Tọa độ không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ II Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : +Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B; yB ; zB ) uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) r r Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) +Định lý 2: a1 = b1 r r  * a = b ⇔ a2 = b2 a = b  r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r (k ∈ ¡ ) * k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) III Sự phương hai véc tơ: r r r r Cho hai véc tơ a b với b ≠ r r a phương b r r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k b r Nếu a ≠ số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b r r k < a ngược hướng b r a k = r b + Định lý : uuur uuur A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC r r + Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : r r a phương b Tốn Tuyển Sinh Group a1 = kb1  ⇔ a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 a = kb  www.facebook.com/groups/toantuyensinh IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: rr r r rr a.b = a b cos(a, b) r2 r a =a r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = r r + Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a2 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : rr a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 r Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) ta có : r a = a12 + a22 + a32 + Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B; yB ; zB ) AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − zA )2 r r + Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : r r a⊥b r ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = r + Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : rr rr a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b cos(a, b) = r r = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chiauuu đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : r uuur MA = k MB • • • A M B uuur uuur + Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ) MA = k MB ( k ≠ ) x A − k xB  x = M  1− k  y A − k y B   yM = 1− k  zA − k zB   zM = − k  Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh x A + xB   xM =  y +y  Đặc biệt : M trung điểm AB ⇔  yM = A B  zA + zB   zM =  Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ), C(x C ; yC ; zC ) x A + x B + xC   xG =  y + y +y  G trọng tâm tam giác ABC ⇔  yG = A B C  zA + zB + zC   zG =  VI Tích có hướng hai véc tơ: r r Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) véc tơ rr ký hiệu :  a; b  có tọa độ : rr a  a; b  =     b2 r a = (a1; a2 ; a3 ) r b = (b1; b2 ; b3 ) a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2  Cách nhớ: Tính chất: • rr r  a; b  ⊥ a   • uuur suur S∆ABC =  AB; AC  • uuur uuur SY ABCD =  AB; AD  • VABCD A' B'C 'D' rr r  a; b  ⊥ b   C D • r r a phương b rr r ⇔  a; b  = D' C A' A uuur uuur uuur =  AB; AC  AD VABCD • B B uuur uuur uuur'  =  AB; AD  AA • • A C' B' D C A D B C A B rrr rr r a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = uuur uuur uuur uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB,AC,AD đồng phẳng ⇔  AB,AC  AD = Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: r r  a ≠ r  đn a VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r a có giá song song trùng với (∆)  a  a (∆ ) Chú ý: • Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với • Một đường thẳng ( ∆ ) hồn tồn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng:  a  b a α r b Cho mặt phẳng α xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường r thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : uruur Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP  Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n α r r  n ≠ r đn  n VTPT mặt phẳng α ⇔  r  n có giá vuông góc với mpα Chú ý : • Một mặt phẳng có vơ số VTPT, véc tơ phương với • Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: r  a = (a1; a2 ; a3 ) Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP :  r mp α có VTPT  b = (b1; b2 ; b3 ) r r r  a2 : n =  a; b  =   b2 a3 a3 ; b3 b3    n = [a, b ] a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2   a α Tốn Tuyển Sinh Group  b www.facebook.com/groups/toantuyensinh II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có r VTPT n = ( A; B; C ) là:  n = ( A; B; C ) M ( x; y;z ) • M ( x0 ; y ; z ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = α  n = ( A; B; C ) z Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : α Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ M0 phương trình tổng qt mặt phẳng x Chú ý : r • Nếu (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) • M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxz ) • (Oxy):z = x • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: •  A(a; 0; 0)  Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz  B(0; b; 0) C (0; 0; c)  (Oyz ) z y O (Oxy ) (a,b,c ≠ 0) C x y z + + =1 a b c là: y c O a b B A III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: (a1 , a2 , , an ) gọi tỷ lệ với có số t ≠ cho (b1 , b2 , , bn ) Hai n số :   a1 = tb1  a = tb      an = tbn Ký hiệu: a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn Tốn Tuyển Sinh Group a a1 a2 = = = n b1 b2 bn www.facebook.com/groups/toantuyensinh Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳnguurα , β xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1 y + C1z + D1 = có VTPT n1 = ( A1; B1; C1 ) uur ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = có VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 )  n1  n2  n1  n1  n2 a  n2 b a a b b (α ) cắt (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: (α ) // (β ) ⇔ A1 B1 B C C A ≠ ≠ ≠ ) A B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C2 D2 Đặc biệt: α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = (α ) ≡ (β ) ⇔ Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng (∆) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) r nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP :  a z  x = x0 + ta1  (∆) :  y = y0 + ta2  z = z + ta  (∆ ) M0 M ( x, y , z ) y (t ∈ ¡ ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng (∆) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) r nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : (∆ ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  : M  a (∆)  n (∆)  n M a a  n a a M  a (∆) Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : đường thẳng (∆) : M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) r x − x0 y − y0 z − z0 = = có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) qua a1 a2 a3 r mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = ( A; B; C ) Khi : (∆) cắt (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ (∆) // (α ) ( ∆ ) ⊂ (α ) Đặc biệt: (∆) ⊥ (α ) ⇔ Tốn Tuyển Sinh Group Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D = a1 : a2 : a3 = A : B : C  a a www.facebook.com/groups/toantuyensinh  n  pt(∆) tìm  pt(α ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( ∆ ) ( α ) ta giải hệ phương trình :  x,y,z Suy ra: M(x,y,z) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M ' ∆1  a M0  b  u  u' ∆2 ∆1 ∆2 M0 ' ∆1 M M M 0' M0  u  u  u' ∆2 M ' ∆1  u' ∆2 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : r x − x0 y − y0 z − z0 = = có VTCP u = (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) a b c ur x − x0 y − y0 z − z0 ' (∆ ) : = = có VTCP u = (a' ; b'; c' ) qua M '0 ( x 0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c (∆1 ) : r ur' uuuuuuur'  • (∆1 ) (∆ ) đồng phẳng ⇔ u, u  M0 M0 =   u r uuuuuuur   ur, u'  M M ' =   0 • (∆1 ) cắt (∆ ) ⇔   a : b : c ≠ a' : b' : c' • (∆1 ) // (∆ ) ⇔ a : b : c = a' : b' : c' ≠ ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 ) ⇔ a : b : c = a' : b' : c' = ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : (z0' − z0 ) r ur uuuuuuur • (∆1 ) (∆ ) chéo ⇔ u, u'  M0 M0' ≠    pt(∆1 ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (∆1 ) (∆2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm  pt(∆ ) • (∆1 ) ≡ (∆ ) x,y,z Suy ra: M(x,y,z) Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 =  n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có cơng thức:  n2 = ( A2 ; B2 ; C ) cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 a 0 ≤ ϕ ≤ 90 Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (∆) : b x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c (∆) mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức:  a = (a; b; c)  n = ( A; B; C ) sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x − x0 y − y0 z − z0 (∆1 ) : = = a b c x − x0 y − y0 z − z0 (∆ ) : = = ' a' b' c a  a1 = (a; b; c) 0 ≤ ϕ ≤ 90 ∆1 ∆2  a = ( a ' ; b' ; c ' ) 0 ≤ ϕ ≤ 90 Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆1 ) & (∆ ) ta có cơng thức: cos ϕ = Tốn Tuyển Sinh Group aa ' + bb ' + cc ' a + b2 + c a '2 + b'2 + c '2 www.facebook.com/groups/toantuyensinh IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) tính cơng thức: M ( x0 ; y ; z ) Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ; ∆) = A2 + B + C H a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ∆ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP r u = (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính cơng thức: M1  u M ( x0 ; y ; z ) H (∆) uuuuuur r  M M1; u    d ( M1 , ∆ ) = r u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo : r (∆1 ) có VTCP u = (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ur (∆ ) có VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (∆1 ) (∆ ) tính cơng thức  u ∆1 M0 M 0'  u' Tốn Tuyển Sinh Group ∆2 r ur uuuuuuur u, u ' M0 M0'   d (∆1 , ∆ ) = r ur  u; u '   www.facebook.com/groups/toantuyensinh MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R : z (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 (S ) (1) I R M ( x; y; z ) y O x Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ) : x + y + z2 = R2 Phương trình tổng qt: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) mặt cầu (S) có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R Gọi d(I; α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α Ta có : (α ) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) < R (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) =R ⇔ d(I;α ) > R (S ) (α ) không cắt mặt cầu (S) (S ) I (S ) I R R R a H a (C ) I M M H a M r H Chú ý: Khi α cắt mặt cầu (S) cắt theo đường tròn (C) Đường tròn (C) nầy có: • Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng α • Bán kính r = R2 − d (I ,α ) Tốn Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh