công thức ôn thi đại học toán

PHẦN I: GIẢI TÍCH I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm : Hàm số sơ cấp Hàm hợp ( Hàm mở rộng) 1) (C)’ = ( C: số ) 2) (x)’ = (x ) α / 3) = αx α −1 ; (α ∈ R ) ( x )/ = 4) α / * x (u ) ( u) = α u α −1 u ' / * = u u ' (= u' u ) ; (u > 0) / / −1 1  ÷ = x x 5) 6) (sinx)’ = cosx 7) ( cosx)’ = - sinx = + tan x cos x 7) (tanx)’ = −1 ( cot x ) ' = = −(1 + cot x ) sin x 8) 9) (ex)’ = ex 10) (ax)’ = axlna ; (a: số; a> 0) ( ln x ) ' = ; ( x > 0) x 11) ( log a x ) ' = ; (1 ≠ a > 0; x > 0) x ln a 12) −1 − u' 1   = u ' (= ) ; ( u ≠ ) u u u * * ( sinu)’ = u’.cosu * ( cosu)’ = - u’.sinu ( tan u ) ' = u ' cos u * −1 / ( cot u ) = u ' sin u * * (eu)’= eu.u’ * ( au)’ = aulna.u’ u ' ; ( u > ) u * (lnu)’= u ' u ln a * ( logau)’ = ≠ a > 0; u > 0) ( * Ghi Chú: Các hàm số có nghĩa ( u ± v ± ± w) = u '±v '± ± w' / II) Qui tắc tính đạo hàm: / u '.v − u.v' u   = v2 v≠0 v 4) ( ) 1) 2) (u.v)’ = u’.v + u.v’ ( uvz ) / = u ' vz + v' uz + z ' uv 3) III) Đơn điệu – cực trò GTLN- GTNN Lồi – lõm – điểm uốn A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác đònh D • Hàm số tăng (đồng biến) D y’ ≥0 ; ∀x ∈ D y / ≤ ; ∀x ∈ D Hàm số giảm ( nghòch biến) D B) Cực trò: Hàm số (C) : y = f(x) • Hàm số có cực trò y’ có nghiệm y’ đổi dấu x qua nghiệm • Hàm số cực trò y’ không đổi dấu • Hàm số có cực trò y’ đổi dấu lần • Hàm số có n cực trò y’ đổi dấu n lần • Hàm số đạt cực trò x= x0 f’(x0) = f’(x) đổi dấu x qua x  f ' ( x0 ) =   f " ( x0 ) < • Hàm số đạt cực đại x = x0  f ' ( x0 ) =   f " ( x0 ) > • Hàm số đạt cực tiểu x = x * Chú ý: Đối với hàm số , hàm số đạt cực trò mà đạo hàm triệt tiêu dạo hàm không xác đònh C) GTLN-GTNN: * Lập bảng biến thiên hàm số D Từ xác đònh GTLN-GTNN • Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] hàm số liên tục D ta làm sau: Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = chọn nghiệm x ; x2 ; ;xi thuộc [a;b] Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b) Bước 3: Số lớn ( nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) cần tìm IV) Các bước khảo sát vẽ đồ thò hàm số: A) Hàm đa thức : (Hàm bậc hàm trùng phương) Bước : MXĐ : D = R Bước : Đạo hàm cấp (y’ = ) Bước : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’) Bước : Điểm đặc biệt Bước : Vẽ đồ thò kết luận tính đối xứng B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 ) Bước 1: MXĐ : D = Bước : Đạo hàm cấp (y’= ) Bước : Giới hạn tiệm cận Bước : Bảng biến thiên Bước : Điểm đặc biệt Bước : Vẽ đồ thò kết luận tính đối xứng V) Sự tương giao ( Vò trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) (D) : y = g(x)  y = f ( x)   y = g ( x) • Toạ độ giao điểm (C) (D) nghiệm hệ : • • Biện luận tương giao (C) (D) : Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm (C) (D) : f(x) = g(x) Bước 2: Căn vào số nghiệm phương trình Số giao điểm (C) (D) ( Số nghiệm pt = số giao điểm (C) (D)) VI) Tiếp tuyến: Dạng 1: Biết tiếp điểm ∈ (C ) Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) điểm M(x ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) Dạng 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:  f ' ( x0 ) = k   y = f ( x0 ) y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) toạ độ tiếp điểm xác đònh : * Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc (-1) VI) Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò Cho hàm số (C) : y = f(x) Biện luận phương trình : F(x;m) = ; ( ẩn x ; tham số m) @ Phương pháp: * Biến đổi phương trình F(x;m) = dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) đường thẳng) * Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thò: (C) : y = f(x) ( Đã vẽ) (D) : y = g(m) ( đường thẳng phương Ox cắt Oy g(m) * Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận số nghiệm phương trình VII) Nguyên hàm – Tích phân NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I) Bảng nguyên hàm : Hàm sơ cấp Hàm hợp ∫ dx = x + C ∫ du = u + C xα +1 ∫ x dx = α + + C; ( α ≠ −1) dx ∫ x = ln x + C; ( x ≠ ) uα +1 ∫ u du = α + + C; ( α ≠ −1) du ∫ u = ln u + C; ( x ≠ ) ∫ e dx = e ∫ e du = e α x x ∫ a dx = x α +C u ax + C ( < a ≠ 1) ln a u ∫ a du = ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x ∫ sin x u +C au + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin 2 du = tan u + C u u du = − cot u + C ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Diện tích hình phẳng:  (C ) : y = f ( x)  b  (C ') : y = g ( x) S =  x = a; x = b (a < b) ∫a f ( x) − g ( x) dx  (H) : Khi : Diện tích hình (H) : Vấn đề 2: Cơng thức thể tích khối tròn xoay : (C ) : y = f ( x ) b ( H ) :  y = π ( f ( x) ) dx ∫  x = a; x = b (a < b)  a Xoay quanh Ox : Thể tích : V = • • VIII./ SỐ PHỨC Số i : i = -1 Số phức dạng : z = a + bi Với :  a : Phan thuc   b : phan ao z = a2 + b2 • Mơđun số phức : • Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi ( a, b ∈ R ) a = c ⇔ b = d • • • • a+ bi = c + di (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a + bi ( a + bi ) ( c − di ) = c + di c2 + d • ±i a • Các bậc hai số thực a < : • Đặt o o o • • • • a , b, c ∈ R Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = ( a khác ; ∆ = b − 4ac Nếu Nếu ∆ ∆ ∆ ) = phương trình có nghiệm kép(thực) : x = x1,2 = > phương trình có hai nghiệm thực : x1,2 = −b 2a −b ± ∆ 2a −b ± i ∆ 2a < phương trình có hai nghiệm phức : PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bh Thể tích khối chóp : V = ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) Thể tích khối lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : V = abc Thể tích khối lập phương cạnh a : V = a  Chú ý :Trong tốn ta thường sử dụng kết :Cho khối chóp OABC,trên đoạn thẳng OA,OB,OC lần VO A'B 'C ' OA' OB' OC ' = VO ABC OA OB OC lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi : Cơng thức hình nón:Gọi l độ dài đường sinh hình nón,h đường cao,r bán kính đáy S = π rl xq a/ Diện tích xung quanh: Stp = Sxq + b/ Diện tích tồn phần : Sđáy Nếu V = π r2h c/ Thể tích khối nón: Cơng thức hình trụ: Gọi l độ dài đường sinh hình trụ,r bán kính đáy Sxq = 2π rl a/ Diện tích xung quanh: Stp = Sxq + b/ Diện tích tồn phần : 2Sđáy V=πr h c/ Thể tích khối trụ: ; (h = l) Cơng thức hình cầu: S = 4π r a/ Diện tích mặt cầu: V = πr c/ Thể tích khối cầu: CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) r b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Cho hai vectơ : r  a1 = b1 a = a12 +a22 +a32 r r  a = b ⇔ a2 = b2 d) a = b e) Góc hai vectơ :  3 a) c) b) r r a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) Tích vô hướng hai vectơ: rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) ϕ = a; b Gọi r r r r.Khi : a ⊥ b ⇔ a.b = f) ;( k ∈ R) d)  Cho hai điểm A(x uuurA;yA; ZA) ; B(xB ; yB ; ZB ) AB = ( xB − x A ; y B − y A ; Z B − Z A ) o uuur AB = o ( ) cos ϕ = Độ dài : AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( Z B − Z A ) 2 a.b a b I trung điểm AB.Ta có: o x A + xB + xC   xG =  y A + yB + yC   yG =  z A + z B + zc   zG =  o Cho hai vectơ :  x A + xB   xI =  xI = x A + x B   y A + yB  ⇔ 2 yI = y A + y B  yI =   2 zI = z A + zB  z A + zB  Z I = G trọng tâm tam giác ABC TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) va b = ( b1 ; b2 ; b3 ) rr a a a a a a   a; b  =  ; ; ÷ r r   a va b la :  b2 b3 b3 b1 b1 b2  Tích có hướng MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c),bán kính R dạng: * (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1) * x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (2)  Chú ý : • (2) phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 – d >  a2 + b2 + c2 − d • (2) có tâm I(a,b,c) ,bK R = KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp 1) CZ + D = (A + B + C > 0) có : r n = ( A; B; C ) VTPT : 2 (α) >0 : Ax + By + CZ + D = là: d(M0; MẶT PHẲNG Ax0 + By0 + Cz0 + D (α) A2 + B + C )= Phương trình tổng quát mp (α) có dạng : Ax + By + 2) 3) (α) Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT r n = ( A; B; C ) mp có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) mp (ABC) : x y z + + =1 a b c ( Gọi phương trình theo đoạn chắn) 4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) có cặp VTCF Đường thẳng  Qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) r ∆: VTCF a = ( a1 ; a2 ; a3 )   PTTS  PTCT ∆ ∆ : : rr a; b VTPT là: ĐƯỜNG THẲNG :  x = x0 + a1t   y = y0 + a t ; ( t ∈ R ) z = z +a t  x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 (a1,a2,a3 TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: a; b; c ≠ ( ) r rr n =  a; b  = ( A; B; C ) ≠0 ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c b (a ≠ 0; α , β ∈ R; α < β ; S = − ; ∆ = b − 4ac ) a   ∆ >   af (α ) >  k / α < x1 < x2 < β ⇔  af ( β ) > S  −α > 2 S  −β ∆ ≤ b / f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a < c / x1 < α < x2 ⇔ af (α ) <  ∆ >  d / α < x1 < x2 ⇔ af (α ) > S  −α > 2  ∆ >  e / x1 < x2 < α ⇔  af (α ) > S  −α < 2 α < x1 < x2 ∆ > f / ⇔ af (α ) >  x1 < x2 < α  af (α ) < g / x1 < α < x2 < β ⇔   af ( β ) >  af (α ) < h / x1 < α < β < x2 ⇔   af ( β ) <  af (α ) > i / α < x1 < β < x2 ⇔   af ( β ) <  x < α < x2 < β j/ ⇔ f (α ) f (β ) < α < x1 < β < x2 Bất đẳng thức: Các tính chất bất đẳng thức: a > b * ⇔a>c b > c *a > b ⇔ a + c > b + c c > * ⇔ ac > bc a > b c < * ⇔ ac < bc a > b a > b * ⇒ a+c > b+d c > d *a + c > b ⇔ a > b − c a > b ≥ * ⇒ ac > bd c > d ≥ a > b ≥ * ⇒ an > bn * n ∈ N *a > b ≥ ⇔ a > b *a > b ⇔ a > b Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối: − a ≤ a ≤ a ∀a ∈ R x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ( a > 0) x > a ⇔ x < −a ∪ x > a a − b < a+b < a + b (a, b ∈ R ) Bất đăûng thức Cauchy( cho số không âm): * a+b ≥ ab dấu “=” xảy a = b a+b+c ≥ abc B ≥ * A =B⇔  A = ±B A < B * A −B * dấu “=” xảy a= b= c Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho số thực): *ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) * A < B ⇔ A2 < B A > B * A >B⇔  A < −B Dấu “=” xảy ad= bc *a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤ (a + a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32 ) a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 u “=” xảy Cấp số cộng: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số cộng có công sai d un = un −1 + d un = u1 + (n − 1)d b/Số hạng thứ n: c/Tổng n số hạng đầu tiên: n n Sn = (u1 + un ) = [2u1 + ( n−) d ] 2 Cấp số nhân: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số nhân có công bội q un = un −1.q un = u1.q n −1 b/Số hạng thứ n: c/Tổng n số hạng đầu tiên: − qn S n = u1 (q ≠ 1) 1− q −1 < q < ⇒ lim Sn = n →∞ Nếu u1 1− q Phương trình, bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối: * A = B ⇔ A = ±B Dấ Phương trình , bất phương trình chứa thức: ( B ≥ 0) A ≥ * A= B⇔ A = B B ≥ * A=B⇔ A = B A ≥ * A< B⇔ A < B A ≥  * A < B ⇔ B >  A < B2   B <  A ≥ * A > B ⇔  B ≥    A > B Phương trình, bất phương trình logarit: 0 < a ≠  *log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  f ( x ) > ( g ( x) > 0) f(x)=g(x)  10 *log a a M = M *a log a N = N 0 < a ≠  f ( x) >  *log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   g ( x) > ( a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] >  *N1loga N = N log a N1 *log a ( N1 N ) = log a N1 + log a N N  *log a  ÷ = log a N1 − log a N  N2  *log a N α = α log a N hoctoancapba.com Phương trình , bất phương trình mũ:  0 < a ≠   f ( x) = g ( x) f (x) g (x) *a =a ⇔  a =    / ∃f ( x), g ( x) a > *a f ( x ) > a g ( x ) ⇔  (a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] > Lũy thừa: α β γ *a a a = aα + β +γ aα * β = aα − β a *(aα ) β = aαβ α β * aα = a β α aα  a  * α = ÷ b b α α *a b = (a.b)α *a −α = α a k * n m a = k n m a =a k n.m Logarit:0 so với Hai điểm M(x1; y1) M’(x2; y2) nằm khác phía ∆ ⇔ t1.t2 < so với Ax + By1 + C A ' x2 + B ' y2 + C ' (t1 = ; t2 = ) 2 A +B A '2 + B '2 3/Đường tròn: Phương trình đường tròn: -Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R 2 ( x − a ) + ( y − b) = R2 -Dạng 2: Phương trình có dạng x + y − 2ax − 2by + c = x=± -Phương trình đường chuẩn: -Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM MF2 = a − exM -Phương trình tiếp tuyến (E) M0( x0; y0) ∈ (E) x0 x y0 y + =1 a2 b -Điều kiện tiếp xúc x2 y + =1 a2 b2 ∆ Ax + By + C = (E): : là: 2 2 A a +B b =C 5/Hypebol: a +b −c > 2 Với điều kiện phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R = a +b −c 2 -Phương tích điểm M0 (x0 ; y0) đường tròn: PM /(C ) = x02 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c 4/Elip: -Phương trình chinh tắc Elip (E) ( a > b); c = a − b a e x2 y + =1 a2 b2 -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) -Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b) c e = 1 a -Tâm sai : x=± -Phương trình đường chuẩn: y=± -Phương trình tiệm cận: -Bán kính qua tiêu: MF1 = exM + a MF2 = exM − a b x a a e -Phương trình tiếp tuyến (E) M0( x0; y0) ∈ (E) x0 x y0 y − =1 a2 b -Điều kiện tiếp xúc x2 y − =1 a2 b2 ∆ Ax + By + C = (E): : là: 2 2 A a −B b =C 6/ Parabol: -Phương trình tắc Parabol: ( P) : y = px -Tiêu điểm: p F ( ; 0) x=− p -Phương trình đường chuẩn: -Phương trình tiếp tuyến với (P) M(x0 ; y0) ∈ ( P) : y0 y = p( x0 + x) -Điều kiện tiếp xúc (P) Ax + By + C = ( ∆) : 2AC = B p II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1/ Tích có hướng hai vectơ: a/Đònh nghóa: cho hai vectơ r u = ( x; y; z ) r v = ( x '; y '; z ') rr  y z z x x u , v  =  ; ;    y' z' z' x' x' y  ÷ y'  Các ứng dụng: rr r rr ⇔ u, v  = u, v phương r r ur r r ur ⇔ u , v  w = u , v, w đồng phẳng uuur uuur S ∆ABC =  AB, AC  uuur uuur uuur ⇔  AB, AC  AD = m ≠ -ABCD tứ diện VABCD = m b/ Mặt phẳng: -Phương trình tổng quát mặt phẳng: Dạng 1: Ax + By + Cz + D = r n = ( A; B; C ) ( A2 + B + C ≠ 0) Dạng 2: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r n = ( A, B, C ), M ( x0 ; y0 ; z0 ) -Phương trình mặt phẳng chắn: x y z + + =1 a b c α (( ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) -Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng khác: (α ) : Ax + By + Cz + D = (β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = λ ( Ax + By + Cz + D) + µ ( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = λ2 + µ2 ≠ Trong -Vò trí tương đối hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng: ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D = a / ( α ) ∩ ( β ) = d ⇔ A: B : C ≠ A': B ': C ' A B C D = = = A' B ' B ' D ' A B C D c / ( α ) // ( β ) ⇔ = = ≠ A' B ' C ' D ' b/(α) ≡ ( β ) ⇔ 3/Phương trình đường thẳng: a/Phương trình tổng quát:  Ax + By + Cz + D =  A' x + B ' y + C ' z + D ' = b/ Phương trình tham số:  x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct  Trong (x0; y0; z0) có vectơ phương r u = ( a; b; c) c/ Phương trình tắc đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c 2 ( a + b + c ≠ 0) 4/ Vò trí tương đối hai đường thẳng không gian: M ( x0 ; y0 ; z0 ) Giả sử đường thẳng d qua có r u = (a; b; c) vectơ phương đường thẳng d’ M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) qua có vectơ phương ur u ' = ( a '; b '; c ') r ur uuuuuuur a / d , d ' ⊂ α ⇔ u.u ' M M '0 = r ur uuuuuuur  u.u ' M M '0 =  b / d ∩ d ' = I ⇔   a : b : c ≠ a : b ' : c ' c / d Pd ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' ≠ ( x − x0 ) : ( y − y0 ) : ( z − z0 ) d / d ≡ d ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' = ( x − x0 ) : ( y − y0 ) : ( z − z0 ) r ur uuuuuuur e / d , d ' ∉ α ⇔ u.u ' M M '0 ≠ 5/ Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian: không gian cho : x − x0 y − y0 z − z0 d: = = a b c ( α ) : Ax + By + Cz + D = a / d ∩ ( α ) = I ⇔ aA + bB + cC ≠ aA + bB + cC = b / d P( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  aA + bB + cC = c / d ∈( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D = 6/ Các công hức tính khoảng cách: -Khoảng cácg từ điểm đến mặt phẳng: M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( α ) : Ax + By + Cz + D = ⇒ d( M / α ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C -Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong không gian cho điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) d: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c ⇒ dM / d uuuuuur r  M M u    = r u -Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x '0 y − y '0 z − z '0 ∆': = = a' b' c' r ur uuuuuuuur u.u ' M M '0   ⇒ d∆ / ∆' = r ur u.u '   ∆: 7/ Góc : hoctoancapba.com - Góc hai đường thẳng: ϕ Gọi góc hai đường thẳng d d’ ta có: r d : u = ( a; b; c) ur d ' : u ' = (a ', b ', c ') r ur u.u ' aa '+ bb '+ cc ' cos ϕ = r ur = u u' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 - Góc đường thẳng mặt phẳng: ϕ Gọi góc đường thẳng mặt phẳng: r d : u = ( a; b; c) r ( α ) : n = ( A; B; C ) 00 < ϕ < 900 sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c - Góc hai mặt phẳng: ( α ) : AX + By + Cz + D = ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = cos ϕ = AA '+ BB '+ CC ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 8/Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) bán kính R 2 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 Dạng 2: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Trong tâm I (a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN -Đường thẳng mặt phẳng: Các tiên đề: Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng mà Tiên đề 2: Qua điểm không thẳng hàng có mặt phẳng mà Tiên đề 3: Một đường thẳng có điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đường thẳng thuộc mặt phẳng Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung có chung đường thẳng qua điểm chung Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng : 1/ Một điểm xác đònh đường thẳng cắt A = a∩b 2/ Một mặt phẳng xác đònh điều kiện sau: (α ) = ( ABC ) a/ Ba điểm không thẳng hàng b/ Một đường thẳng điểm đường (α ) = (a, A) thẳng (α ) = (a, b) c/ Hai đường thẳng cắt (α ) = (a, a ') d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ Quan hệ song song : 1/ Hai đường thẳng song song chúng nằm mặt phẳng điểm chung 2/ Nếu đường thẳng d song song với đường α thẳng d’ thuộc mặt phẳng d song song α với mặt phẳng α 3/ Nếu d// , mặt phẳng chứa đường thẳng d α cắt theo giao tuyến giao tuyến song song với d 4/ Hai mặt phẳng song song với đường thẳng d cắt giao tuyến chúng song song với d 5/ Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song d d’ giao tuyến chúng (nếu có) song song với d d’ 6/ Có đường thẳng song song, mặt phẳng song song với đường thẳng song song chứa đường thẳng 7/ Nếu mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt mặt phẳng giao tuyến song song α // β α 8/ Nếu song song với đường β thẳng nằm α 9/ Nếu chứa hai đường thẳng cắt β α // β song với 10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song Quan hệ vuông góc: 1/ Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mắt phẳng 2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) 3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ vuông góc với đường thẳng thứ hai 4/ Hai đường thẳng vuông góc cắt chéo 5/ Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba song song 7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P) d vuông góc với (P) 8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thứ vuông góc với mặt phẳng thứ hai 9/ Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song 10/ Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song 11/ Một đường thẳng mặt phẳng không chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng khác song song 12/ Có đường thẳng mặt phẳng song song, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng 14/ Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba 15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song 16/ Đònh lý ba đường vuông góc OH ⊥ ( α )  OA đường xiên  A ∈ d nằm α ( )  Giả sử OA ⊥ D ⇔ HA ⊥ D Ta có hoctoancapba.com O d H A α Khoảng cách – góc – đường vông góc chung hai đường thẳng chéo 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d đoạn OH ⊥ d 2/ Khoảng cách từ O đến d ngắn so với khoảng cách từ O đến điểm d α 3/ Khoảng từ O đến mặt phẳng độ dài OH ⊥ α đoạn α 4/ Khoảng cách từ O đến ngắn so với α khoảng cách từ O đến điểm d // α 5/ Khoảng cách khoảng cách từ α điểm d đến α // β 6/Khoảng cách khoảng cách từ β α điểm đến 7/ Khoảng cáh đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng α 8/ Góc đường thẳng d mặt phẳng góc α nhọn tạo d hình chiếu d’ xuống 9/ Góc hai đường thẳng chéo góc nhọn tạo hai đường thẳng song song với hai đường thẳng vẽ từ điểm 10/ Góc hai mặt phẳng góc nhọn tạo hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng 11/ Góc phẳng nhò diện góc tạo đường thẳng nằm hai mặt phẳng nhò diện vông góc với giao tuyến 12/ Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2: α - Dựng mặt phẳng chứa d2 song song với d1 α - Tìm hình chiếu d’ d1 lên , d’ cắt d2 N α - Từ N vẽ đường vuông góc với cắt d1 M - Suy MN đoạn vuông góc chung d1 d2 Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương 1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy h 2/ Thể tích chóp cụt:  B,B' diện tích đáy B + B '+ B.B ' h   h chiều cao hình chóp 3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c 4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π Rh V= ( ) 5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + Sđáy 6/ Thể tích hình trụ: V=π R h 7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π Ra 8/Thể tích hình nón V= π R h 9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq = π ( R + R ') a 2 R + R '2 + RR ' ) h ( 11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq = 4π R 10/ Thể tích hình nón cụt: V= 12 / Thể tích mặt cầu: V= π R 3 V/ GIẢI TÍCH TỔ HP Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 -Hoán vò: n! Ank = ( ≤ k ≤ n) ( n−k)! -Chỉnh hợp: n! Cnk = ( n − k ) !k ! -Tổ hợp: -Các hệ thức cần nhớ: n ! = ( n − 1) !n ( < k < n) k k k −1 Cn = Cn −1 + Cn −1 ( < k < n) Cnk = Cnn − k -Nhò thức Newton: (a + b) n = Cn0 a nb + Cn1a n −1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n k =0 = ∑ Cnk a n− k b k n -Các công thức cần nhớ: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = [...]... 3 x = 4 tg 3 x = π Cung hơn kém : sin(π + x ) = − sin x cos(π + x) = − cos x tg (π + x) = tgx cot g (π + x ) = cot gx π 2 Công thức nhân đôi: sin 2 x = 2sin x cos x 6 theo Công thức biểu diễn theo sinx, cosx x t = tg 2 2t 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 2t tgx = 1− t2 sin x = 7 Công thức biến đổi: a/Tích thành tổng: 1 cos x.cos y = [ cos( x − y ) + cos( x + y ) ] 2 1 sin x sin y = [ cos( x − y ) − cos( x... c2 − b2 cos B = 2ac 2 a + b2 − c 2 cos C = 2ab cos A = 2 Đònh lý hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Công thức độ dài đường phân giác 4 Cách giải: Đặt b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B Công thức tính độ dài đường trung 3 lc = 5 S S S S 2bc cos b+c 2ac cos a+c 2ab cos a+b A 2 B 2 C 2 Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 = a.ha = b.hb = c.hc 2 2 2 1 1 1 = bc.sin A = ab.sin C = ac.sin B 2 2 2 abc... Quan hệ vuông góc: 1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt phẳng 2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P) 3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai 4/ Hai đường thẳng vuông góc thì... mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song nhau 12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng 13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia 14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với... và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau 7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P) 8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai 9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau 10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông... cos 2 x sin 2 x = 2 5 Cung hơn kém π sin( + x) = cos x 2 π cos( + x) = − sin x 2 π tg ( + x) = − cot gx 2 π cot g ( + x ) = −tgx 2 3 Công thức cộng: sin( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x cox( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y tgx ± tgy tg ( x ± y ) = 1 mtgxtgy Công thức nhân ba: sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x cos 3x = 4 cos3 x − 3cos x 3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x 3cos x + cos 3 x cos3 x = 4 3sin x −... -Hoán vò: n! Ank = ( 0 ≤ k ≤ n) ( n−k)! -Chỉnh hợp: n! Cnk = ( n − k ) !k ! -Tổ hợp: -Các hệ thức cần nhớ: n ! = ( n − 1) !n ( 0 < k < n) k k k −1 Cn = Cn −1 + Cn −1 ( 0 < k < n) Cnk = Cnn − k -Nhò thức Newton: (a + b) n = Cn0 a nb 0 + Cn1a n −1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n k =0 = ∑ Cnk a n− k b k n -Các công thức cần nhớ: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn... *a −α = α a k * n m a = k n m a =a k n.m Logarit:0