = ? Hàm số đạt cực tiểu tại x=? và y( CT ) = ? * dấu hiệu B1: TXĐ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) '' '' B3: Tính y’’ suy y ( x1 ) ; y ( x2 ) '' Nếu y ( x1 ) > ,x1 là điểm cực tiểu '' Nếu y ( x2 ) < ,x2 là điểm cực đại B4: KL Vậy Hàm số đạt cực đại tại x=? và y( CÐ ) = ? Hàm số đạt cực tiểu tại x=? và y( CT ) = ? 3/Phương pháp tìm gtln,gtnn hàm số a/Trên đoạn [ a; b ] Hàm số y xác định và liên tục [ a; b ] Trang Trường Nguyễn Trung Trực B1: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) chý ý nhận nghiệm đoạn Nếu y’ vơ nghiệm phải tính xem y’0 để kết luận hàm số đồng biến hay nghịch biến suy max ,min B2: tính y tại nghiệm và tính y tại hai đầu a;b B3: KL Vậy max y = ? tại x = ? x∈[ a ;b ] y = ? tại x = ? x∈[ a ;b ] b/Trên khoảng (a;b) ; ( a; +∞ ) ; ( −∞; a ) hoặc khơng có đoạn hoặc khoảng nào và tìm không TXĐ là R B1: TXĐ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) B3: Lặp BBT B4: KL Vậy max y = ? tại x = ? x∈[ a ;b ] y = ? tại x = ? x∈[ a ;b ] 4/Phương pháp KSHS y = ax + bx + cx + d B1: TXĐ D = ¡ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) B3: Tính giới hạn KL : Hàm số đồng số đồng biến ( ) và ( ), nghịch biến ( ) Hàm số đạt cực đại tại x=? và y( CÐ ) = ? Hàm số đạt cực tiểu tại x=? và y( CT ) = ? B4: Lặp BBT B5: Tính y’’ cho y’’=0 tìm điểm uốn B6: Cho điểm đặc biệt ,vẽ đồ thị B7: Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 5/Phương pháp KSHS y = ax + cx + e B1: TXĐ B2: Tính y’ , cho y’=0 (nếu có) B3: Tính giới hạn KL : Hàm số đồng số đồng biến ( ) và ( ), nghịch biến ( ) Hàm số đạt cực đại tại x=? và y( CÐ ) = ? Hàm số đạt cực tiểu tại x=? và y( CT ) = ? B4: Lặp BBT B5: Cho điểm đặc biệt ,vẽ đồ thị B6: Vậy đồ thị hàm số nhận trục oy làm trục đối xứng ax + b 6/Phương pháp KSHS y = cx + d B1: TXĐ B2: Tính y’ , y’0 KL : Hàm số đồng số đồng biến ( ) và ( ), nghịch biến ( ) Hàm số đạt không có cực trị B3: Tính giới hạn Trang Trường Nguyễn Trung Trực a a suy đường thẳng y = là tiệm cận ngang c c x →±∞ lim y = ? −d ± suy đường thẳng y = là tiệm cận đứng  −d  x → ÷ c  c  B4: Lặp BBT (chú ý hai đầu mút là tiệm cận ngang) B6: Cho điểm đặc biệt , cho x=0 tìm y ;cho y=0 tìm x vẽ đờ thị B7: Vậy đồ thị hàm số nhận giao điểm hai tệm cận làm tâm đối xứng lim y = 7/Phương pháp dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình F ( x, m ) = ( 1) + Biến đổi F ( x, m ) = phương trình dạng f ( x ) = g ( m ) ( c ) y = f ( x ) + Số nghiệm phương trình (1) là sớ giao điểm  ( d ) y = g ( m ) +Dựa vào đồ thị để biện luận trường hợp (Chý ý y=g(m) là đường thẳng song song với trục ox và cắt trục oy tại điểm có tung độ g(m) Biện luận dựa vào yCĐ và yCT 8/Phương trình tiếp tuyến Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm ' Dạng 1: Tại điểm ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ f ( x0 ) = ? y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Thay số Kết luận : Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là Dạng 2: tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = f ' ( x0 ) = a Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b nên k = f ' ( x0 ) = a Tìm x0 tính y0 Viết pttt dạng Dạng 3: tiếp tuyến giao điểm ( C ) y = F ( x ) và đường thẳng y = ax + b Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình hoành độ giao điểm ( C ) và đường thẳng y = ax + b  x0 = F ( x0 ) = ax0 + b ⇔  tính y0  x0 = Viết phương trình tt dạng Dạng 4: pptt tại giao điểm ( C ) với trục hoành Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Cho y0 Thế y0 vào ( C ) tìm x0 Viết phương trình tt dạng Dạng 5: pptt tại giao điểm ( C ) với trục tung Trang Trường Nguyễn Trung Trực Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Cho x0 Thế x0 vào ( C ) tìm y0 Viết phương trình tt dạng BẢNG ĐẠO HÀM ( U ±V ) ' ( c) = ( x) ' = U ±V ' ( U V ) = U 'V + UV ' ' ( U V W ) = U 'VW + UV 'W + UVW ' ' ' ' ' ' '  U  U V − UV = ; ( V ≠ 0)  ÷ V2 V  =1 ( kx ) = k; ( k ∈ ¡ ' ) ( k u ) ' = k u ' ' 1  ÷=− v v ' ' c.v c  ÷=− v v ' u' u = u 1  ÷ = − ; ( x ≠ 0) x  x ' c c  ÷ = − ; ( x ≠ 0) x  x ' x = x ( ) ' ' ( ) ad − bc  ax + b  ; c ≠ 0; ad − bc ≠ )  ÷= (  cx + d  ( cx + d )  ax + bx + c   ÷=  a'x +b'x +c' (x ) (u ) α ' = α xα −1 ' α ' ( ln u ) ( sin x ) = cos x ' ( cos x ) = − sin x ( sin u ) = cos u.u ' ' ( cos u ) = − sin u.u ' cos x ' ( cot x ) = − sin x ( tan u ) ' ' ( tan x ) (e ) (a ) ' = x ' = ex x ' = a x ln a ( a'x + b ' x + c ') = α uα −1 u ' = ;x > x ' ; ( x > 0; a > ∧ a ≠ 1) ( log a x ) = x ln a ( ln x ) ab ac bc x2 + x+ a 'b ' a 'c ' b 'c ' u' ;u > u u' ' ; ( u > 0; a > ∧ a ≠ 1) ( log a u ) = u.ln a ' = ' u' cos u u' ' ( cot u ) = − sin u (e ) (a ) ' = u ' = eu u ' u ' = a u ln a.u ' Trang Trường Nguyễn Trung Trực Chú ý y= ax + bx + c ⇒ y' = mx + n amx + 2anx + ( mx + n ) b c m n LOGARIT Các công thức và quy tắc logarit cần nhớ: a x = b ⇔ log a b = x { a >0, a ≠1 ∀x∈R { log a b có nghĩa ⇔ a >0, a ≠1 b >0 log a a x = ; log a a = ; log a = log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2 log a (b1.b2 bn ) = log a b1 + log a b2 + + log a bn b log a = log a b1 − log a b2 b2 log a b n = n log a b log a b m n log am b n = log a b m log a = − log a b b log a c = log a b.log b c log am b = log a c = log b c log b a PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng : đưa Trang Trường Nguyễn Trung Trực { log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ a>0,a≠1 f ( x)= g ( x)>0 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ t = log a f ( x) , đưa phương trình bậc 2, đối với t Rồi giải tiếp, kết luận Dạng 3: Mũ hóa • Đốn nghiệm và chứng minh tính nhất, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến h àm sớ • Cho phương trình logarit dạng f ( x) = g ( x) , đó f ( x) là hàm đồng biến (nghịch biến) và g ( x) là hàm nghịch biến (đờng biến) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm đó là nhất Đốn nghiệm và kết luận BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  f ( x ) > g ( x ) > ( a > 1) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔  0 < f ( x ) < g ( x ) ( < a < 1)  f ( x ) > a b ( a > 1) log a f ( x ) > b ⇔  b 0 < f ( x ) < a ( < a < 1) Công thức lũy thừa a = a a =1 m+ n a = a m n n n a n = am−n (a.b) = a b an n a a −n a m n  ÷ = n n = a a b b n 8. am  = a m.n   n a.b = n a n b 10 11 n a m = ( a) n m =a m n n a = b 12 m n n n a b a = m n a PHƯƠNG TRÌNH MŨ ( có pp giải) 1/ PP Đưa a f ( x) = a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) 2/ PP đặt ẩn phụ Dạng m.a f ( x ) + n.a f ( x ) + p = m.a m.a f ( x ) + n f ( x ) + p = a Trang 10 Trường Nguyễn Trung Trực Đặt t = a ( t > ) Dạng Phương trình có chứa a x và a − x ,hoặc a x và b x với a.b=1 đặt 1 t = a x ⇒ a− x = ; bx = ( t > 0) t t Dạng phương trình m.a x + n.a x b x + p.b x = Chia vế phương trình cho số f ( x) a x ; a xb x ; b x để đưa phương trình dạng hoặc 3/phương pháp logarit hóa BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ  f ( x ) > g ( x ) ( a > 1) a f ( x) > a g ( x ) ⇔   f ( x ) < g ( x ) ( < a < 1)  f ( x ) > log a b ( a > 1) a f ( x) > b ⇔   f ( x ) < log a b ( < a < 1) 1/ ∫ 0dx = C 2/ ∫ adx = ax + C 3/ α ∫ x dx = xα +1 +C α +1 BẢNG NGUYÊN HÀM dx x−a = ln +C 23/ ∫ 2 x −a 2a x + a dx = ln x + x + k + C 24/ ∫ x +k 1 x−a dx = ln +C 25/ ∫ a −b x −b ( x − a) ( x − b) 7/ ∫ a x dx = uα +1 ∫ u du = α + + C Với u = u(x) là hàm số hợp ∫ u du = ln u + C 1 ∫ u du = − u + C 1 ∫ u du = − u + C 9/ ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e du = e + C ∫ sin udu = − cos u + C 4/ ∫ dx = ln x + C x 5/ ∫x dx = − + C x x x 6/ ∫ e dx = e + C ax +C ln a 8/ ∫ sin xdx = − cos x + C α u Trang 11 u Trường Nguyễn Trung Trực b 10 ∫ dx = ∫ ( + cot x ) dx = − cot x + C sin x dx = ∫ ( + tan x ) dx = tan x + C 11/ ∫ cos x 12/ ∫ tan xdx = − ln cos x + C 13/ ∫ cot xdx = ln sin x + C 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = a α + + C ax +b ax + b ∫ e dx = a e + C aα x + β α x+β ∫ a dx = α ln a + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C α +1 1 b ∫ a β f ( x ) dx = ∫ f u ( t ) u ' ( t ) dt (pp đổi biến α số) ∫ udv = uv a a b Dạng ∫ a dx ∫e ax + b cos ( mx + n ) Dùng pp phần hai lần đối với u = e ax +b b S = ∫ f ( x ) dx (diện tích hình thang cong) a a  π π đặt x = sin t , t ∈  − ;   2 1− x b dx Mở rộng ∫ a k − x2 a u = P ( x ) ax + b P x e dx ⇒ ( )  ∫ ax + b  dv = e dx u = P ( x ) ∫ P ( x ) cos(ax + b)dx ⇒  dv = cos(ax + b)dx (tương tự đối với hàm lượng giác sin(ax+b)) u = ln(ax + b) P x ln( ax + b ) dx ⇒ ( )  ∫  dv = P ( x ) dx ax + b ∫ e sin ( mx + n ) hoặc  π π k − x dx đặt x = k sin t , t ∈  − ;   2 ∫ − ∫ vdu (pp phần) ∫ udv = uv − ∫ vdu Chý ý : chữ vàng cần nhớ đới với bài tốn tích phân Đổi biến : “ LÓC,CĂN,MẨU,MŨ” TỪNG PHẦN : “ LÓC,ĐA,LƯỢNG,MŨ” Khi gặp tích phân đổi biến b  π π Dạng ∫ − x dx đặt x = sin t , t ∈  − ;   2 a Mở rộng b b a S = ∫ y1 − y2 dx (diện tích hình phẳng) b = F ( b ) − F ( a ) (Tích phân) b ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C b a a b 1 dx = ln ax + b + C 14/ ∫ ax + b a 15 1 ∫ ( ax + b ) α dx = − a ( α − 1) ( ax + b ) α −1 + C α ∫ f ( x ) dx = F ( x )  π π đặt x = k sin t , t ∈  − ;   2 Trang 12 Trường Nguyễn Trung Trực b Dạng ∫x a dx  π π đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷ +1  2 Mở rộng b dx  π π ∫a x + k đặt x = k tan t , t ∈  − ; ÷ b dx ∫ ( ax + b ) a b  π π đặt ax + b = k tan t , t ∈  − ; ÷ +k  2 f ' ( x) ∫ f ( x) a π π dx đặt f ( x ) = k tan t , t ∈  − ; ÷ +k  2 SỐ PHỨC TĨM TẮC LÝ THUYẾT Dạng z = a+bi (a, b là số thực , i là số thỏa mãn i = −1 a = c 1.Hai số phức nhau: a + bi = c + di ⇔  b = d cho z = a + bi số phức liên hợp z là z = a – bi 2.Môđun số phức: cho z = a + bi |z| = 3.Các phép tốn với sớ phức z1 ± z = z1 ± z (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; z z = z1 z ; z z = |z|2  z  z1   =  z2  z2 4.Căn bậc hai số phức: Cho số phức z = a + bi *nếu b ≥ = ± *nếu b < = ± = ; = z1 5.Dạng lượng giác sớ phức *Cho z = a + bi môđun r và argument ϕ tính công thức sau: r = ; cosϕ = ; sinϕ = * Cho z = a + bi có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ) 6.Công thức MOAVRƠ Cho hai số phức z1 = r1(cosϕ1 + i.sinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + i.sinϕ2) đó: z1.z2 = r1.r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i.sin(ϕ1 + ϕ2)] = [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)] = [cos(ϕ1 – ϕ2) + i.sin(ϕ1 – ϕ2)] Công thức MOAVRƠ: Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) zn = rn(cosnϕ + i.sinnϕ) bậc n z có n giá trị là n số phức xác định sau: Trang 13 Trường Nguyễn Trung Trực zk = (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – Trang 14 ... tún cần tìm là Dạng 2: tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = f ' ( x0 ) = a Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b nên k... d ) y = g ( m ) +Dựa vào đồ thị để biện luận trường hợp (Chý ý y=g(m) là đường thẳng song song với trục ox và cắt trục oy tại điểm có tung độ g(m) Biện luận dựa vào yCĐ và yCT... lượng giác góc đặc biệt Độ 00 rad GTLG sinα cosα tanα cotα || 300 450 600 900 π π π π 2 2 2 3 2 1 3 120 0 1350 1500 2π 3π 5π || − − − − Trang 3 2 2 −1 −1 − − 3 − 1800 π 2700 3600 3π 2π −1 −1 || ||