Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
17
Dung lượng
348 KB
Nội dung
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật A Phần mở đầu I- Lý do chon đề tài 1. Cơ sở khoa học - Giải bài toán tìmchữsốtậncùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phơng Học sinh có trí t- ởng tợng cao phát huy tích cực chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong khi giải toán. - Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìmchữsốtậncùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn. - Khi giáo viên đợc nghiên cứu sâu về các dạng toán. Cụ thể là bài toán tìmchữsốtận cùng, sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: - Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán tìm chữsốtậncùng thì các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng. Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số. - Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìmchữsốtận cùng, tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có cách giải nhanh nhất. - Với những giáo viên cha đợc nghiên cứu về dạng Toán tìmchữsốtận cùng, nếu nắm đợc các phơng pháp tìmchữsốtậncùng thì sẽ nâng cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn. II. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán. 1 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật - Khi nghiên cứu về dạng toán tìmchữsốtậncùng để tôi nâng cao năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi. III. Phơng pháp nghiên cứu: * Phơng pháp tìm hiểu tài liệu: * Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng trong cách tìmchữsốtận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán đó. 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật B. phần nội dung: Phần I: Phơng pháp tìmchữsốtậncùng hoặc một số cuối cùng của một số tự nhiên. Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số: I. Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = n k với n, k N. 1. Muốn tìmchữsốtậncùng của A chỉ cần biểu diễn A dới dạng: A = 10a + b = ab b là chữsố cuối cùng của A. Ta viết: A = n k = (10q + r) k = 10 t + r k với r N; 0 r 9 Chữsố cuối cùng của A chính là chữsố cuối cùng của số r k - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữsố cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữsố cuối cùng của A. - Nếu A = 10 m .a m + 01 .aa m = 01 . aaa m thì 01 .aa m là m chữsố cuối cùng của A. 2. Vận dụng nghị thức Newtơn: (a + b) n = ac n . 0 + bac n n 11 . +. nn n nn n bcbac . 11 + II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìmchữsố cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải: Xem số M = 9 k ; k N - Nếu k chẵn k = 2m ta có: M = 9 2m = 81 m = (80 + 1) m =(10q + 1) m = 10 t + 1 (với m, q, t N) Vậy: M có chữsố cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có: 3 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật M = 9 2m+1 = 9 2m .9 = (10t + 1).9 = 10q + 9 (với m, t, q N) Vậy: M có chữsố cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9 9 là một số lẻ. Do đó: A = 9 9 9 có chữsố cuối cùng là 9. Bài 2: Tìmchữsố cuối cùng của số: B = 2 4 3 Giải: B = 2 4 3 = 2 81 = (2 5 ) 16 .2 = 32 16 .2 = (30 + 2) 16 . 2 = 10q + 2 17 = 10q + (2 5 ) 3 .2 2 = 10q + (10q + 2) 3 . 2 2 = 10t + 2 5 = 10t + 2 Vậy B có chữsố cuối cùng là 2. Bài 3: Tìm hai chữsố cuối cùng của số: C = 2 999 Giải: Ta có : 2 10 + 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 2 10 1 25 Ta lại có 2 1000 1 = ( 2 20 ) 50 1 2 20 1 suy ra 2 1000 - 1 25 Do đó 2 1000 chữsốtậncùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 2 1000 4 suy ra 2 1000 tậncùng là 76 2 999 tậncùng là 38 hoặc 88 vì 2 999 4 2 999 tậncùng là 88 Vậy C = 2 999 có hai chữsốtậncùng là 88. Bài4: Tìm hai chữsốtậncùng của số: D=3 999 Giải Ta có: 9 2m tậncùng là 1 ; 9 2m + 1 tậncùng là 9 Ta hãy tìmsố d của phép chia 9 5 + 1 cho 100 Ta có : 9 5 + 1 = 10( 9 4 9 3 + 9 2 9 +1 ) Số : 9 4 + 9 2 +1 tậncùng là 3 9 3 + 9 tậncùng là 8 suy ra ( 9 4 9 3 + 9 2 9 +1) tậncùng là 5 9 4 9 3 + 9 2 9 +1 = 10q + 5 4 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật 9 5 + 1 =100q + 50 9 10 1 = ( 9 5 +1 )( 9 5 1 ) = 100 t Ta lại có :3 1000 1 = 9 500 1 = (9 10 ) 50 1 suy ra 3 1000 1 100 3 1000 tậncùng là 01 . Mặt khác 3 1000 3 Suy ra chữsố hàng trăm của 3 1000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 ) 3 1000 chữsốtậncùng là 201 Do đó 3 999 tậncùng là 67. Bài 5 : Tìm hai chữsốtậncùng của số A = 9 9 9 Giải A = 9 9 9 = ( 10 1) 9 9 có dạng: ( 10 1) n với n = 9 9 ta lại có A = C 0 n . 10 n - C 1 n .10 n-1 + + C 1 n n .10 - C n n Suy ra A có hai chữsố cuối cùng Với a = C 1 n n .10 - C n n = 10n 1 Số n = 9 9 tậncùng là 9 Suy ra 10n tậncùng là 90 a = 10n 1 tậncùng là 89 Vậy số A = 9 9 9 có hai chữsố cuối cùng là 89. Bài 6: Tìm hai chữsốtậncùng của số: B = 9 9 9 9 Giải B = 9 9 9 9 = (10-1) với m = 9 9 9 = m m m m m m m m cccc ++ 10 10.10. 1110 B có hai chữsố cuối cùng với số: B = 11010. 1 = mcc m n m m Số m = 9 9 9 tậncùng là 9 Suy ra: Số b tậncùng là 89. Vậy: Số B = 9 9 9 9 có 2 chữsốtậncùng là 89. 5 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa. I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa. - a n là một lũy thừa Các trờng hợp đặc biệt: 1. Các số có dạng: + ( 0a ) n tậncùng bằng 0. + 1(a ) n ; ( 5a ) n ; ( 6a ) n tậncùng lần lợt là 1; 5; 6. + ( 3a ) 4 ; ( 7b ) n ; ( 9b ) n tậncùng bằng 1. + ( 2a ) 4 ; ( 4a ) 4 ; ( 8a ) 4 tậncùng bằng 6. 2. Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 tậncùng 01 26 4 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 có 2 chữsốtậncùng là 76. 125 n , 25 n , 5 2 tậncùng là 25. 3. Các số có dạng: ( 01a ) n ; ( 25a ) n , ( 76a ) n có 2 chữsốtậncùng lần lợt là: 01, 25, 76. II. Bài tập: Bài 1: Tìmchữsố cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải Ta có: 9 2m tậncùng là 1 9 2m+1 tậncùng là 9 Suy ra: 9 9 tậncùng là 9, (9 là số lẻ.) Vậy A = 9 9 9 tậncùng là 9. Bài 2: Tìmchữsốtậncùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001 . Giải: Ta có: 6 1 tậncùng là 6 6 2 tậncùng là 6 6 3 tậncùng là 6 Vậy 6 n tậncùng là 6 suy ra 6 2002 tậncùng là 6 6 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Ta có 2 4 = 16 tậncùng là 6 Suy ra 2 2002 = (2 4 ) 500 .2 2 = ( 6a ).4 = 4k với a,k N 2 2002 tậncùng là 4 Bài 3: Tìmchữsố cuối cùng của số: M = 7 1999 ; G = 18 177 Giải *Ta có 7 4 = 2401 tậncùng là 1 M = 7 1999 = (7 4 ) = ( 1n ).343 = 3c tậncùng là 3 Vậy M = 7 1999 tậncùng là 3 *Ta có 18 4 = 6n tậncùng là 6 Suy ra: G = 18 177 = (18 4 ) 44 . 18 1 = 6t .18 = 8k Vậy G = 18 177 tậncùng là 8. Bài 4: Tìm hai chữsốtậncùng của số: C = 2 999 , D = 3 999 Giải: * Ta có: 2 20 có 2 chữsốtậncùng là 76. Suy ra: C = 2 999 = (2 20 ) 49 .2 19 = ( 76y ). 88n = 88q (với y,n,q N) Vậy C = 2 999 có 2 chữsốtậncùng là 88 * Ta có: 3D = 3 1000 = (3 20 ) 50 = ( 01k ) 50 = 01z . Nên 3D tậncùng là 01 , mà 3.3 999 3 Chữsố hàng trăm của 3 1000 là 2 3 1000 tậncùng là 201 Vậy 3 999 có hai chữsốtậncùng là 67 Bài 5 : Tìm hai chữsốtậncùng của số a, M = 7 8966 b, N = 24 7561 c, = 81 6251 Giải a, Ta có 7 4 có hai chữsốtậncùng là 01 Suy ra M = 7 8966 = (7 4 ) 2241 .7 2 = ( 01a ) 2241 .49 = 01c .49 = 49n 7 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Ngäc Hïng – Trêng THCS Yªn LuËt (víi a,c,n ∈ N) Suy ra M = 7 8966 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 49 b,Ta cã 24 2 tËn cïng lµ 76 Suy ra N = 24 7561 = (24 2 ) 3765 .24 = ( 76m ) 3765 .24 = 76k .24 = 24n (víi m,k,n ∈ N) VËy N = 24 7561 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24. c, ta cã 81 5 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 01 Nªn Q = 81 6251 = (81 5 ) 1250 .81 = ( 01k ) 1250 .81 = 01t .81 = 81m (víi k, t, m ∈ N ) VËy Q = 81 6251 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 81. Bµi 6: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè a, Z = 26 854 b, C = 68 194 Gi¶i a, Ta cã 26 4 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 ⇒ Z = 26 854 = (26 4 ) 213 .26 2 = ( 76n ) 213 .676 = 76k .676 = 76c ( Víi n, k, c ∈ N ) VËy Z = 26 854 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 b, Ta cã 68 4 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 Suy ra C = 68 194 = (68 4 ) 48 .68 2 = ( 76n ) 48 .4624 = 76k .4624 = 24t ( Víi n, k, t ∈ N ) VËy C = 68 194 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24. Bµi 7: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña sè T = 5 946 Gi¶i Ta cã 5 3 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125 Suy ra T = 5 946 = (5 3 ) 315 . 5 = ( 125n ) 315 .5 = 125m .5 = 625t ( Víi n, m, t ∈ N ) VËy T = 5 946 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125. 8 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Bài 8: Tìm 4 chữsốtậncùng của số: P = 5 1994 Giải Ta có: 5 4 = 0625 tậncùng là 0625 5 5 tậncùng là 3125 5 6 tậncùng là 5625 5 7 tậncùng 8125 5 8 tậncùng là 0625 5 9 tậncùng là 3125 5 10 tậncùng là 5625 5 11 tậncùng là 8125 5 12 tậncùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4 Suy ra: 5 4m tậncùng là 0625 5 4m+1 tậncùng là 3125 5 4m+2 tậncùng là 5625 5 4m+3 tậncùng là 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2. Do đó M = 5 1994 có 4 chữsốtậncùng là 5625. Phơng pháp 3: Dùng đồng d I. Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùngsố d ta nói a đồng d với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m). 2. Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau: a. a đồng d với b theo mô đun m b. a b chia hết cho m c. có một số nguyên t sao cho a = b+m.t 3. Tính chất: 9 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật 1. a a (mod m) 2. a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m) 3. { )(mod )(mod mba mdc suy ra: )mod(, )(mod mdba mbdac Hệ quả: a+c b (mod m) cba (mod m) a b (mod m) nm ba (mod m) 4. Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì )(mod m k b k a = 5. { )(mod 0, mba kZk > suy ra ka kb (mod m). 6. d ƯC (a,b,m) thì: a b (mod m) suy ra d b d a = (mod d m ) 7. Nếu a b (mod m 1 ) và a b (mod m 2 ) suy ra a b (mod m) m = BCNN (m 1 , m 2 ) Hệ quả: (m 1 , m 2 , , m n ) =1 và ng tố từng đôi Suy ra: a b (mod m 1 ), a b (mod m 2 ) a b (mod m n ) a b (mod m 1 . m 2 . M n ). II. Bài tập 1. Bài 1: Tìm chữsốtậncùng của 6 195 và 2 1000 Giải: Tìmchữsốtậncùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìmsố d trong phép chia số N cho 10, tức là tìmsố tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng d với N theo mod 10 * Ta có: 6 2 = 36 6 mod 10 suy ra 6 n 6 mod 10 Với N là số tự nhiên khác o Suy ra: 6 195+ 6 (mod 10) Vậy chữsốtậncùng của 6 195 là 6. * Ta có: 2 1000 = 2 4 . 250 = (2 n ) 250 Vì 2 n 16 6 (mod 10) Suy ra: (2 n ) 250 16 250 6 250 6 (mod 10) Do đó: 2 1000 6 250 6 (mod 10) Nghĩa là chữsốtậncùng của 2 1000 là 6. 10 [...]... Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữsốtậncùng có nghĩa là tìm chữsốtậncùng của số N với: a (mod 10) suy ra tậncùng là a < 10 Hai chữ sốtậncùng là N b (mod 100) suy ra tậncùng là b:b . tìm chữ số tận cùng của số N với: Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng. 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 5 1994 Giải Ta có: 5 4 = 0625 tận cùng là 0625 5 5 tận cùng là 3125 5 6 tận cùng là 5625 5 7 tận cùng 8125 5 8 tận cùng