pt hàm(1).DOC

Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu CHUYÊN ĐỀ MƠN: TOÁN Tác giả: Ngũn Ngọc Xn Tở: Toán Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thu Tỉnh: Hòa Bình PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Phương pháp biến có lẽ là phương pháp sử dung nhiều giải phương trình hàm Ta có thể: • Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị số Thường các giá trị đặc biệt là 0, ±1, ±2, • Hoặc các biến các biểu thức để làm xuất các số các biểu thức cần thiết Chẳng hạn, phương trình hàm có mặt f ( x + y ) mà muốn có f ( ) ta y − x , muốc có f ( x ) cho y = , muốn có f ( nx ) y ( n − 1) x 1.1 Thế ẩn tạo PTH mới:  2x +1  Ví du 1: Tìm f : ¡ \ { 2} → ¡ thỏa mãn f  ÷ ⇒ x + x∀x ≠ 1( 1)  x −1   2x +1  Lời giải: Đặt t =  ÷ ⇒ MGT t = ¡ \ { 2} (tập xác định của f) Ta được:  x −1  x ≠1 3t − t +1 ∀t ≠ Thử lại thấy x= vào (1): f ( t ) = t−x ( t − x) Vậy hàm số cần tìm có dạng f ( t ) = 3t − ( t − x) Nhận xét: + Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết MGT t ⊃ D Với giả thiết đảm bảo tính chất: “ Khi t x∈Dx chạy khắp giá trị t x=1 chạy khắp tập xác định f”  3x − x ≠ 2)  ( + Trong ví du 1,nếu f : ¡ → ¡ có vơ số hàm dạng f ( x ) =  ( x − ) (Với a ∈ ¡ tùy ý)  a Ví du 2: Tìm hàm f : ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] → ¡ thỏa mãn: ( ) f x − x − = x + x − 1∀ x ≥ 1( )  x − t ≥ 2 Lời giải: Đặt t = x − x − ⇔ x − = x − t ⇔  2  x − = ( x − t ) Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu x ≥ t x ≥ t  t ≤ −1 t2 +1  ⇔ ⇔ x ⇔ ≥t ⇔  Hệ có nghiệm  t + 2 2t 0 < t ≤  x − = x − xt + t x = 2t  t ∈ ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] Vậy MGT t = D = ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] x ≥1 1 Với t = x − x − x + x − = ⇒ f ( t ) = thỏa mãn (2) t t Vậy f ( x ) = là hàm số cần tìm x 2   3x −  x + ∀x ≠ 1, x ≠ ( 3) Ví du 3: Tìm f : ¡ \  ;3 → ¡ thảo mãn: f  ÷= 3   x +  x −1 3x − 2t + 2  t+4 t = ¡ \  ;3 ⇒ x = f ( t) = Lời giải: Đặt t = x + ⇒ MGT vào (4) ta được: 3 − t   3t − ( xx≠≠12) thỏa mãn (3) Vậy hàm số cần tìm là: f ( x ) = Ví du 4: Tìm f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thỏa mãn: t+4 3x − xf ( xf ( y ) ) = f ( f ( y ) ) ∀x, y ∈ ( 0; +∞ ) ( ) Lời giải: Cho y = 1, x ∈ ( 0; +∞ ) , ta được: xf ( xf ( 1) ) = f ( f ( 1) ) 1 ta được: f ( f ( 1) ) = ⇒ xf ( x ( 1) ) = ⇒ f ( xf ( 1) ) = Đặt: f ( 1) x f ( 1) a t = ( 0; +∞ ) t = xf ( 1) ⇒ f ( t ) = ⇒ f ( t ) = (với a = f ( 1) ) Vì f ( 1) ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ MGT x∈( 0; +∞ ) t t Ví du 5: Tìm hàm f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thỏa mãn: Cho x = f ( 1) = ; f ( xy ) = f ( x ) f Lời giải: 3 3  ÷+ f ( y ) f  ÷∀x, y ∈ ( 0; +∞ ) (5) x  y Cho x = 1; y = ta được: f ( 3) = 3 Cho x = 1; y ∈ ( 0; +∞ ) ta được: f ( y ) = f  ÷ Thế lại (5) ta được:  y f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) ∀x, y ∈ ( 0; +∞ ) ( 5' ) Thay y ta đượcL x 2 3 1 f ( 3) = f ( x ) f  ÷⇒  ÷ = ( f ( x ) ) Thử lại thấy  x  x Vậy hàm số cần tìm là: f ( x ) = ∀x > Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Ví du 6: Tìm hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = xy x + y ∀x, y ∈ ¡ ( ) ( ) Lời giải: Ta có: ( 6) ⇔ ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 2 1 = ( x + y ) − ( x − y )  + ( x + y ) + ( x − y )   ( x + y ) + ( x − y )  − ( x + y ) − ( x − y )   4  2 vf ( u ) − uf ( v ) = ( u + v ) ( u − v ) ( u + v ) − ( u − v ) u = x − y Đặt  ta được: v = x + y ⇒ vf ( u ) − uf ( v ) = u 3v − v 3u ⇔ v f ( u ) − u = u f ( u ) − v ( ) ( ) ( ) + Với uv ≠ ta có: f ( u ) − u f ( v ) − v3 f ( u ) − u3 = ∀u , v ∈ ¡ * ⇒ = a ⇒ f ( u ) = au + u 3∀u ≠ u v u 3 + Với u = 0; v ≠ suy ra: f ( u ) − u = ⇔ f ( u ) = u ⇒ f ( ) = 3 Hàm f ( u ) = au + u thỏa mãn f ( ) = Vậy f ( u ) = au + u ∀u ∈ ¡ Hàm số cần tìm là: f ( u ) = ax + x ( a ∈ ¡ ) Thử lại thấy 1.2 Thế ẩn tạo hệ PTH mới: Ví du 1: Tìm hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + xf ( − x ) = x + 1∀x ∈ ¡ ( 1) Lời giải: Đặt t = − x , ta được: f ( −t ) − tf ( −t ) = −t + 1∀t ∈ ¡ ( 1) Ta có hệ:  f ( x ) + xf ( − x ) = x + ⇒ f ( x ) = Thử lại hàm số cần tìm là: f ( x ) =  − xf x + f − x = − x + ( ) ( )   x −1  Ví du 2: Tìm hàm số f : ¡ \ { 0,1} → ¡ Thỏa mãn: f ( x ) + f  ÷ = + x∀x ∈ ¡  x  x −1 , ( ) ⇔ f ( x ) + f ( x1 ) = + x Lời giải: Đặt x1 = x x1 − 1 = , ( ) ⇔ f ( x1 ) + f ( x2 ) = + x1 Đặt x2 = x1 x −1 x2 − = x, ( ) ⇔ f ( x2 ) + f ( x ) = + x2 Đặt x3 = x2 * ( 2)  f ( x1 ) + f ( x ) = + x  + x − x + x2  1  = x+ + Ta có hệ  f ( x2 ) + f ( x1 ) = + x1 ⇒ f ( x ) = ÷ Thử lại thấy 2 x 1− x    f ( x3 ) + f ( x2 ) = + x2 1 1  Vậy hàm số cần tìm có dạng: f ( x ) =  x + + ÷ 2 x 1− x   x −1  Ví du 3: Tìm hàm số f : ¡ \ { −1;0;1} → ¡ thỏa mãn: xf ( x ) + xf  ÷ = 1∀x ≠ −1( 3)  x +1 Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Lời giải: x −1 , ( 3) ⇒ xf ( x ) + f ( x1 ) = x +1 x1 − 1 = − , ( 3) ⇒ x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) = Đặt x2 = x1 + x x2 − x + = , ( 3) ⇒ x2 f ( x2 ) + f ( x3 ) = Đặt x3 = x2 + x − x3 − = x, ( 3) ⇒ x3 f ( x3 ) + f ( x ) = Đặt x4 = x3 + Đặt x1 =  xf ( x ) + f ( x1 ) =   x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) = x2 − x + ⇒ f x = Thử lại thấy ( ) Ta có hệ  x x − x f x + f x = ( ) ( ) ( )  x f x + f x = ( )  ( 3) Vậy hàm số cần tìm là: f ( x ) = 4x2 − x + x ( x − 1) Ví du (Áo 1996) Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện x f ( x ) + f ( − x ) = x − 24 , ∀x ∪ ¡ Giải Thay x − x ta ( 1− x) f ( 1− x) + f ( x) = ( 1− x) − ( 1− x) Như ta có hệ  x f ( x ) + f ( − x ) = x − 24  ( − x ) f ( − x ) + f ( x ) = ( − x ) − ( − x ) ( )( ) ( 2 Ta có D = x − x − x − x + và Dx = − x Từ ta có nghiệm của bài toán là )(x 1 − x : x ≠ a, x ≠ b  f ( x ) = c ∈ ¡ : x = a (c là số tùy ý),  2a − a − a : = b  Với a, b là nghiệm của phương trình x − x − = )( ) − x − x − x + Vậy D f ( x ) = Dx , ∀x ∈ ¡ Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Nhận xét: bài toán dùng lần kì thi VMO 2000, bảng B Ví du Tìm tất các các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x ) cos y, ∀x, y ∈ ¡ Hint: Thế y → π Thế y → y + π 2 Thế x → Đáp số: f ( x ) = a cos x + b sin x ( a, b ∈ ¡ ) Ví du f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , x, y ∈ ¡ Chứng minh rằng: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Hint: Tính f ( ) Thế y = −1 Chứng minh f là hàm số Thế y = ⇒ f ( x + 1) = f ( x ) + Tính f ( ( u + v + uv ) + 1) theo (3) và theo giả thiết để suy f ( 2uv + u ) = f ( uv ) + f ( u ) y Cho v = − , → x và u → y, 2uv → x để suy điều phải chứng minh 2 Ví du Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: f ( x ) = xf ( 1) x, ∀x ≠ f ( x ) + f ( y ) = + f ( x + y ) , ∀x, y ∈ ¡ , ( x, y ) ≠ ( 0, ) ; x + y ≠ Hint: Tính f ( ) , f ( −1)   x +1   Tính a + với a = f ( 1) = f  ÷= f  x + ÷ theo hai điều kiện x +1   x +1   Đáp số: f ( x ) = x + Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Nhận xét: Thủ thuật áp dụng cho lớp toán gần tuyến tính Ví du Tìm tất các hàm số f : ¡ * → ¡ thỏa mãn f ( 1) = và 3 3 f ( xy ) = f ( x ) f  ÷+ f ( y ) f  ÷, ∀x, y ∈ ¡ x  y + Hint: Tính f ( 3) Thế y → Đáp số: f ( x ) = Ví du Tìm tất các các hàm số f : ¡ * → ¡ thỏa mãn điều kiện: 1 f ( z ) + f  ÷ = x, ∀x ∈ ¡  y Hint: Thế x → Đáp số: f ( x ) = * x −x x Ví du 10 Tìm tất các hàm số f : ¡ \ { 0,1} → ¡ thỏa mãn điều kiện:  x −1  f ( x) + f  ÷ = x, ∀x ∈ ¡ \ { 0,1}  x  Hint: Thế x → x −1 −1 ,x → x x −1 Đáp số: f ( x ) = x + x −1 − 1− x x Luyện tập: Tìm tất các hàm số f : Ô + Ô + tha iu kin: ( ) f ( x + 1) = f ( x ) + 1, x Ô + va f x = f ( x ) , ∀x Ô + Hint: + Quy np f ( x + n ) = f ( x ) + n, x Ô , Ơ Tụ: Toan Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu  p  2 f   + q ÷ ÷theo hai cách  q  ÷   p + 2 Vi Ô , tớnh q + ap s: f ( x ) = x, x Ô Vớ du 11 (VMO 2002) Hãy tìm tất cảc các hàm số f ( x ) xác định tấp số thực ¡ và thỏa mãn hệ thức ( ) f ( y − f ( x ) ) = f x 2002 − y − 2001 y f ( x ) , ∀x, y ∈ ¡ (1) Giải a Thế y = f ( x ) vào (1) ta ( ) f ( ) = f x 2002 − f ( x ) − 202 ( f ( x ) ) , ∀x ∈ ¡ (2) b Lại thay y = x 2002 vào (1) ( ) f x 2002 − f ( x ) = f ( ) − 2001.x 2002 f ( x ) , ∀x ∈ ¡ (3) Lấy (2) cộng với (3) ta ( ) f ( x ) f ( x ) + x 2002 = 0, ∀x ∈ ¡ 2002 Từ suy với giá trị x ∈ ¡ ta có là f ( x ) = là f ( x ) = − x Ta để thỏa mãn yêu cầu bài toán bắt buộc phải có đồng f ( x ) ≡ 0, ∀x ∈ ¡ f ( x ) ≡ − x 2002 , ∀x ∈ ¡ Thật vậy, f ( ) = hai hàm số trên, nên khơng tính tởng quát ta giả sử tồn 2002 a ≠ cho f ( a ) = và tồn b > cho f ( b ) = −b (vì cần thay x = vào quan hệ (1) ta nhận hàm f hàm chẵn) Khi x = a và y = −b vào (1) ta ( f ( −b ) = f a 2002 + b ) Vậy ta nhận dãy quan hệ sau ≠ −b 2002 = f ( b) = f ( −b ) ( = f a 2002 + b ) 0 =  − a 2002 + b  ( ( ≠ 0) ) 2002 ( −( a 2002 +b ) 2002 < −b 2002 ) Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Bằng cách thử lại quan hệ hàm ban đầu ta kết luận có hàm số f ( x ) ≡ 0, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví du 12 (Hàn Quốc 2003) Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( x − f ( y ) ) = f ( x ) + xf ( y ) + f ( f ( y ) ) , ∀x, y ∈ ¡ (4) Giải Nhận thấy hàm f ( x ) ≡ thỏa mãn yêu cầu bài toán Xét trường hợp f ( x ) ≠ a Thế x = f ( y ) vào (4) ta f ( 0) = f ( z ) + z2 → f ( x ) = − x2 f ( 0) + 2 Hay f ( f ( x) ) = − f ( x) + f ( 0) b Thế x = f ( z ) , với z là số thuộc ¡ ta f ( f ( z) − f ( y) ) = f ( f ( z) ) + f ( z) f ( y) + f ( f ( y) ) Với lưu ý là f ( f ( y) ) = − f ( y) + f ( 0) và f ( f ( z ) ) = − f ( z) + f ( 0) Thay vào quan hệ hàm ta ( f ( z) − f ( y) ) f ( f ( z) − f ( y) ) = − 2 + f ( 0) (5) c Tiếp theo ta chứng tỏ tập { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } = ¡ Do f ( x ) ≠ nên tồn giá trị y0 cho f ( y0 ) = a ≠ Khi từ quan hệ (4) ta có f ( x − a ) = f ( x ) + xa + f ( a ) → f ( x − a ) − f ( x ) = ax + fa Vì vế phải là hàm bậc nhấ X nên xa + fa có tập giá trị là toàn ¡ Do hiệu f ( x − a ) − f ( x ) có tập giá trị là toàn ¡ , x ∈ ¡ Mà { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } ⊃ { f ( x − a ) − f ( x ) | x ∈ ¡ } = ¡ Do { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } = ¡ Vậy từ quan hệ (5) ta thu f ( x) = − x2 + f ( ) , ∀x ∈ ¡ , Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Mặt khác ta lại có x2 f ( x ) = − + f ( ) , ∀x ∈ T ( f ) x2 , ∀x ∈ ¡ thỏa mãn hệ hàm x2 Kết luận: Có hai hàm số thỏa mãn là f ( x ) = − , ∀x ∈ ¡ Nhận xét: Bài toán lấy ý tưởng từ bài thi IMO 1996: Tìm tất cá các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( x − f ( y ) ) = f ( f ( y ) ) + xf ( y ) + f ( x ) − 1, ∀x, y ∈ ¡ Nên f ( ) = Thử lại thấy hàm số f ( x ) = − x2 + 1, ∀x ∈ ¡ Ví du 13 (Iran 1999) Xác định các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( f ( x ) + y ) = f x − y + yf ( x ) , ∀x, y ∈ ¡ Đáp số là f ( x ) = − ( Giải a Thế y = x ta ( ) ) f f ( x ) + x = f ( ) + x f ( x ) , ∀x ∈ ¡ b Thế y = − f ( x ) ta ( ) f ( ) = f f ( x ) + x − ( f ( x ) ) , ∀x ∈ ¡ Cộng hai phương trình ta ( ) f ( x ) f ( x ) − x = 0, ∀x ∈ ¡ Từ ta thấy vỡi x ∈ ¡ là f ( x ) ≡ là f ( x ) = x Ta chứng minh f thỏa mãn yêu cầu bài toán f phải đồng với hai hàm số Nhận thấy f ( ) = , từ thay x = ta f ( y ) = f ( − y ) , ∀y ∈ ¡ , hay f là hàm chẵn Giả sử tồn a ≠ 0, b ≠ cho f ( a ) = 0, f ( b ) = −b , thay x = a, y = −b ta ( ) ( ) f ( −b ) = f a + b → f ( b ) = f a + b Từ ta có quan hệ sau ≠ −b = f ( b) = f ( −b ) ( = f a2 + b ) 0 = − a + b  ( (0 ≠ 0) ) ( −a ( a + b ) 2 < −b ) Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu Do xảy điều mâu thuẫn Thử lại thấy hàm số f ( x ) ≡ thỏa mãn yêu cầu Nhận xét: Rõ ràng bài toán VMO 2002 có ý tưởng giống bài toán này Ngoài phép bài toán này ta thực phép khác như: a Thế y = x − f ( x ) 2 b Thế y = để f ( f ( x ) ) = f x , sau y = x − f ( x ) ( ) ( ) c Thế y = x − f ( x ) và sau là y = x − x Ví du 14 Tìm hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện: f ( x − f ( y ) ) = f ( x ) + x + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Giải Nhận thấy hàm f ( x ) ≡ không thỏa mãn yêu cầu Xét f ( x ) ≠ a Thay x f ( y ) vào (6) ta f ( f ( y) ) = − f ( y) + b Lại thay x f ( x ) ta (6) f ( 0) f ( f ( x) ) − f ( y) = f ( f ( x) ) + f ( x) + f ( y )  f ( 0)  = 2 − f ( x) + ÷+ f ( x ) + f ( y )   = − ( f ( x ) − f ( y ) ) + f ( 0) Tuy nhiên việc chứng minh tập { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } có tập giá trị là ¡ chưa thực c Từ ta có f ( f ( x) − f ( y) ) = f ( f ( x) − f ( y ) − f ( y ) ) = f ( f ( x) − f ( y) ) + f ( x) − f ( y) + f ( y) = −2 ( f ( x ) − f ( y ) ) + f ( ) + f ( x ) = − ( f ( x ) − f ( y ) ) + f ( 0) Ta chứng minh tập { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } ¡ Thật vạy tồn giá trị y0 ∈ ¡ cho f ( y0 ) = a ≠ Khi thay y = y0 vào (6) ta có f ( x − a ) − f ( x ) = x + a, ∀x ∈ ¡ Mà x ∈ ¡ thif x + a có tập giá trị là ¡ Chứng tỏ tập { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } = ¡ Mà { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } ⊃ { f ( x − a ) − f ( x ) | x ∈ ¡ } nên { f ( x ) − f ( y ) | x, y ∈ ¡ } = ¡ Do từ (c) ta kết luận f ( x ) = − x, ∀x ∈ ¡ Thay vào (6) ta f ( ) = Kết luận: Hàm số f ( x ) = − x, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn yêu cầu bài toán Tở: Toán Trường: THPT chun Hoàng Văn Thu Ví du 15 (Belarus 1995) Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( f ( x + y) ) = f ( x + y) + f ( x) f ( y) Giải Rõ ràng f khác số a a y = vào điều kiện bài toán ta f ( f ( x ) ) = ( + f ( o ) ) f ( x ) , ∀x ∈ ¡ b Trong đẳng thức thay x x + y ( + f ( ) ) f ( x + y ) = f ( f ( x + y ) ) = f ( x + y ) + f ( x ) f ( y ) − xy, Đơn giản ta f ( ) f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) − xy c Thay y = vào (7) (7) f ( ) ( x + 1) = f ( x ) f ( 1) − x d Lại thay y = −1 vào x x + vào (7) ta có f ( ) f ( x ) = f ( x + 1) f ( −1) + x + Kết hợp hai đẳng thức ta ( f ( 0) ) − f ( 1) f ( −1) f ( x ) − = f ( f ( ) − f ( −1) ) x + f ( ) Nếu ( f ( ) ) − f ( 1) f ( −1) = , thay x = vào phương trình cuối ta f ( ) = , nên theo (7) f ( x ) f ( y ) = xy Khi f ( x ) f ( 1) = x, ∀x ∈ ¡ , điều này dẫn đến ( f ( 0) ) − f ( 1) f ( −1) = −1 , mâu thuẫn Vậy ( f ( ) ) − f ( 1) f ( −1) ≠ , suy f ( x ) là đa thức bậc nên có dạng f ( x ) = ax + b Thay vào quan hệ hàm ban đầu suy a = 1, b = Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là f ( x ) = x, ∀x ∈ ¡ Nhận xét: Nếu chịu khó tính ta tính f ( ) = cách các biến x, y hai số và Ví du 16 (VMP 2005) Hãy xác định tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( f ( x − y ) ) = f ( x ) f ( y ) − f ( x ) + f ( y ) − xy , ∀x, y ∈ ¡ (8) Giải a Thế x = y = vào (8) ta f ( f ( 0) ) = ( f ( 0) ) b Thế x = y vào (8) và sử dung kết ( f ( x) ) = ( f ( ) ) + x , ∀x ∈ ¡ Suy ( f ( x ) ) = ( f ( − x ) ) → f ( x ) = f ( − x ) , ∀x ∈ ¡ 2 c Thế y = vào (8) f ( f ( x ) ) = f ( ) f ( x ) − f ( x ) + f ( ) , ∀x ∈ ¡ THế x = 0, y = − x vào (8) (*) Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu f ( f ( x ) ) = f ( ) f ( − x ) + f ( − x ) − a, ∀x ∈ ¡ Từ hai đằng thức ta có f ( ) ( f ( − x ) − f ( x ) ) + f ( − x ) + f ( x ) = f ( ) , ∀x ∈ ¡ (9) Giả sử tồn x0 ≠ cho f ( x0 ) = f ( − x0 ) , x = x0 vào (9) ta có f ( x0 ) = f ( ) → ( f ( x0 ) ) = ( f ( ) ) 2 → ( f ( ) ) + x0 = ( f ( ) ) + 02 2 → x0 = Suy mâu thuẫn Vậy f ( x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ , từ điều này kiết hợp vs (9) ta có f ( ) ( f ( x ) − 1) = 0, ∀x ∈ ¡ Từ suy f ( ) = , ngược lại f ( x ) = 1, ∀x ≠ , trái với điều kiện f là hàm lẽ Từ ta nhận quan hệ quen thuộc x = f ( x0 ) = − f ( f ( x0 ) ) = − f ( x0 ) = x0 Vô lý Vậy chứng tỏ f ( x ) = − x, ∀x ∈ ¡ Thử lại thấy hàm này thỏa mãn bài toán Nhận xét: Bài toán cho kết là hàm chẵn f ( x ) = − x Nếu nguyên vế phải và để nhận hàm lẽ f ( x ) = x , ta sửa lại kiện vế trái ví du sau Ví du 17 Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện f ( f ( x ) − y ) = f ( x ) − f ( y ) + f ( x ) f ( y ) − xy , ∀x, y ∈ ¡ Giải a Thế y = ta f ( f ( x ) ) = f ( x ) − f ( ) + f ( ) f ( x ) , ∀x ∈ ¡ (10) b Thế y = f ( x ) và sử dung kết trên, ta f ( ) = f ( x ) − f ( f ( x ) ) + f ( x ) ( f ( x ) ) − xf ( x ) ( *) = f ( ) − xf ( ) f ( x ) + ( f ( x ) ) + f ( ) ( f ( x ) ) − xf ( x ) , Hay −2 f ( ) f ( x ) + ( f ( x ) ) + f ( ) ( f ( x ) ) − xf ( x ) = 0, ∀x ∈ ¡ 2 c Thế x = vào đẳng thức ta ( f ( 0) ) − ( f ( 0) ) 2 = → f ( ) = f ( ) = d Nếu f ( ) = thay vào (10) ta có f ( f ( x ) ) = f ( x ) , ¬x ∈ ¡ , thay kết này vào (*) ta có f ( x ) = x Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu e Nếu f ( ) = thay vào (10) ta có f ( f ( x ) ) = f ( x ) − , thay vào (*) ta có x +1 Kết luận: thay vào ta thấy có hàm số f ( x ) = x, ∀x ∈ ¡ là thỏa mãn yêu cầu Ví du 18 (AMM,E2176) Tìm tất các hàm số f : ¤ → ¤ thỏa mãn điều kiện  x + y  f ( x) + f ( y) , ∀x ≠ y f ( ) = và f  ÷=  x − y  f ( x) − f ( y) Giải Ta chứng minh f ( x ) = x là nghiệm của bài toán dựa vào chuỗi các kiến sau Trước tiên nhận thấy f là hàm a Tính f ( ) , f ( 1) Thay y = ta nhận f ( x ) + f ( 0) f ( 1) = → ( f ( 1) − 1) f ( x ) = f ( ) ( + f ( 1) ) , x Ô f ( x ) − f ( 0) f ( x) = Suy f ( 1) = 1, f ( ) = b Hàm f là hàm lẻ Thay y = − x ta có f ( x ) + f ( cx )  1+ c  1+ f ( c) = f ÷= f ( x ) − f ( cx )  1− c  1− f ( c)  p  f ( p) p Suy f ( cx ) = f ( c ) f ( x ) , lấy c = q, x = ta f  ÷ = q  q  f ( q) Ví du 19 Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( ( x − y) ) = ( f ( x) ) 2 − xf ( y ) + y , ∀x, y ∈ ¡ Giải Thay x = y = ( f ( ) ) = ( f ( ) ) → f ( ) = f ( ) = Nếu f ( ) = , thay x = y vào điều kiện ban đầu ta f ( ) = ( f ( x ) ) − xf ( x ) + x = ( f ( x ) − x ) → f ( x ) = x, ∀x ∈ ¡ 2 Nhận thấy hàm số này thỏa mãn Nếu f ( ) = lại thay x = y = ta nhận được, với x ∈ ¡ là f ( x ) = x + là f ( x ) = x − Giả sử tồn giá trị a cho f ( a ) = a − Khi thay x = a, y = ta f a = a − 4a + ( ) 2 Nhưng ta lại có là f a = a ( ) + f ( a ) = a 2 − Do ta phải có là Tuy nhiên kiểm tra không thỏa Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu là f ( x ) = x, ∀x ∈ ¡ là f ( x ) = x + 1, ∀x ∈ ¡ Ví du 20 (THTT T9/361) Tìm tất các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện a − 4a + = a + a 4a + = a − , tức a = a = Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu ( ( ) ) f x − y + y ( f ( x ) ) + y = f ( x + f ( y ) ) , ∀x, y ∈ ¡ Giải a Thay y = x ta có ( ) ( ) f ( ) + x 3 ( f ( x ) ) + x = f x3 + f ( x ) , ∀x ∈ ¡ b Thay y = − f ( x ) ta ( ( ) f x3 + f ( x ) − f ( x ) ( f ( x ) ) + ( f ( x ) ) Từ hai đẳng thức ta ( ) ) = f ( 0) , ∀x ∈ ¡ x 3 ( f ( x ) ) + x = ( f ( x ) ) , ∀x ∈ ¡ Do ( = ( f ( x ) ) − x3 ( f ( x ) ) + x6 ( ( = f ( x) − x ) ( 4( f ( x) ) 3 ) ) ( ( f ( x ) ) x − x ) + x ( f ( x) + x ) ) = ( f ( x ) ) − ( f ( x ) ) x + 2 3  x3  15  = f ( x ) − x   f ( x ) + ÷+ x ÷  16 ÷   ( )  x  15 Chú ý  f ( x ) + ÷ + x = x = 0, f ( ) = Bởi trường hợp ta có  16  f ( x ) = x Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn bài toán BÀI TẬP  1 Tìm f : ¡ \ { 1} → ¡ thỏa mãn: f 1 + ÷ = x + 1∀x ∈ ¡ x   x2 a  a  b − ax  = ∀x ≠ − (a,b là số cho trước Tìm f : ¡ \ −  → ¡ thỏa mãn: f  ÷ b  b  bx + a  x + và ab ≠ ) Tìm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( 2002 x − f ( ) ) = 2002 x ∀x ∈ ¡   f ÷ = 1∀x ∈ ¡ \ { 0;1} 2x  − x   1− x  \ { ±1;0} → ¡ thỏa mãn: ( f ( x ) ) f  ÷ = 64 x∀x ∈ ¡ \ { −1}  1+ x  2  2x  \   → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + f  ÷ = 996 x∀x ≠ 3  3x −   x −3  x+3 \ { ±1} → ¡ thỏa mãn: f  ÷+ f  ÷ = x∀x ≠ ±1  x +1   1− x  → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + f ( − x ) = x 2∀x ∈ ¡ Tìm f : ¡ \ { 0} → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + Tìm f : ¡ Tìm f : ¡ Tìm f : ¡ Tìm f : ¡ Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu 1 2008 * Tìm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + f  ÷ = x ∀x ∈ ¡  x  1  x −1  10 Tìm f : ¡ \ ±  → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + f  ÷ = x∀x ≠  3  − 3x   a2  11 Tìm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + f  ÷ = x∀x ≠ a ( a > ) a−x f  12 Tìm f , g : ¡ \ { 1} → ¡ thỏa mãn:  f  PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo: Internet ( x + 1) + g ( x + 1) = x  x   x   ÷+ g  ÷= x  x −1   x −1  ∀x ≠ ...Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thu x ≥ t x ≥ t  t ≤ −1 t2 +1  ⇔ ⇔ x ⇔ ≥t ⇔  Hệ có nghiệm  t + 2 2t... ( x ) ) Thử lại thấy  x  x Vậy hàm số cần tìm là: f ( x ) = ∀x > Tổ: Toán Trường: THPT chun Hoàng Văn Thu Ví du 6: Tìm hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f... = au + u ∀u ∈ ¡ Hàm số cần tìm là: f ( u ) = ax + x ( a ∈ ¡ ) Thử lại thấy 1.2 Thế ẩn tạo hệ PTH mới: Ví du 1: Tìm hàm f : ¡ → ¡ thỏa mãn: f ( x ) + xf ( − x ) = x + 1∀x ∈ ¡ ( 1) Lời giải: