Tài liệu toán học phương trình

Toán học môn khoa học tự nhiên có từ lâu đời Nó tồn phát triển với tồn phát triển xã hội loài người Từ 2000 năm trước công nguyên người Cổ đại biết cách giải phương trình bậc nhất, người cổ Babilon biết giải phương trình bậc hai dùng bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba Trong trình giảng dạy, đặc biệt dạy chương phương trình ta thấy dạng phương trình đa dạng phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng, dùng phép biến đổi tương đương phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Phương trình nhiều nội dung liên tục đề cập tới chương trình toán học sinh, lẽ chúng kiến thức nhất, quan trọng thường xuyên áp dụng toán học ứng dụng thực tiễn Giải phương trình có nhiều phương pháp cần kết hợp tốt phương pháp tùy thuộc vào cấp, lớp học mà dùng phương pháp dùng phương pháp cho nhanh gọn, hay nhất, đề xuất cách giải phù hợp cho dạng cụ thể tránh thời gian tìm tòi hướng Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) phương trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tương ứng hai biểu thức Biến x gọi ẩn Giá trị tìm ẩn gọi nghiệm Việc tìm nghiệm gọi giải phương trình Mỗi biểu thức gọi vế phương 1.2 Định nghĩa phương trình bậc ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b số; a 0 gọi phương trình bậc ẩn số, b gọi hạng tử tự 1.3 Tập xác định phương trình : Là tập hợp giá trị ẩn làm cho biểu thức phương trình có nghĩa 1.4 Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 1.5 Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương với ( đơn giải hơn) Phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương 1.6 Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn : Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; x ẩn số; a, b, c hệ số cho; a  Một số phương pháp giải phương trình 1- Phương pháp đưa phương trình tích : Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để giải phương trình dạng trước hết ta phải nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đưa phương trình cho dạng tích f(x).g(x) h(x) = f(x) = g(x) = =0 h(x) = Vì tích phần tử Nghiệm phương trình cho tập hợp nghiệm phương trình : f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = * Bài toán : Giải phương trình (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) Giải : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 - 3x2 - 3x – =0 x3 – – 3x2 – 3x – = (x-1) ( x2 + x+ 1) – (x2 + x + 1) = ( x2 + x + 1) ( x – 4) = (2) Với học sinh lớp ta làm sau: Do x2 + x +  nên phương trình có nghiệp x – = x = Với học sinh lớp : (2) x2 + x + = x–4 =0 (*) (**) Giải phương trình (*) :  = – = -3 < nên (*) vô nghiệm Giải (**) : x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2- Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp thường sử dụng với dạng phương trình *Dạng :Phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = ( a0) gọi phương trình trùng phương + Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x2 ( y 0) đưa phương trình bậc hai y sau : ay2 + by + c = Bài toán 2: Giải phương trình : x4 – 5x2 + = (1) Đặt y = x2 ( y 0) Giải : (1) y2 – 5y + = (y-1)(y-4) = y – = y = y–4=0 y=4 x2 = x1 = 1; x2 = -1 x2 = x3 = 2; x4 = -2 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2 * Dạng : Phương trình có dạng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Với a + b = c + d a + c = b + d a + d = b + c Bài toán 3: Giải phương trình ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) =9 (1) Giải : (1) ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = =9 Đặt y = x2 + 4x – Ta phương trình : y ( y+8) = y2 + 8y – = (y-1)(y+9) = y – = y = y +9 = y = -9 x2 + 4x – = x2 + 4x - = x1,2 =   10 x2 + 4x – = -9 x2 + 4x + = x3,4 = - Vậy phương trình ( 1) có nghiệm : x1 =   10 ; x2 =   10 ; x3 = -2 Dạng 3: Phương trình có dạng: (x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2 Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 y = (x + a) (x + d) Bài toán Giải phương trình 4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 Giải: (1) * Cách 1: (1) (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2 4(x + 17 + Đặt y = ( x + 16 + (2) 60 ) (x x + 16 + 60 )= x ( x  0) ( 2) 60 ) x 4y ( y + 1) = 4y2 + 4y – = y1 = 1/2 ; y2 = -3/2 Với y = 1/2 ta có : 2x2 + 31x + 120 = x1 = - 8; x2 = -15/2 Với y = -3/2 ta có : 2x2 + 35x + 120 =  x3   35  265 ; x4   35  265 * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x + 60, ta phương trình 4y ( y + x) – 3x2 = (3) ( 2y – x) ( 2y + 3x) = x1 = 2y x2 = -2y/3 Thay vào ( 3) ta tìm nghiệm * Dạng 4: Phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + Cách giải :Ta đưa phương trình dạng phương trình trùng phương cách đặt y = x + ( a+b)/2 Bài toán Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Giải : Đặt y = x + ta phương trình ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 – = ( Phương trình trùng phương) Đặt m = y ( m0) ta phương trình m2 + 6m – = (8) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0) (*) m1 = (thoả mãn); m2 = -7 (loại) y2 = => y1 = 1; y2 = -1 x+2=1 => x = -1 x + = -1 => x = -3 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = - 1; x = -3 – Phương pháp đưa hai luỹ thừa bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đưa hai vế phương trình luỹ thừa bậc Sau vận dụng đẳng thức học để giải phương trình *Chú ý: A2n = B2n A =  B A2n – = B2n – A = B *Bài toán Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải: (1) Thêm 4x2 + vào vế (1) x4 + 4x + = 4x4 = 24x + 36 (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 x   2x    x   (2 x  6) (2) (3) Giải (2): x2 + = 2x + x2 – 2x – = ’ = + = > => phương trình có nghiệm x1 =   ; Giải (3): x2 =   x2 + = - 2x – x2 + 2x + = ’ = – = -7 < => phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 =   ; x2 =   4.Dùng bất đẳng thức biến đổi hai vế * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu hàm số khoảng * Bài toán : Giải phương trình: (1) x 8  x 9 1 Giải: Viết phương trình dạng (1) x 8  x 9 1 Dễ thấy x = ; x = nghiệm (1) Xét giá trị lại x +) Với x <  x 1  x 1 x 8  Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với x > x    x   9 x  Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với < x < < x – < => x   x  < – x < =>  x   x