www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 – 2014 www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o Kú thi tun sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002 -M«n thi : to¸n §Ị chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) _ C©u I (§H : 2,5 ®iĨm; C§ : 3,0 ®iĨm) Cho hµm sè : y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m (1) ( m lµ tham sè) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) m = cã ba nghiƯm ph©n biƯt T×m k ®Ĩ ph−¬ng tr×nh: − x + x + k − 3k = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm cùc trÞ cđa ®å thÞ hµm sè (1) C©u II.(§H : 1,5 ®iĨm; C§: 2,0 ®iĨm) log 32 x + log 32 x + − 2m − = Cho ph−¬ng tr×nh : (2) ( m lµ tham sè) m = Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) T×m m ®Ĩ ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thc ®o¹n [ ; 3 ] C©u III (§H : 2,0 ®iĨm; C§ : 2,0 ®iĨm ) cos 3x + sin 3x T×m nghiƯm thc kho¶ng (0 ; 2π ) cđa ph−¬ng tr×nh: 5 sin x + = cos x + + sin x y =| x − x + | , y = x + TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: C©u IV.( §H : 2,0 ®iĨm; C§ : 3,0 ®iĨm) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Ịu S ABC ®Ønh S , cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a Gäi M vµ N lÇn l−ỵt lµ c¸c trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SB vµ SC TÝnh theo a diƯn tÝch tam gi¸c AMN , biÕt r»ng mỈt ph¼ng ( AMN ) vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng ( SBC ) Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng: x = 1+ t x − 2y + z − = vµ ∆ : y = + t ∆1 : x + y − 2z + = z = + 2t a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ vµ song song víi ®−êng th¼ng ∆ b) Cho ®iĨm M (2;1;4) T×m to¹ ®é ®iĨm H thc ®−êng th¼ng ∆ cho ®o¹n th¼ng MH cã ®é dµi nhá nhÊt C©u V.( §H : 2,0 ®iĨm) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC lµ x − y − = 0, c¸c ®Ønh A vµ B thc trơc hoµnh vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng T×m täa ®é träng t©m G cđa tam gi¸c ABC Cho khai triĨn nhÞ thøc: n n n −1 n −1 −x x2−1 −x x −1 x −1 − x x −1 − x + = C n0 2 + C n1 2 + L + C nn −1 2 + C nn ( n lµ sè nguyªn d−¬ng) BiÕt r»ng khai triĨn ®ã C n = 5C n vµ sè h¹ng thø t− b»ng 20n , t×m n vµ x HÕt Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V n 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o kú thi tun sinh ®¹i häc, cao §¼ng n¨m 2002 ®Ị chÝnh thøc M«n thi : to¸n, Khèi B (Thêi gian lµm bµi : 180 phót) _ C©u I (§H : 2,0 ®iĨm; C§ : 2,5 ®iĨm) y = mx + m − x + 10 Cho hµm sè : Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè (1) m = T×m m ®Ĩ hµm sè (1) cã ba ®iĨm cùc trÞ ( ) (1) ( m lµ tham sè) C©u II (§H : 3,0 ®iĨm; C§ : 3,0 ®iĨm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x − cos x = sin x − cos x Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log x log (9 x − 72) ≤ ( ) x − y = x − y x + y = x + y + C©u III ( §H : 1,0 ®iĨm; C§ : 1,5 ®iĨm) TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng : x2 x2 y = 4− vµ y = 4 Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh: C©u IV.(§H : 3,0 ®iĨm ; C§ : 3,0 ®iĨm) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m 1 I ;0 , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ x − y + = vµ AB = AD T×m täa ®é c¸c ®Ønh 2 A, B, C , D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCDA1 B1C1 D1 cã c¹nh b»ng a a) TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vµ B1 D b) Gäi M , N , P lÇn l−ỵt lµ c¸c trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh BB1 , CD , A1 D1 TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vµ C1 N C©u V (§H : 1,0 ®iĨm) Cho ®a gi¸c ®Ịu A1 A2 L A2 n (n ≥ 2, n nguyªn ) néi tiÕp ®−êng trßn (O ) BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 2n ®iĨm A1 , A2 , L, A2 n nhiỊu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 2n ®iĨm A1 , A2 , L, A2 n , t×m n HÕt Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u IV b) vµ C©u V 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o §Ị chÝnh thøc Kú thi Tun sinh ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2002 M«n thi : To¸n, Khèi D (Thêi gian lµm bµi : 180 phót) _ C©uI ( §H : ®iĨm ; C§ : ®iĨm ) y= C©u II (2m − 1)x − m (1) ( m lµ tham sè ) x −1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè (1) øng víi m = -1 TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong (C) vµ hai trơc täa ®é T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng y = x Cho hµm sè : ( §H : ®iĨm ; C§ : ®iĨm ) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : Gi¶i hƯ ph−¬ng tr×nh : (x ) − 3x 2x − 3x − ≥ 2 x = 5y − y x + x +1 = y x +2 C©u III ( §H : ®iĨm ; C§ : ®iĨm ) T×m x thc ®o¹n [ ; 14 ] nghiƯm ®óng ph−¬ng tr×nh : cos 3x − cos x + cos x − = C©u IV ( §H : ®iĨm ; C§ : ®iĨm ) Cho h×nh tø diƯn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC); AC = AD = cm ; AB = cm ; BC = cm TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm A tíi mỈt ph¼ng (BCD) Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz, cho mỈt ph¼ng (P) : 2x − y + = (2 m + 1)x + (1 − m )y + m − = vµ ®−êng th¼ng d m : ( m lµ tham sè ) mx + (2 m + 1)z + m + = X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®−êng th¼ng d m song song víi mỈt ph¼ng (P) C©u V (§H : ®iĨm ) T×m sè nguyªn d−¬ng n cho C 0n + 2C 1n + 4C 2n + + n C nn = 243 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , cho elip (E) cã ph−¬ng tr×nh x y2 + = XÐt ®iĨm M chun ®éng trªn tia Ox vµ ®iĨm N chun ®éng trªn tia Oy cho 16 ®−êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi (E) X¸c ®Þnh täa ®é cđa M , N ®Ĩ ®o¹n MN cã ®é dµi nhá nhÊt TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã -HÕt Chó ý : ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm c©u V C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o - C©u ý I Kú thi tun sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 §¸p ¸n vµ thang ®iĨm m«n to¸n khèi A Néi dung §H m = ⇒ y = − x + 3x x = y' = ⇔ x2 = TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R y ' = −3x + x = −3x( x − 2) , y" = −6 x + = 0, C§ ∑1,0 ® ∑1,5 ® 0,25 ® 0,5® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® y" = ⇔ x = B¶ng biÕn thiªn −∞ x − y' +∞ + − lâm U CT C§ låi x = y=0⇔ , x = §å thÞ: +∞ + y" y − −∞ y (−1) = y -1 x ( ThÝ sinh cã thĨ lËp b¶ng biÕn thiªn) www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam I C¸ch I Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ − x + x = −k + 3k §Ỉt a = − k + 3k Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x + 3x = a cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ < a < ⇔ < − k + 3k < −1 < k < 0≠k C¸ch II Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ ( x − k ) x + (k − 3) x + k − 3k ] = cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ f ( x) = x + (k − 3) x + k − 3k = cã nghiƯm ph©n biƯt kh¸c k ∆ = −3k + 6k + > −1 < k < ⇔ ⇔ 2 k ≠ ∧ k ≠ k + k − 3k + k − 3k ≠ [ 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - - 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® C¸ch I x = m −1 y' = ⇔ x2 = m + Ta thÊy x1 ≠ x vµ y ' ®ỉi dÊu qua x1 vµ x ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x y1 = y ( x1 ) = − m + 3m − vµ y = y ( x ) = − m + 3m + Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iĨm cùc trÞ M m − 1;− m + 3m − vµ M m + 1;− m + 3m + lµ: y ' = −3x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , ( ) ( ) x − m + y + m − 3m + = ⇔ y = 2x − m2 + m ' C¸ch II y = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , Ta thÊy ∆' = 9m + 9(1 − m ) = > ⇒ y ' = cã nghiƯm x1 ≠ x vµ y ' ®ỉi dÊu qua x1 vµ x ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x Ta cã y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m m 1 = x − − 3x + 6mx + − 3m + x − m + m 3 3 Tõ ®©y ta cã y1 = x1 − m + m vµ y = x − m + m VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iĨm cùc trÞ lµ y = x − m + m ( II ∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® ) Víi m = ta cã log x + log x + − = 3 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® §iỊu kiƯn x > §Ỉt t = log 32 x + ≥ ta cã t −1+ t − = ⇔ t + t − = t = −3 ⇔1 t2 = www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam t1 = −3 (lo¹i) , t = ⇔ log 32 x = ⇔ log x = ± ⇔ x = ± 0,25 ® 0,5 ® x = ± tháa m·n ®iỊu kiƯn x > (ThÝ sinh cã thĨ gi¶i trùc tiÕp hc ®Ỉt Èn phơ kiĨu kh¸c) ∑1,0 ® ∑1,0 ® log x + log x + − 2m − = (2) 3 §iỊu kiƯn x > §Ỉt t = log 32 x + ≥ ta cã t − + t − m − = ⇔ t + t − 2m − = (3) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x ∈ [1,3 ] ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ t = log 32 x + ≤ VËy (2) cã nghiƯm ∈ [1,3 ] vµ chØ (3) cã nghiƯm ∈ [ 1,2 ] §Ỉt f (t ) = t + t C¸ch Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] Ta cã f (1) = vµ f (2) = Ph−¬ng tr×nh t + t = 2m + ⇔ f (t ) = 2m + cã nghiƯm ∈ [1;2] f (1) ≤ 2m + 2 ≤ m + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m ≤ f (2) ≥ 2m + 2 m + ≤ C¸ch TH1 Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiƯm t1 ,t tháa m·n < t1 ≤ t < t +t Do = − < nªn kh«ng tån t¹i m 2 TH2 Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiƯm t1 ,t tháa m·n t1 ≤ ≤ t ≤ hc ≤ t1 ≤ ≤ t ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ ⇔ ≤ m ≤ (ThÝ sinh cã thĨ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hc ®Ỉt Èn phơ kiĨu kh¸c ) III cos x + sin x sin x + = cos x + §iỊu kiƯn sin x ≠ − + sin x cos x + sin x sin x + sin x sin x + cos 3x + sin 3x Ta cã sin x + = 5 + sin x + sin x sin x + cos x − cos x + cos x + sin x (2 sin x + 1) cos x =5 =5 = cos x + sin x + sin x VËy ta cã: cos x = cos x + ⇔ cos x − cos x + = π cos x = (lo¹i) hc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ) www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam 5π π vµ x = Ta thÊy x1 , x tháa m·n ®iỊu 3 5π π kiƯn sin x ≠ − VËy c¸c nghiƯm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x = 3 (ThÝ sinh cã thĨ sư dơng c¸c phÐp biÕn ®ỉi kh¸c) V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = y 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® -1 -1 x Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x − x + |= x + cã nghiƯm x1 = vµ x = MỈt kh¸c | x − x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] VËy ( ) ( ) ( 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25® ∑1® ∑1® ) S = ∫ x + 3− | x − x + | dx = ∫ x + − x + x − dx + ∫ x + + x − x + dx 0 ( ) + ∫ x + − x + x − dx ( ) ( ) ( ) S = ∫ − x + x dx + ∫ x − x + dx + ∫ − x + x dx 1 3 5 1 S = − x3 + x + x3 − x + 6x + − x3 + x 0 3 2 3 1 13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 3 (NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc | x − x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] ) IV www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam S N I M A C 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® K B Gäi K lµ trung ®iĨm cđa BC vµ I = SK ∩ MN Tõ gi¶ thiÕt a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iĨm cđa SK vµ MN 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tun t−¬ng øng AM = AN ⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN (SBC )⊥( AMN ) (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN MỈt kh¸c ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK AI ⊂ ( AMN ) AI⊥MN Suy ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = a 3a a a SK = SB − BK = − = 4 2 2 SK ⇒ AI = SA − SI = SA − = Ta cã S ∆AMN 3a a a 10 − = a 10 = MN AI = (®vdt) 16 chó ý 1) Cã thĨ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI 2) Cã thĨ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hƯ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho − a − a a a ;0 , S 0; K (0;0;0), B ;0;0 , C − ;0;0 , A 0; ;h 2 ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cđa h×nh chãp S ABC www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam 2a) C¸ch I Ph−¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ∆ cã d¹ng: α (x − y + z − 4) + β (x + y − z + 4) = ( α + β ≠ ) ⇔ (α + β )x − (2α − β ) y + (α − β )z − 4α + β = r r VËy n P = (α + β ;−2α + β ;α − β ) Ta cã u = (1;1;2 ) // ∆ vµ M (1;2;1) ∈ ∆ r r α − β = n P u = (P ) // ∆ ⇔ VËy (P ) : x − z = ⇔ M ∉ (P ) M (1;2;1) ∉ (P ) ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® - 0,5 ® - 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® Ta cã thĨ chun ph−¬ng tr×nh ∆ sang d¹ng tham sè nh− sau: x = 2t ' Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ suy x − z = §Ỉt x = 2t ' ⇒ ∆ : y = 3t '−2 z = 4t ' r ⇒ M (0;−2;0) ∈ ∆ , u1 = (2;3;4) // ∆ (Ta cã thĨ t×m täa ®é ®iĨm M ∈ ∆ b»ng c¸ch cho x = ⇒ y = −2 z = C¸ch II r −2 1 1 −2 = (2;3;4) ) ; ; vµ tÝnh u1 = 2 1 − − r Ta cã u = (1;1;2 ) // ∆ Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cđa mỈt ph¼ng (P) lµ : r r r n P = [u1 , u ] = (2;0;−1) VËy ph−¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua M (0;−2;0 ) r vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: x − z = MỈt kh¸c M (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mỈt ph¼ng cÇn t×m lµ: x − z = 2b) b)C¸ch I H ∈ ∆ ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ chØ t = ⇒ H (2;3;3) C¸ch II H ∈ ∆ ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ ⇔ MH u = ⇔ t = ⇒ H (2;3;4) V 2 2 Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) §Ỉt x A = a ta cã A(a; o) vµ ( ∑1® ) xC = a ⇒ y C = 3a − VËy C a; 3a − 2a + (a − 1) xG = ( x A + x B + x C ) ; Tõ c«ng thøc ta cã G yG = ( y A + y B + yC ) C¸ch I Ta cã : AB =| a − |, AC = | a − |, BC = | a − | Do ®ã www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 ® www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu (1,0 điểm) Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với 2cos x sin x + cos x = 0,25 ⇔ cos x(2sin x + 1) = 0,25 π π + k (k ∈ ]) ⎡ x = − π + k 2π ⎢ • 2sin x + = ⇔ ⎢ (k ∈ ]) ⎢ x = 7π + k 2π ⎢⎣ • cos x = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình cho x = (1,0 điểm) 0,25 0,25 π π π 7π + k 2π (k ∈ ]) + k , x = − + k 2π, x = 6 Điều kiện: < x < Phương trình cho tương đương với x2 ⇔ ⇔ (1 − x ) x 1− x = x2 1− x = x−2 x +2 0,25 x x + ⇔ ⎛⎜ + 1⎞⎛ − ⎞⎟ = ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1− x 1− x 1− x x − = (do x 1− x 0,25 >0 ) 0,25 ⇔ x = − 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = − (1,0 điểm) 1 2x 2x Ta có I = ⎛⎜1 + ⎞⎟ dx = dx + dx ⎝ ⎠ x +1 x +1 0 ∫ • ∫ 0,25 ∫x ∫ dx = x = • ∫ 0,25 2x dx = ln( x +1) = ln 2 +1 0,25 Do I = + ln 0,25 n = 120o ⇒ n BAD ABC = 60o ⇒ ΔABC a a2 ⇒ AM = ⇒ S ABCD = 2 n = 45o ⇒ ΔSAM ΔSAM vng A có SMA (1,0 điểm) S 0,25 a a3 Do VS ABCD = SA.S ABCD = vng cân A ⇒ SA = AM = H A D 0,25 Do AD||BC nên d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) Gọi H hình chiếu vng góc A SM B M C Ta có AM ⊥ BC SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A,( SBC )) = AH AM a = , a suy d ( D,( SBC )) = 0,25 Ta có AH = www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 192 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu (1,0 điểm) Đáp án Điểm Do x > 0, y > 0, xy ≤ y −1 nên < x y −1 1 ⎛ 1 ⎞ ≤ = − = −⎜ − ⎟ ≤ y y2 y y ⎝ y 2⎠ 0,25 x t +1 t −2 Đặt t = , suy < t ≤ Khi P = − y t − t + 6(t +1) t +1 Xét f (t ) = t2 −t +3 − t −2 − 3t − , với < t ≤ Ta có f '(t ) = 6(t + 1) (t − t + 3)3 2(t + 1) 0,25 Với < t ≤ ta có t − t + = t (t −1) + < 3; − 3t > t + > 1 1 − 3t − 3t Do − − > > > > − Suy f '(t ) > 2 2(t + 1) 3 (t − t + 3) ⎛1⎞ + Do P = f (t ) ≤ f ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 30 Khi x = 7 + Vậy giá trị lớn P + y = 2, ta có P = 30 30 7.a (1,0 điểm) 0,25 JJJG ⎛ ⎞ IM = ⎜ − ; ⎟ Ta có M ∈ AB AB ⊥ IM nên đường ⎝ 2⎠ thẳng AB có phương trình x − y + 33 = B 0,25 A∈ AB ⇒ A(a;7 a + 33) Do M trung điểm AB nên JJJG JJJG B ( − a − 9; −7 a − 30) Ta có HA ⊥ HB ⇒ HA HB = M I A 0,25 H 0,25 ⇒ a + 9a + 20 = ⇒ a = −4 a = −5 C • Với a = −4 ⇒ A(−4;5), B ( −5; −2) Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình x + y − = Do C (6 − 2c; c) Từ IC = IA suy (7 − 2c)2 + (c −1) = 25 Do c = c = Do C khác A, suy C (4;1) • Với a = −5 ⇒ A(−5; −2), B(−4;5) Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình x − y + = Do C (t ;2t + 8) Từ IC = IA suy (t +1)2 + (2t + 7) = 25 Do t = −1 t = −5 Do C khác A, suy C (−1;6) 8.a (1,0 điểm) Gọi H hình chiếu vng góc A (P) Suy H (−1 + t ; −1+ t ; −2 + t ) 0,25 0,25 2 H ∈( P) ⇔ (−1+ t ) + (−1+ t ) + (−2 + t ) −1 = ⇔ t = Do H ⎛⎜ ; ; − ⎞⎟ ⎝ 3 3⎠ JJJG Gọi (Q) mặt phẳng cần viết phương trình Ta có AB = (1;2;3) vectơ pháp tuyến (P) JG JG n = (1;1;1) Do (Q) có vectơ pháp tuyến n ' = (−1;2; −1) 9.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Phương trình mặt phẳng (Q) là: x − y + z +1 = 0,25 Điều kiện tốn tương đương với (3 + i ) z = −1+ 3i 0,25 ⇔ z = i 0,25 Suy w = −1 + 3i 0,25 Do mơđun w 10 0,25 www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 193 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Câu Đáp án Ta có tâm (C) I (1;1) Đường thẳng IM vng góc với Δ nên có phương trình x = Do M (1; a ) 7.b (1,0 điểm) M 8.b (1,0 điểm) 0,25 N d ( A,( P )) = 0,25 Do M ∈ (C ) nên (a −1)2 = Suy a = −1 a = Mà M ∉Δ nên ta M (1; −1) N ∈Δ ⇒ N (b;3) Trung điểm MN thuộc (C) I P Điểm b +1 ⎞ ⇒ ⎛⎜ −1⎟ + (1 −1) = ⇒ b = b = −3 ⎝ ⎠ Do N (5;3) N (−3;3) P ∈Δ ⇒ P(c;3) JJJG JJG - Khi N (5;3), từ MP ⊥ IN suy c = −1 Do P (−1;3) JJJG JJG - Khi N (−3;3), từ MP ⊥ IN suy c = Do P(3;3) 0,25 0,25 |(−1) − 2.3 − 2(−2) + 5| 0,25 12 + (−2) + (−2) 2 = JG Vectơ pháp tuyến (P) n = (1; −2; −2) Phương trình mặt phẳng cần tìm x − y − z + = 9.b (1,0 điểm) Ta có f ( x ) xác định liên tục đoạn [0; 2] ; f '( x) = 0,25 0,25 0,25 2x + 4x − ( x +1) 0,25 Với x∈[0; 2] ta có f '( x) = ⇔ x = 0,25 Ta có f (0) = 3; f (1) = 1; f (2) = Giá trị nhỏ f(x) đoạn [0; 2] 1; giá trị lớn f(x) đoạn [0; 2] 0,25 0,25 - Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 194 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình √ sin x + cos x = + sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 − x + đường thẳng y = 2x + Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z b) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z −1 = y z+3 x−2 = = Tìm tọa độ giao điểm d (P ) Viết phương đường thẳng d : −2 trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P ) 3a , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) N(2; −1) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 (x, y ∈ R) √ x3 − 8x − = y − Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trò lớn biểu thức P = x2 y+z + yz + − x2 + yz + x + x + y + z + −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 195 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = b) Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò B C cho tam giác ABC cân A √ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(sin x − cos x) = − sin 2x x2 + 3x + dx x2 + x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = − 9i Tính môđun z b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) đường y+1 z x−1 = = Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với d thẳng d : 2 −1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A d Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A C mặt đáy 60 ◦ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3; 0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0; −1) hình chiếu vuông góc B AD điểm G ; trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ √ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y (x, y ∈ R) √ √ 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện (a + b)c > Tìm giá trò nhỏ biểu thức P = a + b+c b c + a + c 2(a + b) −−−−− −Hết−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 196 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Câu (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tính môđun z (3z − z)(1 + i) − 5z = 8i − π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = (x + 1) sin 2x dx Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình log (x − 1) − log (3x − 2) + = b) Cho đa giác n đỉnh, n ∈ N n ≥ Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − = mặt cầu (S) : x + y + z − 6x − 4y − 2z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC √ √ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình (x + 1) x + + (x + 6) x + ≥ x2 + 7x + 12 Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Tìm giá trò nhỏ biểu thức P = x + 2y y + 2x + + x2 + 3y + y + 3x + 4(x + y − 1) −−−−− −Hết−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 197 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu Điểm a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thiên: ; y < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 Hàm số nghòch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) 0,25 - Chiều biến thiên: y = − - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = 1; tiệm cận ngang: y = x→−∞ x→1+ x→1− - Bảng biến thiên: 0,25 x→+∞ lim y = −∞; lim y = +∞; tiệm cận đứng: x = x −∞ y y P P − +∞ − +∞ P PP PP PP q P 0,25 PP PP q −∞ • Đồ thò: y ✆ 0,25 ✄ −2 ✂ O −2 ✁ ✝ x ☎ b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M a; a+2 , a = a−1 0,25 a+2 a+ √a − Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = √ a2 − 2a + = d = ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔ a2 + 2a = • a2 − 2a + = 0: phương trình vô nghiệm a=0 • a2 + 2a = ⇔ Suy tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) M (−2; 0) a = −2 www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 0,25 0,25 198 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án Câu Phương trình cho tương đương với (1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = Điểm 0,25 0,25 sin x + cos x = + sin x cos x • sin x − = 0: phương trình vô nghiệm π • cos x − = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) π Nghiệm phương trình cho là: x = ± + k2π (k ∈ Z) 0,25 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm đường cong y = x − x + đường thẳng x=1 (1,0đ) y = 2x + x2 − x + = 2x + ⇔ x = 0,25 Diện tích hình phẳng cần tìm S = 0,25 |x2 − 3x + 2|dx x3 3x2 − + 2x (x2 − 3x + 2)dx = = 0,25 1 = 0,25 3a + b = a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy a−b=5 (1,0đ) ⇔ a = 2, b = −3 Do số phức z có phần thực 2, phần ảo −3 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 416 = 1820 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là: C 48 = 70 70 Xác suất cần tính p = = 1820 26 0,25 Gọi M giao điểm d (P ), suy M (2 + t; −2t; −3 + 3t) 0,25 Do M ; −3; 2 − → − → d có vectơ phương u = (1; −2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến n = (2; 1; −2) → − Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ − u,→ n ] = (1; 8; 5) 0,25 Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0, nghóa (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0,25 (1,0đ) M ∈ (P ) suy 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − = ⇔ t = (1,0đ) 0,25 Gọi H trung điểm AB, suy √ SH ⊥ (ABCD) Do SH ⊥ HD Ta có SH = SD − DH = SD − (AH + AD ) = a S B ✍ E ✟ ✠ ✌ H ☛ ✞ A a3 SH.SABCD = 3 Gọi K hình chiếu vuông góc H BD E hình chiếu vuông góc H SK Ta có BD ⊥ HK BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK) Suy BD ⊥ HE Mà HE ⊥ SK, HE ⊥ (SBD) √ a Ta có HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = √ = 2 HS + HK 2a Do d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = ☞ K ✡ D C www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 199 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án √ Ta có M N = 10 Gọi a độ dài cạnh của√ hình vuông ABCD, I C 3AC 3a a (1,0đ) D = , a > Ta có AM = AN = 4 5a2 N nên M N = AM + AN − 2AM.AN cos M AN = 5a Do = 10, nghóa a = Gọi I(x; y) trung điểm CD Ta có IM = AD = BD √ A M B = 2, nên ta có hệ phương trình IN = x = 1; y = −2 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16 ⇔ 17 (x − 2)2 + (y + 1)2 = ;y = − x= 5 −−→ • Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) IM = (0; 4) −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình y + = Câu ✒ ✕ Điểm ✑ ✔ 0,25 ✖ ✎ ✓ ✏ 17 17 6 −−→ 12 16 ; y = − ta có I ;− IM = − ; 5 5 5 −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = • Với x = (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 √ x 12 − y + √ √ y(12 − x2 ) = 12 (1) Điề u kiệ n : −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 √ x3 − 8x − = y − (2) √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 Ta có x 12 − y ≤ y(12 − x2 ) ≤ 2 √ x≥0 nên x 12 − y + y(12 − x ) ≤ 12 Do (1) ⇔ y = 12 − x2 √ √ Thay vào (2) ta x3 − 8x − = 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − + 2(1 − 10 − x2 ) = 2(x + 3) √ ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 − x2 Do x ≥ nên x2 + 3x + + 0,25 0,25 2(x + 3) √ > + 10 − x2 0,25 Do (3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm: (x; y) = (3; 3) 0,25 Ta có ≤ (x − y − z)2 = x2 + y + z − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz), (1,0đ) nên x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1) x2 x Suy ≤ x + yz + x + x+y+z+1 0,25 Mặc khác, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 ≤ + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do P ≤ − x+y+z+1 36 0,25 Đặt t = x + y + z, suy t ≥ t = (x + y + z)2 = (x2 +√ y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx ≤ + (x2 + y ) + (y + z ) + (z + x2 ) = Do ≤ t ≤ √ t t2 Xét f (t) = − , với ≤ t ≤ t + 36 t (t − 2)(t2 + 4t + 9) − , nên f (t) = ⇔ t = Ta có f (t) = = − (t + 1)2 18 18(t + 1)2 √ √ √ 31 Ta có f (0) = 0; f (2) = f ( 6) = − , nên f (t) ≤ ≤ t ≤ 30 5 Do P ≤ Khi x = y = z = P = Do giá trò lớn P 9 0,25 0,25 −−−−−−Hết−−−−−− www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 200 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu Điểm a) (1,0 điểm) (2,0đ) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x − 3x + • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) (1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1) - Cực trò: Hàm số đạt cực đại x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu x = 1, y CT = −1 - Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y −∞ −1 + − ✶ PP ✏ ✏✏ PP ✏ PP q ✏✏ −1 • Đồ thò: +∞ + 0,25 ✶ +∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏✏ y ✁ ✂ 0,25 ✞ ✄ ✝ ✆ −1 O −1 x ☎ b) (1,0 điểm) Ta có y = 3x2 − 3m Đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò ⇔ phương trình y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > √ √ √ √ Tọa độ điểm cực trò B, C B(− m; m3 + 1), C( m; −2 m3 + 1) √ √ −−→ Suy BC = (2 m; −4 m3 ) − → −−→ Gọi I trung điểm BC, suy I(0; 1) Ta có tam giác ABC cân A ⇔ AI.BC = 0,25 0,25 0,25 √ √ ⇔ −4 m + m3 = ⇔ m = m = Đối chiếu điều kiện tồn cực trò, ta giá trò m cần tìm m = www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 201 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án Câu √ Phương trình cho tương đương với sin x cos x − 2 cos x + √ √ (1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = √ • sin x − = 0: phương trình vô nghiệm √ 3π • cos x + = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) 3π + k2π (k ∈ Z) Nghiệm phương trình cho là: x = ± Ta có I = (1,0đ) 0,25 sin x − = 0,25 0,25 0,25 2x + dx x2 + x dx + 1 Điểm 2 x2 + 3x + dx = x2 + x √ 0,25 0,25 dx = • 2x + dx = ln |x2 + x| x2 + x • 0,25 1 = ln Do I = + ln 0,25 a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy (1,0đ) √ ⇔ a = 2, b = Do môđun z 13 5a − 3b = 3a + b = 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 312 = 220 Số cách chọn hộp sữa có đủ loại 5.4.3 = 60 Do xác suất cần tính p = 0,25 60 = 220 11 0,25 → Vectơ phương d − u = (2; 2; −1) (1,0đ) → Mặt phẳng (P ) cần viết phương trình mặt phẳng qua A nhận − u làm vectơ pháp tuyến, nên (P ) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa (P ) : 2x + 2y − z − = 0,25 0,25 Gọi H hình chiếu vuông góc A d, suy H(1 + 2t; −1 + 2t; −t) 0,25 1 Ta có H ∈ (P ), suy 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) − (−t) − = ⇔ t = Do H ; − ; − 3 3 (1,0đ) A ✡ ✍ B K ✑ ✟ A ✏ I ✎ ☛ H ✠ B Gọi H trung điểm AB, suy A H ⊥ (ABC) 3a A CH = 60◦ Do A H = CH tan A CH = C Thể tích khối lăng trụ V ABC.A B C = A H.S∆ABC ✌ ☞ C 0,25 0,25 √ 3 a3 = 0,25 Gọi I hình chiếu vuông góc H AC; K hình chiếu vuông góc H A I Suy HK = d(H, (ACC A )) √ 3a Ta có HI = AH sin IAH = , √ 1 52 13 a = + = , suy HK = HK HI HA 9a 26 √ 13 a Do d(B, (ACC A )) = 2d(H, (ACC A )) = 2HK = 13 www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 0,25 202 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án Câu (1,0đ) B E ✚ ✛ ✓ M ✔ G I ✗ F ✙ ✘ ✒ ✖ A ✕ H D Điểm Gọi E F giao điểm HM HG −−→ −−→ −−→ − −→ C với BC Suy HM = M E HG = 2GF , Do E(−6; 1) F (2; 5) −−→ Đường thẳng BC qua E nhận EF làm vectơ phương, nên BC : x − 2y + = Đường thẳng −−→ BH qua H nhận EF làm vectơ pháp tuyến, nên BH : 2x + y + = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ x − 2y + = Suy B(−2; 3) phương trình 2x + y + = Do M trung điểm AB nên A(−4; −3) −→ −→ Gọi I giao điểm AC BD, suy GA = 4GI Do I 0; Do I trung điểm đoạn BD, nên D(2; 0) √ √ (1) (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y √ √ (1,0đ) 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − (2) 1 + √ x−y+1 1+ y 0,25 y≥0 Điều kiện: x ≥ 2y (∗) 4x ≥ 5y + 0,25 = (3) 1 y=1 + √ > nên (3) ⇔ y = x − x−y+1 1+ y • Với y = 1, phương trình (2) trở thành − 3x = ⇔ x = Do √ 0,25 • Với y = x − √ 1, điều kiện (∗) trở thành ≤ x ≤ 2.√Phương trình (2) trở thành 2x2 − x − = − x ⇔ 2(x2 − x − 1) + (x − − − x) = √ ⇔ (x2 − x − 1) + =0 x−1+ 2−x √ 1± ⇔ x −x−1 = ⇔ x = Đối chiếu điều kiện (∗) kết hợp trường hợp trên, ta √ √ + −1 + nghiệm (x; y) hệ cho (3; 1) ; 2 Ta có a + b + c ≥ a(b + c) Suy (1,0đ) b 2b Tương tự, ≥ a+c a+b+c 0,25 0,25 a 2a ≥ b+c a+b+c 0,25 0,25 2(a + b) c 2(a + b) a+b+c Do P ≥ − + = + a + b + c 2(a + b) a+b+c 2(a + b) ≥2− = 2 Khi a = 0, b = c, b > P = 0,25 0,25 √ √ Ta có (1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − y) = ⇔ (1 − y)(x − y − 1) √ 0,25 0,25 3 Do giá trò nhỏ P 2 0,25 −−−−−−Hết−−−−−− www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 203 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu Điểm a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) (1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1) - Cực trò: Hàm số đạt cực đại x = −1, y CĐ = 0; đạt cực tiểu x = 1, y CT = −4 - Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y −∞ • Đồ thò: −1 + − ✶ PP ✏ ✏✏ PP ✏ Pq P ✏✏ −4 0,25 ✶ +∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏✏ y ✁ −1 +∞ + ✄ ✂ ✆ ✝ x O 0,25 −2 ✞ −4 ☎ b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M (a; a3 − 3a − 2) 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến M ⇔ y (a) = 0,25 ⇔ 3a2 − = ⇔ a = ±2 0,25 Tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M (2; 0) M (−2; −4) 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta [3(a + bi) − (a − bi)](1 + i) − 5(a + bi) = 8i − (1,0đ) 3a + 4b = ⇔ 2a − b = a=3 ⇔ b = −2 √ Do môđun z 32 + (−2)2 = 13 www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 0,25 0,25 0,25 204 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án Câu Điểm π I = (x + 1) sin 2x dx Đặt u = x + dv = sin 2xdx, suy du = dx v = − cos 2x (1,0đ) π π 1 4 Ta có I = − (x + 1) cos 2x + cos 2xdx 20 = − (x + 1) cos 2x = π + sin 2x 0,25 0,25 π 0,25 0,25 x−1 = −2 a) Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với log 3x − (1,0đ) x−1 = ⇔ x = ⇔ 3x − Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x = b) Số đường chéo đa giác n đỉnh C 2n − n = Từ giả thiết ta có phương trình n(n − 3) = 27 ⇔ 0,25 0,25 n(n − 3) 0,25 n=9 n = −6 0,25 Do n ∈ N n ≥ nên ta giá trò n cần tìm n = (1,0đ) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 1) bán kính R = Ta có khoảng cách từ I đến (P ) d(I, (P )) = 0,25 |6.3 + 3.2 − 2.1 − 1| = < R 62 + 32 + (−2)2 0,25 Do (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tâm (C) hình chiếu vuông góc H I (P ) Đường thẳng ∆ qua I vuông góc x−3 y−2 z−1 với (P ) có phương trình = = Do H ∈ ∆ nên H(3 + 6t; + 3t; − 2t) −2 3 13 Ta có H ∈ (P ), suy 6(3+6t)+3(2+3t)−2(1−2t)−1 = ⇔ t = − Do H ; ; 7 7 (1,0đ) ☛ B ✠ K ✟ A ☞ H 0,25 BC a Gọi H trung điểm BC, suy AH = = , 2 √ 3a a2 SH ⊥ (ABC), SH = S∆ABC = BC.AH = 2 √ 3a Thể tích khối chóp V S.ABC = SH.S∆ABC = 24 S ✌ 0,25 0,25 0,25 Gọi K hình chiếu vuông góc H SA, suy HK ⊥ SA Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK Do HK đường vuông góc chung BC SA 0,25 ✡ C Ta có Do 1 16 = + = HK SH AH 3a √ 3a d(BC, SA) = HK = www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 0,25 205 www.MATHVN.com - Tốn Học Việt Nam Đáp án Câu (1,0đ) Điểm 3x + 2y − = x + 2y − = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình A Suy A(1; 3) ✏ ✍ ✑ ✎ ✒ E B D C 0,25 Gọi ∆ tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm ∆ với đường thẳng BC (do AD không vuông góc với ∆ nên E tồn ta giả sử EB < EC) Ta có EAB = ACB BAD = DAC, suy EAD = EAB + BAD = ACB + DAC = ADE Do đó, tam giác ADE cân E E giao điểm ∆ với đường trung trực đoạn AD, nên x + 2y − = tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình y − = Suy E(5; 1) −−→ Đường thẳng BC qua E nhận DE = (4; 2) làm vectơ phương, nên BC : x − 2y − = 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với √ √ (1,0đ) (x + 1)( x + − 2) + (x + 6)( x + − 3) − (x2 + 2x − 8) ≥ ⇔ (x − 2) √ 0,25 0,25 x+1 x+6 +√ − x − ≥ (1) x+2+2 x+7+3 0,25 Do x ≥ −2 nên x + ≥ x + > Suy x+2 x+6 x+2 x+1 √ +√ −x−4= √ − + x+2+2 x+7+3 x+2+2 x+6 x+6 √ −√ − < x+7+3 x+2+2 Do (1) ⇔ x ≤ 0,25 Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho là: −2 ≤ x ≤ 0,25 Do ≤ x ≤ nên (x − 1)(x − 2) ≤ 0, nghóa x + ≤ 3x Tương tự, y + ≤ 3y (1,0đ) x + 2y y + 2x x+y Suy P ≥ + + = + 3x + 3y + 3y + 3x + 4(x + y − 1) x + y + 4(x + y − 1) t Đặt t = x + y, suy ≤ t ≤ Xét f (t) = + , với ≤ t ≤ t + 4(t − 1) 1 Ta có f (t) = − Suy f (t) = ⇔ t = (t + 1)2 4(t − 1)2 Mà f (2) = 11 53 ; f (3) = ; f (4) = nên f (t) ≥ f (3) = 12 60 Khi x = 1, y = P = Do P ≥ 0,25 0,25 0,25 7 Vậy giá trò nhỏ P 8 0,25 −−−−−−Hết−−−−−− www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học 206 [...]... Theo giả thi t thì: www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 17 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam C 23n = 20C n2 (2n )! 3!(2n 3)! = 20 n! n(n 1) 2n.(2n 1)(2n 2) = 20 2!(n 2)! 6 2 2n 1 = 15 n = 8 0,5 đ Chú ý: Thí sinh có thể tìm số hình chữ nhật bằng các cách khác Nếu lý luận đúng để đi n(n 1) đến kết quả số hình chữ nhật là thì cho điểm tối đa phần này 2 www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc... 2 Từ C n3 = 5C n1 ta có n 3 và www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 đ 10 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam n! n! n(n 1)(n 2) =5 = 5n n 2 3n 28 = 0 (n 1)! 3!(n 3)! 6 n1 = 4 (loại) hoặc n 2 = 7 Với n = 7 ta có x21 C 2 3 7 4 0,25 đ 0,25 đ 3 3x 2 = 140 35.2 2 x 2.2 x = 140 2 x 2 = 4 x = 4 www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 0,5 đ 11 www.MATHVN.com -... 26n Hết -Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 29 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A Nội dung điểm 2điểm 1 điểm Câu 1 1) 1 x2 + x 1 = x x 1 x... bớc nào đợc điểm bớc đó Hết www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 26 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 Môn thi : toán khối A đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút _ mx 2 + x + m (1) (m là tham số) x 1 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để đồ... + z 1 Chứng minh rằng 1 1 1 x2 + + y2 + + z2 + x2 y2 z2 82 HếT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 27 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 - Môn thi : toán khối B Thời gian làm bài: 180 phút Đề chính thức _ Câu... là số tổ hợp chập k của n phần tử) Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 28 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 Môn thi: toán Khối D Thời gian làm bài: 180 phút _ Đề chính thức Câu 1 (2... đó M 2 7 ;0 , N 0; 21 và GTNN (MN) = 7 - Đẳng thức xảy ra x 0 = ( ) ( ) 1/4 -Hết www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 25 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 - Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D Câu I: 1 -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm -Nếu TS xác định... z Vậy P 82 0,25 đ 0,5 đ 1 3 Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác (Dấu = xảy ra khi x = y = z = ) www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 34 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối B Nội dung Câu 1 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ tồn tại... 3 9 Giao điểm của đồ thị với trục tung là B(0;10 ) Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ: 10 B x = 4 + 6 và x = 4 6 U1 U2 -2 2 0 A1 -6 x A2 (Thí sinh có thể lập 2 bảng biến thi n) www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 12 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam I II 2 ( ) ( ) y ' = 4mx 3 + 2 m 2 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 9 , x=0 y' = 0 2 2 2mx + m 9 = 0 Hàm số có ba điểm cực trị phơng trình y... tiệm cận xiên của đồ thị là: y = x x x x 1 lim y = tiệm cận đứng của đồ thị là: x = 1 0,25 đ x 1 Bảng biến thi n: x y 0 0 + y 1 + 2 0 3 CĐ + + CT 1 + 0,5 đ Đồ thị không cắt trục hoành Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1) y 1 O 0, 25 đ 1 2 x 1 3 www.DeThiThuDaiHoc.com - Thi Th i Hc 30 www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam 2) 1 điểm Đồ thị hàm số y = 2 mx + x + m cắt trục hoành tại 2 điểm phân