Phương pháp toạ độ mặt phẳng CHƯƠNG III III CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHÁP TOẠ TOẠ ĐỘ ĐỘ TRONG TRONG MẶT MẶT PHẲNG PHẲNG PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG THẲNG I.I PHƯƠNG Vectơ phương đường thẳng r Vectơ ur ≠ đgl vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ Vectơ pháp tuyến đường thẳng r Vectơ nr ≠ đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vuông góc với ∆ Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) Phương trình tham số ∆: x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 (1) ( t tham số) x = x + tu Nhận xét: M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: y = y + tu1 Phương trình tổng quát đường thẳng PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: + Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: r r r u = (−b; a) u = (b; −a) VTPT n = (a; b) VTCP r +Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: a( x −x ) +b( y −y0 ) = Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1y + c1 = a x + b y + c = 2 (1) • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ • ∆1 ≡ ∆2 a1 b1 ≠ a2 b2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 a2 , b2 , c2 ≠ ) Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n1, n2 ) ≤ 900 ·(∆ , ∆ ) = (n1 , n2 ) r r r r 180 − (n1 , n2 ) (n1, n2 ) > 90 (nếu Phương pháp toạ độ mặt phẳng r r n1.n2 a1b1 + a2 b2 r r · · cos(∆1 , ∆2 ) = cos(n1, n2 ) = r r = n1 n2 a12 + b12 a22 + b22 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) Chú ý: d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm r M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ VTCP u = (u1; u2 ) ∆ x = x + tu PTTS ∆: y = y + tu1 • Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm r M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ VTPT n = (a; b) ∆ PTTQ ∆: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = r r r r a) M(–2; 3) , u = (5; −1) b) M(–1; 2), u = (−2;3) c) M(3; –1), u = (−2; −5) r Baøi Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTPT n : r r a) M(1; 2), n = (5; 0) b) M(7; –3), n = (0;3) Baøi Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTCP u : Baøi Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = Baøi Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) Baøi Viết PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M(2; 3) song song với đường thẳng d: x − 10 y + = Baøi Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M(2; –3) x = − 2t vuông góc với đường thẳng d: y = + 4t Baøi Cho tam giác ABC Viết phương trình cạnh, đường trung tuyến, đường cao tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi Viết phương trình đường cao tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác là: AB : x − 3y − = 0, BC : x + 3y + = 0, CA : x − y + = Baøi Viết phương trình cạnh trung trực tam giác ABC biết trung điểm Phương pháp toạ độ mặt phẳng cạnh BC, CA, AB điểm M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) Baøi 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2; 1) chắn hai trục toạ độ đoạn Baøi 11 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(–4; 10) với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S = d : x + y − = Baøi 12 Cho M(2; 1)và đường thẳng Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d Baøi 13 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: d : x − y + = 0, ∆ : x − y + = Baøi 14 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: d : x − y + = 0, I (2;1) VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Baøi Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau, chúng cắt tìm toạ độ giao điểm chúng: a) x + 3y + = 0, x = + t x + 5y − = x = + 2t c) y = −3 + 2t , y = −7 + 3t b) x − y + = 0, − x + y + = x = 1− t x = + 3t d) y = −2 + 2t , y = −4 − 6t x = + t x + y−5= e) y = −1 , f) x = 2, x + y − = Baøi Hai cạnh hình bình hành ABCD có phương trình x − 3y = 0, x + 5y + = , đỉnh C(4; –1) Viết phương trình hai cạnh lại Baøi Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2) VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Baøi Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; −5), d : x − y + = b) M (3;5), d : x + y + = x = 2t c) M (4; −5), d : y = + 3t d) M (3;5), d : Baøi x − y +1 = a) Cho đường thẳng ∆: x − y + = Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) tiếp xúc với ∆ b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: x − 3y + = 0, x + y − = đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật c) Tính diện tích hình vuông có đỉnh nằm đường thẳng song song: d1 : x − y + = d2 : x − 8y − 13 = Baøi Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song cách đường thẳng ∆ khoảng k, với: ∆ : x − y + = 0, k = Baøi Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ cách điểm A khoảng k, với: ∆ : x − y + 12 = 0, A(2;3), k = Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi Viết phương trình đường thẳng qua A(–1; 2) cách B(3; 5) khoảng d = Baøi Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q, với: M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) Baøi Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A khoảng h cách điểm B khoảng k, với: A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = Baøi Cho đường thẳng ∆: x − y + = điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2) a) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ b) Trên ∆, tìm điểm M cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn Baøi 10 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C đường thẳng ∆: x − y + = cho diện tích tam giác ABC 17 (đvdt) 76 18 ; − ÷ 5 HD: C (12;10), C − Baøi 11 Tìm tập hợp điểm a) Tìm tập hợp điểm cách đường thẳng ∆: −2 x + 5y − = khoảng b) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d : x + 3y − = 0, ∆ : x + 3y + = c) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d : x − 3y + = 0, ∆ : y − = d) Tìm tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng sau với d : 5x − 12 y + = ∆ : x − 3y − 10 = 13 VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng Baøi Tính góc hai đường thẳng: a) x − y − = 0, x + 3y − 11 = b) x − y + = 0, x + y − = c) x − y + 26 = 0, x + 5y − 13 = d) x + y − = 0, x − 3y + 11 = Baøi Tính số đo góc tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x − 3y + 21 = 0, BC : x + 3y + = 0, CA : x − y − = d) AB : x + 3y + 12 = 0, BC : x − y − 24 = 0, CA : x + y − = Baøi Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A tạo với đường thẳng ∆ góc α, với: a) A(6;2), ∆ : x + y − = 0, α = 450 b) A(−2; 0), ∆ : x + 3y − = 0, α = 450 c) A(2;5), ∆ : x + 3y + = 0, α = 60 d) A(1;3), ∆ : x − y = 0, α = 300 Baøi Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) phương trình cạnh 3x − y + = a) Viết phương trình hai đường chéo hình vuông b) Tìm toạ độ đỉnh hình vuông II PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐƯỜNG ĐƯỜNG TRÒN TRÒN II Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x −a)2 +( y −b)2 = R Phương pháp toạ độ mặt phẳng Nhận xét: Phương trình x + y − 2ax − 2by + c = , với a2 + b2 − c > , phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường tròn Baøi Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường tròn Tìm tâm bán kính đường tròn đó: a) x + y − x − y − = b) x + y − x + y − 12 = c) x + y + x − 8y + = d) x + y − x + = e) 16 x + 16 y + 16 x − 8y = 11 f) x + 7y − x + y − = g) x + y − x + 12 y + 11 = h) x + y + x − 5y + 10 = VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d (I , ∆) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = AB Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I ∈ d – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , ∆) = IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vuông góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′ – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 Phương pháp toạ độ mặt phẳng d (I , ∆ ) = d (I , ∆ ) – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , ∆1 ) = IA (1) (2) – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 ∆2 – Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = d (∆1 , ∆2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d d (I , ∆1 ) = d (I , ∆2 ) – Tâm I (C) thoả mãn: I ∈ d – Bán kính R = d (I , ∆1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C) IA = IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA = IC – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác – Bán kính R = d (I , AB) Baøi Viết phương trình đường tròn có tâm I qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi Viết phương trình đường tròn có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2) I a) (3; 4), ∆ : x − 3y + 15 = b) I (2;3), ∆ : x − 12 y − = c) I (−3;2), ∆ ≡ Ox d) I (−3; −5), ∆ ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆, với: (dạng 4) A a) (2;3), B(−1;1), ∆ : x − 3y − 11 = b) A(0; 4), B(2;6), ∆ : x − y + = c) A(2;2), B(8;6), ∆ : x − 3y + = Baøi Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 5) a) A(1;2), B(3; 4), ∆ : x + y − = b) A(6;3), B(3;2), ∆ : x + y − = c) A(−1; −2), B(2;1), ∆ : x − y + = d) A(2; 0), B(4;2), ∆ ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ Phương pháp toạ độ mặt phẳng điểm B, với: (dạng 6) a) A(−2;6), ∆ : x − y − 15 = 0, B(1; −3) b) A(−2;1), ∆ : x − y − = 0, B(4;3) c) A(6; −2), ∆ ≡ Ox , B(6; 0) d) A(4; −3), ∆ : x + y − = 0, B(3; 0) Baøi Viết phương trình đường tròn qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2, với: (dạng 7) a) A(2;3), ∆1 : 3x − y + = 0, ∆2 : x + 3y − = b) A(1;3), ∆1 : x + y + = 0, ∆2 : x − y + = c) A ≡ O(0; 0), ∆1 : x + y − = 0, ∆2 : x + y + = d) A(3; −6), ∆1 ≡ Ox , ∆2 ≡ Oy Baøi Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d, với: (dạng 8) a) ∆1 : x + y + = 0, ∆2 : x − 3y + 15 = 0, d : x − y = b) ∆1 : x + y + = 0, ∆2 : x − y + = 0, d : x + 3y − = c) ∆1 : x − 3y − 16 = 0, ∆2 : x + y + = 0, d : x − y + = d) ∆1 : x + y − = 0, ∆2 : x + y + 17 = 0, d : x − y + = Baøi Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C ≡ O(0; 0) AB : x − y + = 0, BC : x + y − = 0, CA : x + y − 17 = e) f) AB : x + y − = 0, BC : x + y − = 0, CA : x − y + = Baøi 10 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : x − 3y + 21 = 0, BC : x − y − = 0, CA : x + 3y + = d) AB : x − y + 11 = 0, BC : x + y − 15, CA : x + 17 y + 65 = VẤN ĐỀ 3: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R • Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C) uuuur - ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0 • Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d (I , ∆) = R , ta tìm t Từ suy phương trình ∆ • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) đường tròn (C) – Viết phương trình ∆ qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d (I , ∆) = R , ta tìm tham số Từ suy phương trình ∆ Baøi Cho đường tròn (C) đường thẳng d i) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ độ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d Phương pháp toạ độ mặt phẳng a) (C ) : x + y − x − y + = 0, d : x − y + = b) (C ) : x + y − x − y = 0, d : x − 3y + = Baøi Cho đường tròn (C), điểm A đường thẳng d i) Chứng tỏ điểm A (C) ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với d iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x + y − x − y − 12 = 0, A(−7;7), d : x + y − = b) (C ) : x + y + x − 8y + 10 = 0, A(2;2), d : x + y − = Baøi Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) đường thẳng d : y = −3 − x a) Viết phương trình đường tròn (C1) (C2) qua A, B tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) hai đường tròn Baøi Cho đường tròn (C): x + y − x − 2my + m + = a) Tìm m để từ A(2; 3) kẻ hai tiếp tuyến với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến m =