Số học số lớn cho mật mã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN TAM CƢỜNG SỐ HỌC SỐ LỚN CHO MẬT Mà LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN TAM CƢỜNG SỐ HỌC SỐ LỚN CHO MẬT Mà Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TSKH NGUYỄN XUÂN HUY Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Học viên xin cam đoan, toàn nội dung liên quan tới đề tài đƣợc trình bày luận văn thân học viên tự tìm hiểu nghiên cứu, dƣới hƣớng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy Các tài liệu, số liệu tham khảo đƣợc trích dẫn đầy đủ nguồn gốc Học viên xin chịu trách nhiệm trƣớc pháp luật lời cam đoan Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2013 Học viên thực Nguyễn Tam Cƣờng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Học viên xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho học viên suốt trình học tập Đặc biệt, học viên xin gửi lời cảm ơn biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy, thầy tận tình bảo học viên suốt trình thực đề tài Bên cạnh kiến thức khoa học, thầy giúp học viên nhận học phong cách học tập, làm việc kinh nghiệm sống quý báu Học viên xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ngƣời thân động viên khích lệ tinh thần giúp đỡ để học viên hoàn thành luận văn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT v MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Hƣớng nghiên cứu Những nội dung nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn cửa đề tài Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học [1], [2], [3], [6], [7], [12] [13] 1.1.1 Ƣớc chung lớn [1], [2], [7], [13] 1.1.2 Số nguyên tố nguyên tố 1.1.3 Đồng dƣ thức [1][2][7] 1.1.4 Không gian Zn Zn* [1], [2], [7] 10 1.1.5 Phần tử nghịch đảo [1], [2], [7] 10 1.1.6 Hàm Euler [1], [2], [7] 11 1.1.7 Các phép toán không gian modulo [7] 11 1.1.8 Độ phức tạp tính toán [1], [2] 12 1.1.9 Hàm phía hàm cửa sập phía [1], [3], [6] 16 1.2 Vấn đề mã hóa [3], [6], [7], [8] 17 1.2.1 Một số khái niệm mã hoá 17 1.2.2 Hệ mật mã 19 1.2.3 Những tính hệ mật mã 19 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv 1.3 Giới thiệu hệ mã khoá công khai 20 1.3.1 Hệ mật mã công khai RSA (Rivest-Shamir-Adleman) 22 1.3.2 Cơ chế hoạt động RSA [1], [3], [6], [7], [8] 23 1.3.3 Khả bị công hệ mật mã công khai RSA [1], [2], [6], [7] 26 Chƣơng 2: THƢ VIỆN TÍNH TOÁN SỐ LỚN 29 2.1 Biểu diễn số lớn [2], [4] 29 2.2 Các phép toán số lớn 33 2.2.1 So sánh hai số [2], [4] 33 2.2.2 Cộng hai số lớn không âm [2], [4], [5] 36 2.2.3 Trừ hai số lớn không âm [2], [4], [5], [9] 40 2.2.4 Phép nhân hai số lớn không âm [2], [4], [5], [9] 43 2.2.5 Phép chia hai số lớn không âm [2], [4], [5], [9] 45 2.2.6 Lũy thừa [2], [4], [5], [11] 47 2.2.7 Ƣớc chung lớn [1], [2], [6], [7] 49 2.2.8 Phép cộng theo modulo p [1], [2], [6], [7] 49 2.2.9 Phép nhân theo modulo p [1], [2], [6], [7] 50 2.2.10 Phép cộng có dấu [1], [2], [4], [6] 51 2.2.11 Phép trừ có dấu [1], [2], [4], [6] 52 2.3.12 Phép nhân có dấu [1], [2], [4], [6] 52 2.3.13 Phép chia có dấu [1], [2], [4], [6] 52 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG THƢ VIỆN SỐ LỚN CHO HỆ MẬT Mà RSA 53 3.1 Phân tích phép xử lý toán học hệ mật mã RSA 53 3.2 Xây dựng hệ mật mã RSA thử nghiệm [1], [2], [4], [6], [7], [8] 53 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm kết luận 63 3.3.1 Đánh giá kết thực nghiệm 63 3.3.2 Kết luận 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CRT Chinese Remainder Theorem DES Data Encryption Standard RSA Rivest Shamir Adleman GCD Great Comon Divisor FFT Fast Fourier Transform Hàm Euler O Biểu diễn thời gian chạy gcd(a,b) Ƣớc chung lớn hai số a b Phép tính nhân Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mật mã học vấn đề quan trọng lĩnh vực bảo mật an toàn thông tin Trên giới, mật mã học đƣợc đời từ thời La Mã cổ đại ngày đƣợc nghiên cứu, phát triển đạt đƣợc thành tựu to lớn Trong mật mã học, vấn đề bảo mật đôi với vấn đề xác thực thông tin, đặc biệt hệ thống mã hóa khóa công khai vấn đề xác thực vô quan trọng Các hệ mã công khai nhƣ RSA thực tính toán với số nguyên lớn hàng trăm chữ số Độ phức tạp việc giải mã hệ mã tỉ lệ hàm mũ với độ lớn số nguyên tham gia vào việc tạo khóa mã hóa khóa công khai Do để hệ mã an toàn, cần tăng kích thƣớc số nguyên Độ an toàn hệ thống RSA dựa vấn đề toán học: toán phân tích thừa số nguyên tố số nguyên lớn toán RSA Nếu toán khó (không tìm đƣợc thuật toán hiệu để giải chúng) thực đƣợc việc phá mã toàn RSA Mặt khác, kích thƣớc số nguyên cần xử lý lớn thời gian xử lý chƣơng trình mã hóa tăng lên Thông tin cần mã hóa ngày đa dạng có khối lƣợng lớn, đòi hỏi hệ mã giảm thiểu thời gian xử lý Các công cụ giải thuật nhằm bẻ khóa hệ mật mã đƣợc cải tiến đòi hỏi hệ mã cần đƣợc nâng cấp tính bảo mật Tuy nhiên, việc nghiên cứu triển khai nâng cấp việc tối ƣu hóa mặt thuật toán phép xử lý số học hệ mã hạn chế phạm vi chƣơng trình độc quyền Để hỗ trợ giải vấn đề trên, đề tài tập trung vào việc xây dựng số thuật toán tối ƣu hóa nhằm tăng hiệu phép tính toán thực với số nguyên lớn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Các kết đề tài đƣợc ứng dụng việc hỗ trợ cho phép xử lý số học hệ mã Từ làm tăng tốc độ xử lý tính bảo mật hệ mã Từ tính cấp thiết vấn đề tối ƣu hóa hệ mã công khai, đồng thời đƣợc hƣớng dẫn gợi ý Thầy giáo PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy, học viên chọn đề tài cho luận văn tốt nghiệp Cao học ngành khoa học máy tính là: “SỐ HỌC SỐ LỚN CHO MẬT MÔ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu a Đối tƣợng đề tài - Độ phức tạp tính toán - Cơ sở lý thuyết số học: phép toán số nguyên kích thƣớc lớn: Cộng, trừ, nhân, chia, số dƣ, số nguyên tố, ƣớc chung lớn nhất, - Tổ chức liệu cho số nguyên kích thƣớc lớn - Các thuật toán số học số nguyên: sơ đồ hoạt động, độ phức tạp b Phạm vi nghiên cứu Đề tài thực việc tối ƣu hóa phép toán với số nguyên lớn theo tiếp cận hƣớng đối tƣợng Ứng dụng thử nghiệm hệ mã nhằm so sánh hiệu xử lý hệ mã trƣớc sau tối ƣu Đề tài giới hạn phạm vi nghiên cứu để đƣa giải pháp, việc triển khai ứng dụng thực tiễn cần có thêm điều kiện thời gian quy mô Hƣớng nghiên cứu Đề tài tập trung vào việc xây dựng số thuật toán tối ƣu hóa nhằm tăng hiệu phép tính toán thực với số nguyên lớn - Nghiên cứu trình thực mã hóa giải mã hệ mã công khai - Tìm hiểu thuật toán xử lý số học đƣợc dùng hệ mã Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Phát giải thuật tính toán cần tối ƣu hóa - Đƣa giải pháp tối ƣu hóa giải thuật - Ứng dụng hệ mã RSA - Đối sánh với kết thực thi hệ mã chƣa thực tối ƣu hóa Những nội dung nghiên cứu - Đề tài luận văn thuộc lĩnh vực lý thuyết thuật toán xử lí số nguyên lớn dài hàng trăm chữ số ứng dụng mật mã, cụ thể khảo sát cách tổ chức liệu thuật toán số học số lớn - Học viên tìm hiểu tổng quan lớp số Big Numbers, thuật toán mật mã RSA, khảo sát tính nguyên tố theo Miller-Rabin - Lập trình kiểm thử, đối sánh với sơ đồ có Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập phân tích tài liệu thông tin liên quan đến đề tài - Nghiên cứu dựa việc tìm hiểu giải thuật xử lý với số nguyên lớn hệ mã Cụ thể hệ mã hóa RSA, từ kết nghiên cứu có đƣợc định hƣớng lựa chọn thuật toán cần tối ƣu hóa - Thực việc tối ƣu hóa giải thuật cách tối ƣu phép xử lý với số học lớn Thao tác sử dụng kết hợp phƣơng pháp tính toán với số học với phƣơng pháp chia để trị nhằm tăng hiệu bƣớc xử lý - Kết hợp nghiên cứu trƣớc tác giả nƣớc với bảo, góp ý giáo viên hƣớng dẫn để hoàn thành nội dung nghiên cứu - Thực nghiệm cài đặt ứng dụng để minh họa vấn đề trình bày đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn cửa đề tài * Ý nghĩa khoa học: - Trình bày kiến thức toán học bản, lý thuyết độ phức tạp thuật toán, thuật toán thƣờng dùng hệ mật mã khoá công khai Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Trình bày phƣơng pháp mật mã gồm: phƣơng pháp mã hoá khóa bí mật phƣơng pháp mã hoá khóa công khai Với phƣơng pháp mã hóa khóa công khai tập trung vào thuật toán mã hóa RSA Với phƣơng pháp mã hóa khóa bí mật giới thiệu sơ lƣợc để so sánh với phƣơng pháp mã hóa khóa công khai - Tối ƣu phép xử lý số học với số nguyên lớn yêu cầu cần thiết việc xây dựng hệ mã hóa có tốc độ xử lý độ an toàn cao * Ý nghĩa thực tiễn: - Cài đặt hoàn chỉnh giải thuật xử lý số học với số nguyên lớn cỡ hàng trăm chữ số - Xây dựng chƣơng trình thử nghiệm giải thuật xây dựng đƣợc hệ mã - Đánh giá kết so sánh hiệu xử lý hệ mã trƣớc sau tối ƣu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... các phƣơng pháp mật mã gồm: phƣơng pháp mã hoá khóa bí mật và phƣơng pháp mã hoá khóa công khai Với phƣơng pháp mã hóa khóa công khai thì tập trung vào các thuật toán mã hóa RSA Với phƣơng pháp mã hóa khóa bí mật chỉ giới thiệu sơ lƣợc để so sánh với phƣơng pháp mã hóa khóa công khai - Tối ƣu các phép xử lý số học với số nguyên lớn là một yêu cầu cần thiết trong việc xây dựng các hệ mã hóa có tốc độ... độ xử lý và độ an toàn cao * Ý nghĩa thực tiễn: - Cài đặt hoàn chỉnh các giải thuật xử lý số học với số nguyên lớn cỡ hàng trăm chữ số - Xây dựng chƣơng trình thử nghiệm các giải thuật xây dựng đƣợc trong một hệ mã - Đánh giá kết quả so sánh hiệu năng xử lý của hệ mã trƣớc và sau khi tối ƣu Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/