Phương pháp quy nạp

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta thử trực tiếp với số tự nhiên tập hợp số tự nhiên vô hạn Song ta tiến hành bước kiểm tra sau Bước : Trước hết ta kiểm tra mệnh đề với n=0 Bước : Rồi ta chứng : Từ giải thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k suy với n=k+1 Ví dụ : Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +… + bn-1) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) * Giả sử đẳng thức n=k Tức ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak2 b +… + bk-1) Ta cần chứng minh với n=k+1 Tức C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk) Thật ta có : VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(ab)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) = (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức với n Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có đẳng thức : n(n  1) 1+2+3+4…………+ n = Bài 2: Chứng minh với n N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 n(n  1)(2n  )  +……+n = Bài 3: Chứng minh với n N biểu thức Un=13n -1 chia hết Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta có 2n > 2n+1 2n  Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.3  32n  36  64 Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta có: (n+1)(n+2)…(2n)  1.3.5…(2n-1) Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta có: n3+2n  n Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 16  15n  1 225 A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b  0) Tồn cặp số nguyên (q, r) cho a = bq + r với * Nếu r = a chia hết cho b: a  b  a = kb 0r  b a, b, k  * Nếu r  phép chia a cho b có dư Tính chất qua hệ chia hết: aa a  b b  a a = b a  b b  c a  c a m ka  m ak  m a  m, b  m a  b  m a  b  m mà a  m b  m a  m, b  n ab  nm a  m an  mn an  m, m nguyên tố a  m a  m, a  n mà (n, m) = a  mn a  m, a  n, a  k; n, m, k nguyên tố sánh đôi a  mnk a  m, b  m a  b  m * Trong n số nguyên liên tiếp (n N*) có số chia hết cho n * Trong n+1 số nguyên (n N*) chia cho n có hai số chia cho n có số dư * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố p ta xét trường hợp số dư n chia cho p * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi nguyên tố chứng tỏ A(n) chia hết cho thừa số * Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho m PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n)  m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n)  m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn  a – b ( a  b) n an – bn  a – b ( a  - b) n chẵn an + bn  a + b ( a  - b) n lẻ 5/ Chứng minh quy nạp toán học : Bài Chứng minh : a) n5 - 5n3 + 4n  120 ; với  n  Z b) n3-3n2-n+3  48 ; với  n lẻ c) n4 + 4n3 -4n2 -16n  384 với  n chẵn Bài CMR: a) n  n  12 b) n(n  2)(25n  1)  24 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5 giống 3 d) (a  b)  (a  b ) e) Cho n > (n, 6) = CMR n  1 24 2n   2n   g) f) 32n   6n  11 B, CHIA HẾT ĐA THỨC : Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : Đa thức f(x)  ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức Từ suy : Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x)  ( x + 1) 2.Đa thức bậc trở lên : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x)  g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)  g(x) f(x) - g(x)  g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a  (x-3) b) 2x2 + x + a  (x+3) c) x3 + ax2 -  (x2 + 4x + 4) d) 10x2 - 7x + a  (2x - 3) e) 2x2 + ax + chia cho x - dư g) ax5 + 5x4 -  (x-1) Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 Bài Tìm n  Z để : a/ n2 + 2n –  11 b/ 2n3 + n2 + 7n +1  2n – c/ n3 –  n – d/ n3 - 3n2 + 3n -  n2 +n + e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n +  n4 – Bài 4: Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 +  x20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945  x2 - x + c/ x10 - 10x +  (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 +  (x – 1)2