Phương trình chứa căn thức

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VD1: Giải phương trình : x   x   x  (1) Nhận xét Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ ta thấy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm ,đây điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu ,Đặt f(x)= x   x   x 15 x f’(x)=    >0  x  ( ; ) nên hàm số đồng biến 5 x  3 (2 x  1)  [ ; ) Mà f(1)=4 nên x=1 nghiệm Lg: Đk: x  VD : Giải phương trình : x3  x  x  16   x  Nhận xét : Bài toán gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện 2 x3  x  x  16  Đk:  4  x  ( x  2)(2 x  x  8)    2  x  4  x   Đặt f(x) = x3  x  x  16   x , 3( x  x  1) f’(x)=  x  x  x  16  0, x  (2; 4) 4 x Nên hàm số đồng biến ,f(1)= nên x=1 nghiệm VD3 : Giải phương trình  x   x  1  x     x   x  1  x  2 Viết lại phương trình dạng sau Đk: x   2x 1    x2  x6 4 Nhận thấy x   >0  x >5 hàm g(x)= x   , h(x) = x   x  dương đồng biến với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 nghiệm VD : Giải phương trình x  x3   x   ( ĐH Ngoại thương 2000) Lg: Đặt f(x) = x  x3   x  , x  3  0x   3x Vậy f(x) đồng biến với x  ,f(-1) =0 nên x=-1 nghiệm VD5: Giải phương trình : x(2  x  3)  (4 x  2)(1   x  x )  (3) Lg: Trước vận dụng phương pháp hàm số ,ta xét cách giải sau Thầy : Nguyễn tất Thu :Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai (Đăng báo toán học tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷ phương pháp đánh giá) Viết lại phương trình dạng x(2  (3 x)2  3)  (2 x  1)(2  [(2 x  1)2 ]  Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)1 | x3  3x |=|x|| x  | > (1) vô nghiệm Nếu x  đặt x=cost t  0;   phương trình trở thành  2 1 4cos3t-3cost =  cos3t =  t    k chọn nghiệm 2  5 7 khoảng t  0;   ta có nghiệm t  , t  ,t  từ suy ngiệm 9  5 7 phương trình x  cos ; x  cos ; x  cos 9 Bình Luận: Bài toán giải dựa vào tính chất sau hàm số : f(t) đơn điệu f(t1)=f(t2)  t1=t2 Tuy nhiên toán trước áp dụng tính chất vào giải phương trình người giải toán cần phải biến đổi ,lột bỏ nguỵ trang toán ,đưa dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng công cụ giải toán Muốn làm tốt điều người thầy phải thường xuyên trọng việc bồi dưỡng tư hàm cho học sinh VD9: Giải phương trình x  15  3x   x  Lg: xét f(x)= x   x   x  15  Nếu x 2  x   0, x   x  15  Vì x  không 3 nghiệm  Nếu x  , f ' ( x )   x    x 8 x    Vậy f(x) đồng biến x  15  ,f(1)=0 Nên x=1 nghiệm phương trình VD10 :Giải phương trình: x2  4x  Đặt f  x   x   4  x với  x   1  f  x     3   4  x  2   x   Ta có: f  x    x    x  x  Nhìn bảng biến thiên suy ra: f  x   f    x   2,4  x  f  f x0   (x0)  Phương trình f  x   x   4  x  có nghiệm x  VD 11 : Giải phương trình sau: x   x   x   (1) Lg: Xét phương trình 2x   2x   2x   Tập xác định: D = R Đặt f(x) = Ta có: Suyra f ' ( x)  (2 x  1) hàm  số 2x   2x   2x   ( x  2)  f(x)  0; x   ,1, 2 (2 x  3) đồng M=   ,     ,1    1,     ,   2    2   biến tập Ta thấy f(-1)=0  x=-1 nghiệm (1) Ta có: f (  )  3; f (  )  3 2 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ f’(x) F(x)   -1   +∞  +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 phương trình cho có nghiệm Bình luận : Nhiều phương trình vô tỷ giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đưa hệ phương trình ,từ vận dụng hàm số để giải VD12: Giải phương trình : x3  x2  5x   x  x  Lg: Đặt y= x  x   x  x  x   y  x  x  x   y Ta có   3 ( x  1)  x   y  y 7 x  x   y Xét hàm số f(t)=t3+t, f’(t)=3t2+1>0 t  R hàm số đồng biến nên ta có y=x+1  1    x  x  x   o  x  5;    Bình Luận : Một ứng dụng mạnh lý thú hàm số vận dụng vào việc tìm Đk tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.Đây dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp câu V đề thi vào trường đại học năm gần VD 13 ( ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x   x   x   x  m Lg: Đặt f(x) = x   x   x   x , x   0; 6 (6  x )3  (2 x)3 1  x  2x f ( x)       2x  x (6  x)3 (2 x)3 2x  x (2 x)3 (6  x) ' 1 Nhận thấy hai số hạng f’(x) dấu với nên f’(x) =0 6-2x=2x hay x=2 Bảng biến thiên : x f’(x) + - 3 2 f(x)  24 12  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai ghiệm thực phân biệt Khi   m  12  Bình luận Đây toán khó ứng dụng hàm số việc giải phương trinh Việc tính đạo hàm gây nhiều khó khăn cho học sinh,nhưng việc xét dấu dạo hàm phức tạp Mặt khác toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức kỹ vững vàng giải Đây câu khó khăn đề Khối A năm 2008.Ta xét thêm số ví dụ khác VD 14 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương 11   x  1   =m 2x x   Lg: Đặt y= x  11 28 11    1   ta có y '    2x 2x x   x x  28 11 28  1 2x x x  28 Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 nghiệm x   g ( x)   y '  mà x   g ( x)   y '  ta có bảng biến thiên sau y '   g ( x)  x y’ y - + + + + 15 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 15 m> Bình Luận : Bài toán khó khăn cho học sinh không công đoạn tính đạo hàm mà gây khó khăn việc giải phương trình y’ =0 xét dấu đạo hàm Để giải phương trình y’=0 xét dấu đạo hàm toán có phục vụ lớn đạo hàm Ta tiếp cận toán theo cáh khác sau : lim y  lim ( x  x 0 x 0 11    1   )   , 2x x   11    1   )   x  x  2x x   Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki lim y  lim ( x  2 2 7  7           1    16 1        3.1  x  x    x   x  x 7  1 7   1       Dấu = xảy   x3 2 x x  x  Từ x  11  7  9  3     x   2x  x  x 15  x  6 Dấu x=3 x 2 11   15 từ ta có x   4    2x  x  Lập bảng biến thiên ta kết Bình Luận : Cách giải giúp học sinh tính đạo hàm xét dấu đạo hàm lại gặp khó khăn việc lựa chọn điểm rơi bất dẳng thức Cô si Bunhia Để luyện tập học sinh làm tập tương tự : Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương x   =m 2x x Nhận xét : Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình ,học sinh hay mắc sai lầm việc kết luận tổng,tích hai hàm đồng biến Ta xét thêm ví dụ khác VD15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Theo bất đẳng thức cô si ta có x x  x  12  m  2010  x  2009  x  Lg: Đk :  x  2009 Viết lại phương trình dạng :( x x  x  12 )( 2010  x  2009  x ) =m Xét hàm số f(x) =( x x  x  12 )( 2010  x  2009  x ) Ta có h(x) = x x  x  12 >0 đồng biến  x  2009 g(x)= 2010  x  2009  x 1 2010  x  2009  x có g’(x) =   >0 với 2010  x 2009  x 2010  x 2009  x  x  2009 nên hàm số đồng biến  x  2009 , g(x) >0 với  x  2009 f(x) =h(x)g(x) đồng biến  x  2009 phương trình có nghiệm f (0)  m  f (2009)  12   2010  2009  m  2009 2009  2021 Bình Luận: Khi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất hàm số vào giải phương trình người thầy cần lưu ý học sinh:Khi xét tập D tích hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa hàm đồng biến (nghịch biến) có tích hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương hàm số đồng biến (nghịch biến ) VD16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm (4 m  3) x   (3m  4)  x  m   (1) Lg: Điều kiện 3  x  Phương trình  m(4 x    x  1)  x   x   m Vì  x   x 1 1 (2) (4 x    x  1) x3   1 x  4 2t   x    t Nên ta đặt  Với t  0;1  t  1 x   1 t2 12t  1  t    t 7t  12t  Khi (2) trở thành: m    f (t ) (3) 16t  1  t   t  5t  16t  (1) có nghiệm  (3) có nghiệm t   0;1 có f (t )    52t  8t  60  5t  16t    0t   0;1 9  f (1)  f (t )  f (0)    m  9 2t  x    1 t2 Bình luận :Giáo viên nên giải thích ta đặt ?   1 x  21 t  1 t2 xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá: x  y  a ta đặt