Môđun biểu diễn được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ĐỖ TRẦN MINH VŨ MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI MỞ ĐẦU Cho R vành giao hoán có đơn vị M R-mô đun Với phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M tự đồng cấu M xác định phép nhân phần tử x với M Mô đun M gọi coprimary M = với x thuộc R ϕx,M đơn cấu lũy linh Khi đó, (M ) = ρ iđêan nguyên tố R M gọi M ρ-coprimary Mô đun N M gọi mô đun ρ-nguyên sơ mô đun thương M/ ρ-coprimary Một phân tích nguyên sơ N M N biểu diễn N giao hữu hạn mô đun nguyên sơ M: N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn Sự phân tích nguyên sơ gọi tối tiểu mô đun nguyên sơ Q1 , Q2 , , Qn thỏa điều kiện : M/ (1) Các iđêan nguyên tố Qi phân biệt (2) Không có Qi nằm giao mô đun lại Từ đó, nhà toán học nêu khái niệm mô đun thứ cấp mô đun biểu diễn Một R-mô đun M gọi thứ cấp M = với x thuộc R ϕx,M toàn cấu lũy linh Khi đó, (M ) = ρ iđêan nguyên tố R M gọi R-mô đun ρ-thứ cấp Một biểu diễn thứ cấp M biểu diễn M tổng hữu hạn mô đun thứ cấp: M = N1 + N2 + + Nn Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu mô đun thứ cấp N1 , N2 , , Nn thỏa điều kiện : (1) Các iđêan nguyên tố (Ni ) phân biệt (2) Không có Ni nằm tổng mô đun lại Nếu M có biểu diễn thứ cấp, ta nói M mô đun biểu diễn Luận văn viết mô đun biểu diễn tính chất nó, chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm khái niệm vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp Hầu hết chứng minh chương bỏ qua Chương 2: Mô đun biểu diễn Chương trình bày vấn đề mô đun biểu diễn được: định nghĩa mô đun thứ cấp mô đun biểu biễn được, tính chất mô đun thứ cấp mô đun biểu diễn được, mô đun mô đun biểu diễn được, tính biểu diễn mô đun Artin, tính biểu diễn Hom(M,E) số tình cụ thể R-mô đun M E Tôi xin gửi đến TS Trần Tuấn Nam, TS Nguyễn Đình Lân lòng biết ơn chân thành Thầy người hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Xin chân thành cảm ơn đến thầy cô Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh thầy cô tham gia giảng dạy, quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn đồng nghiệp, bạn học khóa giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn có thiếu sót, kính mong thầy cô bạn góp ý thông cảm TP Hồ Chí Minh 12-2009 Đỗ Trần Minh Vũ Mục lục CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu 1.4 Iđêan nguyên sơ 1.5 Mô đun 1.6 Vành Nơ te 1.7 Vành Artin 1.8 Dãy khớp 10 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC 2.1 12 Mô đun biểu biễn 12 2.1.1 Các định nghĩa 12 2.1.2 Tính chất mô đun biểu diễn 16 2.1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 30 2.2 Mô đun mô đun biểu diễn 33 2.3 Tính biểu diễn mô đun Artin 41 2.4 Tính biểu diễn Hom(M;E) 42 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mô đun Trong luận văn này, ta hiểu vành vành giao hoán có đơn vị khác không Cho M R-mô đun, A B hai tập M, = K ⊂ R Ta định nghĩa: A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K} Tập A khác rỗng M gọi mô đu M A+A ⊂ A RA ⊂ A Với A B hai mô đun M A+B A ∩ B mô đun M Hơn nữa, Giao họ mô đun M mô đun M Cho S tập khác rỗng M Giao tất mô đun M chứa S gọi mô đun sinh tập S, ký hiệu Cho A mô đun M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M } R- mô đun với phép toán (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2 ) + A r (m + A) = rm + A R-mô đun M/A gọi mô đun thương M theo mô đun A Giả sử M R-mô đun f : S → R đồng cấu vành Khi đó, M xem S-mô đun với phép nhân s.m = f (s).m Tập S M gọi hệ sinh M M= Tập n ri si = với S gọi độc lập tuyến tính từ đẳng thức i=1 ri ∈ R, si ∈ S, ta có r1 = r2 = = rn = Mô đun M gọi mô đun tự M có hệ sinh độc lập tuyến tính Giả sử {Mi }i∈I họ R-mô đun Trong tập tích Đề Mi , ta i∈I định nghĩa phép toán: (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I r.(xi )i∈I = (rxi )i∈I Mi trở thành R-mô đun gọi tích trực tiếp họ Khi đó, i∈I R-mô đun {Mi }i∈I Mi = Mô đun i∈I (xi )i∈I ∈ Mi | hữu hạn xi = Mi i∈I i∈I gọi tổng trực tiếp của họ mô đun {Mi }i∈I Tổng trực tiếp mô đun tự mô đun tự R-mô đun M tự M đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành R Mỗi mô đun M đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự Cho M R- mô đun, L N mô đun M Ta kí hiệu (L : N ) = {x ∈ R|x.N ⊂ L} Đây iđêan R Trong trường hợp đặc biệt L=0 N=M (0 : M ) gọi linh hóa mô đun M, kí hiệu Ann(M) Với m ∈ M , Ann(m) linh hóa R-mô đun sinh phần tử m ∈ M Mệnh đề 1.1.1 Cho L N hai R-mô đun Khi đó, Ann (L + N ) = Ann (L) ∩ Ann (N ) (N : L) = Ann (N + L)/N Mệnh đề 1.1.2 Cho R-mô đun L,M,N thỏa N ⊂ M ⊂ L Khi đó: L/ N ∼ M/ = L/M N Mệnh đề 1.1.3 Cho L N mô đun M Khi đó: L (L + N )/ ∼ N = /(N ∩ L) Mệnh đề 1.1.4 Cho M R-mô đun Khi đó: M hữu hạn sinh M đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự hữu hạn sinh 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Giả sử R vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết R-mô đun M tồn phần tử x ∈ M để Ann(x)=P AssR (M ) tập tất iđêan nguyên tố liên kết R-mô đun M Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M) Mệnh đề 1.2.1 Cho P phần tử tối đại tập iđêan Ann (x) |x ∈ M x = Khi đó, P ∈ Ass (M ) Hệ 1.2.2 Cho M R-mô đun (1) Ass (M ) = ⇔ M = (2) Tập ước của R-mô đun M hợp iđêan nguyên tố liên kết M Ta đặt: SuppM = {P ∈ Spec (R) |MP = ∅} Định lý 1.2.3 Cho M R-mô đun Khi đó, Ass (M ) ⊂ Supp (M ) Định lý 1.2.4 Cho M R-mô đun hữu hạn sinh khác Khi đó, tồn dãy mô đun = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M cho Mi/ ∼R Mi−1 = /Pi với Pi ∈ Spec (R) , (1 ≤ i ≤ n) Bổ đề 1.2.5 Cho → M → M → M dãy khớp R-mô đun Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ∪ Ass (M ) Từ bổ đề trên, ta thấy, M = M1 ⊕ M2 ta có dãy khớp → M1 → M → M2 đó, Ass (M ) ⊂ Ass (M1 ) ∪ Ass (M2 ) Mệnh đề 1.2.6 Cho M R-mô đun hữu hạn sinh Khi đó, Ass (M ) tập hữu hạn Định lý 1.2.7 Cho R vành Nơ te, điều sau tương đương với M R-mô đun: (1) M coprimary (2) M có iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết yếu Cho vành giao hoán có đơn vị R Một iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết yếu M tồn phần tử x ∈ M để P tối tiểu Ann(x) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết yếu M kí hiệu W.Ass(M) Mệnh đề 1.3.1 Cho M R-mô đun Khi đó, ta có: (1) Ass (M ) ⊂ W.Ass (M ) (2) Ass (M ) = W.Ass (M )nếu R vành Nơ te (3) W.Ass = ∅ M = (4) Nếu → M → N → L → dãy khớp W.Ass (M ) ⊂ W.Ass (N ) ⊂ W.Ass (M ) ∪ W.Ass (L) Mệnh đề 1.3.2 Cho M R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không M có phân tích nguyên sơ Gọi = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn phân tích nguyên sơ tối tiểu 0, Ni mô đun Pi -nguyên sơ M Khi đó, W.Ass (M ) = {P1 , P2 , , Pn } Hệ 1.3.3 Cho R vành Nơ te, M R-mô đun hữu hạn sinh mô đun M có phân tích nguyên sơ 1.4 Iđêan nguyên sơ Mệnh đề 1.4.1 (1) Cho Q1 , , Qn iđêan nguyến tố vành R P n Qi Khi đó, tồn số i0 để P ⊂ Qi0 iđêan R nằm i=1 (2) Cho P1 , , Pn iđêan vành R Q iđêan nguyên n Pi Khi đó, tồn số i để Pi ⊂ Q Đặc biệt, tố R chứa i=1 n Q = Pi có i để Q = Pi i=1 Cho P Q hai iđêan vành R Q ∪ P iđêan R Ta định nghĩa iđêan (Q : P ) = {x ∈ R|x.P ⊂ Q} gọi iđêan thương Q cho P Cho P iđêan vành R Căn P, kí hiệu r (P ), iđêan xác định sau: r (P ) = {x ∈ R | ∃n > : xn ∈ P } Mệnh đề 1.4.2 Cho P iđêan vành R Khi đó: (1) P ⊂ r (P ) (2) Nếu P iđêan nguyên tố r (P n ) = P với số n>0 Nếu f : A → B đồng cấu vành Q iđêan B P = f −1 (Q) iđêan A ta kí hiệu P = Qc iđêan P R gọi nguyên sơ P khác R x.y ∈ P x ∈ P y n ∈ P với số nguyên dương n Một iđêan nguyên tố đương nhiên iđêan nguyên sơ điều ngược lại không iđêan P gọi Q-nguyên sơ P iđêan nguyên sơ r(P)=Q Mệnh đề 1.4.3 Nếu Q iđêan nguyên sơ r(Q) iđêan nguyên tố tối tiểu R chứa Q Mệnh đề 1.4.4 Nếu r(P) iđêan tối đại P iđêan nguyên sơ Đặc biệt, P iđêan tối đại R với n>0, P n iđêan P-nguyên sơ Một phân tích nguyên sơ iđêan P vành R biểu diễn P giao số hữu hạn iđêan nguyên sơ R Sự phân n tích nguyên sơ P = Qi iđêan P vành R gọi tối tiểu i=1 n Qj ⊂ Qi Từ phân tích nguyên sơ bất kì, ta với i, j=1 j=i có phân tích nguyên sơ tối tiểu iđêan P R gọi phân tích P có phân tích nguyên sơ R Mệnh đề 1.4.5 Cho P iđêan phân tích vành R P = n Qi phân tích nguyên sơ tối tiểu P Khi đó, với i, đặt i=1 Pi = r (Qi ) Khi đó, Pi không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ P 1.5 Mô đun Một mô đun thực N M gọi mô đun nguyên tố M nếu, với r ∈ R m ∈ M thỏa rm ∈ N m ∈ N ,hoặc r ∈ (N : M ) Ta thấy, N mô đun nguyên tố M P = (N : M ) iđêan nguyên tố R Do đó, ta gọi N P-mô đun nguyên tố Cho R vành M R-mô đun Với phần tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M tự đồng cấu M xác định phép nhân phần tử x với 37 Đặt = sn = mn−1 r1m1 r2m2 rn−1 n−1 ∈ ρi , ta có sn M = Mn sn ∈ / ρn i=1 Bằng cách tương tự, ta có phần tử s1 , , sn−1 để si ∈ / ρi , si M = Mi n n si M sj ∈ Khi đó, ta có M = i=1 Ann (Mi ) i=1,i=j Giả sử N mô đun khác M Lấy a thuộc N khác Khi đó, a thuộc M nên a = s1 b1 + + sn bn với bi thuộc M Do R vành quy nên tồn t1 , , tn ∈ R để si = s2i ti Vì a khác nên phải có số i để si bi = si bi = s2i ti bi = si ti a = Do đó, si N = Bằng cách bỏ bớt số i mà si N = đánh số lại cần, ta giả sử s1 N = 0; ; sk N = với k ≤ n Với a thuộc N, ta có: s2i ti bi si bi = a= i=1 n n n i=1 = k k s i ti a ∈ s i ti a = i=1 i=1 si N i=1 Do đó, với i, si a = s2i bi ∈ Mi si N mô đun Mi Do R quy Mi ρi -thứ cấp nên theo mệnh đề 2.2.6, si N ρi -thứ cấp Vậy, N mô đun biểu diễn Định lý 2.2.8 Cho R vành giao hoán N mô đun nguyên tố R- mô đun thứ cấp M Khi đó, N (N : M ) -thứ cấp Chứng minh: Giả sử M R-mô đun ρ-thứ cấp Lấy r ∈ R Nếu r ∈ ρ có số nguyên n để rn N ⊂ rn M = Nếu r ∈ / ρ rM = M Khi đó, rM = M N r ∈ / (N : M ) Giả sử n ∈ N có phần tử m ∈ M để n=rm Vì N mô đun nguyên tố r ∈ / (N : M ) nên m ∈ N Do đó, n = rm ∈ rN rN = N Vậy, N ρ-thứ cấp Ta chứng minh ρ = (N : M ) Ta có (N : M ) iđêan nguyên tố Thật vậy, với xy ∈ (N : M ) x∈ / (N : M ) xyM ⊂ N xM ⊂ N Vì xM ⊂ N nên có phần tử 38 m ∈ M để xm ∈ / N Do yxm = xym ∈ N nên từ tính chất nguyên tố N, ta có yM ⊂ N Tức y ∈ (N : M ) Nếu x ∈ ρ xn M = ⊂ N với n Do đó, xn ∈ (N : M ) Vì (N : M ) iđêan nguyên tố nên x ∈ (N : M ) Do đó, ρ ⊂ (N : M ) Nếu x ∈ / ρ M = xM Vì N mô đun thực M nên N = xM Vì nên xM ⊂ N Do đó, x ∈ / (N : M ) Suy ra, (N : M ) ⊂ ρ Vậy, (N : M ) = ρ Bổ đề 2.2.9 Cho R vành giao hoán Đặt K N mô đun M cho N nguyên tố K ρ-thứ cấp Khi đó, N ∩ K ρ- thứ cấp Chứng minh: Lấy r ∈ R Nếu r ∈ ρ có số nguyên n cho rn (N ∩ K) ⊂ rn K = Nếu r ∈ / ρ lấy t ∈ N ∩ K Vì t ∈ K K ρ-thứ cấp nên t = rs với s ∈ K Vì N nguyên tố t ∈ N nên s ∈ N r ∈ (N : M ) Nếu r ∈ (N : M ) K = rK ⊂ rM ⊂ N s ∈ N Tóm lại, ta có s ∈ N t ∈ r (N ∩ K) Do đó, N ∩ K = r (N ∩ K) Vậy, phép nhân N ∩ K r lũy linh r ∈ ρ toàn cấu r∈ / ρ nên N ∩ K ρ- thứ cấp Định lý 2.2.10 Cho M mô đun biểu diễn vành giao hoán R N mô dun nguyên tố M với (N : M ) = P Khi đó, N biểu diễn M/N P-thứ cấp Chứng minh: n Giả sử M = Mi biểu diễn thứ cấp tối tiểu M với (Mi ) = ρi i=1 Với i, giả sử ρi ⊂ P Khi đó, với x ∈ ρi \P , tồn số n để xn Mi = ∈ N Do tính chất nguyên tố N, ta có Mi ⊂ N Ngược 39 lại, giả sử Mi ⊂ N Khi đó, với x ∈ ρi mi ∈ Mi \N , tồn số n để xmi = ∈ N Lại tính chất nguyên tố N nên x ∈ P , tức ρi ⊂ P Vậy, với i, ρi ⊂ P , Mi ⊂ N Vì N mô đun thực M nên có số i để Mi ⊂ N Mặt khác, có hai số i j để Mi Mj không nằm N P = ρi = ρj Thật vậy, P ρi ta có t ∈ P \ρi để Mi = tMi ⊂ tM ⊂ N Điều mâu thuẫn cho thấy P ⊂ ρi P ⊂ ρj Nhưng ρi ⊂ P ρj ⊂ P nên P = ρi = ρj Vì thế, ta giả sử M1 ⊂ N Mi ⊂ N với i=2,3, ,n Do đó, ρ1 = P ρi ⊂ P với i=2,3, ,n Khi đó, ta có M2 +M3 + +Mn ⊂ N N = N ∩M = N ∩(M1 + M2 + M3 + + Mn ) = M2 +M3 + +Mn +N ∩M1 Theo bổ đề 2.2.9 N ∩ M1 ρ1 -thứ cấp Do đó, N mô đun biểu diễn Ta có M = M1 + N nên M/N = (M1 + N )/N ∼ = M1/(N ∩ M1 ) Do M1 mô đun ρ-thứ cấp nên M/N mô đun ρ-thứ cấp Mệnh đề 2.2.11 Mọi R-mô đun biểu diễn M thỏa điều kiện x : với x ∈ R, ϕx,M : M − → M đơn cấu đẳng cấu Chứng minh: Giả sử M R-mô đun biểu diễn ϕx,M : M → M với x ∈ R đơn cấu Ta chứng minh toàn cấu n Giả sử M = Ni biểu diễn thứ cấp tối tiểu M với i=1 (Ni ) = ρi n Do mệnh đề 2.1.11, ta có ϕx,M toàn cấu x ∈ / n Giả sử x ∈ ρi i=1 ρi Khi đó, tồn số i để x ∈ ρi ta tìm số i=1 n để xn Mi = Nếu x.Mi = ϕx,M (Mi ) = 0, trái giả thiết ϕx,M đơn cấu Nếu x.Mi = 0, ta chọn số n>1 để xn Mi = xn−1 Mi = Khi đó, ϕx,M xn−1 Mi = Điều trái giả thiết tính đơn cấu ϕx,M 40 n Vậy, x ∈ / ρi , tức ϕx,M toàn cấu Do đó, ϕx,M đẳng cấu i=1 Định lý 2.2.12 Cho R vành nơ te giao hoán Khi đó, điều sau tương đương: (1) R vành Artin (2) Mọi R-mô đun khác không biểu diễn (3) Mọi R-mô đun nơ te M thỏa điều kiện: với x ∈ R, ϕx,M : M → M đơn cấu đẳng cấu Chứng minh: (1) =⇒(2): Giả sử R vành Artin Khi đó, tập iđêan tối đại R, kí hiệu M ax (R), tập hữu hạn Đặt M ax (R) = {Q1 , Qn } Khi đó, n R/ với i, tồn Pi iđêan Qi -nguyên sơ R cho R ∼ = Pi i=1 Giả sử F R- mô đun tự Khi đó, F ∼ = ⊕ R Với i=1, ,n, đặt j∈J Si = ⊕ R/Pi Ta có: j∈J F ∼ = ⊕ R∼ = ⊕ j∈J j∈J n i=1 R/ Pi ∼ = n i=1 ⊕ R/Pi j∈J n n Si = ⊕ Si = i=1 i=1 Mặt khác, ta có Si Qi - thứ cấp Do đó, F mô đun biểu diễn Nhưng R-mô đun đẳng cấu với mô đun thương mô đun tự Vì mô đun thương khác mô đun biểu diễn biểu diễn nên R-mô đun khác không biểu diễn (2)=⇒(3) : x Nếu M=0 hiển nhiên M − → M đẳng cấu Nếu M = (2), ta có M R-mô đun biểu diễn Áp dụng mệnh đề 2.2.11, ta thấy M thỏa điều kiện (3) nên (3)=⇒ (1) Để chứng minh R Artin, ta chứng minh iđêan nguyên tố R iđêan tối đại Giả sử P iđêan nguyên tố R iđêan tối đại Khi đó, tồn iđêan tối đại Q R để 41 Q Lấy x ∈ Q\P ta có x+P ∈ R/P Xét đồng cấu ϕ : R/P → R/P biến phần tử r + P ∈ R/P thành (x + P ) (r + P ) = x.r + P ∈ R/P Nếu (x + P ) (r + P ) = xr + P = xr ∈ P Do P nguyên tố P x∈ / P nên r ∈ P Do đó, ϕ đơn cấu Do tính chất (3) nên ϕ đẳng cấu Mặt khác, x ∈ Q nên xR ⊂ Q Do đó, ϕ R/P ⊂ Q/P Nhưng Q iđêan tối đại R nên ∈ / Q Q/P R/P Điều trái với việc ϕ toàn cấu Do đó, iđêan nguyên tố P phải iđêan tối đại Nhưng R vành Nơ te nên R vành Artin Ở phần tiếp theo, từ tính biểu diễn mô đun nội xạ, ta rằng: Mọi mô đun R- mô đun biểu diễn biểu diễn R vành Artin Hơn nữa, M R-mô đun cho R/Ann (M ) vành Artin M R-mô đun biểu diễn 2.3 Tính biểu diễn mô đun Artin Định nghĩa : Một A-mô đun M gọi bất khả quy tổng M khác tổng hai mô đun thực M mô đun thực M Mệnh đề 2.3.1 Nếu M R-mô đun Artin bất khả quy tổng M mô đun thứ cấp Chứng minh : Giả sử M không mô đun thứ cấp Khi đó, tồn phần tử x ∈ A để M = x.M xn M = với n>0 Vì M mô đun Artin nên dãy mô đun {xn M }n≥0 dãy dừng Do đó, có số nguyên dương r đủ lớn để xr M = xr+1 M = Đặt M1 = Ker (ϕxr ,M ) M2 = xr M Khi đó, M1 M2 hai mô đun thực M 42 Lấy u ∈ M Vì xr u ∈ xr M = x2r M nên có v ∈ M để xr u = x2r v Do đó, xr (u − xr v) = u − xr v ∈ M1 Ta có: u = xp v + (u − xp v) ∈ M2 + M1 Vậy, M = M1 + M2 Điều trái với việc M bất khả quy tổng Vì thế, M mô đun thứ cấp Định lý 2.3.2 Mọi R-mô đun Artin có biểu diễn thứ cấp Chứng minh : Giả sử M R-mô đun Artin không biểu diễn Xét tập mô đun khác không, không biểu diễn M Tập khác rỗng có chứa M Vì M Artin nên tập có phần tử tối tiểu N Vì N tối tiểu không biểu diễn nên N không mô đun thứ cấp Do N Artin, không mô đun thứ cấp khác nên theo mềnh đề 2.3.1, N tổng hai mô đun thực Vì tính chất tối tiểu N nên N1 N2 mô đun biểu diễn Nhưng đó, N tổng N1 N2 nên N biểu diễn Điều trái với cách chọn N Vì thế, M phải mô đun biểu diễn 2.4 Tính biểu diễn Hom(M;E) Định nghĩa: R-mô đun M gọi P-coprimary M khác với x ∈ R đồng cấu nhân r vào M đơn cấu lũy linh Cho E R-mô đun nội xạ có tính chất W.AssR (E)=AssR (E) M R-mô đun có mô đun có phân tích nguyên sơ Ta xét tính biểu diễn Hom(M;E) Mệnh đề 2.4.1 Cho S vành giao hoán ( đơn vị khác 0) φ : R → S đồng cấu vành Đặt M S-mô đun E R-mô đun Nếu HomR (M, E) = tồn P ∈ W.AssS (M ) cho có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q 43 Chứng minh: Vì HomR (M ; E) = nên ta chọn đồng cấu f : M → E khác đồng cấu Chọn Q ∈ W.AssR (f (M )) Khi đó, Q ∈ W.AssR (E) Do đó, tồn phần tử x ∈ M để Q = Ann (f (x)) Khi đó, ta thấy Ann (x) ⊂ φ−1 (Q) Chọn P iđêan nguyên tố tối tiểu R thỏa điều kiện: Ann (x) ⊂ P ⊂ φ−1 (Q) Khi đó, P ∈ W.AssS (M ) thỏa điều kiện: P ⊂ φ−1 (Q) Do đó, P c ⊂ Q Bổ đề 2.4.2 Cho S vành giao hoán ( đơn vị khác 0) φ : R → S đồng cấu vành Đặt M S-mô đun không tầm thường E R-mô đun nội xạ thỏa W.AssR (E)=AssR (E) Khi đó, ta có: HomR (M, E) = tồn P ∈ W.AssS (M ) cho có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q Nếu M P-coprimary S-mô đun HomR (M, E) = HomR (M, E) S-mô đun P-thứ cấp Chứng minh: (a) Do mệnh đề 2.4.1, ta cần chứng minh chiều ngược lại Lấy P ∈ W.AssS (M ) thỏa yêu cầu có Q ∈ W.AssR (E) để P c ⊂ Q Khi đó, tồn x ∈ M để Ann(x) ⊂ P Do đó, với toàn cấu g : Sx → S/P (s.x) → s + P ta có Sx → S/P → dãy khớp Do tính nội xạ E, ta có dãy khớp → HomR S/P , E → HomR (Sx, E) Mặt khác, P c ⊂ Q nên ta có toàn cấu: φ : R/P c → R/Q (r + P c ) → (r + Q) Do đó, ta có dãy khớp R/P c → R/Q → Lại tính khớp Hom(-,E) nên dãy sau khớp: → HomR R/Q, E → HomR R/P c , E (2) 44 Vì Q ∈ W.AssR (E) = AssR (E) nên tồn x thuộc E để Q=Ann(x) Do , đồng cấu R-mô đun f : R/Q → E (r + Q) → rx đơn cấu Từ ta có dãy khớp → R/Q → E Do đó, HomR R/Q, E = Do tính khớp dãy (2) nên HomR R/P c , E = Bây giờ, từ đơn cấu R-mô đun h : R/P c → S/P (r + P c ) → (φ(r) + P ) ta có dãy khớp → R/P c → S/P Vì thế, ta có dãy khớp HomR S/P , E → HomR R/P c , E → Do đó, ta có HomR S/P , E = Do tính khớp dãy (1), ta có HomR (Sx, E) = Mặt khác, ta có dãy khớp → Sx → M nên ta có dãy khớp HomR (M, E) → HomR (Sx, E) → Bởi HomR (Sx, E) = nên HomR (M, E) = (b) Lấy s ∈ S Nếu s ∈ P ϕs,M : M → M lũy linh, tức tồn n để sn M = Do đó, với f ∈ HomR (M, E), ta có: [ϕs,M (f )]n (M ) = [ϕs,M (f )]n−1 (ϕs,M (f ) (M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (f.φ (M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (f (s.M )) = [ϕs,M (f )]n−1 (s.f (M )) = s [ϕs,M (f )]n−1 (f (M )) = s2 [ϕs,M (f )]n−2 (f (M )) = = sn f n (M ) = Suy ra, [ϕs,M ]n (f ) = Vậy, ϕs,M : Hom (M, E) → Hom (M, E) lũy linh Nếu s ∈ / P ϕs,M : M → M đơn cấu Do đó, ta có → M → M ϕs,M dãy khớp Do đó, ta có dãy khớp HomR (M, E) −−→ HomR (M, E) → với đồng cấu cảm sinh từ ϕ Do đó, đồng cấu toàn cấu Vậy, Hom (M, E) S-mô đun P-thứ cấp Hệ 2.4.3 Cho E R-mô đun nội xạ thỏa W.AssR (E) = AssR (E) M R-mô đun không tầm thường Khi đó, ta có: 45 HomR (M, E) = tồn P ∈ W.AssR (M ) cho có Q ∈ W.AssR (N ) để P ⊂ Q Nếu M P-coprimary R-mô đun HomR (M, E) = HomR (M, E) P-thứ cấp R-mô đun Chứng minh: Áp dụng mệnh đề cho trường hợp S trùng với R, ϕ = IdR P c = P = Q ta có điều cần chứng minh Định lý 2.4.4 Cho M R-mô đun có mô đun có phân tích nguyên sơ E R-mô đun nội xạ thỏa W.Ass(E)=Ass(E) Khi đó, Hom(M,E) biểu diễn Att (Hom (M, E)) = {P ∈ W.Ass (M ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q} Chứng minh: n Đặt = ∩ Mi phân tích nguyên sơ tối tiểu mô đun i=1 M, Mi mô đun Pi -nguyên sơ Với i = 1, , n, đặt ψi : M → M/Mi đồng cấu nhúng, T = Hom (−, E) Si = T (ψi ) T M/Mi Khi đó, từ dãy khớp M → M/Mi → , ta có dãy khớp → Hom M/Mi , E → Hom (M, E) Do đó, Si ảnh đơn cấu Hom M/Mi , E lên T (M ) nên Si mô đun T (M ) đẳng cấu với T M/Mi Vì thế, theo mệnh đề 2.4.3, Si mô đun 0, Pi -thứ cấp Theo mệnh đề 1.3.2, ta có W.Ass (M ) = {P1 , P2 , , Pn } Giả sử với i=1, ,r tồn Qi ∈ Ass (E) cho Pi ⊂ Qi với i=r+1, ,n không Khi đó, tác động T vào dãy khớp n → M → ⊕ M/Mi i=1 ta dãy n Hom ⊕ M/Mi , E → Hom (M, E) → i=1 46 Do đó, ta có toàn cấu θ : Hom n ⊕ M/Mi , E i=1 → Hom (M, E) f ∈ Hom n ⊕ M/Mi , E i=1 : θ (f ) = Vì Kerθ = =0 nên Hom (M, E) ∼ = Hom n ⊕ M/Mi , E i=1 n ∼ = ⊕ Hom M/Mi , E ∼ = i=1 n Si i=1 Áp dụng mệnh đề 2.4.3, ta có: r T (M ) = Hom (M, E) = Si i=1 Bởi Si Pi -thứ cấp nên T (M ) biểu diễn Để chứng minh Att (Hom (M, E)) = {P ∈ W.Ass (N ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q} r ta cần chứng tỏ T (M ) = Hom (M, E) = Si biểu diễn tối tiểu i=1 T (M ) = Hom (M, E) Giả sử có số j thỏa ≤ j ≤ r để n n n Hom (M, E) = Si Đặt Kj = Mi Yj = ⊕ M/Mi Khi đó, ta có i=1 i=1 i=j i=1 i=j i=j dãy khớp → Ki → M → Yj → Từ đó, ta có dãy sau khớp → Hom (Yj , E) → Hom (M, E) → Hom (Kj , E) → Ta có   n n i=j i=j Hom (Yj , E) = Hom  ⊕ M/Mi , E  ∼ = ⊕ Hom M/Mi , E ∼ = i=1 i=1 r Si i=1 i=j Do đó, Hom (M, E) ∼ = Hom (Yj , E) Khi đó, ta có Hom (Kj , E) = Nhưng Kj ∼ = Kj/Kj ∩ Mj ∼ = Kj + Mj/Mj ⊂ M/Mj 47 Điều suy W.Ass (Kj ) ⊂ W.Ass M/Mj = {Pj } Nhưng Kj = nên W.Ass (Kj ) = ∅ Vì W.Ass (Kj ) = {Pj } Do đó, tồn phần tử x ∈ Kj để Ann (x) ⊂ Pj Ta có đơn cấu φ : Rx → R/Pj biến rx → r + Pj dãy sau khớp Rx → R/Pj → Tác động T lên dãy khớp ta → Hom R/Pj , E → Hom (Rx, E) Do mệnh đề 2.4.3, ta có Hom R/Pj = Từ đó, ta có Hom (Rx) = Mặt khác, từ dãy khớp → Rx → Kj ta có dãy khớp Hom (Kj , E) → Hom (Rx, E) → Vì nên ta có Hom (Kj , E) = Hệ 2.4.5 Cho R vành Nơ te E R-mô đun nội xạ Giả sử N là R-mô đun thỏa điều kiện : mô đun không M có phân tích nguyên sơ Khi đó, Hom (M, E) biểu diễn Att (Hom (M, E)) = {P ∈ Ass (M ) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q} Chứng minh: Vì R mô đun Nơ te nên W.Ass (M ) = Ass (M ) W.Ass (E) = Ass (E) Áp dụng định lý 2.4.4, ta có kết Hệ 2.4.6 Cho E R-mô đun nội xạ với W.Ass (E) = Ass (E) Giả sử mô đun không R có phân tích nguyên sơ Khi E biểu diễn Att (E) = {P ∈ W.Ass (R) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q} 48 Chứng minh: Áp dụng định lý 2.4.4 cho trường hợp M = R, ta có Hom(R,E) R-mô đun biểu diễn Att (Hom (R, E)) = {P ∈ W.Ass (R) |∃Q ∈ Ass (E) : P ⊂ Q} Xét ánh xạ ψ : Hom (R, E) → E biến f ∈ Hom (R, E) thành f (1) ∈ E Ta thấy: ψ (f + g) = (f + g) (1) = f (1) + g (1) = ψ (f ) + ψ (g) ψ (rf ) = (rf ) (1) = rf (1) = r.ψ (f ) Do đó, ψ R-đồng cấu Lấy f ∈ Kerf (ψ), đó, ψ (f ) = f (1) = Suy ra, với r ∈ R f (r) = f (r.1) = rf (1) = Do đó, f=0, tức Kerf (ψ) = Vậy, ψ đơn cấu Với x ∈ E, ta có ánh xạ f : R → E biến phần tử r R thành phần tử rx E Ta thấy f ∈ Hom (R, E) ψ (f ) = f (1) = 1x = x Vậy, ψ toàn cấu Do đó, ψ đẳng cấu Hom(R,E) đẳng cấu E Vì Hom(R,E) R-mô đun biểu diễn nên E biểu diễn Do hệ 2.4.6, mô đun nội xạ vành Nơ te mô đun biểu biễn Hệ 2.4.7 Cho R vành Nơ te Khi đó, điều sau tương đương: (1) R vành Artin (2) Mọi mô đun R- mô đun biểu diễn biểu diễn Chứng minh: Do định lý 2.2.12 nên từ (1) ta có (2) Giả sử mô đun R- mô đun biểu diễn biểu diễn Vì mô đun nội xạ vành Nơ te biểu diễn mô đun đẳng 49 cấu với mô đun mô đun nội xạ nên từ tính chất (2), ta suy : R-mô đun khác biểu diễn Do đó, theo định lý 2.2.12, ta suy R vành Artin Giả sử R vành Nơ te M R-mô đun hữu hạn sinh Khi đó, mệnh đề 1.3.3, M có mô đun không phân tích Do đó, với M R-mô đun hữu hạn sinh E R-mô đun nội xạ Hom(M,E) biểu diễn 50 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày định nghĩa mô đun biểu diễn được, tính chất mô đun biểu diễn trường hợp vành R vành Nơ te giao hoán có đơn vị Sau đó, viết nêu số ví dụ mô đun biểu diễn được: mô đun Artin mô đun biểu diễn được, Hom(M,E) mô đun biểu diễn trường hợp E R- mô đun nội xạ mô đun không M có phân tích nguyên sơ Dù có nhiều cố gắng luận văn nhiều vấn đề chưa hoàn thành, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn 51 Tài liệu tham khảo [1] I.G Macdonald, Secondary representation of modules over commutative ring, Sympos.Math.IX(1973), 23–43 [2] Leif Melkerson, Cohomologycal properties of modules with secondary represetations, Math Scand,77(1995), 197-208 [3] M Maani-Shirazi and P.F Smith, Uniqueness of Coprimary Decompositions, Turk J Math, 31(2007), 53-64 [4] Ebrahimi Atani, Submodules of secondary modules, Int.J Math Math Sci 31(6)(2002), 321-327 [5] Siamak Yassemi, Coassociated Primes of modules over a commutative ring, Math Scand, 80(1997), 175-187 [6] H Ansari-Toroghy, Secondary representation of some modules over a commutative ring, Acta Math Hungar 100(3) (2003), 257-262 [7] H Matsumara, Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1986 [8] R Y Sharp, Secondary representations for injective modules over commutative Noetherian rings, Proc Edinburgh Math Soc.(2), 20(2) (1976), 143-151 [9] Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên - Nguyễn Văn Thìn, Đại số đồng điều, NXB Đại học quốc gia TP.HCM - 2003 [...]... Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp của M Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố (Ni ) = ρi là khác nhau Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta coi biểu diễn trên là tối tiểu Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu n Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn i=1 thứ cấp tối... R-mô đun biểu diễn được Khi đó, M1 ⊕ ⊕ Mr cũng biểu diễn được và Att (M1 ⊕ ⊕ Mr ) = r Att (Mi ) i=1 Chứng minh : rj Vì mỗi Mj biểu diễn được nên ta có Mj = r rj j=1 i=1 cấp Do đó, ta có : M1 ⊕ ⊕ Mr = ⊕ Ni với Ni là ρi -thứ i=1 Nij = i ⊕ Nij Do đó, j r M1 ⊕ ⊕ Mr biểu diễn được và Att (M1 ⊕ ⊕ Mr ) = Att (Mi ) i=1 n Mệnh đề 2.1.32 Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là i=1 biểu diễn thứ... là R-mô đun Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + + Nn Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , , Nn thỏa các điều kiện : 13 (Ni ) phân biệt (1) Các iđêan nguyên tố (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được Mệnh đề 2.1.2... iđêan của R Nếu M là R-mô đun biểu diễn được thì IM là R-mô đun biểu diễn được Chứng minh n Đặt M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Att (M ) = i=1 n {ρ1 , ρ2 , , ρn } Khi đó, ta có IM = INi i=1 Nếu r ∈ ρi thì rm INi = I (rm Ni ) = 0 với một m nào đó Nếu r ∈ / ρi thì rINi = I (rNi ) = INi Do đó, với mọi i, INi là R-mô đun ρi -thứ cấp Do đó, IM là R-mô đun biểu diễn được Mệnh đề 2.1.19 Cho R... 0 của R- mô đun biểu diễn được M Khi đó, Q là mô đun biểu diễn được và Att(Q) ⊂ Att(M ) 17 Chứng minh: n Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni là ρi -thứ i=1 n (Ni + P )/ Ta có (Ni + P )/ ∼ cấp Đặt Q = M/P Khi đó, Q = P P = i=1 Ni/ (Ni + P )/ là một ρi -thứ cấp hoặc Ni ∩ P nên theo mệnh đề 2.1.3, P bằng 0 Do đó, bằng cách loại bỏ các mô đun 0, Q là mô đun biểu diễn được Hơn nữa, Att(Q)... ∈ / ρ nên ta tìm được p p m1 s 1 = m s nên S −1 M → −s S −1 M là toàn cấu Vậy, S −1 M là S −1 R -mô đun S −1 ρ-thứ cấp 16 2.1.2 Tính chất của mô đun biểu diễn được Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không Mệnh đề 2.1.7 Cho M là R-mô đun biểu diễn được Khi đó, α = Ann(M ) là iđêan phân tích được của R Và Ass R/α ⊂ Att (M ) Chứng minh: n Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối... là một iđêan nguyên tố của R M là R-mô đun biểu diễn được Khi đó, P ∈ Att (M ) khi và chỉ khi tồn tại mô đun con K để P = (K : M ) Chứng minh: Giả sử M = N1 + N2 + + Nn là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với ρi = (Ni ) Khi đó, Att (M ) = {ρ1 , , ρn } Giả sử P ∈ Att (M ) Không mất tính tổng quát, ta giả sử P = ρ1 Khi đó, tồn tại số k để P k N1 = 0 Vì biểu diễn của M là tối tiểu nên M = N1 + N2 + ... Ni ) là ρj -thứ cấp nên đấy là biểu diễn tối tiểu của M/Ni Do đó, Att M/Ni gồm các ρj trong Att (M ) ngoại trừ ρi Mệnh đề 2.1.33 Cho S là tập con nhân của R và ψ là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M không có giao với S Khi đó, S(M) là mô đun con biểu diễn được duy nhất của M thỏa :Att M/S(M ) = Att (M ) \ψ và Att (S(M )) = ψ Chứng minh : n Giả sử M = Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với... nên theo mệnh 32 đề 2.1.14, ta có S(M ) = N1 + + Nr và Att (S(M )) = ψ Khi đó, ta Ni/ M thấy M/S(M ) = S(M ) là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của /S(M ) i>r Do đó, Att M/S(M ) = Att (M ) \ψ Giả sử N là mô đun con biểu diễn được của M thỏa hai yêu cầu n M của mệnh đề Ta có /N = Qi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu và i=r+1 (Qi ) = ρi Với mỗi i>r, ta chọn xi ∈ S ∩ ρi và đặt x = xr+1 xn Khi đó, x ∈ S và với... của M sao cho ρ ∩ S = ∅ được chứa trong L1 21 Mô đun con của M trong mệnh đề 2.1.14 được ký hiệu là S(M) Ta r có S(M ) = xM = Ni i=1 x∈S Định lý 2.1.15 Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu n M = Ni với (Ni ) = ρi và là một tập con cô lập của Att(M) i=1 = {ρ1 , ρ2 , , ρr } Khi đó, mô đun Bằng cách đánh số lại, ta giả sử con N1 + N2 + + Nr không phụ thuộc biểu diễn thứ cấp tối tiểu của