HD CHẤM KT HK II- LỚP12 ( 2013-2014)

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN: TOÁN- LỚP 12 NĂM HỌC 2013-2014 ( Hướng dẫn gồm 06 trang ) CÂU Câu ( 3,0 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN 2x + Cho hàm số y = x +1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số * TXĐ: D = ¡ \ { −1} y =2 * Giới hạn: xlim →±∞ ĐIỂM 0,5 điểm 1,5 điểm 0,25 => Tiệm cận ngang : y=2 lim − y = −∞  x →( −1)   => Tiệm cận đứng : x=-1 lim + y = +∞  x →( −1)  < 0, ∀x ∈ D * Chiều biến thiên: y ' = − ( x + 1) - Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) - Hàm sớ khơng có cực trị * Bảng biến thiên: −∞ +∞ x - y' +∞ y −∞ * Đồ thị: Tâm đối xứng của đồ thị I ( −1; ) Đồ thị: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Chứng minh đường thẳng d : y = x + m (m tham số) luôn cắt 1,5 (C) hai điểm phân biệt A, B với m Xác định m để đoạn AB ngắn -Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): điểm 0,25 2x + = x + m ( x ≠ −1) x +1 ⇔ x + mx + m − = ( 1) ∆ = m − ( m − ) = m − 8m + 32 = ( m − ) + 16 Do đó: ∆ > 0, ∀m 0,25 Vậy: ∀m, đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 hai nghiệm PT (1) y1 = x1 + m, y2 = x2 + m 0,25 Ta có: AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) 2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2     m  ( m − )  = m2 − 8m + 32 =  m − + 16  ≥ 20 =  − ÷ − ) ( ) (  10     11 Vậy: AB nhỏ ⇔ AB2 nhỏ ⇔ AB = 20 ⇔ m = Câu log + log x = log + log x + 12 1.Giả i phương trì n h: x 3 x ( 3,0 điểm) ĐK: x > 0, x ≠ 1 1 + log x = + log x + ( 2) Ta có: ( 1) ⇔ log x log x 2 ( 1) Đặt: t = log x Khi đó (2) trở thành:  t = −1 1 1 +t = + t+ ⇔ t − − = ⇔ t2 − t − = ⇔  t t 2 t t=2 + ) t = −1 ⇒ log x = −1 ⇔ x = 13 + ) t = ⇒ log x = ⇔ x = 14 Vậy: PT (1) có nghiệm x = , x=9  ln x  15 Tính tích phân: I = ∫ x 1 + ÷dx x   Ta có: 4 ln x  ln x  I = ∫ x 1 + ÷dx = ∫ xdx + ∫ dx x  x  1 x2 I1 = ∫ xdx = = 15 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 1,0 điểm 0,25 ln x dx x I2 = ∫ 16  du = dx  u = ln x    x ⇒ Đặt:   dv = x dx  v = − x  0,25 0,25 4 ln x − ln  ln x  I2 = − + ∫ dx =  − − ÷ = x 1x x 1  x Vậy: I = I1 + I = 15 − ln 33 − ln + = 4 0,25 17 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) = x + 3x − x − đoạn [ −4;3] 1,0 điểm Ta có: f ' ( x ) = 3x + x −  x = ∈ [ −4;3] f ' ( x ) = ⇔ 3x + x − = ⇔   x = −3 ∈ [ −4;3] f ( −4 ) = 13, f ( −3) = 20, f ( 1) = −12, f ( 3) = 20 f ( x ) = f ( ±3) = 20, Vậy: Max [ −4;3] Câu ( 1,0 điểm) 0,25 0,5 Min f ( x ) = f ( 1) = −12 [ −4;3] 0,25 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 600, gọi M là trung điểm của SA Tính thể tích khối chóp M ABC theo a Vẽ hình đúng S M 0,25 A C K H I B Gọi H là tâm của tam giác ABC, vì hình chóp S.ABC hình chóp tam giác đều nên SH là đường cao của hình chóp ^ - Theo gt: SAH = 600 -Dựng MK / / SH => MK là đường cao của hình chóp M.ABC Ta có: 1 a a AI tan 600 = = ( I là trung điểm của BC) 3 2 2 AB a S ABC = = 4 -Thể tích của khối chóp M.ABC : MK = AK tan 600 = 0,25 0,25 1 a a2 a3 VM ABC = MK Sđvtt = = ABC 3 24 ( ) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A ( 5;1;3) , B ( 1;6; ) , 4.a C ( 5;0; ) , D ( 4;0;6 ) (2,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C Từ đó suy điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ diện uuur uuur Ta có: AB = ( −4;5; −1) , AC = ( 0; −1;1) r 1,0 điểm 0,25 uuur uuur => n =  AB, AC  = ( 4;4;4 ) r r Do đó mp (ABC) có VTPT n = ( 4; 4; ) hoặc n ' = ( 1;1;1) => PT của mp(ABC) là: ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = hay x+y+z-9=0 - Thay tọa độ điểm D(4;0;6) vào vế trái PT mp(ABC), ta được: + + − = ≠ ⇒ D ∉ ( ABC ) Vậy: điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ diện Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD - Gọi phương trình mặt cầu là x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = - Vì mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có hệ PT: 10a + 2b + 6c − d = 35  2a + 12b + 4c − d = 41    10a + 8c − d = 41  8a + 12c − d = 52  10a + 2b + 6c − d = 35  4a − 5b + c = −3  ⇔ −b+c =   2a + 2b − 6c = −17  a = −  ⇔  b = −2  c =1  d = −68 Câu 5.a ( 1,0 điểm) 0,25 Vậy: Pt m/c: x + y + z + x + y − z − 68 = 1+ i − 2i z + ( 3+ i) = ( 1) tập số phức Giải phương trình : 3−i − 3i Ta có: ( 1) ⇔ ( + i ) z + ( + i ) ( − i ) = − 2i 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 ⇔ ( + i ) z + 30 = − 2i ⇔ ( + i ) z = −26 − 2i −26 − 2i ⇔z= 3( 1+ i ) 0,25 Câu 4.b ( 2,0 điểm) ( 13 + i ) ( − i ) ⇔ z =− 14 ⇔ z = − + 4i 14 Vậy: PT có nghiệm z = − + 4i Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x y −1 z + d1 : = = −1 và 0,25 0,25  x = −1 + 2t  d2 :  y = + t  z =  Chứng minh d1 và d2 chéo 0,5 điểm 0,25 ur + d1 qua M( 0;1;-2), có vectơ chỉ phương u1 = ( 2; −1;1) uur + d2 qua N( -1;1;3), có vectơ chỉ phương u2 = ( 2;1;0 ) ur uur uuuur u1 , u2  = ( −1; 2; ) va # MN = ( −1;0;5 )   ur uur uuuur Do đó: u1 , u2  MN = 21 ≠ Vậy d1 và d2 chéo 0,25 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : 7x + y - 4z = và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 Giả sử d cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A và B Vì A ∈ d1 , B ∈ d nên A ( 2t ';1 − t '; −2 + t ' ) , B ( −1 + 2t;1 + t;3 ) 1,5 điểm Do đó AB = ( 2t − 2t '− 1; t + t ';5 − t ' ) 0,25 uuur r mp (P) có VTPT n = ( 7;1; −4 ) uuur r 2t − 2t '− t + t ' −t '+ AB ⊥ ( P ) ⇔ AB cùng phương với n ⇔ = = −4  5t + 9t '+ =  t ' =1 ⇔ ⇔ 4t + 3t '+ = t = −2 t ' = ⇒ A ( 2;0; −1) 0,25 0,25 0,25 0,25 t = -2 ⇒ B ( −5; −1;3 ) Phương trình của d là: x − y z +1 = = −4 0,25 ( Câu 5.b ( + i ) − 3i (1,0 Viết dạng lượng giác của số phức z = − 3i điểm) Ta có: z = = ( + i) ( − 3i ( − 3i ) ) ( ( + i ) ( − i ) = ( − 3i ) ) ( ) π π −π −π     cos + i sin ÷  cos + i sin ÷ 4 4    −π −π  5  cos + i sin ÷ 3   ( ) ) 0,25 3π 3π   9.25  cos + i sin ÷ ( cos ( −π ) + i sin ( −π ) ) 2   = −5π −5π   25  cos + i sin ÷ 3   π π   cos + i sin ÷ 2  = − π − 5π   + i sin  cos ÷ 3   13π 13π   =  cos + i sin ÷ 6   π π  =  cos + i sin ÷ 6  0,25 0,25 0,25 Hết - ... ( −4;5; −1) , AC = ( 0; −1;1) r 1,0 điểm 0,25 uuur uuur => n =  AB, AC  = ( 4;4;4 ) r r Do đó mp (ABC) có VTPT n = ( 4; 4; ) hoặc n ' = ( 1;1;1) => PT của mp(ABC) là: ( x − ) + (. .. điểm) Ta có: z = = ( + i) ( − 3i ( − 3i ) ) ( ( + i ) ( − i ) = ( − 3i ) ) ( ) π π −π −π     cos + i sin ÷  cos + i sin ÷ 4 4    −π −π  5  cos + i sin ÷ 3   ( ) ) 0,25 3π 3π... AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) 2 = ? ?( x1 + x2 ) − x1 x2     m  ( m − )  = m2 − 8m + 32 =  m − + 16  ≥ 20 =  − ÷ − ) ( ) ? ?(  10    