Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG III III CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH VÀ VÀ HỆ HỆ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH PHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG CƯƠNG VỀ VỀ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH I.I ĐẠI Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1) • x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề • Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình • Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức cần điều kiện P(x) ≠ P( x ) – Nếu phương trình có chứa biểu thức P( x ) cần điều kiện P(x) ≥ + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2 • (1) ⇔ (2) S1 = S2 • (1) ⇒ (2) S1 ⊂ S2 Phép biến đổi tương đương • Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác • Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Bài a) c) Bài a) c) e) Bài a) c) Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: 5 1 b) x + 3x + = 12 + = 15 + x−4 x−4 x +3 x +3 1 2 d) x + x2 − = 9− = 15 + x −1 x −1 x −5 x −5 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: b) x + = − x 1+ 1− x = x − d) x − = − x x +1 = x +1 x = f) x − − x = x − + x −1 x −1 Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: b) x + 1( x − x − 2) = x − 3( x − x + 2) = x x −2 Trang 14 = x −2 − x −2 d) x2 − x +1 = x +3 x +1 + x +1 www.MATHVN.com Phương trình bậc – bậc hai Bài a) c) Bài a) c) Trần Sĩ Tùng Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: b) x + = x − x − = x +1 d) x − = x − x −1 = x + Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: x x x −2 x −2 = = b) x −1 x −1 x −1 x −1 x x x −1 1− x = = d) 2−x 2−x x −2 x −2 Bài a) II PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ax ax ++ bb == 00 II ax + b = Hệ số (1) có nghiệm x = − a≠0 a=0 (1) Kết luận b≠0 b=0 b a (1) vơ nghiệm (1) nghiệm với x Chú ý: Khi a ≠ (1) đgl phương trình bậc ẩn Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) (m2 + 2) x − m = x − b) m( x − m) = x + m − b) m( x − m + 3) = m( x − 2) + d) m ( x − 1) + m = x (3m − 2) e) (m2 − m) x = x + m2 − f) (m + 1)2 x = (2m + 5) x + + m Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b, c: x−a x−b a) b) (ab + 2) x + a = b + (b + 2a) x −b = − a (a, b ≠ 0) a b x + ab x + bc x + b2 c) + + = 3b (a, b, c ≠ −1) a +1 c +1 b +1 x −b−c x −c−a x −a−b d) + + = (a, b, c ≠ 0) a b c Bài Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x ∈ R a) (m − 2) x = n − b) (m2 + m − 3) x = m − c) (mx + 2)( x + 1) = ( mx + m2 ) x d) (m2 − m) x = x + m2 − Bài a) Trang 15 www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc – bậc hai III PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI HAI ax ax22 ++ bx bx ++ cc == 00 (a (a ≠≠ 0) 0) III Cách giải ax2 + bx + c = ∆ = b − 4ac Chú ý: (a ≠ 0) (1) Kết luận ∆>0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2 = ∆=0 (1) có nghiệm kép x = − ∆ ∆ ≥ ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > S > S < Chú ý: Trong trường hợp u cầu hai nghiệm phân biệt ∆ > • (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < Bài Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu iii) có hai nghiệm dương phân biệt ii) có hai nghiệm âm phân biệt a) x + x + 3m − = c) x − 2(m − 1) x + m = b) x + 12 x − 15m = d) (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = e) (m − 1) x + (2 − m) x − = f) mx − 2(m + 3) x + m + = g) x − x + m + = h) (m + 1) x + 2( m + 4) x + m + = Bài a) VẤN ĐỀ 3: Một số tập áp dụng định lí Vi–et Biểu thức đối xứng nghiệm số b c Ta sử dụng cơng thức S = x1 + x2 = − ; P = x1 x2 = để biểu diễn biểu thức đối a a xứng nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S − P x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S (S − 3P ) Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b c (S, P có chứa tham số m) S = x1 + x2 = − ; P = x1 x2 = a a Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: S = u + v, P = uv x − Sx + P = , Bài Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: A = x12 + x22 ; B = x13 + x23 ; C = x14 + x24 ; D = x1 − x2 ; a) x − x − = d) x − x − 15 = Trang 17 b) x − x − = e) x − x + = E = (2 x1 + x2 )(2 x2 + x1 ) c) x + 10 x + = f) x + x − = www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc – bậc hai Bài Cho phương trình: (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Bài Cho phương trình: x − 2(2m + 1) x + + 4m = (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x23 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 , x22 b) x1 + x2 − x1 x2 = −1 c) A = (2 + 4m)(16m + 4m − 5) 1± d) m = e) x − 2(8m + 8m − 1) x + (3 + 4m)2 = Bài Cho phương trình: x − 2(m − 1) x + m − 3m = (*) a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m HD: a) m ≥ c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = HD: a) m = 3; m = b) ( x1 + x2 )2 − 2( x1 + x2 ) − x1 x2 − = c) m = –1; m = Bài Cho phương trình: x − (m − 3m) x + m3 = a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = b) x2 = 1; x2 = − 7; x2 = −5 − Bài (nâng cao) Cho phương trình: x + x sin α = x + cos2 α (α tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với α b) Tìm α để tổng bình phương nghiệm phương trình đạt GTLN, GTNN Bài Cho phương trình: a) Trang 18 www.MATHVN.com Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng IV PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH CHỨA CHỨA ẨN ẨN TRONG TRONG DẤU DẤU IV GIÁ TRỊ TRỊ TUYỆT TUYỆT ĐỐI ĐỐI GIÁ Định nghĩa tính chất A A ≥ • A = − A A