Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (24)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK MÔN TOÁN LỚP 11 (NC) NĂM HỌC 2013-2014 TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT CẤP SỐ CỘNG đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số cộng ⇔ u = u n + d; ∀n ∈ N* với d số không đổi n +1 b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1 + ( n − 1) d; ∀n ≥ c) Tính chất số hạng CSC: uk = u k −1 + u k +1 ;k ≥ 2 (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSC Khi Sn = u + u + + u = n ( ) [ ] n u + un n 2u + ( n − 1) d 1 = 2 CẤP SỐ NHÂN đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số nhân ⇔ u = u n q; ∀n ∈ N* với q số không đổi n +1 b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1q n - 1; ∀n ≥ c) Tính chất số hạng CSC: u k = u k −1.u k +1; k ≥ hay u k = u k − 1.u k + (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSN Khi 1− qn Sn = u + u + + u n = u ;q ≠ 1 1− q Sn = nu q = 1 II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng Chứng minh dãy số cấp số cộng, cấp số nhân * Phương pháp chứng minh dãy số CSC: Để chứng minh dãy số (u n ) CSC ta xét hiệu - Nếu H số (u n ) CSC có công sai - Nếu H phụ thuộc vào n (u n ) H = u n +1 − u n d=H không CSC Ví dụ: Chứng minh dãy số ( u n ) với u n = 20n − CSC Tìm số hạng đầu công sai CSC Giải: Ta có u n + − u n = [ 20( n + 1) − 9] - ( 20n - 9) = 20 ⇒ u n + = u n + 20 Vậy ( u n ) CSC với u1 = 11 d = 20 * Phương pháp chứng minh dãy số CSN: Để chứng minh dãy số (u n ) CSN ta xét thương - Nếu T số (u n ) CSN có công bội - Nếu T phụ thuộc vào n (u n ) T= q =T u n +1 , ∀n ≥ un không CSN Ví dụ: Xét xem dãy số ( u n ) với u n = ( n + 1).5 n + có CSN không? Nếu CSN tìm số hạng đầu công bội Giải: Ta có u n +1+1 n+2 n + = ( n + + 1).5 = phụ thuộc n nên ( u n ) không CSN n +1 u n +1 ( ) n + n Dạng Xác định công sai số hạng đầu CSC CSN * Phương pháp xác định công sai số hạng đầu CSC: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 d phải thỏa Giải hệ ta u1 d Ví dụ: Tìm số hạng đầu công sai CSC ( u n ) biết Giải: Áp dụng công thức (1) u n = u1 + ( n − 1) d , u − u + u = 10  u + u = 26 (1) ta có ( u + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 10 u + 3d = 10 u = ⇔ ⇔ ⇔ ( u1 + 3d ) + ( u1 + 5d ) = 26 2u1 + 8d = 26 d = Vậy ( u n ) cho có u1 = 1, d = * Phương pháp xác định công bội số hạng đầu CSN: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 q Ví dụ: Cho CSN ( u n ) có sáu CSN công bội q < Tìm số hạng đầu số hạng thứ u = 4, u = 16 phải thỏa Giải hệ ta u1 q Giải: Ta có 4   u1 q = u =  q = −2 u1 = q u1 = q ⇔ ⇔ ⇔ ⇒  u = 16 u1 q = 16 u q.q = 16 q = u1 = −2   Vậy ( u n ) cho có u1 = −2; u = u1 q = (−2).(−2) = 64 Dạng Dùng công thức un Sn CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng * Phương pháp dùng công thức un Sn CSC để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt công thức: - Nếu (u n ) CSC có công sai d d = u n +1 − u n u n = u1 + ( n − 1) d Sn = n( u1 + u n ) n[ 2u1 + ( n − 1) d ] = 2 để biến đổi, rút gọn tính toán ⇔ a + c = 2b - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC Chứng minh: (2) Giải: Ta có VT(2) = Vậy ( a + 2bc = c + 2ab ) a + ( a + c ).c = a + ac + c = c + a + ac = c + a ( a + c ) = c + 2ab = VP( 2) a + 2bc = c + 2ab * Phương pháp dùng công thức un Sn CSN để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt công thức: - Nếu (u n ) q= CSN có công bội q u n +1 ,n ≥1 un u n = u1 q n −1 ; n ≥ 1− qn ;q ≠ 1− q S n = nu1 q = S n = u1 để biến đổi, rút gọn tính toán - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSN Ví dụ: Tính tổng A = + 99 + 999 + + 99   9 n ⇔ ac = b Giải: Ta có A = + 99 + 999 + + 99   9 ( ) ( n ) ( ) = (10 - 1) + 10 − + 10 − + + 10 n − ( ) = 10 + 10 + + 10 - n n n - 10 -n - 10 10 n +1 − 10 − 9n = = 10 II BÀI TẬP TỔNG HỢP Tìm u1 , d, tính S50 cấp số cộng biết:  u + u = 27 ;  u + u = 33 a)  u6 =  u1 + u − u = 10  u1 + 2u = ; c)  ; d)  2 S4 = 14  u1 + u =  u + u = 16 b)  Định x để số sau lập thành cấp số cộng: 10 − 3x; 2x + 3; − 4x 3.Cho số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh: a + 2bc = c + 2ab Tìm u1 , q cấp số nhân biết:  u1 + u + u = −21  u + u = 10 a) u4 = 64, u6 = 1024; b)  Cho ba số 2, 14, 50 Phải cộng thêm số số để ba số lập thành cấp số nhân Cho số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh: (a + b + c)(a − b + c) = a + b + c Cho ba số 2 , , b−a b b−c lập thành CSC Chứng minh a, b, c lập thành CSN Ba số a, b, c lập thành CSC b, c, a lập thành CSN Tính a, b, c biết: a) a + b + c = 18 b) abc = 125 Tìm số hạng CSN biết tổng ba số hạng đầu 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám CSC 10 Tính tổng a) A = + 99 + 999 + + 99   9 c) C =100 − 99 + 98 − 97 + + 2 −12 n 11 Định m để phương trình CSC b) B = + 66 + 666 + + 66   6 n x − 2( m + 1) x + 2m + = có nghiệm phân biệt lập thành CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN a) Giả sử lim f ( x) = L, lim g ( x) = M x → x0 x → x0 Khi lim [ f ( x) ± g ( x)] = L ± M , x → x0 lim [ f ( x).g ( x)] = L.M , x → x0 lim x → x0 f ( x) L = , ( M ≠ 0) g ( x) M f ( x) = L b) Nếu f ( x) ≥ xlim →x tìm giới hạn, với x ≠ x0 L ≥ 0, lim x → x0 f ( x) = L Chú ý: Định lý cho trường hợp ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN + (dấu f(x) xét khoảng − x → x0 , x → x0 , x → +∞, x → −∞ lim f ( x) = L ⇔ lim_ f ( x) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ +) Nếu lim f ( x ) = +∞ lim x → x0 x → x0 f ( x) =0 + Bảng quy tắc lim f ( x ) x→ x lim g ( x) x→ x L>0 L 0) HÀM SỐ LIÊN TỤC a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 ∈ K f ( x) = f ( x0 ) x0 xlim →x b) Một số định lý bản: ĐL 1: - Hàm số đa thức liên tục R - Hàm phân thức hữu tỉ hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục x0 (trường hợp thương mẫu phải khác x0 ) x0 hàm số liên tục ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục [ a; b] f(a).f(b) x ≤ x0 = ĐS: liên tục 3.2 Xét tính liên tục hàm số khoảng Phương pháp chung: B1: Xét tính liên tục h/s khoảng đơn B2: Xét tính liên tục h/s điểm giao B3: Kết luận Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số  x − 3x +  f ( x) =  x −   10 x ≠ x = TXĐ B2: Cho d qua A ta B3: Giải (5) tìm x0 ⇒ y ? y A − y = f ' ( x0 )( x A − x ) (5) Suy pt tiếp tuyến cần viết Ví dụ: Gọi (C) đồ thị hàm số: y = f ( x) = x Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại điểm có hoành độ -2 b) Tại điểm có tung độ c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = - x + 2014 d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆' : y = x – e) Biết tiếp tuyến qua điểm A(-8;0) ĐS: a) y = - x -1 ; b) y = -9x+6; d) y = -4x+4, y = -4x-4 ; c) y = - x + x 16 e) y = - , - y=- x- III BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: x +3 y = x − x + y = x − y = 5x (3x − 1) y = ( x + 5) y = ( x + 1)( x + 2) ( x + 3) 3 y = 10 x y = ( x 10 y = + x2 + 1)(5 − 3x ) 2x x −1 5x − x + x +1 11 y = 2x − 6x + 2x + 12 y = 13 y = x + 6x + 14 y = x −1 + x + 16 y = x − 2x + 2x + 18) y = 3x - x - x +2 15 y = ( x + 1) x + x + 17 y = 19) 3x − x + 2x − y= a x − b x x 2 20) y = a + bx3 18 y = ( x + 2)( x + 1) y = x (2 x − 1)(3x + 2) 21) 22) y = (a − b ) y= 23) 25) 3 (x + 2)2 (x + 1)3 (x + 3)4 24) y = (x + x)2 29/ y= 1+ x 1− x 26) y = y = x2 − 3x + 27) y = y = x2 x2 28/ y= x x x x (x2- x +1) 30/ y= 31/ y= (2x+3)10 1+ x2 1+ x 1− x 32/ y= (x2+3x-2)20 Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = sin x sin 3x 2) y = (1 + cot x ) sin x + cos x π 7) y = cot (2x + ) 6) y = sin x − cos x 10) y = + cos 11) y = (1 + sin 2 x ) 14) y= 5sinx-3cosx y = sin (cos3x) 22) y = + tan x 8) x 18) 3) y = cos x sin x y= 9) y = + tan x + sin x x y = sin 5) − sin x cos x y=− + cot x 3sin x = 12) y = sin p- 3x 13) y = cos ( x3 ) 15) y = x.cotx 19) 4) y 16) x sin x + tan x 20) y= 17) y= sin(sinx) y = cot + x sin x x + x sin x 21) y = tan x +1 Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: ; x a) y = x2 + x ; x0 = b) y = d) y = e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 x - x; x0 = g) y = x.sinx; x0 = π3 x0 = c) y = x −1 ; x +1 x0 = f) y = 2x −1 ; x −1 h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π3 i) x0 = Cho f ( x) = 3x + , tính f ’’(1) k)Cho y = xcos2x Tính f”(x) l) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) TÝnh f '' ( )  π π m) f ( x ) = sin 3x Tính f ''  − ÷; f '' ( ) ; f ''  ÷ 18  Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: 19    ax + b y= cx + d ax + bx + c y= dx + e y= Áp dụng: Bài 5: ax + bx + c mx + nx + p − x2 + x − y= 2x − Cho hai hàm số : f '( x) = g '( x) x − 3x + y= 2x + x + f ( x) = sin x + cos x g ( x) = (∀ x ∈ ℜ ) y = x − 3x + Bài 6: Cho ĐS: a) 3x + − 2x + y= x < x >  Tìm x để: b) − a) y’ > cos x Chứng minh: b) y’ < < x < 1+ Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – Bài 8: Cho hàm số f(x) = + x Tính : f(3) + (x − 3)f '(3) Bài 9: a) Cho y = b) Cho y = c) Cho 2x − x x−3 x+4 ; chứng minh ; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’ cos x f(x)= + sin x d) Cho hàm số: y y ′′ + = y= ; c/m π π f ( ) − 3f ' ( ) = 4 x2 + 2x + Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 e) Cho hàm số y = cos22x a) Tính y”, y”’ b) Tính giá trị biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – Bài 10: Chứng minh a/ f ( x) = f '( x ) > x − x + x3 − 3x + x − ∀x ∈ ℜ , biết: b/ f ( x ) = x + sin x 20 sin x − cos x + x Bài 11: Cho hàm số y= x2 + x x−2 (C) a) Tính đạo hàm hàm số x = b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = c) Viết phtrình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 13: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – d) Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;0) Bài 14: Cho đường cong (C): y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 a) Tại điểm có hoành độ b) Tại điểm có tung độ c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 d) Biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;2) Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: x +1 x−2 1) y= 5) y = x sin x 2) 6) y= 2x +1 x + x−2 3) y = y = (1 − x ) cos x x x −1 7) y = x.cos2x 21 4) y = x x2 + 8) y = sin5x.cos2x y '' = ĐS: 1) y '' = 5) (x ( x − 2) 2) y '' = x − 10 x + 30 x + 14 (x + x−2 ) 3) y '' = ( x x2 + (x ) −1 ) 4) x3 + 3x ) +1 ( x2 + ) y '' = − x sin x + x cos x 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 16: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: ĐS: a) y ( n ) = ( −1) n n! ( x + 1) n +1 b) π  y ( n ) = sin  x + n ÷ 2  22 a) y= x +1 b) y = sinx B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 r r rr • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = ( u , v vectơ phương a b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vuông góc ( chiếu đt b lên mp chứa đt a) a ⊥ b ⇔ a ⊥ b' với b’ hình * LƯU Ý: Trong phương pháp phương pháp thông dụng  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P) • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)  Dạng 4: Tính góc đt a b • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’)  Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) • Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 23 +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b)  Dạng 7: Tính khoảng cách • Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vuông góc M a) • Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vuông góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H A lên b - AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 2: 24 - Dựng (P) ⊃ a (P) // b - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) H cắt đt b A - AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 3: - Dựng mp (P) ⊥ a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ K - Dựng đt vuông góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A - AH đoạn vuông góc chung a b II BÀI TẬP MINH HỌA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a CMR: Các mặt bên hình chóp tam giác vuông CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) Tính góc ĐS: α SC mp (ABCD), góc SC mp (SAB) α = 450 , β = 300 Tính tang góc ĐS: β ϕ hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) tan ϕ = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) ĐS: a 6/3 Tìm đường vuông góc chung đường thẳng SC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a/ Hướng dẫn: 25 S H A' B A O' O D C Chứng minh tam giác SBC vuông B: cần chứng minh BC Chứng minh BD ⊥ ⊥ (SAB) (SAC) - Góc SC (ABCD) góc SC AC Vậy góc SCA tam giác SAC vuông cân A - Góc SC (SAB) góc SC SB Vậy góc CSB tam giác SBC vuông B có BC = a SB = a Góc (SBD) (ABCD) góc SO AC Vậy góc SOA tam giác SOA vuông A có AO = a 2 SA = a (với O tâm hình vuông ABCD) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) đoạn AH với H chân đường cao kẻ từ A tam giác SAB Đường vuông góc chung đường thẳng SC BD đoạn OO’ với O’ chân đường cao kẻ từ O tam giác SOC (Ở OO’//AA’ (vì vuông góc với SC) O’ trung điểm A’C) III BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) 26 b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC c) SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, tâm O SA = SC = SB = SD = a a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm AB BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc đt SB mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vuông góc với đôi Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a , SA ⊥ (ABCD) 27 a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc SC (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, tâm O SA hình chiếu vuông góc A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, K a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ (SAI) b) Tính SI c) Tính góc (SBC) (ABC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) d) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung SA BC 28 ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KÌ II ******************* ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Đề số Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung : (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim x→ − ∞ x − x + 12 Câu 2: (1,0 điểm): Cho hàm số b) xlim →−3 x+3 x2 −  3x ² − x −  f (x) =  x −1 2 x + Xét tính liên tục hàm số x > x ≤ x0 = Câu 3: (1,0 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + 1)(2 x − 3) b) y = + cos2 x x= π Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a a) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (ABC) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) II Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần sau Theo chương trình chuẩn Câu 5a (2,0 điểm): Cho hàm số: y = x3 − 7x + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k = –1 29 Câu 6a (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, đường cao SO = a Gọi I trung điểm SO Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) Theo chương trình nâng cao Câu 5b (2,0 điểm): Cho đồ thị (P): y = 1− x + x2 (C): y = 1− x + x2 x3 − a) Chứng minh (P) tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm Câu 6b (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a; a SA = SB = SC = SD = Gọi I J trung điểm BC AD Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Hết ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2013-2014 Đề số Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung : (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x →2 x − 3x + b) x3 − 2x − lim x→ − ∞ x − x − + 3x 2x + Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm  x − 3x +  f (x) =  x − 2 x ≠ x = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + 2)( x + 1) b) y = 3sin x.sin x 30 x0 = : Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Gọi H chân đường cao vẽ từ B tam giác ABC Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH) c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) II Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chọn hai phần sau Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (2,0 điểm) a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm với m: (9 − 5m) x + (m − 1) x − = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f (x) = 4x2 − x điểm có hoành độ Câu 6a (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, đường cao SO = trung điểm SO Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD a Gọi I Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình sau có nghiệm thuộc khoảng (0; 1): ax + bx + c = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): với trục tung y = f (x) = 4x2 − x giao điểm (C) Câu 6b: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng 31 SB SD Gọi K giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc Hết - 32 [...]... hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC) d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC 28 2 ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KÌ II ******************* ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014 Đề số 1 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I Phần chung... chung của (P) và (C) tại tiếp điểm Câu 6b (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; a 5 2 SA = SB = SC = SD = Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Hết ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014 Đề số 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I Phần chung : (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:... SB Vậy đó chính là góc CSB của tam giác SBC vuông tại B có BC = a và SB = a 3 4 Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AC Vậy đó chính là góc SOA của tam giác SOA vuông tại A có AO = a 2 2 và SA = a 2 (với O là tâm của hình vuông ABCD) 5 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là đoạn AH với H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB 6 Đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD là... đường cao kẻ từ O của tam giác SOC (Ở đây OO’//AA’ (vì cùng vuông góc với SC) và O’ chính là trung điểm của A’C) III BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) 26 b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC c) SC... chóp là những tam giác vuông b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, K a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC... A lên b - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: 24 - Dựng (P) ⊃ a và (P) // b - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 3: - Dựng mp (P) ⊥ a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ tại K - Dựng đt vuông góc với (P) tại K,... Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b II BÀI TẬP MINH HỌA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2 CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) 3 Tính góc ĐS: α giữa SC và mp (ABCD), góc giữa SC và mp (SAB) α = 450 , β = 300 4... đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH) c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) II Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau 1 Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi... có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H là trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau... y = sinx B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 r r rr • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( chiếu của đt b lên mp chứa